广东省揭阳市惠来县第一中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题

2023—2024学年度上学期惠来一中高一级期中考数学科试题考试范围：人教A版2019必修第一册第一章、第二章、第三章满分：150时间：120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．函数的定义域为（

）A．B．C．D．2．已知实数x，y，则“”是“”的（

）A．必要不充分条件 B．充要条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件3．下列各组函数表示相同函数的是（

）A．和 B．和C．和 D．和4.已知实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（）A. B. C. D.5．已知函数，则的最小值为（

）A．－3 B． C．－2 D．6．已知幂函数且，则下列选项中正确的是（

）A． B．C． D．7.已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.8．若函数在时，函数值的取值区间恰为，则称为的一个“倍倒域区间”.定义在上的奇函数，当时，，则在区间内的“8倍倒域区间”为（

）A． B． C． D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.下列命题中是假命题的是（）A．函数的图象是一条直线 B．是函数C．函数的图象与直线的交点最多有1个D．与是同一个函数10.设，，，则下列说法正确的是（）A.ab的最大值为B.的最大值为C.的最小值为9D.的最小值为11．定义在上的函数满足，当时，，则函数满足（

）A．B．为奇函数C．在上单调递增D．的解集为12．已知定义域为的函数，若对任意，存在正数，都有成立，则称函数是定义域为上的“有界函数”．已知下列函数：（1）；（2）；（3）；（4）．其中“有界函数”是（

）A．（1） B．（2） C．（3） D．（4）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.用列举法表示a∈14．不等式对一切实数x都成立，则实数k的取值范围为15.为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水，实行“阶梯水价”.计算方法如表：若某户居民本月交纳的水费为90元，则此户居民本月用水量为16．设矩形的周长为20，把三角形沿向三角形折叠，折过去后交于点P（如图所示），则三角形的面积的最大值为．四、解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.（本小题共10分）设全集，集合，集合．（1）若，求与；（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．18．（本小题共12分）（1）已知关于的不等式的解集为，求函数在区间上的最小值和最大值；（2）解关于x的不等式.19.（本小题共12分）已知函数（1）求的值；（2）请在答题卡给定的坐标系中画出此函数的图象，并根据图象直接写出函数的定义域、值域、单调递增区间、单调递减区间；（3）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，的图象与的图象相同，试求出函数在上的解析式．20．（本小题共12分）已知函数是定义在上的函数．(1)判断函数的奇偶性并给出证明；(2)证明：函数在区间上单调递增；(3)若，求实数的取值范围．21．（本小题共12分）某企业开发、生产了一款新型节能环保产品，对市场需求调研后，决定提高产品的产量，投入90万元安装了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前n年（）的材料费、维修费、人工工资等共万元，每年的销售收入为55万元，设使用该设备前n年的总盈利额为万元.（1）写出关于的函数关系式，并计算该设备从第几年开始使企业盈利；（2）使用若干年后，对该设备的处理方案有两种：方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以10万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以50万元的价格处理.问选择哪种处理方案更合适？请说明理由.22．（本小题共12分）已知二次函数的最小值为1，且.求的解析式；若在区间上不单调，求实数的取值范围；当时，恒成立，求实数的取值范围.2023—2024学年度上学期惠来一中高一级期中考数学科参考答案1．C【详解】要使函数有意义，则，解得且，因此，函数的定义域为.2．B【详解】因为函数在R上单调递增，由，有，可得；由，可得，即．则“”是“”的充要条件．3．C【详解】根据函数的定义域及对应法则判断是否为同一函数即可.对于A中，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数；对于B中，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数；对于C中，函数与的定义域和对应法则都相同，所以表示相同的函数；对于D中函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数.4.【答案】D【解析】由数轴知，不妨取，对于A，，不成立.对于B，，不成立.对于C，，不成立.对于D，，因此成立.5.【答案】A【详解】时，，∴时，，时，，当且仅当时等号成立，又，所以，6．C【详解】因为，所以在上单调递增，又因为，所以，所以7.【答案】C【分析】根据在上的单调递减，可以列出相应的不等式方程组，计算求解即可.【解析】在上单调递减，，解得，8.【答案】D【详解】因为为定义在上的奇函数，所以，所以.因为当时，，所以当时，，所以，则当时，单调递减，设，由，得，解得，所以在区间内的“8倍倒域区间”为9.ABD【解析】函数的图象是由离散的点（整点，横坐标和纵坐标都是整数）组成的，A错，要使与有意义，则，无解，∴不是函数，B错；由函数定义：定义域上任意自变量对应唯一函数值，定义域外没有对应函数值，故函数的图象与直线的交点最多有1个，C对；=x（x≠0），g（x）=x（x∈R）的定义域不同，不是同一函数，D错．10.【答案】AC【分析】利用基本不等式证明选项AC正确，D错误；利用不等式可证明选项B错误.【解析】因为，，，则，当且仅当时取等号，所以选项A正确；因为，故，当且仅当时取等号,即最小值，所以选项B错误；，当且仅当且即，时取等号，所以选项C正确；，故，当且仅当时取等号，即最大值，所以选项D错误11．ABD【详解】由题意，定义在上的函数满足，对于A，令，则，即，故A正确；对于B，令，则，即，所以为奇函数，故B正确；对于C，任取，且，则，因为，所以，所以，即，所以函数在上单调递减，故C错误；对于D，由，可得，由C知函数在上单调递减，所以，解得，所以的解集为，故D正确12.【答案】BC【解析】对于（1）：，由于，所以，，不存在正数，使得成立，不满足题意；故不是有界函数；对于（2）令，，则，因为，当时，函数的最大值为，所以，即，，为有界函数；对于（3）令，当时，函数有最小值，即，所以，所以，故函数为有界函数；对于（4）令，，则，即，，当时，，无最小值，即，，此时不存在正数，都有成立，故该函数不是有界函数13.【答案】2,3,4,7【解析】1或2或3或6，解得714．【答案】【解析】由不等式对一切实数都成立，可得即或②k=0,-38<015.【答案】【解析】设用水量为立方米，水价为元，则，整理得到：，当时，；时，；故某户居民本月交纳的水费为90元，则用水量大于18立方米，令，则（立方米）16.【答案】【详解】由题意可设翻折后B点的位置为,因为矩形周长为20，设，则，由翻折可知，即有,而,故，,设，则，在中，由勾股定理得：，则，，即，，则，，当且仅当时取等号，，即三角形的面积的最大值为17.【分析】（1）熟练运用集合的运算即可；（2）根据给定条件，转化成集合的真包含关系，列出不等式求解作答.【解析】（1）当时，………2分由于………………3分则………………5分（2）由“”是“”的充分不必要条件，得………6分又由于，，【写法一】因此或………9分解得，所以实数的取值范围为.……10分【写法二】此时，解得，………8分解得，把代入检验，此时，满足，则满足题意，…………9分所以实数的取值范围为..……10分【写法三】此时（等号不能同时取到），解得（等号不能同时取到）……………9分解得，所以实数的取值范围为..……10分注1：第（2）小问用【写法二】，没检验，扣1分；注2：第（2）小问用【写法三】，没说等号不能同时取到，扣1分.18.【分析】（1）通过根与系数的关系求出，再由二次函数的单调性求出函数在上的最小值和最大值；（2）根据一元二次方程两根的大小分类讨论进行求解即可.【解析】（1）由题意，的两个根为，，则………………1分解得………………3分则，的对称轴为，则在上单调递增，则，………………5分（2）由，得..……………6分①当，即时，则；.……………7分②当，即时，，不等式无解；.……………9分③当，即时，则..……………11分综上所述，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为..……………12分注1：第（1）求出对称轴为，可以给1分；注2：第（2）小问分类讨论，求对1个给2分，求对3个给6分；注3：第（2）小问，综上所述得1分.19.【分析】（1）根据分段函数解析式直接代入求值即可；（2）直接利用解析式画分段函数图象，由图得函数的定义域和值域；（3）运用奇函数的性质，设、代、替换，求出的解析式.【解析】（1）因为，所以．………2分（2）由题可作图如下：………………4分函数的定义域为…………5分值域为………6分单调递增区间为，单调递减区间为，，……………7分（3）由题意，当时，…8分当时，则......................9分是上的奇函数，则......................10分，令，可得.........................11分综上，函数的解析式为：...........................12分注1：写成同样给分；注2：没考虑定义域，解析式写成扣1分.20.【分析】（1）利用奇函数的判断方法求证；（2）利用单调性的定义，结合作差法即可证明；（3）利用奇函数的性质得到，再利用（2）中结论去掉即可求解；特别强调，去掉时要注意定义域的范围.【解析】（1）判断：是奇函数，理由如下：由于的定义域为，关于原点对称……………1分……………3分则是奇函数……………4分（2），且，……5分有，………………7分，，，即，所以函数在区间上单调递增.……………8分（3）因为为奇函数，所以由，得，………9分又因为函数在区间上单调递增，所以，………10分解得，故，所以实数的取值范围是……………12分注1：能说出函数是奇函数给1分；注2：定义域为，关于原点对称，改写为，，同样给1分.21.【解析】（1），……………2分当时，即时，………………3分解得，……………5分所以设备从第3年开始盈利.……………6分(2)方案一：总盈利额，当时，，……7分所以方案一总利润为万元，此时………………8分方案二：每年平均利润为…10分当且仅当时，等号成立.所以方案二总利润为，此时…11分比较两种方案，获利都是170万元，但由于第一种方案需要10年，而第二种方案需要6年，故选择第二种方案更合适.………………12分注1：，中漏写只得1分；注2：第（2）小问中方案一2分，方案二3分，方案比较1分.注3：对于运用求解第(1)问，求解正确同样给分.22.【解析】（1）【解法一】根据题意，二次函数满足，可得函数的对称轴为……1分因为函数的最小值为，可设，……2分又因为，可得，解得，…………4分所以函数的解析式为.……5分【解法二】设……1分则，解得…………4分则的解析式为.……5分【解法三】设……1分则，解得…………4分则的解析式为.……5分（2）解：由函数，其对称轴为，要使得函数在区间上不单调，则满足，……………6分解，即实数a的取值范围为……