2021年沪教版数学必修二同步第13讲 向量的应用（讲义）学生版

第13讲向量的应用

知识梳理

1、平面向量分解定理：

如果4,怎是同一平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的任意向量3有且只有一

对实数4，冬，使我们把不平行的向量Z，,叫做这一平面内所有向量的一

组基.

注意：

（1）基底不共线；

（2）将任一向量7在给出基底H的条件下进行分解；

（3）基底给定时，分解形式唯一，4，42.是被［唯一确定的数量

几何角度证明：

如图，在平面内取一点0,作OA=a<OB=b^OC=c<再作直线0A、OB.

设点C不在直线0A和0B上，过点C分别作直线0A、0B的平行线，由于向量£石不

平行，可知所作两直线分别与直线OB、0A有唯一的交点，记为N、M.作向量而、ON.

因为丽'//£,所以存在唯一的实数工，使OM=xa.

因为丽//B，所以存在唯一的实数y,使而=仍.

而四边形OMCN是平行四边形，因此OC=OM+ON=xa+yh.

即=c=xa+yB.

如果点C在直线0A或0B上，那么£//£,或工/区.

这时得"==+或c=>5=（）。+）石.所以之关于£、b的分解式总是确定的.

代数角度：证明唯一性：

（1）当£w。时,6=o-^+o-^

e

（2）当&w0时，假设a=4e\+4e2，则有+4/=4约+办i，

（4-4）•&+（4-4）•G=0.

由于."不平行，故（4_4'）=o,（4_《）=o,即4=4'，4=41

2、重要结论

设冰砺不平行，点P在A3上o存在实数儿〃使得丽=几方+〃而

且4+〃=1（九〃£R）

证明：如图，设向量Q=〃无瓦PB=AAB,

A

o

・.•丽+丽=而n4+〃=l

丽=丽+丽=砺+〃而=OA+〃(OB-QA)砺+〃砺

=AOA+piOB【4〃的正负可以给学生讲一下】

3、平面向量和三角形四心

(1)而+而+数=6=G是A4BC的重心.

证法1：设G(x,y),A(x],必),B(X2,y2),C(x3,y3)

(XlX)+(X2X)+(X3X)=

GA+GB+GC=0^\~~~°

.(y-y)+(%-y)+(x-y)=o

x_*+%+0

一3

JoG是A48C的重心.

M+%+为

一

ry3

证法2：如图•.•而+而+岳=百+2而=6

A

AG=2GD

，A、G、。三点共线，且G分A。为2：1

/.G是AABC的重心

(2)设a",c是三角形的三条边长，/是AABC的内心6而+人拓+c7d=6=0为

△A3C的内心.

证明：valA+blB+clc=Q

(a+b+c)IA+hAB+cAC=O

—beABAC

AI=----------(——+——)

a+b+ccb

AH\r

——>—分别为AB.AC方向上的单位向量,

cb

詈Ar

丁平分NBAC,

b

IA为中NA的角平分线，

同理可证"为△/附中N8的角平分线，二为%中NA的角平分线。

.•.点/为△/!a'的内心。

(3)HAHB=HBHC=HCHA。H为坟BC的垂心.

证明：如图所示H是三角形4?。的垂心，BE垂直4C,垂直阳D、£是垂足.

OAOB=OBOC=OB(OA-OC)=ObC4=0o。8_LAC

同理苏，前，OC1AB

(4)|苏月方|=］次00为AABC的外心。

（5）四心重要的结论:

I、外心（外接圆圆心。中垂线的交点）

①.网=网=闻=/?（"为外接圆半径）.

--,——1

AOAB=-AB

②.2

—,—,1I------2

AOAC=-AC

2

■11—•-1——-

AOBC=-AC——AB

22

-*--•1I--"p1---2

推广\AO-AD=-\AB\+-AC（。为比•的中点，G为△力比■的重心）.

:4lI4

-----•------•1|[2]—2

AO-AG=-\AB\+-AC

6\I6

④.*圆心角是圆周角的两倍.

⑤.*sin2A-04+sin23.08+sin2c-0C=6

II、重心（G中线的交点）

①.GA+GB+GC^O.

②.OG=hOA+OB+OC）or~AG=\（AB.

JJ

＞

③.若A（xl,yi）,B（x2,y2\C（x3,y3）,则其重心的坐标为

G（＞+々+刍X+%+%）

I3'3『

重心分每条中线分为2：1的两短.

m、内心（内切圆圆心/角平分线的交点）

，，・，•----'

①.府=丸（/^-+/£-）（/1/0）注：工^-+工工表示为N4的角平分线.

\AB\\AC\\AB\\AC\

②.c,IC+a,IA+b'IB-0.

IV、垂心（〃角平分线的交点）

①。HAHB=HBHC=HCHA.

②.*tanA-/Z4+tan5-HB+tanC-HC=6

4、运用向量方法解决平面几何问题可以分哪几个步骤？

“三步曲”：

(D建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化

为向量问题；

(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；

(3)把运算结果“翻译”成几何关系.

例题解析

1、平面向量的分解定理

例1.［华师大二附中高二(上)期中•12］下列有关平面向量分解定理的四个命题中：

①一个平面内有且只有一对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基；

②一个平面内有无数多对不平行向量可作为表示该平面内所有向量的基；

③平面向量的基向量可能互相垂直；

④一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内三个互不平行向量的线性组合.

正确命题的个数是()

A.1B.2C.3D.4

例2［位育中学期中•13］平面内有三个向量而，03,0C,其中应与应的夹角为120。，而与

应的夹角为30°,且=|应=1,|应1=24，若&=入总十口而(入,〃6R),则4+

〃的值为___.

例3.［普陀区晋元中学期中•16］如图所示，A,B,C是圆。上的三点，线段CO的延长线与

线段的的延长线交于圆。外的点〃，若应三0应+〃宓，则勿+〃的取值范围是()

A.(0,1)B.(1,+8)C.(一8,-1)D.(-1,0)

“0

B

例4.如图，在中，AF^AB,〃为比的中点，力。与疗'交于点反若应?=a,AC^b,

O

且宓=xa+y6,贝！Jx+y=________.

例5.如图，设向量应=(3,1),应=(1,3),若比'=/应+〃应且则用阴影

表示。点所有可能的位置区域正确的是()

例6.［华师大二附中期中•18］已知材为△/1式的中线4〃的中点，过点”的直线分别交两边

AB,4c于点、P,Q,设=AQ=yAC,记y=/(x).

(1)求函数y=/(x)的表达式;

(2)求生丝的取值范围.

SMBC

例7.在AOAB中,C为OA上的一点,且祓?二£蕊&声是BC的中点,过点A的直线/〃0D,P

3

是直线，上的动点，丽二白丽子/灰则72=-

例8.给定两个长度为1的平面向量而和市，它们的夹角为90°.如图所示，点C在以。为

圆心的圆弧4?上运动.若应三x应+y应，其中“、HR,则x+y的最大值是.

例9.将一圆的六个等分点分成两组相间的三点，它们所构成的两个正三角形扣除内部六条

线段后可以形成一正六角星，如图所示的正六角星的中心为点。，其中】、亍分别为点。

到两个顶点的向量;若将点。到正六角星12个顶点的向量，都写成al+0厂的形式，则a+b

的最大值为（）

A.3B.4C.5D.6

【巩固训练】

1.［建平中学期中•6］已知直角坐标平面内的两个向量"=（1，2）、B=（，"T,m+3）使得平

面内的任意一个向量c都可以唯一分解成‘=/"+'归，则勿的取值范围是.

2.［莘庄中学等四校联考期中•10］如图，在AA8C中，D、E分别为边BC、AC的中

点.厂为边43上的点，且,月=3/，若丽=工通+旷亚，x,y&R,则x+y的值

为.

£D

3.［位育中学监控考试•11］在A48C中，AM=-AB+mAC,向量而的终点M在

△ABC的内部(不含边界)，则实数用的取值范围是—

4.若直线/上不同的三个点4B,。与直线/外一点0,使得“2，|+x应三2瓦成立，则满

足条件的实数x的集合为()

A.{-L0)B.］苧,守C.］胃1%当().{-1)

5.［普陀区晋元中学期中•16］如图，在A/WC中，AM'^-AB,AN^-AC,BN与

34

CM交于点、E，若通=*通+旷恁，则%+丁=.

6.［复旦大学附属中学期中•21］如图，数轴x，y的交点为。，夹角为6,与X轴、y轴正

向同向的单位向量分别是q.e?。由平面向量基本定理，对于平面内的任一向量0K，存在

唯一的有序实数对(X,y),使得丽=痛+y1,我们把(X,y)叫做点P在斜坐标系X。)，中

的坐标(以下各点的坐标都指在斜坐标系xOy中的坐标).

(1)若8=9()。，而为单位向量，且而与1的夹角为120。，求点P的坐标；

(2)若6=45°,点P的坐标为(1,&)，求向量而与I的夹角.

7.（1）在AOAB中，点P、。分别在。4、OB上,线段PQ过三角形4B0的重心G,

设丽=0,OB=b,0P=ma,OQ=nb,试求如士的值.

mn

（2）在AABC中，点〃是A3的中点，点N是AC上一点，且跑=,，BN与CM相

AC3

交于点E,设A月=2,AC^b,试用KB表示衣.

8.如图，在中，8。为边“'上的中线，fiG=2GO,设而〃而，AD=-AB+AAC

5

（AeR）,则义的值为

9.在直角△ABC中，NC是直角，CA=4,CB=3,AABC的内切圆交CA,CB于点D,E,点P

是图中阴影区域内的一点（不包含边界）.若方=》①+丁无，则x+y的值可以使（）

C.4D.8

10.如图所示，在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆。的半径为1,圆心在线段CO

（含端点）上运动，尸是圆。上及内部的动点，设向量质=优通+”砺（小,〃为实数）,

则m+〃的最大值为

2、平面向量与“四心”

一、单选题

例1.（2020•湖北武汉市第十一中学高一月考）已知。是△43C所在平面内的一定点,

△ABC的（）

A.内心B.外心C.重心D.垂心

例2.（2021•上海金山区•高三一模）已知△MC的外接圆圆心为。，乙4=120。，若

AO=xAB+yAC（x,>eR）,则1+>的最小值为（）

123

A.—B.-C.-D.2

232

例3.（2021•全国高三专题练习）己知。，从尸在△A6C所在平面内，且

I--*|I-――-1I*1rrr一UUUULMULOJIUUKIUUULLU1

|OA|=|C>B|=|C）C|,NA+NB+NC=b，且PA-PB=PB-PC=PC-PA，则点。，

N,〃依次是AABC的（填三角形的四心）

例4.（2021•全国高三专题练习）已知。是平面上一定点，满足

0尸=04+2(——.-------------1"-=Z---------------）,A[0,+8）,则P的轨迹一定通过AA6c的

|A8|cosB|AC|cosC€

（外心、垂心、重心、内心）

例5.（2020•上海徐汇区•位育中学高二月考）设〃是AABC的垂心，且

3而+4而+5阮=6，则cosZABC=.

例6.已知0是面a上一定点，A、B、。是面a上A48C的三个顶点，分别是边

AC,A3对应的角.

①动点一满足加=厉+而+1,则的心一定在满足条件的尸点集合

中.

——-AHAC

②动点2满足OP=Q4++—)(/1>0),则A48C的心一定在满足条件

ABAC

的产点集合中.

——ARAC

③动点P满足OP=QA+2(=----+=-----)(2>0),则A4BC的心一定在

Ai^sinBAOsinC

满足条件的一点集合中.

——ARAC

④^点P满足QP=OA+2(=-----+=-----)(2>0),则A48c的心一定在

AJHCOSBAGCOSC

满足条件的尸点集合中.

OC'ARAC

⑤动点尸满足0—P•=Q/?++4(=^—+一),2G(0,+00)则MBC的

2|AB|cosB|JC|cosC

心一定在满足条件的。点集合中.

例7.已知点。是A4BC的重心，内角A、B、。所对的边长分别为a、b、c,且

2aOA+hOB+^-cOC=6,则角C的大小是

3

例8.已知。是A45C内心，若30=24万+，A。,，贝iJcosNA4C=________.

55

►>—AA

,__..,,——►.__►、以/ADAC.-►ABAC-1„..

例9.已知非零向量9与/a黄足(---------)•於o且-----------=-,则△A/比为()

诵I\AC\\AB\|左1

A.三边均不相等的三角形B.直角三角形

C.等腰非等边三角形D.等边三角形

例10.［位育中学监控考试•21］已知A4BC中，过重心G的直线交边A3于P,交边AC

于Q,设A4PQ的面积为加，A4BC的面积为S2，AP=pPB，AQ=qQC，⑴求

__pqS,

GA+GB+GC^(2)求一工的值：(3)求营■的取值范围.

p+qs2

【巩固训练】

1.己知点0、N、P在A48C所在平面内，且|万目而|=|反NA+NB+NC=0,

万•而=而•定•莎，则点0、N、P依次是力8。的()

A.重心、外心、重心B.重心、外心、内心

C.外心、重心、重心D.外心、重心、内心

2.已知的外接圆的圆心为0,半径为1,若3而+4应+5亦=0,则△/%的面积为

3.已知A0N8中，刊=3,口目=2,“是AONB重心，且施•砺=0,则

cosZ.AOB-.

4.设6是△力比重心，且(56sinA)不+(40sin3)无+(35sinC)&<=6,则NB=

5.设4B,。为直线/上不同的三点，。为直线/外一点.若通l+g宓+康'=0(0,q,r

CR),则p+0+r=()

A.-1B.0C.1D.3

6.[上海实验学校期中・9]已知△ABC满足|丽|=3,|祝|=4,。是△ABC的外心，

AO^AAB+——AeQeR),则△ABC的面积是

2

7.(徐汇一模)己知。是锐角△ABC的外心，tanA=-,若

2

cosB-cosC.八/八»

---------AB-\-----------AC-2m-AO>则mil头数加=_________；

sinCsinB

备选题：与三角形“四心”相关的向量问题

题1：己知。是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足

———(ABACy

OP=OA+A+,2efO,+oo).则P点的轨迹一定通过△人1^的()

[\AB\\AC\)

A.外心B.内心C.重心D.垂心

题2：已知。是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足

OP=OA+A(AB+AC),2G[0,+OO).则P点的轨迹一定通过aABC的()

A.外心B.内心C.重心D.垂心

题3：已知0是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足

OP=OA+A(_—+_?C—),2e[0,+oo),则动点P的轨迹一定通过△ABC的

|A8|sinB|AC|sinC

()

A.重心B.垂心C.外心D.内心

题4：已知0是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足

—•—•ASAC

OP=OA+A(-=----------------------------),2G[0,+OO),则动点P的轨迹一定通过^

|A5|cosB|AC|cosC

ABC的()

A.重心B.垂心C.外心D.内心

题5：已知0是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足

__.OB+OCABAC

OP=----------------1-/1(^=：------------H——.---------),2e[0,-l-oo),则动点P的轨迹一定

2\AB\cosB|AC|cosC

通过aABC的()

A.重心B.垂心C.外心D.内心

题6：三个不共线的向量砺，丽，花满足砺.（怨+望尸赤.（竺+乌）=

\AB\|C4||BA|\CB\

反•（整~+-^）=0,则0点是△人8（：的（）

\BC\|CA|

A.垂心B.重心C.内心D.外心

题7：已知。是aABC所在平面上的一点，若OX+0与+反=0,则。点是AABC的

（）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

题&已知0是4ABC所在平面上的一点，若尸0=g（P4+尸方+尸Q（其中P为平面上任

意一点），则0点是△48（：的（）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

题9：已知0是aABC所在平面上的一点，若况•丽=0反定=0心•砺，则0点是△

ABC的（）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

题10：己知。为aABC所在平面内一点，满足|一『+|配旧而『+|夙|2=

\OC\2+\AB\2,则。点是△人13（：的（）

A.垂心B.重心C.内心D.外心

题11：已知。是aABC所在平面上的一点，若（次+而）•丽=（而+3）•册=

（反+况）-5=0,则。点是aABC的（）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

题12：已知0是△ABC所在平面上的一点，若4函+〃赤+C反=0,则0点是△ABC的

（）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

___npA_i_App_i_cPC

题13：已知0是aABC所在平面上的一点，若用="小十'〃"十'八（其中P是aABC

a+h+c

所在平面内任意一点），则0点是△人13（：的（）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

题14：ZXABC的外接圆的圆心为0,两边上的高的交点为H,OH=m（OA+OB+OC）,

则实数m_.

题15：已知。为AABC所在平面内一点，满足|丽—花|=|丽+阮一2函则4ABC

一定是（）

A.等腰直角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等边三角形

三、平面向量与其他模块知识综合应用

例1.函数尸sin（ox+0）在一个周期内的图象如图所示，以川分别是最高点、最低点，0

为坐标原点，且南•麻-0,则函数f（x）的最小正周期是.

例2.［华师大二附中期中・10］已知。=(1+(：05。,5111。)£=(1一(：05分,5山/?),。=(1,0)

aQ(兀2兀),。与c的夹角为4，9与c的夹角为4，且4一%二^，求

.a-P

sin----=.

2

例3.平面上O,A,B三点不共线，设况=2丽=入则△。钻的面积等于()

A.由谓、Q而B.MW+0而

C.；桐下『0/D,以郴1+6垃2

例4.［上海实验学校期中•19］对于一组向量I，(〃eN*),令

Sn=4+4+/+…+。”，如果存在

(pe{l,2,3...,〃}),使得|］|2|$；一可］,那么称羡是该向量组的“〃向量”;

(1)设a“=(〃,〃+%)(〃eN"),若。3是向量组q,4,%的“〃向量”；

(2)若礼=((-r',(-l)n)(neN*),向量组I，Z，Z，...，Z(〃eN*)是否存在“〃向量”?

给出你的结论并说明理由;

例5.[华师大二附中期中♦13]对于向量A片（产1,2,…加，把能够使得|i+AR,

1+…+1而I取到最小值的点。称为4（i=l,2,…加的“平衡点”.如图，矩形力版

的两条对角线相交于点0,延长8。至反使得6C=CE,联结4T,分别交被、CD于F、G两

点.下列结论中，正确的是（）

____________/）

A.A、C的“平衡点”必为0

B.D、C、E的“平衡点”为D、E的中点

C.A、F、G、E的“平衡点”存在且唯一