2022年高考数学真题分类汇编07：平面向量解析版

2022年高考数学真题分类汇编专题07：平面向量所以也2+产=“，将b2=1a?代入，解得ar=9,b2=8,

一、单选题故椭圆的方程为务*=1.

1.(2022,新高考回卷)已知Q=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若<a,c>=<b,c>，贝(lt=

故选：B.

()

A.-6B.-5C.5D.6

【分析】根据离心率及8]「而2=_1，解得关于22,b2的等量关系式，即可得解.

【答案】C

【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角4.(2022•全国乙卷〉已知向量a,b满足|a|=l,闻=6，|Q—2bl=3，则Q・b=()

A.-2B.-1C.1D.2

【解析】【解答】解：由已知条件可得a=(3+34),cosvd,C=cos〈b,",即9+第16

【答案】C

♦解得t=s,

【知识点】平面向量数量积的性质及其运算律

故答案为：C

[解析]【解答】解：:恒一2郎二—4,•方+阳向2,

【分析】利用向量的坐标运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求解.

又丁同=1,\b\=>/3t\a-2b\=3,

2.(2022,全国乙卷)已知向量之=Q,1),%=(—2,4)，则\a-b\=()

，9=1-4dS+4x3=13-4d-6，

A.2B.3C,4D.5

••a•b=1

【答案】D

故选：C

【知识点】向量的模；平面向量的坐标运算

【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.

22

【解析】【解答】因为a-b=(2,4)=(4,-3),所以\a-b\=J4+(-3)=5.5.(2022•北京)在AABC中，AC=3,BC=4,ZC=90°.P为△ABC所在平面内的动点，且

故选：DPC=1,则瓦？•丽的取值范围是()

【分析】先求得a-b的坐标，然后根据求模公式求解\a-b\即可.

A.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,4]D.[-4,6]

221

3.(2022•全国甲卷)已知椭圆C：3+/=l(a>b>0)的离心率为-小，A分别为的左、右顶

32C【答案】D

点，B为C的上顶点.若西.西=一1,则C的方程为()【知识点】平面向量数量积坐标表示的应用

丫2-..22i,22-,.22

A,l8+fc=1B.-v9+%-=1C,Tv+T=1D,TY+y=1【解析】【解答】以C为坐标原点建立直角坐标系，

【答案】B

【知识点】平面向量数量积的运算：平面向量数量积坐标表示的应用；椭圆的简单性质

【解析】【解答】解：因为离心率e.=]解得号=言则孑争，

记Ai,A2分别为C的左右顶点,则Ai(-a,0),A2(a,0),

又B为上顶点，所以B(0,b),

所以84]=(-a,一人)，8A2=(a，-b)，

由题意易知C(0,0),A(3,0),8(0,4),

因为点1・BA2=-1

设P(cosO,sin。),0G[0/2it\，【答案】B

—♦—♦【知识点】函数的最值及其几何意义：函数恒成立问题；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

PA-PB=(3—cosO,—sin0)•(—cos0,4—sin。)=-3cos0—4sin0+cos26+sin2。=1—5sin(0+(/>)£

【解析】【解答】设向量石，瓦夹角为0,设向量a与(A-l)eJ-Ae7的夹角为a,

34

[—4/6],《sintp=弓，cos。=耳)•

[(A-l)ej-入否]2=q_i)2_22(2-l)cos04-a2=2A2-2A+1-2A(A-l)cos0，

故答案为：D

由何一4可+(4-1)可|王,，得

【分析】先根据已知条件建立直角坐标系，设点P(cos8,sin。)，6£[0,2n],利用坐标法即可解决问题.

a2+2a[(A-1定一题+[(A-1)可一Ae；]2>,，

6.(2022.新高考13卷)在48c中，点D在边AB上，8。=2。4记入=益，&=京贝U区=()

所以引(4―1)万-AeJ|cosa+[(A-1尼-AeJ]2>0，

A.3法27B.-2^+3nC.3后+2三D.2■+3装

所以|(4一1)蒜一义瓦*IN-aCOSQ，

【答案】B

【知识点】向量加减混合运算及其几何意义：向量数乘的运算及其几何意义：向量的线性运算性质及几何意义所以l(A-l)ej-Ae；|>(-|cosa)max

【解析】【解答】解：由题意得，CB=CA+AB=CA+3AD=CA+3(CD-CA)=-2CA+3CD=-2m4-所以|(A-l)eJ-AeT|>|，

3n*

所以2乃一2/1+1-2/l(A-l)cos0>i对任意实数入都成立，

故选：B

即(2-2cos0)A2+(2cos0-2)24-1>0恒成立，

【分析】由向量的加法、减法、以及数乘运算求解即可.

7.(2022•浙江学考)已知向量五，b满足|a|=4,\b\=6,|五+向=8,则|万一山=()当2-2cos8=0,BPcos6=1,得。=0,上式恒成立，

当2-2cos6>0时，即cos0<1,A=(2cos0-2)2-3(2-2cos6)<0,

A.2B.2710C.8D.4'710

(cos。-l)(2cos0+1)<0,

【答案】B

所以得—aWcosevl，

【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的运算

【解析】【解答】:|五-犷+|五+b\=(|a|2-2|a||5|+|S|2)+(向2+2同历|+\b\)=2|a|24-2\b\,因为。W[0,河，所以OV。式竽

又Yl句=4,\b\=6,\d+b\=S综上所述，0W0W等，

\a-b\+64=2x16+2x36=104»,,|a-b|=40»••|a-b|=2>/10。所以向量W，瓦夹角的最大值是争，

故答案为：B.故答案为：B

【分析】利用已知条件结合数量积求向量的模的公式以及数量积的运算法则，进而求出而一百的值。【分析】利用已知条件结合单位向量的定义和向量共线定理，再结合数量积求向量的模的公式，再结合不等

8.(2022•浙江学考)已知单位向量瓦，及不共线，且向量a满足闷=*.若|a-Ae；+(A-l)ej|>1对式恒成立问题求解方法，再利用函数求最值的方法和向量的夹角的取值范围，进而得出向量可，瓦的夹角的取

值范围，从而得出向量可，亮夹角的最大值。

任意实数人都成立，则向量瓦，ej夹角的最大值是()

二、多选题

A.5B.孥C.即D.蓼

23469.(2022・新高考可卷)已知O为坐标原点，过抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F的直线与C交于A,B两

点，点A在第一象限，点M（p,0）,若\AF\=\AM\，则（）系

【解析】【解答】解：由题意可知：1=2p,所以抛物线C：x2=y,故C的准线为y=-1,故A错误；

A.直线AB的斜率为2eB.\OB\=\OF\

C.\AB\>4\OF\D.LOAM+LOBM<180°由产2x得曲线C在点A（L1）处的切线斜率为2,所以切线方程为y=2x-l,又直线AB为：料三界二吕，

【答案】A,C,D

即y=2x-1,故直线AB与C相切,故B正确：

【知识点】向量在几何中的应用；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系

过点B（0,/）的直线设为y=kx-l,交C于P,Q两点的坐标分别设为P（xi,yi）,Q（x2,y2）,

【解析】【解答】对于A：易得崂，0），由\AF\=\AM\可得点A在的垂直平分线上，则A点横

联立直线与C方程可得（二]=x2-kx+l=O,

坐标为攀=半，代入抛物线可得y2=2p•平=步，则似平，季）,直线的斜率为名=

AB则Xi+X2=k,X|X2=1,且4=k2-4>0,

—

42即卜2>4,贝ijyi+y2=kJ2,y】y2=l,

2V6,A符合题意；

此时IOPI•IOQI=J（*+*）（蛀+%）=Jbi+yOGz+yJ

对于B：由斜率为2遍可得直线AB的方程为x=^=y+1,联立抛物线方程得yZ_+py_pZ=Q,

=+%+%+1）=>4,又|OA|2二2,贝IJ\0P\•\0Q|>|OAI2,故C正确；

设BQi，%）,则当，则,[=-孥，代入抛物线得（_q2）2=2p.%，解得，

\BP\­\BQ\=BP-BQ=（xvyi+l）・（M，为+1）=打工2+%丫2+〉i+丫2+1=%?+1>5,

则8（2,-率），

又|BAF=5,则IBPHBQ|>|84『，故D正确.

则\B\=J（E）2（-^E）2=*\OF\=£-B不符合题意：

0+故选：BCD

对于C：由抛物线定义知：HB|=^+1+p=^>2p=4|OF|,C符合题意；

【分析】由抛物线的定义与几何性质可判断A,根据导数的几何意义，结合直线的两点式方程可判断B,根据

对于D：OAOB=（^,^2）.（2,-学）=¥.与+学.（_季）=_挈<0,则人1OB为钝角，

直线与抛物线的位置，结合弦长公式可判断C,根据向量的数量积运算可判断D.

又=孚）.（-冬，_学）=_小（_给+字.（_学）=一等<0,则"MB为钝角，三、填空题

11.（2022•浙江）设点P在单位圆的内接正八边形力遇2…仆的边小力2上，则瓦方+西；+…+瓦霏的取

又Z.AOB+Z.AMB+WAM+WBM=360°,PIOLOAMLOBM<180°,D符合题意.

故答案为：ACD.值范围是.

【分析】由\AF\=\AM\及抛物线方程求得火斗，季），再由斜率公式即可判断A选项：表示出直线AB【答案】[12+2或，16]

的方程，联立抛物线方程求得B4，-孥），即可求出|08|判断B选项：由抛物线的定义求出\AB\=【知识点】平面向量数量积的运算

【解析】【解答】以圆心为原点，建立如图所示平面直角坐标系，

鬻即可判断C选项；由耐・丽<0，MA-~MB<0求得Z.AOB,乙4MB为钝角即可判断D选项.

10.（2022・新高考同卷）已知O为坐标原点，点A（l,1）在抛物线C：x2=2py（p0）上，过点3（0,-1）的

直线交C于P,Q两点，则（）

A.C的准线为y=-1B.直线AB与C相切

C.\OP\­\OQ|>|OA|2D.|BP||BQ|>|BA|2

【答案】B,C,D

【知识点】导数的几何意义；平面向量数量积的运算；直线的两点式方程；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的关

y【答案】II

【知识点】平面向量数量积的性质及其运算律；平面向量数量积的运算

【解析】【解答】解：由题意得最工=|可•W-cosv£b>=lx3x1=l

所以(2；+工=2：4+j=2x1+32=11.

故答案为：II.

【分析】先根据数量积的定义求出:工，最后根据数量积的运算律计算可得答案.

13.(2022•全国甲卷)已知向量Q=(?n,3),b=(l,m+1).若a上b,则m=.

【答案】或075

则力[[0,1)>A24311，0)r42力5，。,-1?【知识点】数量积判断两个平面向量的垂直关系

3

得

解-

4242、4242【解析】【解答】由题意知：%.1=771+3(771+1)=0，机4

46(--2-*--Q)，人71-1，0)，力8(--2-/

3

-

故答案为:4

设P(X,y)»

则相+PA2+…+以=IP/11I2+\PA\2+…+\PA\2=8(/+y2)+8'

28【分析】由向量垂直的坐标表示求解即可.

•：cos22.5。<\OP\<1,...l+c。；”)v/+y2mr14.(2022•浙江学考)如图，E,F分别是三棱锥V-ABC两条棱AB,VC上的动点，且满足EF=2xAV+

22

,2+^2/212/1yBC(x>0,y>0)则x+y的最小值为.

••――<+y2<1•

【答案】1

A12+2V2<86x2+y2)+8<16.

【知识点】二次函数在闭区间上的最值；向量的共线定理；共线向量与共面向量

即时+西二+…+而；的取值范围是[12+2迎，16].

【解析】【解答】因为EF=2xAV+yBC(x>Q,y>0),

故答案为：[12+2遮，16]

所以EF,AD,BC共而，

作MF〃”交力C于点M,连接ME，则ME11BC,

【分析】以圆心为原点，建立如图所示平面直角坐标系，求出正八边形各个顶点坐标，设P(x,y),进而得_一

因为EF=EM+MF，

到眉；+「焉2+…+a；=8(/+/)+8,根据点P的位置可求出N+y2的范围，从而得到而;+1

2+所以EM=yBC,MF—2xAV，即=y,笫■=2x，

…+可5；的取值范围.

因为MF//AV,所以器=%=2%,则CM=2xAC,

12.(2022•全国甲卷)设向量a,b的夹角的余弦值为g,且而|=1,=3，则(2a+b)-

因为MEUBC,所以能=器=、，则/M=y",

h=•又CM+AM=AC,所以2%4C+yAC=4C,所以2x+y=1,

则y=1-2x,0<x<,则A(0,2),B(2,0),C(0,0),M(0,1),

由题意可设P(x,2-x),

故/+y2=/+(1-2x)2=5d_4x+1=5(X-1)2+|(0<X<1)，

则诂=(x,1-x),CP=(xf2-x),

所以当x=l时，x2+y2取得最小值为!。

则诂*=［，1-x)•(x,2-x)=2x2-3x+2=2(x-1)24-(0<x<2)

故答案为：|。

7

-

则当8

7

-

故答案为：8

【分析】利用EF=2R1V+y8co>0,y>0)结合向量共面的判断方法，所以并，而，BC共面，作

【分析】根据平面向量的坐标运算，以及向量的数量积的坐标表示，结合二次函数的最值求解即可.

MF//AV交AC于点M,连接ME,则ME//BC,再利用三角形法则得出加二前十麻，所以

2