2022年高考数学解答题解法荟萃 全国乙卷

中学数学教学参考（上旬）

理科第23题（文科第23题）：已知a,均为正成立。

数，且Y+加+4d=3,证明：（尚生陈；段存仙；洪汪宝）

（I）a+〃+2c<3；证法2由（［）知a+6+2c<3,又b=2c,则a+

（n）若6=2八则上+.23。4c43。已知a,〃,c均为正数，即a>0,6>0,c>0,所

ac以0<a+4c43,即0V!（a+4c）&l。

证明：（I）证法1由算术平均数不大于平方平

所以5+十（a+4c）（《+：）=:（5+

均数知号区《产+6；+正=聘=1.即

纥粤必41,当且仅当a=6=2c=l时等号成立，所生+幺）

ac）。

以a+6+2c<3。因为a>0,c>0,所以«>0,色>0。

（洪汪宝；唐宜钟；云南师范大学数学学院段存ac

仙；陕西省延安育英中学尚生陈；四川省成都华西由均值不等式知,4X（5+"+"）》Jx（5+

3\ac/3

中学张云华）

证法2因为<?+122a（当a=l时取等号），2a）=《X（5+4）=3•当且仅当好=巴,即a=2c=

3ac

6+1226（当6=1时取等号），41+124c（当c=3

1时等号成立，所以工+工23。

ac

时取等号），各式相加得/+从+4/+322a+26+（段存仙；洪汪宝；尚生陈）

证法3当〃=2c时，a?+〃+4cz=3可化为

4c,即6>2a+26+4c,所以a+/>+2c<3（当a=1,

1+8cz=3,所以a=，3—8c2,所以工+•1=

6=1,c=｝时取等号）。ac

..1+1

（陕西省延安市吴起高级中学胡汉明）73-8c2C.

证法3因为a?+加=3-4cz.所以可设a=设«）=1•+:（0<著），

2

y/3~4ccosO.b=，3—4c?sin0o73-8?c'4'

所以a+0+2c=，3—所，cos。+，3一所?sin0+则””——七=^=史2生”

2c=〃6—8/sinR+孑）+2c<，6—8c?+2c=V^•（3—8/）A/3—8c2cc2（3—8c2）2

由/"（c）=0得c=3。

2

，3—402+1X2c&y（2+l）（3-4c+4?）=3O

当一X2c=lX，3—4/时取等号,此时c=y,

从而a=6=l.所以八c）在区间（o4）内单调递减,在区间（十,

（胡汉明；唐宜钟）

证法4令/"（2）=（a_r+l）z+（6工+1产+（2cz+呼）内单调递增。

2222

D"显然/（x）>0o则/（x）=（a+6+4c）x+

2（a+6+2c）z+3>0,所以△=4（a+b+2c）?—12（a2+所以/（c））/（/）=3,即《+!>3。

b2+4c2）&0,即（a+6+2c）2<3（a2+b2+4/）=9。

所以a+6+2c&3（当且仅当a=l,6=l,c=y（胡汉明）

时取等号）。

（唐宜钟）

（D）证法1因为a",c都是正数，且&?+〃+理科第17题：记AABC的内角A,B,C的对边分

4cz=3,6=2c,所以3=a2+4c2+4c2>3海芯丁.所

别为a,6,c,已知sinCsin（A—B）=sinBsin（C-A）o

（I）证明：2Q2=/+C2.

以16aZ/4l,所以4acZal.所以'+▲=!+《+

acaLc9R

（口）若a=5,cosA=和求△ABC的周长。

》7523开=3。

解：（I）证法1由已知得sinC（sinAcosB—

当且仅当a=l,c=^•时等号成立，所以原不等式cosAsinB）=sinB（sinCeosA—cosCsinA）,由正弦定

理得cacosB—cbcosA=IKCOSA-bacosCo

局)考频i首二zhongshucancom》2022年第7期》

★★★★★★

中学数学教学参考(上旬)

由余弦定理得四尹+".%二《=sin(C~~A)

sin(A—B)=sinBsin(C-A)可得益石

sin(A-B)

2sinCeosA-cosCsinA

2bc-"+；：一°、整理得/=〃+/—。2,故2az=由正弦定理得三

LbcsinAcosB—cosAsinB

b2+/。ccosA-acosC

整理得be,cosA-abcosC=

(陕西省延安新区高级中学张艳；四川省崇州acosB—bcosA

市崇庆中学李心军；江西省临川第一中学ac,cosB—bc*cosA,所以

袁小平；河南省扶沟县第二高级中学陈立争；陕西2bc•cosA=a(b•cosC+c•cosB)o(*)

省榆林市第三中学贺永宏；安徽省安庆市第一中学由力•cosC+c•cos3=a与2bc•cosA=62+

洪汪宝；陕西省延安育英中学尚生陈；陕西省乾/一。2.代入(*)式得b2^c2-a2=a•a,所以/+

县第一中学周牛娃，周莎；陕西省礼泉县第一中学1=2/,得证。

魏文宏,张虎；中国人民大学附属中学朝阳学校(王强善；徐永强)

刘长根；陕西省汉中市四。五学校侯有岐；四川省(U)解法1由(I)知2/=〃+/,又。=5,所

成都市成华区教育科学研究院周步俊；陕西省咸阳以川+1=50,由余弦定理及已知cosA=£，得25=

市高新-中袁战锋；安徽省青阳中学曹强；陕西

省汉中市龙岗学校巨小鹏;云南省昆明市第三中学8+.2—26cx条所以26c=31,从而〃+c=9,所以

周跃佳,李毅梅；陕西省靖边中学赵世念；陕西省榆

林市榆林高新中学徐永强)△ABC的周长为Q+6+C=14。

证法2由已知得sin(A+B)sin(A—B)=sin(C+(李心军；洪汪宝；周牛娃；周莎；冯恒仁；王炜；

A)sin(C—A),展开得sin2Acos2B—cos2Asin2B=冀建军；王有；王静；张艳；侯有岐；魏文宏；张虎；

22222周跃佳；李毅梅；郑振华；聂作庆；张发义；韩高峰)

sinCeosA-cosCsinAo根据同角关系式得sinA,

(1-sin2B)-cos2Asin2B=sin2C(1-sin2A)-解法2由余弦定理得/=〃2+02—2AcosA,

cos2Csin，A,整理得2sir?A=sin?B+sin?C,由正弦定由(I)的结论把从+/=2/代入得a2=2a2-

理得2a2=〃+/。2AccosA«即a?=26ccosA。把条件中a和cosA的值

(陈立争；贺永宏；周步俊；曹强；巨小鹏；侯有岐；代人得2A=31,再由(I)的结论可得2a2=b2+c2=

赵世念；袁小平；洪汪宝；陕西省西安市田家炳中学(b+c)2-26j把a和2bc的值代人得(6+c)2=81,即

田向红,冯恒仁；陕西延安中学刘寿才；山东省阳信〃+c=9.所以，ZXABC的周长为a+6+c=14。

县第一中学郑振华，聂作庆；山东省阳信县第二实(陈立争；贺永宏；周步俊；巨小鹏；王强善；朱益)

验中学张发义,韩高峰；陕西省绥德中学王炜；陕

解法3因为cosA=^,0VA〈7T。所以sinA=

西省洛南县西关中学冀建军；成都师范学院德阳高

级中学王强善；陕西省乾县第一中学王有,王静)r\-----rr_4T_sinA_4y/21

v1cos'A=­z-：—，所以tanA-----T-=-zz-

证法3因为A+B+C=n,所以sin(A+B)•31cosA250

sin(A-8)=sin(C+A)sin(C—A),由积化和差公式所以=/ocsinA=9•2Z>ccosA•tanA=

得9(cos213—cos2A)=-^-(cos2A—cos2C),所以

-j-•(b2+c2-a2)•tanA=-7-•(2a2-a2)•tanA=

cos2B+cos2C=2cos2A.由二倍角公式得1一44

2sin2B+l-2sin2C=2(l-2sin2A),sin*B+•tanA=9X5,X嚼所以％=

sir)2C=2sin2A.由正弦定理得2a2=624-c2.

(张艳；尚生陈；袁战锋；袁小平；洪汪宝；冀建军；

y.由余弦定理得a2=(b+c)2-2hc-2bccosA,所

安徽省桐城市第八中学朱益)

证法4由已知得sinC(sinAcosB—cosAsinB)=以5z=(6+c)z—31-31X^,从而〃+c=9,所以

sinB(sinCeosA—cosCsinA),所以sinA(sinCeosB+

cosCsinB)=2sinBsinCeosA,所以sinAsin(B+△ABC的周长为14。

C)=2sinBsinCeosA。又sinA=sin(B+C),所以(袁战锋；周跃佳；李鼓梅)

sin2A=2sinBsinCeosA。由正弦定理得.a?=2ZxcosA,理科第18题：如图1,四面

体ABCD中，ADJ_CD,AD=

又由余弦定理知2/xcos4=加+d一。2,所以2az=

If+d„CD,/ADB=/BDC,E为AC

(侯有岐；曹强；王有;王静;刘寿才；周跃佳；李毅梅)的中点。

证法5若sin(C—A)=0,则sin(A—B)=0.即(I)证明：平面BED,平

C=A=B.此时a=<»=c,结论2a2=加+。2成立；面ACD；

若sin(C-A)#0,则sin(A—B)#0,由sinC,(||)设AB=BD=2./ACB=60",点F在BD

▲

62★★★★★★局望频道7K

中学数学教学参考（上旬）

上，当aAFC的面积最小时，求CF与平面ABD所色芋面A3D的一个法向量为〃=（z2,z）,则

成的角的正弦值。n-AD=—jr+z=0,l,r-

穴取则（3,痣,3）0

解：（I）略。n•AB=-x+\/3y=0,

/）

（||）解法1如图2.过C（04谭），所以序=（14,

作CH_L平面ABD,垂足为H,又因为C（一1,0,0）,F

联结FH.则/CFH为CF与

〃・守646

平面ABD所成的角。联结y）o故cos〈”,C'F〉

•CF「㈤X7_7°

EF•由（1）知,AC_L平面BED,

因为EFU平面BED,所以

设CF与平面ABD所成的角的正弦值为。（04

AC±EF因此•EF.当EFJ_BD时,

Q所以sin9=|cos〈*洋〉|=警。故CF与

EF最小，即△AFC的面积最小。

因为△ABD9Z\CBD,所以CB=AB=2。又因

平面ABD所成的角的正弦值为

为NACB=60°,所以是等边三角形。在70

Rt/XFEC中，EF=彳,CE=1,所以CF=AF=*°（张调调；侯有岐；王炜；陈金；巨小鹏；张虎；魏文

宏；云南省曲靖市麒麟高级中学杨培绍；西北工业

大学附属中学仝玉强）

由等体积法，匕）,•=匕„，所以鼻十义痣乂

解法3如图4,在aAFC

2X1=yXyX2X^XCH.BPCH=上件。中，联结EF,过点C做AF的

垂线,垂足为G。

由（I）知，AC_LBD,作

设CF与平面ABD所成的角的正弦值为“04

EF，BD,AC与EF交于点E,

所以平面ACF。

，所以sin0=-^-a

又因为BDU平面ABD,所以平面ACF±T

面ABD.

故CF与平面ABD所成的角的正弦值为警。

因为CGJ_AF,且平面ACFC平面ABD=AF,

所以CH,平面ABD,则/HFC即为CF与平面ABD

（张发义；韩高峰；聂作庆；王炜；陈金；王有；

所成线面角。

王静；周步俊；山东省阳信县第二实验中学郑振华；因为AE=EC,且EFJ_AC,所以AF=FC。

安徽省六安市第二中学陶兴红；陕西省西安市第三

又因为AC=2,EF=与，AF=FC=¥，所以

中学第二分校李凯；陕西延安中学张调调；内蒙

古二连浩特市第一中学武丽；陕西省西安市第一中

AC•EF2721

CG=

学曾卫鹏）AF7

解法2如图3,联结所以FC与平面ABD所成角的正弦值为零

EF,由（I）知，ACJ_平面C£*

BED,因为EFU平面BED,2V2A

所以ACJ_EF,所以=7473

j-AC-EF。7°

当EFJ_BD时，EF最（侯有岐；巨小鹏；仝玉强；黑龙江省大庆市第十

小，即aAFC的面积最小。三中学陈金）

理科第20题（文科第21题）：已知椭圆E的中心

因为△ABDSZiCBD,所以CB=AB=2a

又因为NACB=60",所以AABC是等边三角为坐标原点，对称轴为工轴轴,且过A（0,—2）,

形。因为E为AC的中点，所以AE=EC=1,BE=8倍,_1）两点。

质.因为ADJ_CD,所以DE=1AC=1。在△DEB（I）求E的方程；

（n）设过点P（l,-2）的直线交E于M,N两

中，DEZ+B^nBD"所以BE1DE

O点，过M吐行主：轴的直线与线段AB交于点T,

如坐点空坐

图3.以E为标原建立间直角标系E-点H满足而;二亍声。证明：直线HN过定点。

工",则八（1,0,0）,8（0,愿，0）,。（0,0,1）,所以俞=22

解：（I）设E的方程为云+方=1,将A（0,

（-l,0,l）,AB=（-l^/3,0）1,

高蔻频道3™zhongshuconcom）2022年第7期》

★★★★★★

中学数学教学参考（上旬）

立，解得T（以含又而=宿.解得H（6+

-2）上修,一1）两点代人得，]解得Y=

3“一©，v）•则直线HN的方程为（y一竺）（6+

14a2土护1，

3V一为一&）=（V-”）（z—电）o

31=4,从而£的方程为1+[=1。将A（0,—2）代入直线HN的方程得（2+出）（6+

3yl-xi-12）=（“-y2）x2。

（陕西省西安市经开一中王瑞亮；广东省深圳又Zi=m（v+2）+l,i2=m（»2+2）+l,上式

市蛇口育才教育集团育才中学周阳；江西省兴国县化简为（4m—5）（“+”）+（Zm—3）v”+8m—

平川中学胡春燕）8=0。

（U）证法1直线HN过定点为A（0,—2）,下-8加（2加+1）,

证结论成立。将①式代人，得（47〃-5）3+462

设原坐标为（『，》'），新坐标为（工~），作平移变

（2w-3）-8（2?上2彳—1）+8加―8=0,等式成立。

换则在新坐标系下,椭圆后：《十丐金=3十4m

i»=y+2,s4所以直线HN过定点A（0,—2）。

l,A'（0,0）,P'（1,0）,B'设时（工1,“）,（唐宜钟；王瑞亮；鲁伟阳；胡春燕：安徽省扬山中

学王义；陕西省合阳县第二高级中学乔宪峰；陕

N，，？2），/"NT/=my+l。西省礼泉第一中学张西情）

x=my-}-1,证法3直线HN过定点A（0,-2）,理由如下：

联立」工2।（丁一2）2,化简得（4/+3）/+

点P（l,-2）对应的极线为与三+匕与上=

4‘

（8m—12）y+4=0,由根与系数的关系得“+“=9

1,即产（一2,即为直线AB则AP,AB；AM,

12—8m_4O

4m2+3'沙”=4而+3°

AN为调和线束。过点M作MH〃AP,交AB,AN

又直线A'N'的方程：y="工，由yH-=yi——,于点T,H,由调和性质可知，T为MH的中点。

（唐宜钟；魏文宏；周阳；鲁伟阳）

证法4设直线MN的参数方程为[L1：丁G

设线段M'H'的中点为Q,则皿='‘尸=为参数）。

设M（1+mt\2+，i）,N（l+mt,-2+上），

吟三吗故式也卢吗,2

Xo+1+ffl<1

2y2\2y2）H5,-2+4），则T（2,-2+fl）J

又A'B'的直线方程为，=等了,将Q点坐标代入

由A（0,-2）,B（9,—1）两点求出直线AB的

A'B'的直线方程中，并化简得3例北=乃北，即

（2m-3）“北+沙+?2=0，显然成立，故Q与T'重方程为,=六了-2,将点T代入直线AB的方程为

合，故直线H'N'过定点A’,所以原结论成立。

也可由点T'坐标得点H'坐标，得直线H'N'的-2+&=?X红土卡包一2,解得了。=（3一相）4一

方程，由（2m-3）“”+”+?z=。得出结论。

1,所以H（（3-m）a—1,一2+4）。将直线MN的参

（仝玉强；魏文宏；陕西延安中学鲁伟阳；陕西

数方程与椭圆E的方程联立，得（3+4/）/+（8m—

省汉中市龙岗学校楚豪；西北工业大学附中

任毂;陕西省铜川市第一中学姜峰;陕西省汉中市龙12）t+4=0,由根与系数的关系得&+4=弃舞,

岗学校唐宜钟;陕西省榆林市第十中学杨宪伟）

4

证法2由题可知过点P（l,-2）的直线MN斜率

不为0,所以可设直线MN的方程为z=m（y+2）+L

x=7n（y+2）+l,AN=（1+松2»i2）,AH=（（3—m）t\—1）o

因为（1+初上）t\~hL（3—w）Z|—1]=Zi+£2+

设M（q，M）,N（Zz，2），联立方程组”/.JT2

l7+T=1,

（2m-3""2=+（27n-3）X—~~2=。，

化简得（3+4，"2）y2+8zn（2/7i+1）jy+8（2m2+2m—3十4m3十4m

所以京〃丽7,即A,N,H三点共线，所以直线HN

1）=0。

—&〃（加+D_8（2»^+2zw-1）过定点A（0,-2）°

则M+於①

3+W'*昊3+4W2（安徽省安庆市怀宁县东升高级中学邹刘勇）

直线AB的方程为2工-3'—6=0,与>=y,联证法5猜测直线HN过椭圆的下顶点（0,—2）。

★★★★★★同琴频道4

中学数学教学参考（上旬）

验证猜想：理科第21题：已知函数/（H）=ln（l+z）+aHe\

设M（不，”），/^（4，“），当直线MN的斜率存（I）当。=1时，求曲线》=/（才）在点（0,/（0））

在时•设直线MN的方程为》=6工一万一2。处的切线方程；

将直线MN方程与椭圆方程联立得（4+3公）/一（H）若/（H）在区间（一i,o）,（o,+oo）各恰有一

6鼠&+2）X+384+4）=0,个零点,求a的取值范围。

6A&+2)_3晨什4)解：（I*=21,过程略。

故+工2=，71彳2②

4+3公一_4+3公°（II）解法1二皿=一+「!.-

好店''⑺1+工+e/d（l+_r）°

因为点T在直线AB：y=^x-2上，设T（|>,+

（1）当a20时，/（才）〉。"1）在区间（—1,0）

3,“)，则H(3“一©+6,%)。下证A,N,H三点内单调递增，/（0）=0,/（］）在区间（-1,0）内无零

点，不合题意•

共线。（ii）当.〈0,才趋于一1时,/（工）趋于-8,/（o）=

L-”+2_晨4一1）_

困为kw~6+3%—阳一3为3A—©'-0,/（工）在区间（—1,0）内只有一个零点,所以，（0）=

l+a<0即a<—1„设3（1）=《+4（1—>）,则<p（,J-）=

江匚=处至二12,要让A,N,H三点共线，即证《一2”。

12N2当a<—1,-r>0时./（工）>0.中（才）在区间（0,

（34—2）工1q—（34-■1）（z1+4）+34=0,将②式代+8）内递增,（0）=1+a<0,61）=€>0.故存在唯

人知等式成立。一的工。6（0,1）使得3工。）=0,所以/（了）在区间（0,

若直线MN的斜率不存在，易知A,N,H三点共

孔）内单调递减,在区间5,+8）内单调递增,/（.r„）<

线，即直线NH恒过点A（0,-2）。

/（0）=0.当x>l+a2时,fCr）=ln（l+N）+axer>

（浙江省杭州学军中学张玮，闻杰）

ln（l+z）+'>0,则八z）在区间（0,+8）内恰有一

文科第20题：已知函数/（T）=ax--^―（a+1）X

个零点。

Inx„当a<—1,—1<.r<0时，中'（上）在区间（—1，。）

（I）当a=0时，求—的最大值;内单调递增.中'（一1）<°，'（。）=1>0，故存在唯一

（II）若八外恰有一个零点，求a的取值范围。的4e（-i,o）使得d（B）=o,所以3工）在区间

解：（1）函数八］）的最大值为=（—1,4）内单调递减,在区间（为，0）内单调递增，

（0）由题得“外恰有一个零点等价于a（x-ln与=奴为）〈火（。）=1+”<。呼（-1）>。•故存在唯一的

.Inx+-皿6（—1,4）使得贝工2）=0,所以/“）在区间（一1，

Inx+-,BPa=——（由切线不等式知才>ln1

-工2）内单调递增，在区间（4,0）内单调递减.工趋于

JCXInx

一1时JGr）趋于一8,“亚）>/（0）=0,此时/（X）

（工>0））有且仅有一个实根，也等价于直线y=a与曲

在区间（-1,0）内恰有一个零点。

Inx+—综上所述:a的取值范围为-

线》=厂房的图像恰有一个交点。令g（z）=（仝玉强；杨宪伟；郭博；侯有岐；楚,豪；魏文宏；

张虎；唐宜钟；周牛娃；安徽省安庆市第七中学吴俊；

InxH---（a—l）f1-Inx--j

山东省肥城市第六高级中学朱万良；陕西延安中学

E（Z>。）,则g（x）=-

'出土宋晓静；陕西省靖边中学段雄伟；浙江省诸暨

中学闫二路；山东省寿光市第五中学杨守松；

令/I（H）=1--—Inx------（z>0）,则h'（工）=

XX湖北省武汉市第二中学张鹄；云南省开远市第一中

Ini-x<0恒成立，所以从工）在区间（0,+8）内单学龚敬辉；内蒙古商都高级中学何龙；新疆乌鲁

X木齐市实验学校符强如）

调递减,且/i（1）=0,则当（0,l）B^,x-l<0.解法2（i）若a20,当工>0时/（z）=ln（l+

A（x）>0；当7£（1,+8）时，z—l>0"（z）V0,即

工）十等>0,故八］）在区间（0,+8）内没有零点，不

，（幻40恒成立，则q（z）在区间（0.+8）内单调递

减。又当1-0+时，g（Z）f+8;当Zf+8时.合题意。

（ii）若aVO时,因为/（0）=0则问题等价于

Inx+--

晨外->0。所以要使直线y=a与曲线丁=厂房/（z）在区间（—1,0）,（0,+8）内各恰有一个极值点。

由八力=史士猾芥2=。得_1=勺。

的图像恰有一个交点•只需。>0,即。的取值范围为e（1十1）ae

（0,+oo）e设人（幻=勺.由，a）=士尹l=o得

（袁小平；陕西省礼泉县第一中学康锋艳）ee

zhongshucancom»2022年第7期〉记

高★★★★★★

中学数学教学参考（上旬）

T［=1—*</2,J*Z_1+A/^"O设S（z）=ln（l+z）+乩，贝ljS'（/）=

当xC（—1,1—>/2）时（z）<C0»/i（x）在区间

（Il\2o在定义域（一l，+8）

（-1.1一展）内单调递减；

当了6（1—々,0）时,，（工）>0,/1（H）在区间（1一内有S（z）>S（0）=1>0,对

&内单调递增；Vx>—1恒有"z）>0,则t（x）

在区间（-1,+8）内单调递增，

当工6（0,1+原'）时，，（工）>0,&（］）在区间（0,又/（0）=1,所以只要有一。〉1

1+9）内单调递增；