2022年江西省九江市高考数学一模试卷（理科）附答案详解

2022年江西省九江市高考数学一模试卷（理科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1.若复数z满足z（l-i）=l+3i,贝眩=（）

A.-1+2iB.1+2iC.-1—21D.1—2i

2.己知集合4={x|ln（x-1）<0},B={x\x2-3x+2<0},则4nB=（）

A.{x|l<x<2}B.{x[l<x<2}C.{x|l<%<2}D.{x|l<%<2}

3.抛物线y=2/的焦点坐标为（）

A.（1,0）B.P1,0）C.（01i）D.（01i）

44o

4.函数/（%）=COs23X-2sE2a>0）的最小正周期为则3的值为（）

A.2B.4C.1D.j

5.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等与亮度来描述.古希腊天文学家、数学家

喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.两颗星的星等与亮度满足普森

公式：m2-mi=2.51吟，星等为小〃的星，其亮度为反仅=1,2）.已知织女星的星

等为0.04,牛郎星的星等为0.77,则织女星与牛郎星的亮度之比（）（参考数据：

10。.29a1.9498,1O03«1.9953）

A.0.5248B.0.5105C.1.9055D.1.9588

6.第24届冬季奥林匹克运动会（北京冬奥会）计划于2022年2月4日开幕，共设7个大

项.现将甲、乙、丙3名志愿者分配到7个大项中参加志愿活动，每名志愿者只能参

力口1个大项的志愿活动，则有且只有两人被分到同一大项的情况有（）

A.42种B.63种C.96种D.126种

7.2021年全国普通高考共有1078万人报名，为“史上人数最多的高考”,如图为2008

年-2021年江西省普通高考报名人数统计表.则下列结论中一定错误的是（）

单位:万人

50

45

40

35|加”|||川||

2350

20

卢^赤e护e姬1®

A.自2008年起，江西省普通高考报名人数连续4年下降后连续9年上升

B.2008年至2021年，江西省普通高考报名人数的中位数约为35.8万人

C.2012年至2021年，江西省普通高考报名人数增长大于75%

D.江西省普通高考报名人数较上一年增长幅度最大的是2020年

8.已知数列｛册｝满足的=1,an+1=kan+k,则“数列｛an｝为等差数列”是“k=l"

的（）

A.充要条件B.必要不充分条件

C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件

已知双曲线：搐一\=（）的左、右焦点分别为&、一条渐近线方程为

9.Cla>0F2,

V3x+y=0.若点M在双曲线C上，且|"6|=5,则|MF?|=()

A.9B.1C.1或9D.1或7

10.△ABC中，三内角4,B,C所对的边分别为a,b,c,己知asinB=2sinA,acosB=c+1,

则4=()

A712n

・3

A,12C,T

11.四氯化碳是一种有机化合物，分子式为CC〃，是一种无色透

明液体，易挥发，曾作为灭火剂使用.四氯化碳分子的结构

为正四面体结构，四个氯原子（C。位于正四面体的四个顶点

处，碳原子（C）位于正四面体的中心.则四氯化碳分子的碳

氯键（C-之间的夹角正弦值为（）

C-TD¥

x

12.已知函数/（x）-a-logax（a>。且a*1）有两个不同的零点，则实数a的取值范

围是（）

A.(1,晶B.(ele)C.(1,迎)D.(ee,Ve)

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.已知向量力=(-1,2),b=(x,4),且五〃J,则|石|=

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14.若Q,b为正实数，直线2x+(2a-4)y+1=0与直线2bx+y-2=0互相垂直,

则昉的最大值为.

15.函数/(%)=V3smx—|cos%|的值域为

16.已知正方体/8。。一48修1。1的棱长为1,E为线段45

上的点，过点E作垂直于当。的平面截正方体，其截面图

形为M,下列命题中正确的是.

①M在平面4BC。上投影的面积取值范围是弓,刍；

Zo

②M的面积最大值为平；

③”的周长为定值.

三、解答题(本大题共7小题，共82.0分)

17.已知数列｛a“｝的前n项和为无,且满足2即=Sn-2n+1,数列｛S"的前n项和为

(I)求证：数列｛/-2｝为等比数列;

(II)试比较7；与2S.+1的大小.

18.已知四棱锥P-4BCC的底面2BCD为矩形，AB=

V6>AD=2A/3»E为BC中点，AE±PB.

(I)求证：4E1平面PBD；

(11)若8。_L平面P4E,PA=2显,求AC与平面PCD

所成角的正弦值.

19.在直角坐标系xOy中，已知椭圆C；5+《=l(a>b>0)的右焦点为尸(1,0),过

点F的直线交椭圆C于4B两点，|4B|的最小值为企.

(I)求椭圆C的标准方程；

(II)若与4,B不共线的点P满足加=4瓦？+(2-4)0瓦求APAB面积的取值范围.

20.非物质文化遗产是一个国家和民族历史文化成就的重要标志，是优秀传统文化的重

要组成部分.瑞昌剪纸于2008年列入第二批国家级非物质文化遗产名录.由于瑞

昌地处南北交汇处，经过千年的南北文化相互浸润与渗透，瑞昌剪纸融入了南方的

阴柔之丽、精巧秀美和北方的阳刚之美、古朴豪放.为了弘扬中国优秀的传统文化，

某校将举办一次剪纸比赛，共进行5轮比赛，每轮比赛结果互不影响.比赛规则如

下：每一轮比赛中，参赛者在30分钟内完成规定作品和创意作品各2幅，若有不少

于3幅作品入选，将获得“巧手奖”.5轮比赛中，至少获得4次“巧手奖”的同学将

进入决赛.某同学经历多次模拟训练，指导老师从训练作品中随机抽取规定作品和

创意作品各5幅，其中有4幅规定作品和3幅创意作品符合入选标准.

(I)从这10幅训练作品中，随机抽取规定作品和创意作品各2幅，试预测该同学在

一轮比赛中获“巧手奖”的概率；

(II)以上述两类作品各自入选的频率作为该同学参赛时每幅作品入选的概率.经指

导老师对该同学进行赛前强化训练，规定作品和创意作品入选的概率共提高了看,

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以获得“巧手奖”的次数期望为参考，试预测该同学能否进入决赛？

21.已知函数f(x)=e*+mx(mER).

(I)讨论f(x)的单调性；

(11)若8>。>0,且af(b)>b/(a),求证：a+b>2.

22.在平面直角坐标系xOy中，曲线G的普通方程为y2=2x,曲线C2的参数方程为

1

+

-V2-&

22

(0为参数).以坐标原点。为极点，X轴正半轴为极轴，建立极坐标

1V2

-+-S

22

(1)求曲线。1，的极坐标方程；

(II)已知直线/的极坐标方程为。=a(0<a<》，直线2与曲线G，C2分别交于异于

极点的4,B两点,且|0川•|08|=4,求|4B|.

23.己知函数/(%)=+1|—|2x-m|(m>0),9(%)=弓％—1].

(1)当血=2时，解关于%的不等式/(%)N0;

(II)若函数/(%)与g(x)的图象可以围成一个四边形，求m的取值范围.

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答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：•••Z(1-i)=l+3i,

=9=(l+3i)(l+i)=-2+4i=_]+2i

"1-i(l-i)(l+i)2)

­,.z=—1—2i-

故选：C.

根据已知条件，结合共辗复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，即可求解.

本题考查了共规复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式,

属于基础题.

2.【答案】D

【解析】解：因为4={x|ln(x-1)<0}=[x|l<x<2},

B={x\x2—3x+2<0}={x|l<x<2),

所以4nB={x[l<x<2}.

故选：D.

先求出集合4B,由集合交集的定义求解即可.

本题考查了集合的运算，解题的关键是掌握交集的定义，考查了运算能力，属于基础题.

3.【答案】D

【解析】解：整理抛物线方程得/=

二焦点在y轴，P=\

・••焦点坐标为(0,》

故选：D.

先把抛物线整理标准方程，进而可判断出焦点所在的坐标轴和p,进而求得焦点坐标.

本题主要考查了抛物线的简单性质.求抛物线的焦点时，注意抛物线焦点所在的位置,

以及抛物线的开口方向.

4.【答案】A

22

【解析】解：函数/(%)=coso>x—2sina)x=i+c.ax_2x=|cos2a)x—

*3>0)

的最小正周期为善=9则3=2,

23Z

故选：A.

由题意，利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再利用余弦函数的周期性，求得3的

值.

本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的周期性，属于基础题.

5.【答案】D

【解析】解：织女星的星等为爪］=0.04,亮度为瓦，牛郎星的星等为加2=。-77,亮度

为E2,则有0.77-0.04=2.5蟾,

匕2

即弓=106292g(100.29,100.3),

即钞=1O0292e(1.9498,1.9953),

故选：D.

根据题意直接利用题中的公式计算即可.

本题考查了对数的运算公式，理解普森公式是关键，属于基础题.

6.【答案】。

【解析】解：先对3名志愿者分成两个组有废=3种方法，每个组安排到两个项目中去

有人=42

•••共有弓x膨=3x42=126种安排方法.

故选：D.

分成两步，先对3名志愿者分成两个组，再把两个组分到两个项目即可得答案.

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本题考查排列组合的应用，分步计数原理的应用，属于基础题.

7.【答案】D

【解析】解：对于4,2008年-2012年连续4年下降，2012年-2021年连续9年上升，故

A正确；

对于8,2008年-2021年，江西省普通高考报名人数的中位数为2015年和2016年的平

均数，约为35.8万人，故3正确；

对于C,2021年江西省普通高考报名人数约为49万，2012年约为27万，增长大于80%,

故C正确；

对于。，由图中的数据可知较上一年增长幅度最大的是2014年，故。错误.

故选：D.

根据图中的数据对每一个选项分别判断即可.

本题考查命题真假的判断，考查条形图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础

题.

8.【答案】B

【解析】解：当k=l时，an+1=an+l,则｛即｝为等差数列，必要必成立；

2

若为等差数列，由的=l,a2=2k,a3=2k+k,

有2k2+卜+i=4k,

解得k=1或/当k=泄，an+1+|>

此时a”=1>充分性不成立.

故选：B.

先根据等差数列定义证明充分性成立，再举反例说明必要性不成立.

本题考查数列的递推式，考查学生的运算能力，属于中档题.

9.【答案】A

【解析】解：双曲线C：捻一l(a>0)的左、右焦点分别为&、F2,一条渐近线方

程为+y=0,

可得：巫=M，解得a=2,双曲线方程为：生一些=1,所以c=4,a+c=6,

a412

点M在双曲线C上，且|MF/=5,所以M在双曲线左支上，

则眼引=IMF/+2a=9.

故选:A.

利用双曲线的渐近线方程求解a,结合双曲线的定义求解即可.

本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的定义的应用，是中档题.

io.【答案】c

【解析】解：由正弦定理及asinB=2sin4得，ab=2a,b=2,

又acosB=c+l,由余弦定理得：a.°+cf=。+1,即a?-c?-X=2c,

2ac

由余弦定理得cosA=b-2=

又•・,AG(017r),

A,=—2TT

3

故选：c.

根据asinB=2si九4,得到b=2,再根据acosB=c+1,利用余弦定理得到十一c?一

b2=2c,利用余弦定理求解.

本题考查了正弦定理和余弦定理，熟练掌握正余弦定理的应用是解本题的关键.

11.【答案】D

解：设4。=1,

则GD=—.AG=—>

33

设4。=R,

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贝妈一R)2+(苧)2=R2,

解得R=渔，

4

即4。=0D=—>

4

在4月。。中，由余弦定理可得C0S44。。=4。2+。出心_1

2x40x0。=3

即sinZJl。。=V1-cos2Z-A0D=—,

3

故选：D.

先阅读题意，再结合余弦定理求解即可.

本题考查了阅读理解能力，重点考查了余弦定理，属基础题.

12.【答案】A

【解析】解：由f(%)=Q"-log。％=0,得a"=loga%,

x

设g(%)=a9h(x)=logax,

•••g(x)与/i(x)的图象关于直线y=x对称，

当0<QVI时，两函数仅有一个交点，不合题意；

当且两函数的图象与直线y=x相切时，设切点横坐标为工。，

"。'(无)=axlna,八'(x)=熹，

(ax°lna=1

•-[ax<>=logaXo解倚&=e,

又：房=1，即5=，皿得。=/，即当a=蓝时，两图象有一个交点,

当a<£时，两图象有两个交点，即函数/(x)有两个零点.

综上所述，实数a的取值范围是(1,心.

故选：A.

问题转化为g(%)=a*与h。)=loga%的图象有两个交点，当0<aVl时不成立，可得

a>l,再求出两函数与直线y=x相切时的a值即可.

本题考查函数零点的判定及应用，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题.

13.【答案】2y/5

【解析】解：根据题意，向量行=(一1,2),3=(久,4)，

若2〃石,则2x=(-1)x4=—4,则％=-2,

故|b|=V4+16=25/5;

故答案为：2遍.

根据题意，由向量平行的坐标表示方法可得%的值，进而计算可得答案.

本题考查向量模的计算的性质，涉及向量平行的坐标表示，属于基础题.

14.【答案】|

【解析】解：若a，b为正实数，直线2x+(2a-4)y+1=0与直线2bx+y-2=0互

相垂直，

则2x2b+2a-4=0,整理得a+2b=2,

故ab=(2—2b)b=-2(b—|)2+

当6=泄，ab的最大值为也

故答案为：

直接利用直线垂直的充要条件和二次函数的性质求出结果.

本题考查的知识要点：直线垂直的充要条件，二次函数的性质，主要考查学生的运算能

力和数学思维能力，属于基础题.

15.【答案】［一2,何

【解析】解：函数f(x)=V3sinx—|cosx|,

/(x+2?r)=/(x),

•••/(x)的周期为2兀，

二当一/<x</时，/(%)=V3sinx-cosx=2sin(x—')，

由*G转得牌］故2s讥［-2,何；

当/<x<零时，f(x)=V3sinx+cosx-2sin(x+》

此时，同理可得，2sin(x-^)G［-2(V3］；

・,・函数/(%)=yf3sinx-|cosx|的值域为［-2,遮］.

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故答案为：[—2,b].

易知2兀为f(x)的一个周期，在一个周期[-9手]内，通过分类讨论，去掉绝对值符号后，

利用辅助角公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的性质求得的值域即可.

本题主要考查两角和差的三角函数，考查转化与化归思想、分类讨论思想的应用，考查

运算求解能力，属于中档题.

16.【答案】②③

【解析】解：如图所示：

4GB

%。1平面418口，1平面4CD1,

(1)当点E与&或£)[重合时，M为正Z&BCi或正△AC。。

周长为3鱼，面积为与，在平面4BC。上投影面积为|；

(2)当点E与不重合时，设&E=t(0<t<1),则E4=l—t,

E]=V2t,EF=V2(l-t),

EF+EJ=V2(l-t)+V2t=V2,

同理可得：FG+GH=VX"/+〃=&,

故M的周长为定值3a，

M的面积为工=ix(V2+V2t)xy(l-t)+|x[V2+V2(l-t)]Xyt

=y(-2t2+2t+1)，

当t=：时，I取得最大值手，

M在平面ABCD上投影的面积52=1-11-t)2—#=Y+t+是

由(1)(2)知M在平面ABCD上投影的面积取值范围是EJ],

M的面积最大值为苧,M的周长为定值

故答案为：②③

根据反。J■平面&BG，&D_L平面ACDi，分点E与4或D1重合和点E与4(Di)不重合，

两种情况讨论求解判断.

本题考查了由平面的基本性质作正方体的截面图形和截面图形的综合运算，属于中档题.

17.【答案】(I)证明：因为2%=5九一2几+1,

当n>2时，2cin_i=Sn-i-2n+3,

两式相减得，an=2an_1—2,即时—2=2(即_1—2)(n—2),

在2即=Sn—2n+1中，令n=l,可得Q]=—1,

又如—2=-3,

所以数列也”-2｝是首项为-3,公比为2的等比数列.

n1

(口)解：由(I)知，an-2=-3-2-,即即=2-3-2*1,

n

由2(1〃—Sn-2n+1,知%=2an+2n-1)所以%=2n+3—3,2,

所以〃=[5+7+…+(2n4-3)1-3-(21+22+-+2n)=-(2n4-8)-3•=

21—2

n2+4n+6—6-2n>

所以7；-2Sn=/21,

故7；>2Sn+1.

【解析】(I)利用an=Sn-Sn-i(n>2),可推出%-2=2(an_x-2)(n>2),进而得

证；

(U)先利用分组求和法求得7；与S“，再作差比较大小，即可.

本题考查数列的通项公式与前n项和的求法，熟练掌握利用厮=Sn-S^-iCn>2)求通

项公式，等比数列的通项公式与前n项和公式，分组求和法是解题的关键，考查逻辑推

理能力和运算能力，属于中档题.

18.【答案】(本小题满分12分)

解：(I)证明：设4E与BD的交点为M.

•••E为BC中点，BE=V3.

又AB=V6，AD=2y/3>

DpAD

•••—=一,；.^BAE=AADB=AMBE.

ABAD

在BEM中，

又Z71E8="EM,•••/.BME=Z.ABE=90°,即ZE1BD.

第14页，共22页

又4E_LPB,BDCPB=B,BD,PBu平面PBD,

：.AE1平面PBD.

(II)连接PM,BO_L平面PAE,PMu平面P4E,BOJ.PM,

又,；AEJ_平面PBD,PMu平面PBD,•••AE1PM,

又丫4£'。8。="，:「"1平面480),

以MB,ME,MP所在直线为x,y,z轴，建立如图空间直角坐标系,

易知力M=2,ME=1,BM=®PM=y/PA2-AM2=2V2.

则P(0,0,2企)，4(0,-2,0),B(V2,0,0),C(一夜,2,0),D(-272,0,0),

设记=(x,y,z)为平面PCO的法向量，~PD=(-2V2,0,-2V2).DC=(V2,2,0)，

山伊.丽=0f-2V2x-2y/2z=0

hl-'DC=O'寸+2y=0

令y=l,得元=(一或,1,企)，

又而=(-V2,4,0).sind=周翡=号=V'

故AC与平面PCO所成角的正弦值为唱.

【解析】(I)设4E与BD的交点为M,推导出AE1BD,AE1PB,由此能证明4E，平

面PBO.

(11)连接「加，推导出BOJLPM,AE1PM,PM_L平面4BCO,以MB,ME,MP所在直

线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AC与平面PCD所成角的正弦

值.

本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面

间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

19.【答案】(本小题满分12分)

解：(I)由右焦点尸(1,0)知，c=l,

当4B垂直于x轴时，|AB|最小，其最小值为等=症.

又・.・小=炉+c2,解得Q=夜，b=1,

.•・椭圆C的标准方程为］+y2=i.

(n)解法一：取而=称而=3瓦？+(i_§面,

则点M在直线上，且点M为线段0P的中点.

A

^LPAB=S〉OAB•

当48垂直于x轴时，A,B的坐标分别为(1,当，(1,一日)，SAO.B=¥；

当力B不垂直于x轴时，设其斜率为匕则直线力B的方程为y=k(x-l)(kHO).

则点0到直线AB的距离d=段，

y=fc(x—1)

M,2，.消去y整理得(1+2/)/一4炉工+2k2—2=0,

{y+y=1

则Xi+%2=言/七=株|，4=8(1+1)>0,

222

\AB\=V1+/c|x!-x2|=V1+fcV(Xi+x2)-4%IX2=2'：鼠2，，

△UAB2112l+2fc2Vl+k2l+2k2

令t=1+2k2,则/=U(t>1),

此时SAOAB=yJl-G(0,y).

综上可得，△PAB面积的取值范围为(0,当］.

解法二：当垂直于x轴时，A,B的坐标分别为(1,中)，(1,一日)，

由诃=4函+(2-4)而，得点P的坐标为(2,鱼；I一鱼)，

则点P到直线4B的距离为1,

又|48|=鱼，所以aPAB的面积为［xV^xl=争

当力B不垂直于久轴时，设其斜率为匕

则直线48的方程为y=k(x-l)(/c丰0),

设P,A,B的坐标分别为(与①)，(xi，yi),(x2,y2)'

则%=kg-1),y2=k(x2-1)>

第16页，共22页

由OP=AOA4-(2—A)OB,得％o=^xi+(2一入)％2，Vo~^-Vi+(2-入)丫2=4k(%i-

1)+(2—A)fc(%2—1)=k[Ax^+(2—A)%2—2],

RPy0=-2).

故点P在直线y=k(x-2)上，且此直线平行于直线4B.

(y=fc(x-1)

联立方程组[兰+y2=1.消去y整理得(1+2k2)x2一4k2x+2/_2=0,

则与+上=由，2k2-2

=1+2k2‘

22

\AB\=Vl+k\x-x\=V1+fcV(^i+xy-4XXX=2'?：：：；)，

r222

2夜(l+〃2)X网鱼冈仃+小

SAPA/J=-\AB\'d=-x2

l+2k2y/l+k21+2/c'

令t=1+2依,则/=£zl(t>1),

此时SAPAB=当Jl-专e(°，孝)，

综上可得，APAB面积的取值范围为(0,?].

解法三：取两=：前=[函+(1-今丽，

则点M在直线4B上，且点M为线段OP的中点.

•••=S&OAB，

设直线AB的方程为x=ty+l,则点。到直线48的距离d=焉.

%=ty+1

{亡+,2=1，消去工整理得(t2+2)V+2ty—1=0,

2£1

则%+丫2=一昕，y，2=一五，4=8(尸+1)>0,

\AB\=V1+121yl-y2\=+12yl(y1+y2/—4yly2=

氏_痣

=^\AB\-d=^x2d+D1"2+1

t2+2yft^+l-t2+2'

7t2+1

【解析】(I)由右焦点F(1,O)知，c=1,当垂直于x轴时，最小，其最小值为甲=

V2，求出a=&，b=l,由此能求出椭圆C的标准方程.

(H)法一：^OM=^OP=^OA+(1-^)0B，则点M在直线4B上，且点M为线段OP的

中点，从■而SAPAB=SAOAB，当AB垂直于x轴时，求出又048=y：当力B不垂直于x轴时，

设直线48的方程为y=k(x-l)(k*0)则点0到直线4B的距离d=悬，联立方程组

(y=k(x-1)

立+2=1，#(l+2fc2)x2-4fc2x+2fc2-2=0,利用韦达定理、根的判别式、弦

(2y—

长公式，结合题设条件能求出△P/B面积的取值范围.

法二：当AB垂直于x轴时，求出△P2B的面积辿，当不垂直于%轴时，设直线4B的方

2

程为y=-l)(k力0),设P,A,B的坐标分别为(xo，yo)，Oi/i)，(x2,y2)-则%=

人(与一1)，y2=k(.x2-1)>由前=a刃+(2-4)而，得光=AQo-2).从而点P在

(y=k(x-1)

直线y=k(x-2)上，联立方程组，次2_1，得(1+21)x2一蚀2%+21-2=0,

12+，—

利用韦达定理、根的判别式、弦长公式，结合题设条件能求出A/MB面积的取值范围.

法三：取丽=［前=ga+(1-9而，推导出SAPAB=SAOAB，设直线AB的方程为

1p=ty+1

x=ty+l,则点。到直线4B的距离d=春,联立方程组兰2=1，得(/+2)y2+

2ty-l=0,利用韦达定理、根的判别式、弦长公式，结合题设条件能求出APAB面积

的取值范围.

本题考查椭圆的标准方程、三角形面积的取值范围的求法，考查直线与椭圆的位置关系、

韦达定理、根的判别式、弦长公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

20.【答案】解：(I)由题可知，所有可能的情况有:

①规定作品入选1幅，创意作品入选2幅的概率Pi=黑=费，

②规定作品入选2幅，创意作品入选1幅的概率02=隼筹=擀,

③规定作品入选2幅，创意作品入选2幅的概率P3=骁=。，

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(n)设强化训练后，规定作品入选的概率为pi，创意作品入选的概率为「2，

则Pl+P2=(+|+^=|，

由已知可得，强化训练后该同学某一轮可获得“巧手奖”的概率为：「=给%(1-口1)・

C2P2+^2P1-废P2(l—P2)+C1P1,C2P2=2Plp2(P1+P2)­3。/2)2=3Plp2-

3(P1P2)2,

34937

.・・P1+P2=5,

Pl,P2=Pl(|—Pl)=~(.P1一|)2+总

•••Pi・Pze踊苜,

令P1P2=t,则P(t)=-3t2+3t=-3(t-1)2+;在上单调递减，

N450Zb

•••P(t)=第=-3x⑨+*?

•••该同学在5轮比赛中获得“巧手奖”的次数X〜B(5,P)，

二EX=5P<5x：=f<4,故该同学没有希望进入决赛.

44

【解析】(I)根据题意，分类讨论所有可能的情况，再求其概率之和即可；

(11)由题可得「1+02,先计算强化训练后该同学某一轮可获得“巧手奖”的概率的最大

值，再根据5轮比赛中获得“巧手奖”的次数X服从二项分布，估算E(X),结合题意即

可判断.

本题考查概率的求解以及二项分布、解决问题的关键是求得某一轮获得“巧手奖”的概

率的范围，再估算5轮比赛中获得“巧手奖”的次数X的数学期望，涉及函数值域问题，

范围问题，属综合困难题.

21.【答案】解：(I)f(x)=ex+m,

当?nN0时,f(x)>0,f(x)在R上单调递增，

当m<0时，由尸(%)>0,得x>ln(—m),

由尸(x)<0,得x<ln(—m),

.t•f(x)在(-00,ln(-m))上单调递减，在(ln(-m),+oo)上单调递增，

综上所述，当m2。时，/(x)在R上单调递增，

当m<0时，/(x)在(-8,ln(-7n))上单调递减，在(ln(-m),+8)上单调递增.

(口)证明:由af(b)>bf(a),有+mb)>b[ea+ma),

即ae。>be。,々e°<Wea，

令gQ)=卷，则g(b)<g(a),

•・•7(%)=宗,.，g(%)在(0,1)上单调递增,在(1,+8)上单调递减,

当%>0时，g(x)>0,A0<a<l<b或1<a<b,

①若14a<b,显然Q+b>2；

②若0<Q<1Vb,要证Q+b>2,只需证b>2—a>1,

即证g(b)<g(2-a),若能证g(a)<g(2-a),则原命题得证,

令G(x)=g(%)-g(2-%),x6(0,1),

G'(x)=皆+岩=(1一尤)e一工-ex-2),

v0<%<1,1—%>0,e~x—ex~2>0,・,•G'(x)>0,

・・・G(%)在(0,1)单调递增，・・・G(x)<G(l)=0,

・•・g(a)vg(2-a),原命题得证，

综上所述，a+b>2.

【解析】(I)求出函数的导数，通过讨论小的范围，求出函数的单调区间即可；

(口)问题转化为/<已，令g(x)=~问题转化为证明g(b)<g(a),若1Wa<b,显

然a+b>2；若0<a<1<b,问题转化为证g(a