高考数学二轮复习 第二部分 专题五 解析几何 第1讲 直线与圆练习（含解析）试题

第1讲直线与圆[做真题]题型一圆的方程1．(2016·高考全国卷Ⅱ)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝()A．－eq\f(4,3) B．－eq\f(3,4)C．eq\r(3) D．2解析：选A.由题可知，圆心为(1，4)，结合题意得eq\f(|a＋4－1|,\r(a2＋1))＝1，解得a＝－eq\f(4,3).2．(2015·高考全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．解析：由题意知a＝4，b＝2，上、下顶点的坐标分别为(0，2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4，0)．由圆心在x轴的正半轴上知圆过点(0，2)，(0，－2)，(4，0)三点．设圆的标准方程为(x－m)2＋y2＝r2(0＜m＜4，r＞0)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2＋4＝r2，,（4－m）2＝r2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝\f(3,2)，,r2＝\f(25,4).))所以圆的标准方程为(x－eq\f(3,2))2＋y2＝eq\f(25,4).答案：(x－eq\f(3,2))2＋y2＝eq\f(25,4)3．(2018·高考全国卷Ⅱ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．解：(1)由题意得F(1，0)，l的方程为y＝k(x－1)(k＞0)．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k（x－1），,y2＝4x))得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.Δ＝16k2＋16＞0，故x1＋x2＝eq\f(2k2＋4,k2).所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝eq\f(4k2＋4,k2).由题设知eq\f(4k2＋4,k2)＝8，解得k＝－1(舍去)，k＝1.因此l的方程为y＝x－1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3，2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y0＝－x0＋5，,（x0＋1）2＝\f(（y0－x0＋1）2,2)＋16，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝3，,y0＝2))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝11，,y0＝－6.))因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.题型二直线与圆、圆与圆的位置关系1．(2018·高考全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是()A．[2，6] B．[4，8]C．[eq\r(2)，3eq\r(2)] D．[2eq\r(2)，3eq\r(2)]解析：选A.圆心(2，0)到直线的距离d＝eq\f(|2＋0＋2|,\r(2))＝2eq\r(2)，所以点P到直线的距离d1∈[eq\r(2)，3eq\r(2)]．根据直线的方程可知A，B两点的坐标分别为A(－2，0)，B(0，－2)，所以|AB|＝2eq\r(2)，所以△ABP的面积S＝eq\f(1,2)|AB|d1＝eq\r(2)d1.因为d1∈[eq\r(2)，3eq\r(2)]，所以S∈[2，6]，即△ABP面积的取值范围是[2，6]．2．(2015·高考全国卷Ⅱ)过三点A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝()A．2eq\r(6) B．8C．4eq\r(6) D．10解析：选C.设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(D＋3E＋F＋10＝0，,4D＋2E＋F＋20＝0，,D－7E＋F＋50＝0.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(D＝－2，,E＝4，,F＝－20.))所以圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0.令x＝0，得y＝－2＋2eq\r(6)或y＝－2－2eq\r(6)，所以M(0，－2＋2eq\r(6))，N(0，－2－2eq\r(6))或M(0，－2－2eq\r(6))，N(0，－2＋2eq\r(6))，所以|MN|＝4eq\r(6)，故选C.3．(2016·高考全国卷Ⅲ)已知直线l：mx＋y＋3m－eq\r(3)＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．若|AB|＝2eq\r(3)，则|CD|＝________．解析：设圆心到直线l：mx＋y＋3m－eq\r(3)＝0的距离为d，则弦长|AB|＝2eq\r(12－d2)＝2eq\r(3)，得d＝3，即eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(3m－\r(3))),\r(m2＋1))＝3，解得m＝－eq\f(\r(3),3)，则直线l：x－eq\r(3)y＋6＝0，数形结合可得|CD|＝eq\f(|AB|,cos30°)＝4.答案：4[山东省学习指导意见]1．直线与方程(1)理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式．能根据斜率判定两条直线平行或垂直．(2)根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)．体会斜截式与一次函数的关系．(3)探索并掌握两点间的距离公式．点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离，会求两直线的交点坐标．2．圆与方程(1)由圆的几何要素，探索并掌握圆的标准方程与一般方程．(2)能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系．(3)能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．3．空间直角坐标系了解空间直角坐标系，明确感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的位置，会用空间两点间的距离公式．直线的方程[考法全练]1．若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a＝()A．1±eq\r(2)或0 B．eq\f(2－\r(5),2)或0C．eq\f(2±\r(5),2) D．eq\f(2＋\r(5),2)或0解析：选A.因为平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，所以kAB＝kAC，即eq\f(a2＋a,2－1)＝eq\f(a3＋a,3－1)，即a(a2－2a－1)＝0，解得a＝0或a＝1±eq\r(2).故选A.2．若直线mx＋2y＋m＝0与直线3mx＋(m－1)y＋7＝0平行，则m的值为()A．7 B．0或7C．0 D．4解析：选B.因为直线mx＋2y＋m＝0与直线3mx＋(m－1)y＋7＝0平行，所以m(m－1)＝3m×2，所以m＝0或7，经检验，都符合题意．故选B.3．已知点A(1，2)，B(2，11)，若直线y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－\f(6,m)))x＋1(m≠0)与线段AB相交，则实数m的取值范围是()A．[－2，0)∪[3，＋∞) B．(－∞，－1]∪(0，6]C．[－2，－1]∪[3，6] D．[－2，0)∪(0，6]解析：选C.由题意得，两点A(1，2)，B(2，11)分布在直线y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－\f(6,m)))x＋1(m≠0)的两侧(或其中一点在直线上)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－\f(6,m)－2＋1))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－\f(6,m)))－11＋1))≤0，解得－2≤m≤－1或3≤m≤6，故选C.4．已知直线l过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点，且点P(0，4)到直线l的距离为2，则直线l的方程为__________________．解析：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y＋3＝0，,2x＋3y－8＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2，))所以直线l1与l2的交点为(1，2)．显然直线x＝1不符合，即所求直线的斜率存在，设所求直线的方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y＋2－k＝0，因为P(0，4)到直线l的距离为2，所以eq\f(|－4＋2－k|,\r(1＋k2))＝2，所以k＝0或k＝eq\f(4,3).所以直线l的方程为y＝2或4x－3y＋2＝0.答案：y＝2或4x－3y＋2＝05．(一题多解)已知直线l：x－y－1＝0，l1：2x－y－2＝0.若直线l2与l1关于直线l对称，则直线l2的方程是________．若直线l3与l关于点(1，1)对称，则直线l3的直线方程是________．解析：法一：l1与l2关于l对称，则l1上任意一点关于l的对称点都在l2上，故l与l1的交点(1，0)在l2上．又易知(0，－2)为l1上的一点，设其关于l的对称点为(x，y)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(y－2,2)－1＝0，,\f(y＋2,x)×1＝－1))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－1.))即(1，0)，(－1，－1)为l2上两点，故可得l2的方程为x－2y－1＝0.因为l3∥l，可设l3的方程为x－y＋c＝0，则eq\f(|1－1－1|,\r(2))＝eq\f(|1－1＋c|,\r(2)).所以c＝±1，所以l3的方程为x－y＋1＝0.法二：设l2上任一点为(x，y)，其关于l的对称点为(x1，y1)，则由对称性可知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x＋x1,2)－\f(y＋y1,2)－1＝0，,\f(y－y1,x－x1)×1＝－1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝y＋1，,y1＝x－1.))因为(x1，y1)在l1上，所以2(y＋1)－(x－1)－2＝0，即l2的方程为x－2y－1＝0.因为l3∥l，可设l3的方程为x－y＋c＝0，则eq\f(|1－1－1|,\r(2))＝eq\f(|1－1＋c|,\r(2)).所以c＝±1，所以l3的方程为x－y＋1＝0.答案：x－2y－1＝0x－y＋1＝0eq\a\vs4\al()(1)两直线的位置关系问题的解题策略求解与两条直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件，即斜率相等且纵截距不相等或斜率互为负倒数．若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法去研究或直接用直线的一般式方程判断．(2)轴对称问题的两种类型及求解方法点关于直线的对称若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，则线段P1P2的中点在对称轴l上，而且连接P1，P2的直线垂直于对称轴l.由方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A·\f(x1＋x2,2)＋B·\f(y1＋y2,2)＋C＝0.,\f(y2－y1,x2－x1)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(A,B)))＝－1，))可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)直线关于直线的对称有两种情况，一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．一般转化为点关于直线的对称来解决圆的方程[典型例题]在平面直角坐标系xOy中，曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)与x轴交于不同的两点A，B，曲线Γ与y轴交于点C.(1)是否存在以AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．(2)求证：过A，B，C三点的圆过定点．【解】由曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)，令y＝0，得x2－mx＋2m＝0.设A(x1，0)，B(x2，0)，则可得Δ＝m2－8m>0，x1＋x2＝m，x1x2＝2m.令x＝0，得y＝2m，即C(0，2m)．(1)若存在以AB为直径的圆过点C，则eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，得x1x2＋4m2＝0，即2m＋4m2＝0，所以m＝0或m＝－eq\f(1,2).由Δ>0得m<0或m>8，所以m＝－eq\f(1,2)，此时C(0，－1)，AB的中点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，0))即圆心，半径r＝|CM|＝eq\f(\r(17),4)，故所求圆的方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,4)))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\f(17,16).(2)证明：设过A，B两点的圆的方程为x2＋y2－mx＋Ey＋2m＝0，将点C(0，2m)代入可得E＝－1－2m，所以过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2－mx－(1＋2m)y＋2m＝0，整理得x2＋y2－y－m(x＋2y－2)＝0.令eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－y＝0，,x＋2y－2＝0，))可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2,5)，,y＝\f(4,5)，))故过A，B，C三点的圆过定点(0，1)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)，\f(4,5))).eq\a\vs4\al()求圆的方程的2种方法几何法通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，从而求得圆的基本量和方程代数法用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，从而求得圆的方程[对点训练]1．若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－2) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，0))C．(－2，0) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(2,3)))解析：选D.若方程表示圆，则a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0，化简得3a2＋4a－4<0，解得－2<a<eq\f(2,3).2．经过原点且与直线x＋y－2＝0相切于点(2，0)的圆的标准方程是()A．(x－1)2＋(y＋1)2＝2B．(x＋1)2＋(y－1)2＝2C．(x－1)2＋(y＋1)2＝4D．(x＋1)2＋(y－1)2＝4解析：选A.设圆心的坐标为(a，b)，则a2＋b2＝r2①，(a－2)2＋b2＝r2②，eq\f(b,a－2)＝1③，联立①②③解得a＝1，b＝－1，r2＝2.故所求圆的标准方程是(x－1)2＋(y＋1)2＝2.故选A.3．(2019·山东青岛模拟)已知圆M：x2＋y2－2x＋a＝0，若AB为圆M的任意一条直径，且eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝－6(其中O为坐标原点)，则圆M的半径为()A．eq\r(5) B．eq\r(6)C．eq\r(7) D．2eq\r(2)解析：选C.圆M的标准方程为(x－1)2＋y2＝1－a(a<1)，圆心M(1，0)，则|OM|＝1，因为AB为圆M的任意一条直径，所以eq\o(MA,\s\up6(→))＝－eq\o(MB,\s\up6(→))，且|eq\o(MA,\s\up6(→))|＝|eq\o(MB,\s\up6(→))|＝r，则eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝(eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(MA,\s\up6(→)))·(eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→)))＝(eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(MB,\s\up6(→)))·(eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→)))＝eq\o(OM,\s\up6(→))2－eq\o(MB,\s\up6(→))2＝1－r2＝－6，所以r2＝7，得r＝eq\r(7)，所以圆的半径为eq\r(7)，故选C.直线与圆、圆与圆的综合问题[典型例题]命题角度一切线问题已知圆O：x2＋y2＝1，点P为直线eq\f(x,4)＋eq\f(y,2)＝1上一动点，过点P向圆O引两条切线PA，PB，A，B为切点，则直线AB经过定点()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,4))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),4)，0)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),4)))【解析】因为点P是直线eq\f(x,4)＋eq\f(y,2)＝1上的一动点，所以设P(4－2m，m)．因为PA，PB是圆x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，所以OA⊥PA，OB⊥PB，所以点A，B在以OP为直径的圆C上，即弦AB是圆O和圆C的公共弦．所以圆心C的坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－m，\f(m,2)))，且半径的平方r2＝eq\f(（4－2m）2＋m2,4)，所以圆C的方程为(x－2＋m)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(m,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(（4－2m）2＋m2,4)，①又x2＋y2＝1，②所以②－①得，(2m－4)x－my＋1＝0，即公共弦AB所在的直线方程为(2x－y)m＋(－4x＋1)＝0，所以由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－4x＋1＝0，,2x－y＝0))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,4)，,y＝\f(1,2)，))所以直线AB过定点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2))).故选B.【答案】Beq\a\vs4\al()过一点求圆的切线方程的方法(1)过圆上一点(x0，y0)的圆的切线的方程的求法若切线斜率存在，则先求切点与圆心连线所在直线的斜率k(k≠0)，由垂直关系知切线斜率为－eq\f(1,k)，由点斜式方程可求切线方程．若切线斜率不存在，则可由图形写出切线方程x＝x0.(2)过圆外一点(x0，y0)的圆的切线的方程的求法当切线斜率存在时，设切线斜率为k，切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程．当切线斜率不存在时要加以验证．命题角度二弦长问题已知圆C经过点A(－2，0)，B(0，2)，且圆心C在直线y＝x上，又直线l：y＝kx＋1与圆C相交于P，Q两点．(1)求圆C的方程；(2)过点(0，1)作直线l1与l垂直，且直线l1与圆C交于M，N两点，求四边形PMQN面积的最大值．【解】(1)设圆心C(a，a)，半径为r，因为圆C经过点A(－2，0)，B(0，2)，所以|AC|＝|BC|＝r，即eq\r(（a＋2）2＋（a－0）2)＝eq\r(（a－0）2＋（a－2）2)＝r，解得a＝0，r＝2，故所求圆C的方程为x2＋y2＝4.(2)设圆心C到直线l，l1的距离分别为d，d1，四边形PMQN的面积为S.因为直线l，l1都经过点(0，1)，且l1⊥l，根据勾股定理，有deq\o\al(2,1)＋d2＝1.又|PQ|＝2×eq\r(4－d2)，|MN|＝2×eq\r(4－deq\o\al(2,1))，所以S＝eq\f(1,2)|PQ|·|MN|＝eq\f(1,2)×2×eq\r(4－d2)×2×eq\r(4－deq\o\al(2,1))＝2eq\r(16－4（deq\o\al(2,1)＋d2）＋deq\o\al(2,1)d2)＝2eq\r(12＋deq\o\al(2,1)d2)≤2eq\r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(deq\o\al(2,1)＋d2,2)))\s\up12(2))＝2eq\r(12＋\f(1,4))＝7，当且仅当d1＝d时，等号成立，所以四边形PMQN面积的最大值为7.eq\a\vs4\al()求解圆的弦长的3种方法关系法根据半径，弦心距，弦长构成的直角三角形，构成三者间的关系r2＝d2＋eq\f(l2,4)(其中l为弦长，r为圆的半径，d为圆心到直线的距离)公式法根据公式l＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|求解(其中l为弦长，x1，x2为直线与圆相交所得交点的横坐标，k为直线的斜率)距离法联立直线与圆的方程，解方程组求出两交点坐标，用两点间距离公式求解命题角度三直线与圆的综合问题已知圆C经过点A(0，2)，B(2，0)，圆C的圆心在圆x2＋y2＝2的内部，且直线3x＋4y＋5＝0被圆C所截得的弦长为2eq\r(3).点P为圆C上异于A，B的任意一点，直线PA与x轴交于点M，直线PB与y轴交于点N.(1)求圆C的方程；(2)若直线y＝x＋1与圆C交于A1，A2两点，求eq\o(BA1,\s\up6(→))·eq\o(BA2,\s\up6(→))；(3)求证：|AN|·|BM|为定值．【解】(1)易知圆心C在线段AB的中垂线y＝x上，故可设C(a，a)，圆C的半径为r.因为直线3x＋4y＋5＝0被圆C所截得的弦长为2eq\r(3)，且r＝eq\r(a2＋（a－2）2)，所以C(a，a)到直线3x＋4y＋5＝0的距离d＝eq\f(|7a＋5|,5)＝eq\r(r2－3)＝eq\r(2a2－4a＋1)，所以a＝0或a＝170.又圆C的圆心在圆x2＋y2＝2的内部，所以a＝0，此时r＝2，所以圆C的方程为x2＋y2＝4.(2)将y＝x＋1代入x2＋y2＝4得2x2＋2x－3＝0.设A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，则x1＋x2＝－1，x1x2＝－eq\f(3,2).所以eq\o(BA1,\s\up6(→))·eq\o(BA2,\s\up6(→))＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝x1x2－2(x1＋x2)＋4＋(x1＋1)(x2＋1)＝2x1x2－(x1＋x2)＋5＝－3＋1＋5＝3.(3)证明：当直线PA的斜率不存在时，|AN|·|BM|＝8.当直线PA与直线PB的斜率都存在时，设P(x0，y0)，直线PA的方程为y＝eq\f(y0－2,x0)x＋2，令y＝0得Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x0,2－y0)，0)).直线PB的方程为y＝eq\f(y0,x0－2)(x－2)，令x＝0得Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2y0,2－x0))).所以|AN|·|BM|＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(2y0,2－x0)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(2x0,2－y0)))＝4＋4eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(y0,x0－2)＋\f(x0,y0－2)＋\f(x0y0,（x0－2）（y0－2）)))＝4＋4×eq\f(yeq\o\al(2,0)－2y0＋xeq\o\al(2,0)－2x0＋x0y0,（x0－2）（y0－2）)＝4＋4×eq\f(4－2y0－2x0＋x0y0,（x0－2）（y0－2）)＝4＋4×eq\f(4－2y0－2x0＋x0y0,4－2y0－2x0＋x0y0)＝8，综上，|AN|·|BM|为定值8.eq\a\vs4\al()讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．[对点训练]1．自圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一点P(x，y)引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为()A．8x－6y－21＝0 B．8x＋6y－21＝0C．6x＋8y－21＝0 D．6x－8y－21＝0解析：选D.由题意得，圆心C的坐标为(3，－4)，半径r＝2，如图．因为|PQ|＝|PO|，且PQ⊥CQ，所以|PO|2＋r2＝|PC|2，所以x2＋y2＋4＝(x－3)2＋(y＋4)2，即6x－8y－21＝0，所以点P的轨迹方程为6x－8y－21＝0，故选D.2．(2019·江苏南师大附中期中改编)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C过点A(0，－8)，且与圆x2＋y2－6x－6y＝0相切于原点，则圆C的方程为________________，圆C被x轴截得的弦长为________________．解析：将已知圆化为标准式得(x－3)2＋(y－3)2＝18，圆心为(3，3)，半径为3eq\r(2).由于两个圆相切于原点，圆心连线过切点，故圆C的圆心在直线y＝x上．由于圆C过点(0，0)，(0，－8)，所以圆心又在直线y＝－4上．联立y＝x和y＝－4，得圆心C的坐标(－4，－4)．又因为点(－4，－4)到原点的距离为4eq\r(2)，所以圆C的方程为(x＋4)2＋(y＋4)2＝32，即x2＋y2＋8x＋8y＝0.圆心C到x轴距离为4，则圆C被x轴截得的弦长为2×eq\r(（4\r(2)）2－42)＝8.答案：x2＋y2＋8x＋8y＝083．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C与y轴相切，且过点M(1，eq\r(3))，N(1，－eq\r(3))．(1)求圆C的方程；(2)已知直线l与圆C交于A，B两点，且直线OA与直线OB的斜率之积为－2.求证：直线l恒过定点，并求出定点的坐标．解：(1)因为圆C过点M(1，eq\r(3))，N(1，－eq\r(3))，所以圆心C在线段MN的垂直平分线上，即在x轴上，故设圆心为C(a，0)，易知a>0，又圆C与y轴相切，所以圆C的半径r＝a，所以圆C的方程为(x－a)2＋y2＝a2.因为点M(1，eq\r(3))在圆C上，所以(1－a)2＋(eq\r(3))2＝a2，解得a＝2.所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4.(2)记直线OA的斜率为k(k≠0)，则其方程为y＝kx.联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x－2）2＋y2＝4，,y＝kx，))消去y，得(k2＋1)x2－4x＝0，解得x1＝0，x2＝eq\f(4,k2＋1).所以Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,k2＋1)，\f(4k,k2＋1))).由k·kOB＝－2，得kOB＝－eq\f(2,k)，直线OB的方程为y＝－eq\f(2,k)x，在点A的坐标中用－eq\f(2,k)代替k，得Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4k2,k2＋4)，\f(－8k,k2＋4))).当直线l的斜率不存在时，eq\f(4,k2＋1)＝eq\f(4k2,k2＋4)，得k2＝2，此时直线l的方程为x＝eq\f(4,3).当直线l的斜率存在时，eq\f(4,k2＋1)≠eq\f(4k2,k2＋4)，即k2≠2.则直线l的斜率为eq\f(\f(4k,k2＋1)－\f(－8k,k2＋4),\f(4,k2＋1)－\f(4k2,k2＋4))＝eq\f(4k（k2＋4）＋8k（k2＋1）,4（k2＋4）－4k2（k2＋1）)＝eq\f(3k（k2＋2）,4－k4)＝eq\f(3k,2－k2).故直线l的方程为y－eq\f(4k,k2＋1)＝eq\f(3k,2－k2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(4,k2＋1))).即y＝eq\f(3k,2－k2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(4,3)))，所以直线l过定点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，0)).综上，直线l恒过定点，定点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，0)).一、选择题1．已知直线l1过点(－2，0)且倾斜角为30°，直线l2过点(2，0)且与直线l1垂直，则直线l1与直线l2的交点坐标为()A．(3，eq\r(3)) B．(2，eq\r(3))C．(1，eq\r(3)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(3),2)))解析：选C.直线l1的斜率k1＝tan30°＝eq\f(\r(3),3)，因为直线l2与直线l1垂直，所以直线l2的斜率k2＝－eq\f(1,k1)＝－eq\r(3)，所以直线l1的方程为y＝eq\f(\r(3),3)(x＋2)，直线l2的方程为y＝－eq\r(3)(x－2)，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(\r(3),3)（x＋2），,y＝－\r(3)（x－2），))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝\r(3)，))即直线l1与直线l2的交点坐标为(1，eq\r(3))．2．圆C与x轴相切于T(1，0)，与y轴正半轴交于A、B两点，且|AB|＝2，则圆C的标准方程为()A．(x－1)2＋(y－eq\r(2))2＝2B．(x－1)2＋(y－2)2＝2C．(x＋1)2＋(y＋eq\r(2))2＝4D．(x－1)2＋(y－eq\r(2))2＝4解析：选A.由题意得，圆C的半径为eq\r(1＋1)＝eq\r(2)，圆心坐标为(1，eq\r(2))，所以圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－eq\r(2))2＝2，故选A.3．已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2eq\r(2)，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是()A．内切 B．相交C．外切 D．相离解析：选B.圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)可化为x2＋(y－a)2＝a2，由题意，M(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝eq\f(a,\r(2))，所以a2＝eq\f(a2,2)＋2，解得a＝2.所以圆M：x2＋(y－2)2＝4，所以两圆的圆心距为eq\r(2)，半径和为3，半径差为1，故两圆相交．4．(多选)直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－1＝0有两个不同的交点的一个充分不必要条件是()A．0<m<1 B．m<1C．－2<m<1 D．－3<m<1解析：选AC.圆x2＋y2－2x－1＝0的圆心为(1，0)，半径为eq\r(2).因为直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－1＝0有两个不同的交点，所以直线与圆相交，因此圆心到直线的距离d＝eq\f(|1＋m|,\r(1＋1))<eq\r(2)，所以|1＋m|<2，解得－3<m<1，求其充分不必要条件，即求其真子集，故由选项易得AC符合，故选AC.5．在平面直角坐标系内，过定点P的直线l：ax＋y－1＝0与过定点Q的直线m：x－ay＋3＝0相交于点M，则|MP|2＋|MQ|2＝()A．eq\f(\r(10),2) B．eq\r(10)C．5 D．10解析：选D.由题意知P(0，1)，Q(－3，0)，因为过定点P的直线ax＋y－1＝0与过定点Q的直线x－ay＋3＝0垂直，所以MP⊥MQ，所以|MP|2＋|MQ|2＝|PQ|2＝9＋1＝10，故选D.6．(一题多解)(2019·潍坊模拟)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线x－ky＋1＝0与圆C：x2＋y2＝4相交于A，B两点，eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))，若点M在圆C上，则实数k的值为()A．－2 B．－1C．0 D．1解析：选C.法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－ky＋1＝0，,x2＋y2＝4))得(k2＋1)y2－2ky－3＝0，则Δ＝4k2＋12(k2＋1)>0，y1＋y2＝eq\f(2k,k2＋1)，x1＋x2＝k(y1＋y2)－2＝－eq\f(2,k2＋1)，因为eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))，故Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,k2＋1)，\f(2k,k2＋1)))，又点M在圆C上，故eq\f(4,（k2＋1）2)＋eq\f(4k2,（k2＋1）2)＝4，解得k＝0.法二：由直线与圆相交于A，B两点，eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))，且点M在圆C上，得圆心C(0，0)到直线x－ky＋1＝0的距离为半径的一半，为1，即d＝eq\f(1,\r(1＋k2))＝1，解得k＝0.二、填空题7．过点(eq\r(2)，0)引直线l与曲线y＝eq\r(1－x2)相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于________．解析：令P(eq\r(2)，0)，如图，易知|OA|＝|OB|＝1，所以S△AOB＝eq\f(1,2)|OA|·|OB|·sin∠AOB＝eq\f(1,2)sin∠AOB≤eq\f(1,2)，当∠AOB＝90°时，△AOB的面积取得最大值，此时过点O作OH⊥AB于点H，则|OH|＝eq\f(\r(2),2)，于是sin∠OPH＝eq\f(|OH|,|OP|)＝eq\f(\f(\r(2),2),\r(2))＝eq\f(1,2)，易知∠OPH为锐角，所以∠OPH＝30°，则直线AB的倾斜角为150°，故直线AB的斜率为tan150°＝－eq\f(\r(3),3).答案：－eq\f(\r(3),3)8．已知圆O：x2＋y2＝4到直线l：x＋y＝a的距离等于1的点至少有2个，则实数a的取值范围为________．解析：由圆的方程可知圆心为(0，0)，半径为2.因为圆O到直线l的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线l的距离d<r＋1＝2＋1，即d＝eq\f(|－a|,\r(12＋12))＝eq\f(|a|,\r(2))<3，解得a∈(－3eq\r(2)，3eq\r(2))．答案：(－3eq\r(2)，3eq\r(2))9．(2019·高考浙江卷)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________．解析：法一：设过点A(－2，－1)且与直线2x－y＋3＝0垂直的直线方程为l：x＋2y＋t＝0，所以－2－2＋t＝0，所以t＝4，所以l：x＋2y＋4＝0.令x＝0，得m＝－2，则r＝eq\r(（－2－0）2＋（－1＋2）2)＝eq\r(5).法二：因为直线2x－y＋3＝0与以点(0，m)为圆心的圆相切，且切点为A(－2，－1)，所以eq\f(m＋1,0－（－2）)×2＝－1，所以m＝－2，r＝eq\r(（－2－0）2＋（－1＋2）2)＝eq\r(5).答案：－2eq\r(5)三、解答题10．已知点M(－1，0)，N(1，0)，曲线E上任意一点到点M的距离均是到点N的距离的eq\r(3)倍．(1)求曲线E的方程；(2)已知m≠0，设直线l1：x－my－1＝0交曲线E于A，C两点，直线l2：mx＋y－m＝0交曲线E于B，D两点．当CD的斜率为－1时，求直线CD的方程．解：(1)设曲线E上任意一点的坐标为(x，y)，由题意得eq\r(（x＋1）2＋y2)＝eq\r(3)·eq\r(（x－1）2＋y2)，整理得x2＋y2－4x＋1＝0，即(x－2)2＋y2＝3为所求．(2)由题意知l1⊥l2，且两条直线均恒过点N(1，0)．设曲线E的圆心为E，则E(2，0)，设线段CD的中点为P，连接EP，ED，NP，则直线EP：y＝x－2.设直线CD：y＝－x＋t，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x－2，,y＝－x＋t，))解得点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t＋2,2)，\f(t－2,2)))，由圆的几何性质，知|NP|＝eq\f(1,2)|CD|＝eq\r(|ED|2－|EP|