学习数学模型的感受

学习数学模型的感受一转眼就大三了，在数学科学学院已经度过了三年的光阴了，也学习了专业必修、专业选修有十几门课了，例如，数学分析，实变函数这类基础数学学科，还有矩阵论初步，运筹学这列统计数学类学科，但对于我们所学专业“数学与应用数学”中的“应用数学”类学科接触的就比较少，而“数学模型”就是一门典型的用用数学学科。学习了数学模型，给与我的第一个收获就是，对于问题的全面分析能力，所谓“全面”，对于一些问题的条件，变量全面的限定，也就是“建模假设”就拿上课讲的一个例子来说，“双层玻璃的功效”如图所示：两层厚度为d的玻璃家这一层厚度为l的空气，这样是为了保暖，即减少室内向室外的热量流失，我们要建立来描述热量通过窗户的窜到过程，并讲双层玻璃窗御用同样的单层玻璃窗，如图所示，玻璃厚度为2d的热量传导进行对比。对于这个问题，我们在建立模型之前首先要进行建模问题假设，而在我认为这类数学模型的建模假设最重要的变量的设定。就这道题来说，要假设热量的传播过程只有传到，没有对流，而且要假定传呼的莫风行良好，两层玻璃之间的空气是不流动的；假设室内温度为T1，室外温度为T2，且室外温度保持不变。且假设热量传导过程为稳定状态，即沿热量传导方向，单位时间通过单位面积的热量为常数；假设玻璃材料均匀，热传导系数为常数。这类实际问题的研究对生活有很大帮助，而这些条件的确定也也是对于生活质量的保证。例如l与d分别取多少热的传导最小，也就是保温效果最好的条件。学习“数学模型”给予我的第二个收获就是锻炼了思维的逻辑性而且使我们分析问提的严谨性。用一个例子，例如，过滤嘴的作用与它的材料和长度有什么关系；人体吸入的毒物量与哪些因素有关，其中哪些因素影响大，哪些因素影响小。模型假设：1）l1~烟草长，l2~过滤嘴长，l=l1+l2，毒物量M均匀分布，密度w0=M/l12）点燃处毒物随烟雾进入空气和沿香烟穿行的数量比是a´:a,a´+a=13）未点燃的烟草和过滤嘴对随烟雾穿行的毒物的(单位时间)吸收率分别是b和b4）烟雾沿香烟穿行速度是常数v，燃烧速度是常数u，v>>u问题的假设锻炼的是全面的分析能力，而提升分析能力严谨性能力的步骤也就是下一步，定性分析（1）（2）（3）这个步骤要求模型建立者根据上一步“模型假设”，通过分析确定上一步假设所的变量的各种变化引发结果的如何变化，这就锻炼了模型建立者思维的严谨性，就比如以上式子（1），B，l2的增加同时M，a,v的减少才会导致Q的减少，如果思维不严谨，分析的不透彻多算或者少算一个或几个变量都会引起对下一步的影响，从而影响整个模型的建立。所以建立数学模型能很好的锻炼思维的严谨性。学习数学模型给我的第三个收获，也是最大的一个收获就是，能帮助我解决一些生活中我所关心的问题。就比如说女人永远的问题——减肥问题。下面就减肥问题建立一个模型具体说明一下。问题的提出：随着社会的进步和发展，人们的生活水平不断提高。由于饮食营养摄入量的不断改善和提高，“肥胖”已经成为全社会关注的一个重要问题。无论从健康角度还是从审美角度，人们越来越重视自己形体的健美，从而就导致目前社会上出现了各种各样的减肥食品（或营养素）、减肥饮料、减肥服装、减肥药和名目繁多的健美中心，让人目不暇接，不知所措，上当受骗者也不在少数.以至各种媒体经常提醒人们减肥一定要慎重，如何对待减肥是我们一定要正确对待的问题，于是了解减肥的机理成为减肥的关键。此外，对于从事某些体育项目的运动员（例如：举重、体操、游泳等）来说，在比赛前也有都一个正确减肥的问题。问题分析与模型假设人体的脂肪是存储和提供能量的主要方式，而且也是减肥的主要目标。对于一个成年人来说体重主要有三部分组成：骨骼、水和脂肪。骨骼和水大体上可以认为是不变的，我们不妨以人体脂肪的重量作为体重的标志。已知脂肪的能量转换率为100%，每千克脂肪可以转换为4.2*10^7J的能量。记D=4.2*10^7J/kg，成为脂肪的能量转换系数。人的体重仅仅看成是时间t的函数w(t)，而与其它因素无关，这意味着在研究减肥过程中，我们忽略了个体的差异(年龄、性别、健康状况等)对减肥的影响。体重随时间是连续变化的，即w(t)是连续函数且充分光滑，因此可以认为能量的摄取和消耗是随时发生的。不同的活动对能量的消耗是不同的，例如：踢足球和打羽毛球；而且能量的消耗与体重有关，例如：体重分别为50kg和100kg的人都跑1000m，所耗的能量显然不同。可见，活动对能量的消耗也不是一个简单的问题，但考虑到减肥的人会为自己制定一个合理且相对稳定的减肥计划，我们可以假设在单位时间(1日)内人体活动所消耗的能量与其体重成正比，记B为每1kg体重每天因活动所消耗的能量。单位时间内人体用于基础代谢和食物特殊动力作用所消耗的能量成正比于人的体重。记C为1kg体重每天消耗的能量。减肥者一般对自己的饮食有相对严格的控制，在本问题中，为简单计，我们可以假设人体每天摄入的能量是一定的，记为A。考虑区间内能量的改变，根据能量守恒定律有由积分中值定理有其中所以有取取极限得，（*）这就是在一定花间层次上的减肥数学模型，我们知道模型的某些假设不十分合理，但我们希望求解模型（*），下面继续求解。模型的求解当t=0为模型的初始时刻，这是人的体重为w(0)=w0,接下来用积分法求解（*）式，两边同乘得，进一步得下一步从0到t积分，并利用初始值w(0)=w0得，下面进行模型的分析与修改推广：1）a/b是模型中的一个重要参数。A=A/D是每天由于能量的摄入而增加的体重。b=(B+C)/D是每天由于能量的消耗而失去的体重。2)假设a=0,即停止进食，无任何能量摄入，体重的变化（减少）完全是脂肪的消耗而产生。此时，不进食的节食减肥法是很危险的。因为limw(t)=0，即体重（脂肪）都消耗尽了，如何能活命！实际上，媒体报道过很多例子，都是产生厌食症从而身体抵抗力减弱，导致其它并发疾病而死亡。当a=0时，由解式得，，这表明在【0,t】内，体重减少的百分比率为，称之为[0，t]内的消耗量率。特别的，是单位时间内体重的消耗率，从而可以推出e^(-bt)=w(t)/w0为[0,t]内体重保存率，它表明t时刻体重占初始体重的百分率。基于上面的分析，又解式可知，t时刻的体重由两部分组成：一部分是初始体重中由于能量消耗而被保存下来的部分，另一部分是摄取能量而获得的补充量，这一解释从直观上理解也是合理的。（3）另外，对于此模型容易证明，当且仅当w*<w0时有dw/dt<0，这表明w*<w0时才可能产生减肥效果。由解式，limw(t)=a/b=A/(B+C)=w*，所以得到（*）为最终减肥指标。到这里减肥的数学模型就已建立完成。这个模型能够运用数学的方式直观的向我们展示出如何减肥是有效果的，而且是无害的。数学模型不仅仅对我们的生活有帮助，而且对于生产以及经济的发展也有很大的帮助。就比如我们所学的“奶制品的生产与销售”这一模型，就是从企业以及消费者的双重利益来出发，在工厂级，从企业外部需求和内部设备、人力原料等条件，以最大利润为目标指定产品生产计划