全等三角形的判定的复习

《全等三角形》复习11/28/202311、全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形2、全等三角形的性质：3、三角形全等的条件：SSSSASASAAAS

HL4、应用：利用全等三角形性质证明两条线段或两个角相等。

（1）：全等三角形的对应边相等、对应角相等。（2）：全等三角形的周长相等、面积相等。（3）：全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。知识回顾11/28/202323三角形全等的4个种判定公理：

SSS（边边边）SAS（边角边）ASA（角边角）AAS（角角边）

有三边对应相等的两个三角形全等.

有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.

有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.

有两角和及其中一个角所对的边对应相等的两个三角形全等.11/28/20233两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等。\=\=SSA11/28/202345三个角对应相等的两个三角形不一定全等AAA11/28/202356基本图形11/28/202367感悟与反思：１、平行——角相等；２、对顶角——角相等；３、公共角——角相等；４、角平分线——角相等；５、垂直——角相等；６、中点——边相等；７、公共边——边相等；８、旋转——角相等，边相等。11/28/202378练一练一、挖掘“隐含条件”判全等1.如图（1），AB=CD，AC=BD，则△ABC≌△DCB吗?说说理由ADBC图（1）2.如图（2），点D在AB上，点E在AC上，CD与BE相交于点O，且AD=AE,AB=AC.若∠B=20°,CD=5cm，则∠C=,BE=.说说理由.BCODEA图（2）3.如图（3），AC与BD相交于O,若OB=OD，∠A=∠C，若AB=3cm，则CD=.说说理由.ADBCO图（3）20°5cm3cm学习提示：公共边，公共角，对顶角这些都是隐含的边，角相等的条件！11/28/2023894、如图，已知AD平分∠BAC，要使△ABD≌△ACD，根据“SAS”需要添加条件

；根据“ASA”需要添加条件

；根据“AAS”需要添加条件

；ABCDAB=AC∠BDA=∠CDA∠B=∠C友情提示：添加条件的题目.首先要找到已具备的条件,这些条件有些是题目已知条件,有些是图中隐含条件.二.添条件判全等11/28/20239105、已知：∠B＝∠DEF，BC＝EF，现要证明△ABC≌△DEF，若要以“SAS”为依据，还缺条件____；若要以“ASA”为依据，还缺条件_______；若要以“AAS”为依据，还缺条件_______并说明理由。．AB=DE∠ACB=∠F∠A=∠DABCDEF11/28/20231011试一试三、熟练转化“间接条件”判全等6如图，AE=CF，∠AFD=∠CEB，DF=BE，△AFD与△CEB全等吗？为什么？ADBCFE8.“三月三，放风筝”如图（6）是小东同学自己做的风筝，他根据AB=AD,BC=DC，不用度量，就知道∠ABC=∠ADC。请用所学的知识给予说明。解答7.如图（5）∠CAE=∠BAD，∠B=∠D，AC=AE，△ABC与△ADE全等吗？为什么？ACEBD解答解答11/28/202311（1）线段相等、平行EFDCABDBAEFCDCAFBE11/28/202312（2）公共边、公共角ADCBADCBDBCACBAOFED11/28/202313（3）对顶角DCOAB11/28/202314例1：如图，点A、F、E、C在同一直线上，AF＝CE，BE=DF，BE∥DF，求证：AB∥CD。证明：∥∥AE=CFBE＝DF≌(S.A.S.)11/28/20231516例2、如图，已知AB=AC，AD=AE，AB、DC相交于点M，AC、BE相交于点N，∠1=∠2，试说明：（1）△ABE≌△ACD（2）AM=ANANMEDCB12创造条件！？11/28/202316例3：如图，AB、CD相交于E，且AB＝CD，AC＝DB。求证：EA＝ED证：连接AD在△ADC和△DAB中

AC＝DB（已知）AB＝CD（已知）BC＝BC∴△ADC≌△DAB（S.S.S）∴∠1＝∠2ABDEC∴EA＝ED（等角对等边）（公共边）21如果连接的是BC，情况又会怎么样呢？11/28/202317证明题思路分析方法：①要证什么②已有什么③还缺什么④创造条件注意1、证明两个三角形全等，要结合题目的条件和结论，选择恰当的判定方法

2、全等三角形，是证明两条线段或两个角相等的重要方法之一，证明时

①要观察待证的线段或角，在哪两个可能全等的三角形中。②有公共边的，公共边一定是对应边，有公共角的，公共角一定是对应角，有对顶角，对顶角也是对应角总之，证明过程中能用简单方法的就不要绕弯路。11/28/2023181、如图,某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办法是拿()去配.练习一:

③11/28/20231920实际运用2.测量如图河的宽度，某人在河的对岸找到一参照物树木Ａ，视线ＡＢ与河岸垂直，然后该人沿河岸步行１０步（每步约0.75M）到O处，进行标记，再向前步行10步到D处，最后背对河岸向前步行20步，此时树木A，标记O，恰好在同一视线上，则河的宽度为

米。15ABODC11/28/202320练习二:

3、如图∠B=∠DEF,BC=EF,补充条件求证:ΔABC≌ΔDEFDEFABC(1)若要以“SAS”为依据，还缺条件

＿＿＿＿＿；

AB=DE(2)若要以“ASA”为依据，还缺条件＿＿＿＿；

∠ACB=∠DFE(3)若要以“AAS”为依据，还缺条件＿＿＿＿＿

∠A=∠D(4)若要以“SSS”为依据，还缺条件＿＿＿

AB=DEAC=DF(5)若∠B=∠DEF=90°要以“HL”为依据，还缺条件＿＿＿＿＿AC=DF11/28/202321==__ABCDP4、已知：如图,P是BD上的任意一点AB=CB,AD=CD.求证:PA=PC①要证明PA=PC可将其放在ΔAPB和ΔCPB或ΔAPD和ΔCPD考虑②已有两条边对应相等（其中一条是公共边）

③还缺一组夹角对应相等

若能使∠ABP=∠CBP或∠ADP=∠CDP即可。

创造条件－－ΔABD≌ΔCBD练习二:

11/28/2023224、已知：P是BD上的任意一点AB=CB,AD=CD.求证PA=PC证明：在△ABD和△CBD中

AB=CBAD=CDBD=BD∴△ABD≌△CBD(SSS)

∴∠ABD=∠CBD

在△ABP和△CBP中

AB=BC∠ABP=∠CBPBP=BP∴△ABP≌△CBP(SAS)

∴PA=PC==__ABCDP11/28/2023235、已知:如图AB=AE,∠B=∠E，BC=EDAF⊥CD求证：点F是CD的中点分析：要证CF=DF可以考虑CF、DF所在的两个三角形全等，为此可添加辅助线构建三角形全等，如何添加辅助线呢?连结AC,AD

添加辅助线是几何证明中很重要的一种思路

拓展练习11/28/202324证明：连结ＡＣ和ＡＤ∵在△ＡＢＣ和△ＡＥＤ中，ＡＢ＝ＡＥ，∠B=∠E，

ＢＣ＝ＥＤ∴△ＡＢＣ≌△ＡＥＤ（ＳＡＳ）∴ＡＣ＝ＡＤ（全等三角形的对应边相等）∵ＡＦ⊥ＣＤ∴∠AFC=∠AFD=90°，

在Ｒt△AFC和Ｒt△AFD中ＡＣ＝ＡＤ（已证）ＡＦ＝ＡＦ（公共边）∴Ｒt△AFC≌Ｒt△AFD（ＨＬ）∴ＣＦ＝ＦＤ（全等三角形的对应边相等）∴点F是CD的中点11/28/202325

6、如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM＝CN；③AC＝DN。其中，正确结论的个数是().(A)3个（B）2个(C)1个（D）0个B11/28/2023267、如图：以△ABC的两边AB、AC为边分别向外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE、CD交于点O.求证：OA平分∠DOE。ABCDEOGH11/28/2023278.如图，在R△ABC中，∠ACB=45°，∠BAC=90°，AB=AC，点D是AB的中点，AF⊥CD于H交BC于F，BE∥AC交AF的延长线于E，求证：BC垂直且平分DE.11/28/2023289.已知：如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连结AD、AG。求证：△ADG为等腰直角三角形。11/28/202329如图，在⊿ABC中，AB=CB,∠ABC=90°,点F在AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF,

求证：Rt⊿ABE≌Rt⊿CBF;

（2）若∠CAE=30°,求∠ACF的度数FACBE11/28/20233010.如图所示,△ABC为等边三角形,BE=CD,O为BE和CD的交点.(1)求证:△ABE≌△BCD(2)求∠AOD的度数如果将条件中BE=CD改为∠AOD=60°(1)中的结论成立吗?11/28/20233111.两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示位置，图2是由它抽象出的几何图形，B、C、E在同一条直线上，连结DC.(1)请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；DEABC图1图2（2）证明：DC⊥BE11/28/20233212、如图所示:已知点C为线段AB上一点,四边形ACMF和四边形CBEN是两个正方形,连接AN、BM，则AN与BM之间有什么关系？请说明理由。ABCEFMN11/28/202333变式(1)如图所示:四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形,连接CG交AD于点N，连接AE交CG于点M。求证：①AE=CG；②观察图形，猜想AE和CG之间的位置关系，并证明你的猜想。ABCEFMNDG11/28/2023343513、如图AB＝AC，∠Ｂ＝∠Ｃ，点Ｄ、Ｅ在BC上，且BD＝CE，那么图中又哪些三角形全等？说明理由。ＡＢＣＤＥ11/28/2023353614.如图AB＝CD，AD＝BC，O为AC中点，过Ｏ点的直线分别交AD、BC于Ｍ、Ｎ，你能说明∠１＝∠２吗？M１２ＤＡＢＣＯN11/28/2023363715.如图，AB=DE，AF=CD，EF=BC，∠A＝∠D，试说明：BF∥CEABCDEF11/28/20233738

16、已知：ΔABC和ΔBDE是等边三角形,点D在AE的延长线上。求证：BD+DC=AD

ABCDE分析：∵AD=AE+ED∴只需证：BD+DC=AE+ED∵BD=ED∴只需证DC=AE即可。11/28/20233839

17.如图，CA=CB，AD=BD，M、N分别是CA、CB的中点，则DM=DN，说明理由。ACDBMN11/28/20233918、如图：AB=AC，EB=EC，AE的延长线交BC于D。求证：BD=DC。11/28/20234019如图，在Rt⊿ABC中，∠ACB=90°，AC=15cm，BC=8cm,PQ=AB,P、Q两点分别在AC上和垂直于AC的射线AM上运动，问点P运动到AC上的什么位置时，⊿ABC才能和⊿PQA全等。PQCBAM11/28/20234120已知Rt⊿ABC≌Rt⊿ADE,∠ABC=∠ADE=90°,BC与DE相交于点F，连接CD、EB.

（1）图中还有几对全等三角形，请你一一列举。

（2）求证：CF=EF

EDCBAF11/28/20234221如图，在四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°,AD=CD,DE⊥AB于点E，若四边形ABCD的面积为25，则DE=_______:EDCBAF11/28/20234322如图，在正方形ABCD中，△PBC、△QCD是两个等边三角形，PB与DQ交于M，BP与CQ交于E，CP与DQ交于F。

求证：PM=QM。11/28/20234411/28/202345证明线段或角的和差截长补短11/28/202346证明线段或角的相等，通常是证明线段或角所在的两个三角形全等。很多时候，证明线段（或角）相等时，条件中没有现成的全等三角形时，往往不能直接证明一对三角形全等，一般需要作辅助线来构造全等三角形．常见的辅助线有：①涉及三角形的中线问题时，常采用延长中线一倍的方法，构造出一对全等三角形；②证明两条线段的和等于第三条线段时，用“截长补短”法可以构造一对全等三角形．口诀：遇中线加倍延，遇证和差就截延。11/28/2023471.遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长补短法.(1)截长：在长线段中截取一段等于另两条中的