2023-2024学年江苏省如皋市石庄镇初级中学九年级上学期第一次学情监测数学试卷（含解析）

2023-2024学年江苏省如皋市石庄镇初级中学九年级上学期第一次学情监测数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列函数中，是二次函数的是(

)A.y=−3x+5 B.y=2x2

C.y=(x+1)2.对于二次函数y=−4x+62−5的图象，下列说法正确的是

(

)A.图象与y轴交点的坐标是0,5 B.对称轴是直线x=6

C.顶点坐标为−6,5 D.当x<−6时，y随x的增大而增大3.将抛物线y=2x2向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到的抛物线是(

)A.y=2x−22+3 B.y=2x−22−34.若函数y=kx2−4x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是

(

)A.k≤4 B.k≥4 C.k>4且k≠0 D.k≤4且k≠05.若2,5，6,5是抛物线y=ax2+bx+c上的两个点，则它的对称轴是

(

)A.x=1 B.x=2 C.x=3 D.x=46.如图是一次函数y=kx+b的图象，则二次函数y=kx2+bx+2的图象可能为(

)

A. B. C. D.7.如图是四个二次函数的图象，则a、b、c、d的大小关系为(

)

A.d<c<a<b B.d<c<b<a C.c<d<a<b D.c<d<b<a8.已知实心球运动的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系是y=−(x−1)2+4，则该同学此次投掷实心球的成绩是

(

)

A.2m B.3m C.3.5m D.4m9.二次函数y=−x2+mx的图象如图，对称轴为直线x=2，关于x的一元二次方程−x2+mx−t=0(t为实数)在1<x<5的范围内有解，则t的取值范围是

A.t>−5 B.−5<t<3 C.3<t≤4 D.−5<t≤410.下表记录了二次函数y=ax2+bx+2a≠0中两个变量x与y的5x…−5xx13…y…m020m…根据表中信息，当−52<x<0时，直线y=k与该二次函数图象有两个公共点，则k．A.76<k<2 B.76<k≤2 C.二、填空题（本大题共8小题，共24分）11.抛物线y=x2−2x−3的对称轴是直线____12.二次函数y=x2−b+2x+b的顶点在y轴上，则13.已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=4，点A(1,y1)、B(3,y2)都在该抛物线上，那么y1_____y214.是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2m，水面宽4m.如图建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是_______．

15.如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c<0的解集是16.二次函数y=x2−2x+1在−5≤x≤3范围内的最大值为__17.已知y关于x的二次函数y=−x2+m−1x+m，无论m取何值，函数图象恒过定点A，则点A18.实数a，b满足a2+b2−2a=0，则4a+三、解答题（本大题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19.(本小题8.0分)已知二次函数y=x

(1)完成下表，并在方格纸中画该函数的图象；x…−10123…y……(2)根据图象，完成下列填空：①当x>1时，y随x的增大而___________②当y<0时，x的取值范围是____________20.(本小题8.0分)已知二次函数的图象经过点0,3、−3,0、2,−5，且与x轴交于A、B两点．(1)试确定该二次函数的解析式；(2)判定点P−2,3是否在这个图象上，并说明理由；21.(本小题8.0分)已知抛物线y=x(1)求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点；(2)若此抛物线与直线y=x−3m+3的一个交点在y轴上，求m的值．22.(本小题8.0分)如图，现打算用60m的篱笆围成一个“日”字形菜园ABCD(含隔离栏EF)，菜园的一面靠墙MN，墙MN可利用的长度为39m.(篱笆的宽度忽略不计)(1)菜园面积可能为252m2吗？若可能，求边长(2)因场地限制，菜园的宽度AB不能超过8m，求该菜园面积的最大值．23.(本小题8.0分)如图，抛物线y=x2−2x+c与x轴正半轴、y轴负半轴分别相交于点A、B，且OA=OB(1)求抛物线的解析式及点G的坐标；(2)点M、N为抛物线上两点(点M在点N的左侧)，且到对称轴的距离分别为3个单位长度和4个单位长度，点Q为抛物线上点M，N之间(不含点M、N)的一个动点，直接写出点Q的纵坐标yQ的取值范围．24.(本小题8.0分)某汽车4S店销售A，B两种型号的轿车，具体信息如下表：每辆进价(万元)每辆售价(万元)每季度销量(辆)A60x−x+100B50y−2y+150(注：厂家要求4S店每季度B型轿车的销量是A型轿车销量的2倍．)根据以上信息解答下列问题：(1)用含x的代数式表示y；(2)今年第三季度该4S店销售A，B两种型号轿车的利润恰好相同(利润不为0)，试求x的值；(3)求该4S店第四季度销售这两种轿车能获得的最大利润．25.(本小题8.0分)如图，已知抛物线与x轴交于A1,0和B−5,0两点，与y轴交于点C.直线y=−3x+3过抛物线的顶点(1)求抛物线的函数解析式；(2)若直线x=m−5<m<0与抛物线交于点E，与直线BC交于点F①当EF取得最大值时，求m的值和EF的最大值；②当▵EFC是等腰三角形时，求点E的坐标．26.(本小题8.0分)规定：Px1,y1，Qx2(1)函数①y1=x，②y2=2x+1，(2)若点C−5,y1，D1,y2为二次函数y=ax2+bx+c(3)若点F1,m，G3,n在函数y=ax2+bx+ca>0图象上，且m<n≤c，设该函数图象上点F的“平行点”H的横坐标为答案和解析1.【答案】B

【解析】【分析】根据二次函数的定义逐个判断即可．【详解】解：A.函数是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；B.函数是二次函数，故本选项符合题意；C.y=(x+1)D.函数不是二次函数，故本选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义是解此题的关键，形如y=ax2+bx+c(a、b、c2.【答案】D

【解析】【分析】根据抛物线的性质由a=−4得到图象开口向下，当x=0时，可求图像与y轴的交点，根据顶点式得到顶点坐标为−6,−5，对称轴为直线x=−6，从而可判断抛物线增减性．【详解】解：对于二次函数y=−4x+6当x=0时，y=−149，图像与y轴交点坐标为0,−149，A选项说法不正确；抛物线对称轴为直线x=−6，B选项说法不正确；抛物线顶点坐标为−6,−5，C选项说法不正确；∵a=−4<0，∴图像开口向下，当x<−6时，y随x的增大而增大，D选项说法正确．故选：D．【点睛】本题考查二次函数图像性质，解题的关键是掌握相关性质，利用数形结合思想．3.【答案】C

【解析】【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律．【详解】解：将抛物线y=2x2向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到故得到抛物线的解析式为y=2(x+2)故选C．【点睛】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．4.【答案】A

【解析】【分析】分k=0和k≠0两种情况分类讨论，k≠0时，利用Δ≥0进行求解即可．【详解】当k=0，y=−4x+1与x轴有一个交点；当k≠0，由题意得：Δ=16−4k≥0，解得：k≤4，综上：k≤4时，函数y=kx2−4x+1故选A．【点睛】本题考查函数图象与x的交点情况．注意二次项的系数是否为零，当函数为二次函数时，利用判别式来确定图象与交点的个数问题．5.【答案】D

【解析】【分析】根据抛物线的对称性可知，对称轴即为与x轴的两点交点横坐标的平均数．【详解】解：∵2,5，6,5两点是抛物线与x∴抛物线的对称轴为x=2+6故选：D．【点睛】本题考查了抛物线的对称性，对称轴的求法．抛物线是关于对称轴成轴对称图形．6.【答案】C

【解析】【分析】先根据一次函数图象确定k>0,b>0，进而确定二次函数开口向上，对称轴在y轴左侧，由此即可得到答案．【详解】解：∵一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限且与y轴交于y轴的正半轴，∴k>0,b>0，∴二次函数y=kx∵二次函数的对称轴为直线x=−b∴二次函数的对称轴在y轴左侧，∴四个选项中只有C选项中的函数图象符合题意，故选C．【点睛】本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象综合判断，正确求出k>0,b>0是解题的关键．7.【答案】B

【解析】【分析】设x=1，函数值分别等于二次项系数，根据图象，比较各对应点纵坐标的大小．【详解】解：∵直线x=1与四条抛物线的交点从上到下依次为1,a，1,b，1,c，1,d，∴a>b>c>d，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，采用了取特殊点的方法，比较字母系数的大小是解题的关键．8.【答案】B

【解析】【分析】由题意知，该运动员此次掷铅球的成绩就是抛物线与x轴交点的横坐标，因此令y=0，解一元二次方程即可．【详解】解：令y=0，则：−(x−1)解得：x=−1(舍去)，x=3，则该运动员此次掷铅球的成绩是3m，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的联系在实际生活中的应用，理解题意是关键．9.【答案】D

【解析】【分析】如图，关于x的一元二次方程−x2+mx−t=0的解就是抛物线y=−【详解】解：如图，关于x的一元二次方程−x2+mx−t=0的解就是抛物线y=−x2∴y=−x当x=1时，y=3，当x=5时，y=−5，由图象可知关于x的一元二次方程−x2+mx−t=0(t为实数)直线y=t在直线y=−5和直线y=4之间包括直线y=4，∴−5<t≤4．故选：D．【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、一元二次方程等知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题，画出图象是解决问题的关键，属于中考选择题中的压轴题．10.【答案】C

【解析】【分析】根据表中数据得出对称轴x=−1，进而得到抛物线与x轴的交点，利用交点式得到y=ax+3x−1，从而得到二次函数表达式为y=−23x2−【详解】解：由−5,m、3,m可得抛物线对称轴又由x1,0、1,0以及对称轴∴−3,0、1,0∵y=ax+3x−1=ax2+2x−3=a∴二次函数表达式为y=−2∴当x=−52时，当x=0时，y=2；当x=−1时，y=−2∵76<2<83∴2<k<8故选：C【点睛】本题考查二次函数图像与性质，掌握二次函数表达式的求法是解决问题的关键．11.【答案】x=1

【解析】【分析】利用顶点坐标公式，可求顶点横坐标，即为对称轴．也可以利用配方法求对称轴．【详解】解：方法1：利用公式法y=ax2+bx+c的顶点坐标公式为−方法2：利用配方法y=x2−2x−3=故答案为：x=1．【点睛】本题主要考查求抛物线的顶点坐标、对称轴及最值，通常有两种方法：(1)公式法；(2)配方法，掌握以上知识的运用是解题的关键．12.【答案】−2

【解析】【分析】根据二次函数的顶点坐标公式结合y轴上点的横坐标为0求解即可．【详解】解：∵二次函数y=x2−∴b+22=0故答案为：−2．【点睛】本题考查了二次函数的顶点坐标公式和y轴上点的坐标特点，熟记二次函数的顶点坐标公式是解题的关键．13.【答案】>

【解析】【分析】因为抛物线的对称轴为直线x=4，根据二次函数的性质即可判断y1【详解】解：抛物线y=x2+bx+c∴当x<4时，y随x的增大而减小，∵1<3<4，∴y故答案为：>．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．14.【答案】y=−1【解析】【分析】设抛物线的关系式为y=ax2a≠0【详解】解：设抛物线的关系式为y=ax由题意可知，抛物线过点2,−2，∴−2=4a，解得：a=−1∴抛物线的关系式为y=−1故答案为：y=−1【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解题关键．15.【答案】x<−1或x>5

【解析】【分析】由图象判断x=2是对称轴，与x轴一个交点是5,0，则另一个交点−1,0，结合函数图象即可求解ax【详解】解：由图象可知二次函数的对称轴是直线x=2，与x轴一个交点坐标5,0，由函数的对称性可得，与x轴另一个交点是−1,0，∴ax2+bx+c<0的解集为x<−1故答案为：x<−1或x>5．【点睛】本题考查二次函数图象的应用；能够根据二次函数图象特点求出函数与x轴的两个交点，数形结合解不等式是解题的关键．16.【答案】36

【解析】【分析】把函数解析式整理成顶点式解析式的形式，然后根据二次函数的最值问题解答．【详解】解：∵y=x∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，∴离对称轴越远函数值越大，∵−5离对称轴x=1的距离远，当x=−5时，有最大值为：y=36，故答案为：36．【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，把函数解析式转化为顶点式形式是解题的关键．17.【答案】−1,0

【解析】【分析】将抛物线整理成y=−x2+m−1x+m=m【详解】解：∵y=−x∴当x+1=0时，无论m取何值，函数图象恒过定点，此时x=−1，y=0，即定点A的坐标为−1,0；故答案为：−1,0．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点，掌握求解的方法是关键．18.【答案】8

【解析】【分析】根据条件变形为b2=2a−a2，确定出a的取值范围，将【详解】∵a∴a−12+b∴b∵b∴1−a−1∴0≤a≤2，∴4a+b∵−1<0，∴当a<3时，式子的值随a的增大而增大，∴当a=2时，4a+b2的最大值为故答案为8．【点睛】本题考查代数式的最值问题，将代数式变形，利用完全平方公式配方，利用非负数的性质是解题关键．19.【答案】(1)见解析；(2)①增大；②−1<x<3．

【解析】【分析】(1)分别将x的值代入函数解析式求出y值，再描点，连线作出图象；(2)观察图象，当x>1时，y随x的增大而增大，当y<0时，函数图象在x轴下方，即可得x的取值范围．【详解】(1)解：分别将x=−1，0，1，2，3代入y=x2−2x−3得y=0，−3，−4，−3如图，故答案为：0，−3，−4，−3，0；(2)观察图象，当x>1时，y随x的增大而增大，当y<0时，函数图象在x轴下方，即−1<x<3．故答案为：①增大；②−1<x<3．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．20.【答案】(1)y=−(2)点P−2,3

【解析】【分析】(1)设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，将点0,3、−3,0(2)代入x=−2，求出y值，将其与3比较即可．【详解】(1)解：设二次函数的解析式为y=ax将点0,3、−3,0、2,−5代入，可得：3=c解得a=−1∴二次函数的解析式为y=−x(2)解：当x=−2时，y=−−2∴点P−2,3【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的特征，熟练用待定系数法求二次函数解析式是解题的关键．21.【答案】(1)证明见解析；(2)m的值为−3或1．

【解析】【分析】(1)先求得△的值，然后证明△>0即可；(2)依据此抛物线与直线y=x−3m+3的一个交点在y轴上可得到m2−m=−3m+3，然后解关于【详解】解：(1)令y=0得：x∵△=(2m−1∴方程①有两个不等的实数根，∴原抛物线与x轴有两个不同的交点；(2)令：x=0，根据题意有：m2整理得：m解得m=−3或m=1．【点睛】本题主要考查的是抛物线与x轴的交点，依据此抛物线与直线y=x−3m+3的一个交点在y轴上得到关于m的方程是解题的关键．22.【答案】(1)可能；AB的长为14；理由见解析(2)288

【解析】【分析】(1)根据题意，设AB长为xm，则BC长为60−3xm(2)由(1)设AB长为xm，则BC长为60−3xm，根据题中条件得到7≤x≤8，从而得到菜园面积S=x【详解】(1)解：可能．理由如下：设AB长为xm，则BC长为60−3xm∴x60−3x=252，解得x=6或当x=6时，BC=60−18=42>39，不合题意，舍去；当x=14时，BC=60−42=18<29，符合题意；(2)解：由(1)知，设AB长为xm，则BC长为60−3xm∴x≤860−3x≤39，解得令菜园面积为S，则S=x60−3x即S是关于x的二次函数，其图像开口向下，对称轴为x=10，∴当7≤x≤8时，面积S随x的增大而增大，∴当x=8时，面积S的最大值为8×60−3×8【点睛】本题考查一元二次方程及二次函数解是解决问题的，读懂题意，找准题中描述的关系得到相应方程及函数表达式是解决问题的关键．23.【答案】(1)y=x2(2)−4≤yQ

【解析】【分析】(1)由OA=OB可得A−c,0，将A点代入y=x2−2x+c，可求得c的值，即求得了抛物线解析式，再根据顶点坐标公式(2)由M、N到对称轴的距离分别为3个单位长度和4个单位长度，可找到点M、N的横坐标，即可求得点M、N的坐标，再根据点M在点N的左侧分类讨论yQ【详解】(1)解：由题可得B点坐标为0,c，OB=c，∵OA=OB，∴A−c,0将A点代入y=x2−2x+c解得c1=0或∵抛物线y=x2−2x+c与y∴c=−3，∴y=x∴G1,−4(2)解：∵M到对称轴的距离为3个单位，∴xM=1−3=−1∴M−2,5或M∵点N到对称轴的距离为4个单位，∴xN=1−4=−3∴N−3,12或N若M−2,5，N则−4≤y若M4,5，N则5<y【点睛】本题考查了求二次函数的解析式、顶点坐标公式以及求二次函数的函数值的取值范围，解决本题的关键是熟练掌握相关知识点并能利用分类讨论的思想解决数学问题．24.【答案】(1)y=x−25(2)90(3)675万元

【解析】【分析】(1)根据4S店每季度B型轿车的销量是A型轿车销量的2倍列出等量关系，化简即可；(2)根据该4S店销售A，B两种型号轿车的利润恰好相同列出方程，解方程求出的解满足利润不为0；(3)设该4S店第四季度销售这两种轿车能获得的利润为w万元，根据总利润等于销售A，B两种车的利润之和列出函数解析式，再根据函数的性质求最值即可．【详解】(1)解：根据题意得：−2y+150=2−x+100整理得：y=x−25；(2)解：根据题意得：x−60−x+100由(1)知，y=x−25，∴x−60整理得：x2解得x1∵x=100时利润为0，∴x的值为90；(3)解：设该4S店第四季度销售这两种轿车能获得的利润为w万元，则w===−3=−3x−85∵−3<0，∴当x=85时，w有最大值，最大值为675，答：该4S店第四季度销售这两种轿车能获得的最大利润为675万元．【点睛】本题考查二次函数和一元二次方程的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式或一元二次方程．25.【答案】(1)y=−(2)①当m=−52时，EF有最大值，最大值为254；②−3,8

【解析】【分析】(1)利用待定系数法求解即可；(2)①先求出C0,5，进而求出直线BC的解析式为y=x+5，则Em,−m2−4m+5,Fm,m+5，进一步求出EF=−m+522+254，由此即可利用二次函数的性质求出答案；②设直线x=m与x轴交于H，先证明▵BHF是等腰直角三角形，得到【详解】(1)解：∵抛物线与x轴交于A1,0和B∴抛物线对称轴为直线x=−5+1在y=−3x+3中，当x=−2时，y=9，∴抛物线顶点P的坐标为−2,9，设抛物线解析式为y=ax+2∴a1+2∴a=−1，∴抛物线解析式为y=−(2)解：①∵抛物线解析式为y=−x2−4x+5，点C∴C0,5设直线BC的解析式为y=kx+b∴∴∴直线BC的解析式为y=x+5，∵直线x=m−5<m<0与抛物线交于点E，与直线BC交于点∴Em,−∴EF=−=−=−m+∵−1<0，∴当m=−52时，EF有最大值，最大值为②设直线x=m与x轴交于H，∴BH=m+5，HF=m+5，∴BH=HF，∴▵BHF是等腰直角三角形，∴∠EFC=∠BFH=45如图3−1所示，当EC=FC时，过点C作CG⊥EF于G，则G∴点G为EF的中点，由(2)得Em,−∴−∴m解得m=−3或m=0(舍去)，∴E−3,8如图3−2所示，当