高等数学练习题附答案

第一章自测题一、填空题（每小题3分，共18分）1..2..3.已知，其中为常数，则，.4.若在上连续，则.5.曲线的水平渐近线是，铅直渐近线是.6.曲线的斜渐近线方程为.二、单项选择题（每小题3分，共18分）1.“对任意给定的，总存在整数，当时，恒有”是数列收敛于的.A.充分条件但非必要条件B.必要条件但非充分条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件2.设，则.A.B.C.D.3.下列各式中正确的是.A．B.C.D.4.设时，与是等价无穷小，则正整数.A.1B.2C.3D.45.曲线.A.没有渐近线B.仅有水平渐近线C.仅有铅直渐近线D.既有水平渐近线又有铅直渐近线6．下列函数在给定区间上无界的是.A.B.C.D.三、求下列极限（每小题5分，共35分）1.2．3.4．5.设函数，求.6．7．四、确定下列极限中含有的参数（每小题5分，共10分）1.2．五、讨论函数在处的连续性，若不连续，指出该间断点的类型.（本题6分）六、设，求的间断点并判定类型.（本题7分）七、设在上连续，且.证明：一定存在一点，使得.（本题6分）第二章自测题一、填空题（每小题3分，共18分）1.设在可导，且，则.2.设，则.3..4.设，其中可导，则.5.设，则.6.曲线在点的切线方程为.二、单项选择题（每小题3分，共15分）1.下列函数中，在处可导的是.A.B.C.D.2.设在处可导，且，则.A.B.C.D.3.设函数在区间内有定义，若当时恒有，则是的.A.间断点B.连续而不可导的点C.可导的点，且D.可导的点，且4.设，则在处的导数.A.B.C.D.不存在5.设函数可导，当自变量在处取得增量时，相应的函数增量的线性主部为，则.A.B.C.D.三、解答题（共67分）1.求下列函数的导数（每小题4分，共16分）(1)(2)(3)(4)2.求下列函数的微分（每小题4分，共12分）(1)(2)(3)3.求下列函数的二阶导数（每小题5分，共10分）（1）（2）4.设在可导，试求与.（本题6分）5.设，求.（本题6分）6.设函数由方程所确定，求.（本题6分）7.设由参数方程，求.（本题6分）8.求曲线在处的切线方程和法线方程.（本题5分）第三章自测题填空题（每小题3分，共15分）1.若均为常数，则.2..3..4.曲线的凹区间，凸区间为.5.若，则在点处取得极小值.二、单项选择题（每小题3分，共12分）1.设为方程的两根，在上连续，内可导，则在内.A.只有一个实根B.至少有一个实根C.没有实根D.至少有两个实根2.设在处连续，在的某去心邻域内可导，且时，，则是.A.极小值B.极大值C.为的驻点D.不是的极值点3.设具有二阶连续导数，且，，则.A.是的极大值B.是的极小值C．是曲线的拐点D．不是的极值，不是曲线的拐点4.设连续，且，则，使.A.在内单调增加.B.在内单调减少.C.，有D.，有.三、解答题(共73分)1.已知函数在上连续，内可导，且，证明在内至少存在一点使得.（本题6分）2.证明下列不等式（每小题9分，共18分）（1）当时，.（2）当时，.3.求下列函数的极限（每小题8分，共24分）（1）（2）（3）4.求下列函数的极值（每小题6分，共12分）（1）（2）5.求的极值点、单调区间、凹凸区间和拐点.（本题6分）6.证明方程只有一个实根.（本题7分）第一章自测题一、填空题（每小题3分，共18分）1.2.3.，4.5.水平渐近线是，铅直渐近线是6.二、单项选择题（每小题3分，共18分）1.C2.D3.D4.A5.D6．C三、求下列极限（每小题5分，共35分）解：1..2．.3.，又.4．.5..6．，，所以，原式.7．.四、确定下列极限中含有的参数（每小题5分，共10分）解：1.据题意设，则，令得，令得，故．2．左边，右边故，则．五、解：，故在处不连续，所以为得第一类（可去）间断点．六、解：，而，故，都是的间断点，，故为的第一类（可去）间断点，均为的第二类间断点．七、证明：设，显然在上连续，而，，，故由零点定理知：一定存在一点，使，即．第二章自测题一、填空题（每小题3分，共18分）1.2.3.4.5.6.或二、单项选择题（每小题3分，共15分）1.D2.A3.C4.D5.D三、解答题（共67分）解：1.(1).(2).(3).(4)两边取对数得，两边求导数得，.2.求下列函数的微分（每小题4分，共12分）(1).(2).(3).3.求下列函数的二阶导数（每小题5分，共10分）（1），.（2），.4.首先在处连续，故，故，其次，，，由于在处可导，故，故，.5.，，故，由于在，时均可导，故.6.方程可变形为，两边求微分得，故.7.，.8.，故.当时，.故曲线在处的切线方程为，即，法线方程为，即.第三章自测题填空题（每小题3分，共15分）1．2．3．4.，5.二、单项选择题（每小题3分，共12分）1．B2．A3．B，提示：由题意得，，当时，；即当时，，当时，，从而在取得极小值4.C，提示：由定义，由极限的保号性得，当时，，即三、解答题(共73分)证明：1.令，则在上连续，内可导，且；由罗尔定理知，至少存在一点，使得，故，即．2.（1）令，则在区间上满足拉格朗日中值定理的条件．由拉格朗日中值定理得，至少存在一点，使得即，又，得到，从而．（2）令，则，从而当时单调递增，即，故；令，则，即当时单调递减，即，故；从而当时，．解：3.（1）.（2）.（3）.4.⑴函数的定义域为；，令得驻点，不可导点；当时，；当时，；当时，；当时，