新高考数学二轮复习考点归纳与演练专题4-3 三角函数与解三角形典型大题归类（含解析）

专题4-3三角函数与解三角形典型大题归类目录TOC\o"1-1"\h\u专题4-3三角函数与解三角形典型大题归类 1 1题型一：三角形中线问题 11、向量化(三角形中线问题） 4题型二：三角形角平分线问题 9核心技巧2：等面积法(使用频率最高） 13题型三：三角形周长（边长）（定值，最值，范围问题） 22核心技巧1：基本不等式（无约束条件的三角形） 25题型四：三角形面积（定值，最值，范围问题） 28题型五：四边形问题 38. 46题型一：三角形中线问题【典例分析】例题1．（2022·河北张家口·高三期中）已知SKIPIF1<0的内角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求角SKIPIF1<0的大小；(2)若SKIPIF1<0边上中线长为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面积．【答案】(1)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【详解】（1）由题知，SKIPIF1<0，所以由正弦定理得SKIPIF1<0，因为在三角形中SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（2）由（1）得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0边上中线长为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0中点为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0例题2．（2022·广东·广州市协和中学高一期中）已知函数SKIPIF1<0．(1)求函数SKIPIF1<0的单调递增区间；(2)在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分别是角SKIPIF1<0的对边，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上一点，满足SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中线，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的周长．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(1)SKIPIF1<0；令SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的单调递增区间为SKIPIF1<0.(2)由（1）知：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0；在SKIPIF1<0中，由余弦定理得：SKIPIF1<0；在SKIPIF1<0中，由余弦定理得：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；在SKIPIF1<0中，由余弦定理得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的周长为SKIPIF1<0.【提分秘籍】1、向量化(三角形中线问题）如图在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0(此秘籍在解决三角形中线问题时，高效便捷）2、角互补SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【变式演练】1．（2022·北京市十一学校高三阶段练习）SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0；(2)记SKIPIF1<0边上的中线为SKIPIF1<0．求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的长度．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）依题意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）由三角形的面积公式得SKIPIF1<0，由余弦定理得SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0两边平方并化简得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.2．（2022·新疆·兵团第一师高级中学高三阶段练习（理））已知SKIPIF1<0中，内角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所对的边分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0(1)求SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0边上的中线长为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面积．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0（1）由已知得：SKIPIF1<0，由正弦定理可化为：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由余弦定理知SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．（2）设SKIPIF1<0边上的中线为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0①又SKIPIF1<0，由余弦定理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0②由①②得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．3．（2022·广东广雅中学高三阶段练习）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0边上的中线长为SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的值；(2)求SKIPIF1<0的面积.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0（1）因为SKIPIF1<0，由正弦定理得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）记SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由余弦定理可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.4．（2022·全国·高三专题练习）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0(1)求角A的大小(2)若BC边上的中线SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的周长【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0.（1）由已知SKIPIF1<0，由正弦定理得：SKIPIF1<0，由余弦定理得：SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；（2）由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0①，由（1）知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0②，在SKIPIF1<0中，由余弦定理得：SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理得：SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0③，由①②③，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的周长SKIPIF1<0.题型二：三角形角平分线问题【典例分析】例题1．（2022·辽宁沈阳·高一期末）在SKIPIF1<0中，内角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所对的边分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)求角SKIPIF1<0的大小；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的内角平分线交边SKIPIF1<0于点D，求SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(1)∵SKIPIF1<0由正弦定理得SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0

∵SKIPIF1<0

∴SKIPIF1<0(2)方法一：∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0方法二：在△ABD中，由正弦定理，SKIPIF1<0在△ADC中，由正弦定理，SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0方法三：在△ABC中，由余弦定理：SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0在△ABD中，由正弦定理，SKIPIF1<0在△ADC中，由正弦定理，SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0在△ADC中，由余弦定理：SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0

即SKIPIF1<0

解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0在△ABC中，由余弦定理：SKIPIF1<0，∴C是钝角在△ADC中SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0例题2．（2022·山西·高一阶段练习）在SKIPIF1<0中，内角SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)求角SKIPIF1<0的大小，(2)若SKIPIF1<0，角SKIPIF1<0的角平分线交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面积．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(1)解：因为SKIPIF1<0，由三角函数的基本关系式，可得由正弦定理和SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又由正弦定理得SKIPIF1<0，由余弦定理得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.(2)解：由SKIPIF1<0的角平分线SKIPIF1<0将SKIPIF1<0分为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，如图所示，可得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），所以SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0.【提分秘籍】角平分线如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，角SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0所对的边分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0核心技巧1：内角平分线定理：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0核心技巧2：等面积法(使用频率最高）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0核心技巧3：边与面积的比值：SKIPIF1<0核心技巧4：角互补：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中有：SKIPIF1<0;在SKIPIF1<0中有：SKIPIF1<0【变式演练】1．（2022·北京师范大学第三附属中学模拟预测）已知SKIPIF1<0的内角SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的值;(2)给出以下三个条件:条件①:SKIPIF1<0;条件②:SKIPIF1<0,SKIPIF1<0;条件③:SKIPIF1<0.这三个条件中仅有两个正确,请选出正确的条件并回答下面的问题:（i）求SKIPIF1<0的值;（ii）求SKIPIF1<0的角平分线SKIPIF1<0的长.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)①③正确,（i）SKIPIF1<0;（ii）SKIPIF1<0【详解】（1）解:由题意知SKIPIF1<0SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0;（2）由（1）得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,故条件②不成立,即条件①③正确,在SKIPIF1<0中,由余弦定理可得:SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,对于条件①:SKIPIF1<0,与上式结合可得SKIPIF1<0,对于条件③:SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,将SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0可得:SKIPIF1<0,（i）在SKIPIF1<0中,由正弦定理可得:SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,（ii）SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的角平分线,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,在SKIPIF1<0中,由余弦定理可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0.综上:条件①③正确,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.2．（2022·广东·模拟预测）SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长度；(2)若SKIPIF1<0为角平分线，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面积.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0.（2）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.3．（2022·湖南·长沙一中高二期中）在锐角SKIPIF1<0中，内角SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0(1)求角C的大小；(2)若SKIPIF1<0，角A与角B的内角平分线相交于点D，求SKIPIF1<0面积的取值范围.【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0.【详解】（1）∵SKIPIF1<0，由正弦定理可得,SKIPIF1<0，整理可得：SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0,又因为锐角SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；（2）由题意可知SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由正弦定理可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0即SKIPIF1<0面积的取值范围为SKIPIF1<0.4．（2022·黑龙江·哈九中高三阶段练习）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0．(1)求函数SKIPIF1<0的最小正周期；(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠ACB的角平分线交AB于点D，若SKIPIF1<0恰好为函数SKIPIF1<0的最大值，且此时SKIPIF1<0，求3a＋4b的最小值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0的最小正周期SKIPIF1<0.（2）由（1）可知SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最大值为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0分别到SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，等号成立，故SKIPIF1<0最小值为SKIPIF1<0.5．（2022·黑龙江·铁人中学高三阶段练习）在SKIPIF1<0中，内角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所对的边长分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0.(1)求角SKIPIF1<0；(2)角SKIPIF1<0的内角平分线交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0（1）由正弦定理及切化弦可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又由余弦定理得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（负值舍去），则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，显然当SKIPIF1<0或12时，SKIPIF1<0的值相同，不妨设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由正弦定理得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.6．（2022·江苏淮安·模拟预测）在△ABC中，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tanBSKIPIF1<0(1)若SKIPIF1<0，求tanC的值：(2)已知中线AM交BC于M，角平分线AN交BC于N，且SKIPIF1<0求△ABC的面积．【答案】(1)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0.(1)因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或sinSKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．(2)∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由角平分线定理可知，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．题型三：三角形周长（边长）（定值，最值，范围问题）【典例分析】例题1．（2022·新疆·克拉玛依市高级中学高一阶段练习）设向量SKIPIF1<0，在三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的对边，且SKIPIF1<0．(1)求角SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，边长SKIPIF1<0，求三角形SKIPIF1<0的周长SKIPIF1<0的值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)6【详解】（1）由已知可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．（2）由题意可知SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由余弦定理可知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故周长为SKIPIF1<0．例题2．（2022·全国·模拟预测）在①SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0，③SKIPIF1<0且SKIPIF1<0这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.在SKIPIF1<0中，内角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，______.(1)求证：SKIPIF1<0是等腰三角形；(2)若SKIPIF1<0为边SKIPIF1<0的中点，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0周长的最大值.【答案】(1)条件选择见解析，证明见解析(2)SKIPIF1<0【详解】（1）方案一：选条件①.由SKIPIF1<0及正弦定理，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（不合题意，舍去），故△ABC是等腰三角形.方案二：选条件②.由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由正弦定理，得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以△ABC为等腰三角形.方案三：选条件③.由SKIPIF1<0及正弦定理，得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以△ABC为等腰三角形.（2）由（1）知，△ABC为等腰三角形，且SKIPIF1<0.在△ABD中，由余弦定理，得SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0.设△ABC的周长为l，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时取等号，所以△ABC周长的最大值SKIPIF1<0.例题3．（2022·山东·新泰市第一中学北校高三期中）SKIPIF1<0的内角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0为锐角三角形，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0周长的取值范围.【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0.【详解】（1）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，由正弦定理得：SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，由余弦定理得：SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）由（1）知，SKIPIF1<0，由正弦定理得：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，在锐角SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，于是得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0周长的取值范围是SKIPIF1<0.【提分秘籍】核心技巧1：基本不等式（无约束条件的三角形）利用基本不等式SKIPIF1<0，在结合余弦定理求周长取值范围；核心技巧2：利用正弦定理化角（受约束的三角形，如：锐角三角形）利用正弦定理SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代入周长（边长）公式，化角，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求周长（边长）的取值范围.【变式演练】1．（2022·河南省淮阳中学模拟预测（理））已知在SKIPIF1<0中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0为直角三角形；(2)若SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的周长．【答案】(1)证明见解析(2)SKIPIF1<0（1）由SKIPIF1<0及正弦定理，得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，由余弦定理，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为直角的直角三角形．（2）由SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，结合余弦定理，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的周长为SKIPIF1<0．2．（2022·宁夏六盘山高级中学高三期中（文））SKIPIF1<0三角形的内角SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(1)求SKIPIF1<0；(2)已知SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0周长的最大值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)18【详解】（1）由SKIPIF1<0，根据正弦定理，可得SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，由余弦定理，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.（2）由（1）可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0周长SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时等号成立3．（2022·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为锐角△SKIPIF1<0三个内角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的对边，记三角形的面积为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0.(1)求角SKIPIF1<0的大小；(2)若SKIPIF1<0，试求△SKIPIF1<0周长的取值范围．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）由余弦定理SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵三角形面积SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.∴角SKIPIF1<0的大小为SKIPIF1<0.（2）由正弦定理及（1）得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0在锐角△SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0综上SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴△SKIPIF1<0周长的取值范围为SKIPIF1<0.题型四：三角形面积（定值，最值，范围问题）【典例分析】例题1．（2022·江苏·苏州中学高三阶段练习）记SKIPIF1<0的内角SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面积．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）解：因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.（2）解：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，化简整理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0.例题2．（2022·江西·上高二中高二阶段练习（文））在SKIPIF1<0中，内角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所对的边分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．已知SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0面积的最大值．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0．【详解】（1）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，由余弦定理SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，由正弦定理得：SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（2）由（1）知SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号，于是得SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0面积取得最大值SKIPIF1<0．例题3．（2022·湖北·华中师大一附中高三期中）在锐角SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所对的边分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的取值范围；(2)若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0边上的一点，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0面积的最大值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）因为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，整理得到：SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0为三角形内角，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0为锐角三角形内角，故SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,因为三角形为锐角三角形，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.（2）由题设可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，整理得到：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，整理得到：SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时等号成立，故SKIPIF1<0.故三角形面积的最大值为SKIPIF1<0.例题4．（2022·陕西·汉阴县第二高级中学一模（理））已知SKIPIF1<0中，内角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所对的边分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0外接圆的面积；(2)若SKIPIF1<0为锐角三角形，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0面积的取值范围.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）由题知：SKIPIF1<0，由正弦定理可化为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由余弦定理知SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0外接圆的半径为R，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0外接圆的面积为SKIPIF1<0.（2）由（1）知：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为锐角三角形，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又由正弦定理SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0面积的取值范围是SKIPIF1<0.【提分秘籍】常用的三角形面积公式（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0（两边夹一角）；核心秘籍1、基本不等式①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0核心秘籍2：利用正弦定理化角（如求三角形面积取值范围，优先考虑化角求范围）利用正弦定理SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代入面积公式，化角，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求面积的取值范围.【变式演练】1．（2022·江西·高三阶段练习（文））已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，且SKIPIF1<0．(1)求角C的大小；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求△ABC的面积．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）由SKIPIF1<0及正弦定理，所以SKIPIF1<0，由正弦定理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由余弦定理，得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．（2）由余弦定理SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.2．（2022·全国·模拟预测）在锐角SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为内角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的对边，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求角SKIPIF1<0的大小；(2)求SKIPIF1<0面积的取值范围.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）由SKIPIF1<0,根据余弦定理可得SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，由正弦定理SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为锐角三角形，所以SKIPIF1<0.（2）由SKIPIF1<0.由正弦定理得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为锐角三角形，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0面积的取值范围为SKIPIF1<0.3．（2022·广东·恩平黄冈实验中学高二阶段练习）在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0所对的边分别为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面积的最大值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又在SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0