第一章线性方程组的解法(新)

.第一章线性方程组的解法求解线性方程组是科学研究和工程应用中最普遍和最重要的问题，超过75%的科学研谢谢阅读究和工程应用中的数学问题，在某一阶段都与线性方程组的求解有关．本章介绍求解线性方精品文档放心下载程组的消元法及其矩阵形式．引例交通流量问题随着城市人口以及交通流量的增加，城市道路交通拥堵问题已成为制约经济发展、降低精品文档放心下载人民生活质量、削弱经济活力的瓶颈之一.为解决这个世界性难题，各国政府和民间都进行感谢阅读了广泛的研究，提出了提高交通管理水平、增强交通参与者的素质、扩大道路容量、限制车感谢阅读辆增长速度等政策及车牌限行、设置单向行驶道路等措施.以上的政策和措施的一个基础性谢谢阅读工作就是各道路的车流量的统计与分流控制.使各道路的交通流量要达到平衡,所谓交通流量感谢阅读平衡是指在每个路口进入的车辆数与离开的车辆数相等．图1是某一城市的道路交通网络感谢阅读图，所有车道都是单行道．箭头给出了车辆的通行方向，数字是高峰期每小时进入和离开路谢谢阅读口的车辆数．在满足交通流量平衡的条件下，试问如何分流车辆．精品文档放心下载.图1为了保证交通流量平衡，得线性方程组xx300,12x200,x23xxx300,（1.1）345x100,x46xxx300.156问题归结为讨论线性方程组（1.1）是否有解？若有解，求出方程组的解．精品文档放心下载第一节线性方程组的消元法一、线性方程组的概念设x,x,L,x为实未知量，a,a,L,a,b为实数，n为正整数．方程精品文档放心下载1 2 n 1 2 naxaxLaxb1 1 2 2 n n称为含未知量x,x,L,x的线性方程．由m个含未知量x,x,L,x的线性方程组成的方谢谢阅读1 2 n 1 2 n.程组axaxLaxb,精品文档放心下载1111221nn1axaxLaxb,2112222nn2LLLLLLLLLLLa xa xLa xb,谢谢阅读m1 1 m2 2 mn n m称为n元线性方程组，其中a,b(i1,2,L,m;j1,2,L,n)为实数．若感谢阅读ij ixc,xc,L,xc谢谢阅读1 1 2 2 n n使（1.2）中的每一个方程都成立，则称（1.3）为方程组（1.2）的解．精品文档放心下载

（1.2）（1.3）如果线性方程组（1.2）有解，则称方程组（1.2）是相容的；否则，称方程组（1.2）谢谢阅读是不相容的．线性方程组解的全体所构成的集合称为该线性方程组的解集．显然，如果线性方程组不精品文档放心下载相容，其解集必为空集．能表示线性方程组全部解的表达式称为方程组的通解或一般解．感谢阅读具有相同解集的线性方程组称为同解方程组或等价方程组．精品文档放心下载二、线性方程组的消元法中学所学的解线性方程组的消元法是求解线性方程组简单有效的方法．现在我们回忆消感谢阅读元法的过程．1利用消元法求解线性方程组x2x3,(1)126.(2)4x5x12解将方程（1）乘以4加到方程（2）上，得等价方程组x2x3,(3)126.(4)3x2由方程（4）解得x2，再代入方程（3），得x1，则原方程组的解为x1,x2．该2112方程组有唯一解．.2利用消元法求解线性方程组5x6x7x5,(1)xxx1,(1)123123（I）4x8x4x5,(2)；（II）x2xx3,(2)1231233x6x3x9.(3)5x8xx11.(3)123123解（I）方程（3）的两边乘以不为零的常数1，得35x6x7x5,(4)1234x8x4x5,(5)123x2xx3.(6)123交换方程（4）与（6）的位置，得x2xx3,(7)1234x8x4x5,(8)1235x6x7x5.(9)123方程（7）乘以4加到方程（8）上；方程（7）乘以5加到方程（9）上，得x2xx3,(10)12307,(11)4x2x10.(12)23交换方程（11）与（12）的位置，得x2xx3,(13)1234x2x10,(14)2307.(15)方程（15）是矛盾方程，则方程组（I）无解．（II）方程（1）乘以1加到方程（2）上；方程（1）乘以5加到方程（3）上，得谢谢阅读xxx1,(4)123x2x2,(5)233x6x6.(6)23方程（5）乘以3加到方程（6）上，得xxx1,(7)123x2x2,(8)2300.(9).解得x3x1,13x2x2,23令x3c，得方程组的通解为x3c1,12c2,x2c,x3其中c为任意常数．此时方程组有无穷多解．总结例1与例2，我们发现利用消元法求解线性方程组的过程，本质上是对线性方程组精品文档放心下载的方程进行下列三种变换：（1）交换任意两个方程的位置；（2）某一方程两边乘以不为零的常数；（3）把某一方程的倍数加到另一方程上去．上述三种变换称为线性方程组的同解变换．另外，我们还可以看到，线性方程组可能无解、可能有解，在有解时可能是唯一解或无精品文档放心下载穷多解，关于这方面的更深入的研究可参考下一节与第三章第六节．谢谢阅读思考题一1．在例1与例2中，细心的读者会发现，这里用消元法求解线性方程组与中学所介绍的形精品文档放心下载式上有所不同，您能指出它们各自的优点所在吗？2．线性方程组的解与未知量的符号表示有关吗？x2y3,3．给定方程组4x5y6.

将每个方程交换未知量x

与y

2xy3,的位置，得方程组5x4y6..试问这两个方程组同解吗？第二节 矩阵及其初等行变换一、矩阵3利用消元法求解线性方程组x2y3,(1)(2)4x5y6.解 将方程（1）乘以4加到方程（2）上，得x2y3,(3)3y6.(4)由方程（4）解得y2，代入方程（3），得x1，则原方程组的解x1,y2．精品文档放心下载仔细比较例1和例3两个方程组，我们发现线性方程组的解是由未知量系数a和方程谢谢阅读ij右边的常数b所决定，而与线性方程组的未知量用哪个符号表示无关．鉴于此，在讨论线精品文档放心下载j性方程组（1.2）的求解时，我们可以舍弃未知量（但把未知量牢记于心中），建立方程组（1.2）精品文档放心下载与m行n1列的数表aaLaMb1112L1n1aaaMb（1.4）21222n2MMMMMaaLaMbm1m2mnm的一一对应关系：该数表的第j(j1,2,L,n)列是未知量x前的系数，第n1列是方程右谢谢阅读j边的常数bi(i1,2,L,m)；第i行代表方程组（1.2）的第i个方程．我们称该数表为方程组（1.2）的增广矩阵，简记为B．而把数表谢谢阅读.aaLa1112L1naaa（1.5）21222nMMMaaLam1m2mn称为方程组（1.2）的系数矩阵，简记为A．例4 写出线性方程组xxx1,123xxx,123xxx2123的系数矩阵与增广矩阵．解 方程组的系数矩阵与增广矩阵分别为1111M1A11；B11M．1111M2以上讨论启发我们，为了简化线性方程组的求解，在代数上给出了数表——矩阵的概感谢阅读念．（名词“矩阵（Matrix）”是由Sylvester首先使用的）感谢阅读定义1由mn个数a(i1,2,Lm;j1,2,Ln)排成的m行n列的数表ijaaLa1112L1naaa21222nMMMaaLam1m2mn称为m行n列矩阵，简称mn矩阵，其中a称为矩阵A的第i行第j列的元素．mn矩ij阵可以表示为(a)，一般用大写的英文字母A,B,C,L等表示矩阵．ijmn元素为实数的矩阵称为实矩阵，元素为复数的矩阵称为复矩阵．本书如无特殊声明，所精品文档放心下载讨论的矩阵都是指实矩阵．二、矩阵的初等行变换.矩阵的初等行变换起源于求解线性方程组的消元法．由方程组的同解变换可知，对线性精品文档放心下载方程组作同解变换相当于对方程组的增广矩阵的行作相应的变换．由此有谢谢阅读定义2 以下对矩阵的三种变换称为矩阵的初等行变换：谢谢阅读（1）交换矩阵两行的位置；（2）不为零的数k乘以矩阵的某一行中所有元素；（3）将矩阵的某一行乘以数k加到另一行上去．为了说明方便，通常用r表示矩阵的第i行．用r谢谢阅读

r

表示交换矩阵的第i行与第

j行；i

i

j用rk表示数k乘以矩阵的第i行；用ri谢谢阅读

j

kr表示数k乘以矩阵的第i行加到第i

j行上去．定义3 若矩阵A经过有限次初等行变换变成矩阵B，则称矩阵A与B行等价，记作精品文档放心下载ArB．下面介绍消元法的矩阵形式。5利用矩阵的初等行变换求解线性方程组x2x3,124x5x6.12解 方程组的增广矩阵12M312M3B，45M6r4r3M601得同解方程组x2x3,（1.6）123x6,2由第2个方程解得x2，代入第1个方程，得x1，则方程组的解为x1,x2．2112消元法的代入过程也可以对增广矩阵作初等行变换来代替．要在（1.6）的第2个方程解出x，则x的系数必须为1．将（1.6）的第2个方程两边乘以1，得223.x2x3,12（1.7）x2,2得到（1.7）的过程相当于r12M3r21)12M3B(．03M601M2将x代入（1.7）的第1个方程，即将（1.7）的第1个方程中x的系数化为零，只需将（1.7）精品文档放心下载2 2的第2个方程两边乘以2加到第1个方程上去，得方程组的解精品文档放心下载x1,1（1.8）x2.2得到（1.8）的过程相当于r12M310M1B，01M2r1M202从而得方程组的解x1,x2．1 2现在我们可以给出例5的完整求解过程了．方程组的增广矩阵谢谢阅读12M312M3r(3)10M1Br4rr22r，5M603M601M24从而得方程组的解x1,x2．12一般地，消元法是由两个步骤所构成．第一个步骤是消元过程，在例5中得到矩阵B，谢谢阅读1称为矩阵B的行阶梯形，其特点是：非零行的第一个非零元素的列标随着行标的增加而严谢谢阅读格增加．如下列矩阵213121310101A0105,A0015,A0015（1.9）123000000000000都是行阶梯形矩阵．第二个步骤是代入过程，在例5中得到矩阵B，称为矩阵B的行最简谢谢阅读2形，其特点是：它是特殊的行阶梯形矩阵，且非零行的第一个非零元素为1，而该元素所在谢谢阅读列的其他元素全为0．如（1.9）中的A3是行最简形矩阵．精品文档放心下载.例6利用初等行变换，将矩阵1111A12422513化成行阶梯形矩阵和行最简形矩阵．111111111111解A1242r2r10333，323r251303312000最后一个矩阵即为行阶梯形矩阵，进一步，111111101020r3(2)0111r1r301100110，22312000000100011最后一个矩阵即为行最简形矩阵．总结例6利用初等行变换将矩阵化成行阶梯形矩阵和行最简形矩阵的方法，有谢谢阅读定理1 任何一个矩阵都可经有限次初等行变换变成行阶梯形矩阵和行最简形矩阵．谢谢阅读证 设A(a)为mn矩阵，对A的行数m利用数学归纳法．感谢阅读ijm1时该矩阵为行阶梯形．不妨设a0，作行变换r1，则矩阵化为行最简形．111a11设ms1结论成立．当ms时，不妨设a0，有11aaaLaaaaLa1112131n1112131naaaLaa0bbLb2122232nriai1r122232n．i2,3,L,s3132333n32333nMMMMMMMMaaLa0bbLbas1s2s3sns2s3sn矩阵B(b)(i2,3,L,s;j2,3,L,n)为(s1)(n1)矩阵，由归纳假设，知B可感谢阅读ij化为行阶梯形矩阵，从而A也可化为行阶梯形矩阵．由归纳假设，知B可化为行最简形矩阵，有.aaaaLaaLa111213141t1,t1L1n010cL0cc242,t12n001cL0cLc343,t13nrMMMMMMM，A0000L1cLct,t1tn0000L0000MMMMMMMM0000L0000100c01014c24001cr1a1jrj,j2,3,L,t34r11MMMM0110000000MMMM0000

L0cLcL01,t1L1ncc2,t12nL0cLc3,t13nMMM，L1cLct,t1tnL0000MMMML0000A的行最简形矩阵．要注意的是，矩阵的行阶梯形矩阵一般不唯一，而矩阵的行最简形矩阵是唯一的．感谢阅读由例5可得，利用初等行变换求解线性方程组的方法（也称为Gauss-Jordan消元法），其步骤是：谢谢阅读（1）写出线性方程组的增广矩阵；（2）将增广矩阵用初等行变换化成行阶梯形（等价于消元法的消元过程）；精品文档放心下载（3）判断线性方程组是否有解．如果行阶梯形的最后一个非零行代表矛盾方程感谢阅读0d0，则方程组无解；否则线性方程组有解，并进行下一步；感谢阅读（4）将行阶梯形矩阵用初等行变换化成行最简形矩阵（等价于代入过程）；感谢阅读（5）由行最简形矩阵得线性方程组的解．7利用Gauss-Jordan消元法求解线性方程组谢谢阅读.2x x x2x1,1234xx2xx0,1234xx2x2x3,12344x2x4.6x123解对方程组的增广矩阵进行初等行变换化为行阶梯形：2112M11122M3r1r3B1121M0r411121M0210M26420M4321122M3r2r31122M3r1r20003M3r10156M7r32r1330156M70001M141420156M70000M0其最后一个非零行对应的不是矛盾方程，则方程组有解．进一步，1120M11030M0r2r0150M10150M1B——行最简形rrr6r10001M1230001M120000M00000M0得对应的方程组为x3x0,1x31,5x231.x4解得x3x,13x5x1,23x1,4其中x为自由变量．令xk，则方程组的通解为感谢阅读3 3.x3k,15k1,x2其中k为任意常数．x3k,1,x4例8 利用Gauss-Jordan消元法求解线性方程组精品文档放心下载xxx1,123x2x4x2,1233.5xx2x123解 方程组的增广矩阵111M1111B124M2r2r1033r2r251M3033因为02，矛盾，所以方程组无解．

131

111M132033M3，rr000M2参考例5、例7、例8，对线性方程组有如下重要结论：精品文档放心下载定理2 对于n元线性方程组，当增广矩阵的行阶梯形最后一个非零行代表矛盾方程谢谢阅读时，则方程组无解；否则方程组有解，且（1）当增广矩阵的行阶梯形有n个非零行时，方程组有唯一解；精品文档放心下载（2）当增广矩阵的行阶梯形少于n个非零行时，方程组有无穷多解．谢谢阅读思 考 题 二1．为什么说对线性方程组作同解变换相当于对该方程组的增广矩阵作相应的初等行变换？精品文档放心下载2．比较行阶梯形矩阵与行最简形矩阵的相同点与不同点．感谢阅读3．回忆利用Gauss-Jordan消元法求解线性方程组的过程．精品文档放心下载4．怎样判别线性方程组有解或无解？在有解时是唯一解还是无穷多解？除了这三种情形，精品文档放心下载线性方程组的解还有其它情形吗？.第三节应用举例一、引例解答（1.1）的增广矩阵110000M300100011M300011000M200r010011M0B001110M300001011M200，000101M100000101M100100011M300000000M0由定理2得方程组有无穷多解，且方程组的通解为xkk300, 1 1 2kk,212200,其中k,k3k212为任意常数．x4100,12xk,51xk,62要注意的是，方程组的解不一定都是实际问题的解．由未知量的实际意义，应满足谢谢阅读xkk3000,112xkk0,212312x4k21000,xk0,510,xk62即有k,k还需满足0kk300,k100的非负整数．12212二、化学方程式的平衡.当丙烷（C3H8）气体燃烧时,会产生二氧化碳和水，该反应的化学反应式具有下列反应谢谢阅读式C3H8+O2CO2+H2O，试平衡此化学反应式。为了使反应式平衡，选取适当的x,x,x,x，使得感谢阅读1 2 3 4xCH+xOx3CO+xHO．13822242由质量守恒定律，对碳原子，有3xx；同理，对氢原子，有8x2x；对氧原子，有13142x2xx．从而得线性方程组2343xx0,132x0,8x12x40,2xx234方程组的通解为xk,x5k,x3k,x4k．取k1，则化学反应式为1234C3H8+5O23CO2+4H2O．三、封闭的列昂惕夫(WassilyLeontief)投入-产出模型精品文档放心下载设某个封闭的产业链有n个工厂生产n种不同的产品，每个工厂需要投入自己的产品和精品文档放心下载其它工厂的产品．所谓封闭，是指每个工厂需要的产品该产业链内部可以提供，而不需要其谢谢阅读它产业链提供．试问在满足总需求的条件下，每个工厂的产出各是多少？感谢阅读xj表示第j个工厂的产出量，aij表示第j个工厂生产一个单位产品，需要投入第i个工厂的产品数量（i,j1,2,L,n）．此处一个单位的投入或产出，是指价值为1元人民币谢谢阅读的产品．由于产业链的封闭，第j个工厂的总投入等于第j个工厂的产出，则感谢阅读xaxaxLax, 1 11 1 12 2 1n nxaxaxLax,谢谢阅读 2 21 1 22 2 2n nLLLLLLLLLLLxaxaxLax,感谢阅读n n11 n2 2 nn n问题转化为求（1.10）的非负整数解．（1.10）可以化为精品文档放心下载(a 1)xaxLax0,谢谢阅读 11 1 12 2 1n nax(a 1)xLax0,感谢阅读 21 1 22 2 2n nLLLLLLLLLLLLL精品文档放心下载axaxL(a 1)x0.谢谢阅读n11 n2 2 nn n现给出n4时，各个工厂相互之间的需求有向图（图2）．谢谢阅读图2我们得到线性方程组

.（1.10）（1.11）.1x1x1x0,21428344感谢阅读1x3x1x1x0,感谢阅读4283441谢谢阅读1x1x3x1x0,感谢阅读41424384精品文档放心下载1x1x5x0.422384方程组的增广矩阵1111484213114484B113144481150428

M01M0r0M00M00

0026M0233910M046，1901M023000M0得方程组的解为x26x，x39x，x19x，其中x为自由变量．令xk，得12342464323444方程组的通解为x26k，x39k，x19k，xk．所以四个工厂的产出量分别123246323452m,39m,38m,46m，其中m为非负整数．谢谢阅读题一（A）1．用消元法解下列线性方程