人教A版高中数学(选择性必修第一册)同步讲义第07讲 拓展一：异面直线所成角（含解析）

第07讲拓展一：异面直线所成角（传统法与向量法）一、知识点归纳1、（传统法）核心技巧：平移使相交具体操作，通过平移一条（或2条），使异面直线转化为相交直线，然后在三角形中利用余弦定理求角2、（向量法）用向量运算求两条直线所成角已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为两异面直线，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的任意两点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0，则①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0.二、题型精讲题型01求异面直线所成角（定值）(传统法）【典例1】（2023春·河北保定·高一定州市第二中学校考阶段练习）在平行六面体SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与底面SKIPIF1<0垂直，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则异面直SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】取DM中点K，连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，

因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以四边形SKIPIF1<0为平行四边形，所以SKIPIF1<0，所以异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<0或其补角.因为底面SKIPIF1<0是菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以在SKIPIF1<0中，利用余弦定理得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，利用余弦定理得SKIPIF1<0，所以异面直SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为SKIPIF1<0.故选：B.【典例2】（2023春·河北张家口·高一河北省尚义县第一中学校考阶段练习）在正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为棱SKIPIF1<0的中点，则异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0夹角的余弦值为（

）A．0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，延长SKIPIF1<0至点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以四边形SKIPIF1<0是平行四边形，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0,，所以四边形SKIPIF1<0是平行四边形，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0夹角或其补角，

设正方体棱长为1，则SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理得，SKIPIF1<0，所以异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0夹角的余弦值为SKIPIF1<0.故选：D【典例3】（2023春·河南开封·高一河南省杞县高中校考阶段练习）正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为______．

【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【详解】在正方体SKIPIF1<0右侧作出一个全等的正方体SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，如图，

易知SKIPIF1<0，所以四边形SKIPIF1<0是平行四边形，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的平面角或补角，不妨设正方体SKIPIF1<0的棱长为SKIPIF1<0，则在正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【变式1】（2023春·吉林四平·高一校考阶段练习）在三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】在三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，将三棱柱SKIPIF1<0补成长方体SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，

因为SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，故四边形SKIPIF1<0为平行四边形，所以，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<0或其补角，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由余弦定理可得SKIPIF1<0，因此，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为SKIPIF1<0.故选：D.【变式2】（2023春·河南郑州·高一河南省新郑市第一中学校考阶段练习）如图，SKIPIF1<0是半圆柱底面的直径，SKIPIF1<0是半圆柱的高，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上一点，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，则异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为________．

【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【详解】设SKIPIF1<0，如图，取PC的中点E，连接DE，AE，可得SKIPIF1<0，所以异面直线AD与BC所成的角为SKIPIF1<0（或其补角）．又因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面PAC，所以SKIPIF1<0平面PAC．且SKIPIF1<0平面PAC，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，所以在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0.

题型02求异面直线所成角（定值）(向量法）【典例1】（2023春·湖北武汉·高二校联考期中）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，底面SKIPIF1<0为正方形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，则异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】如图，以点SKIPIF1<0为坐标原点，建立空间直角坐标系，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以，异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为SKIPIF1<0.故选：B.【典例2】（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】解法一

如图，设O，C，D分别为线段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角或其补角.∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，易得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为SKIPIF1<0.故选：D.解法二

如图，设SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故以SKIPIF1<0为坐标原点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所在直线分别为SKIPIF1<0轴、SKIPIF1<0轴、SKIPIF1<0轴建立空间直角坐标系SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，M（0，0，3），SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为SKIPIF1<0.故选:D.【典例3】（2023·全国·高三专题练习）如图，在多面体SKIPIF1<0中，四边形SKIPIF1<0为菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，四边形SKIPIF1<0是正方形，则SKIPIF1<0______；异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为______．【答案】SKIPIF1<0SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【详解】由四边形SKIPIF1<0为菱形，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0为正三角形，设SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，连接SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故以SKIPIF1<0为原点，以SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴，建立空间直角坐标系，如图设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由题意SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，因为四边形BEFG是正方形，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；设异面直线AG与DE所成角为SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以异面直线AG与DE所成角的余弦值为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0【变式1】（2023春·上海宝山·高二上海市吴淞中学校考阶段练习）如图所示，已知正方体SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是正方形SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的中心，则SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所成的角是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】如图建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：B【变式2】（2023春·福建莆田·高二莆田华侨中学校考期中）如图，圆柱的轴截面为矩形SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别在上、下底面圆上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】方法一

如图（1），在SKIPIF1<0上取点SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．易知四边形SKIPIF1<0为矩形，则SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以四边形SKIPIF1<0为平行四边形，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以四边形SKIPIF1<0为平行四边形，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或其补角是异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故选：D．方法二

如图（2），在SKIPIF1<0上取点SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．易知四边形SKIPIF1<0为矩形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．连接SKIPIF1<0．由已知条件，得SKIPIF1<0为圆柱的一条母线．以SKIPIF1<0为坐标原点，分别以直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴、SKIPIF1<0轴、SKIPIF1<0轴建立如图（2）的空间直角坐标系SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为SKIPIF1<0．故选：D．【变式3】（2023春·浙江·高一期中）已知直三棱柱SKIPIF1<0的侧棱与底面边长都相等，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的中点，那么异面直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所成角的余弦值等于________．【答案】SKIPIF1<0/0.7【详解】因为直三棱柱SKIPIF1<0的侧棱与底面边长都相等，所以SKIPIF1<0为等边三角形，取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，如图，以SKIPIF1<0为坐标原点，分别以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所在直线为SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0轴，建立空间直角坐标系，因为直三棱柱SKIPIF1<0的侧棱与底面边长都相等，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设异面直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即异面直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所成角的余弦值为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.题型03易错题型求异面直线所成角忽略角的取值范围【典例1】（2023春·江苏·高二校联考阶段练习）如图所示，在棱长为2的正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0=λSKIPIF1<0，若异面直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所成角的余弦值为SKIPIF1<0，则异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角SKIPIF1<0的余弦值为（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】如图，以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，因为正方体的棱长为2，则A1（2，0，2），D1（0，0，2），E（0，2，1），A（2，0，0）.所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，整理得到SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（舍去SKIPIF1<0）,所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，故cosθ=SKIPIF1<0，

故选：B.【典例2】（2023春·福建漳州·高二漳州三中校考阶段练习）正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，则异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】如图，建立空间直接坐标系，设正方体的棱长为2，因为E，F分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，易知，A(2，0，0)，E(0，1，2)，C(0，2，0)，F(2，2，1)，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0<SKIPIF1<0>=SKIPIF1<0.因为异面直线AE与FC所成角为锐角.所以异面直线AE与FC所成角的余弦值为SKIPIF1<0.故A，B，C错误.故选：D.【变式1】（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）如图，将SKIPIF1<0的菱形SKIPIF1<0沿对角线SKIPIF1<0折起，使得平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】如图，取BD中点为坐标原点，建立空间直角坐标系，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所成角的余弦值为SKIPIF1<0.故选：SKIPIF1<0.【变式2】（2023秋·浙江宁波·高二统考期末）在四面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为正三角形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则异面直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所成角的余弦值等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为正三角形，故以SKIPIF1<0为原点，以SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴的正方向，建立空间直角坐标系，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以异面直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所成角的余弦值等于SKIPIF1<0.故选：A.题型04求异面直线所成角（最值或范围）【典例1】（2023·辽宁大连·校考模拟预测）有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为24，棱长为SKIPIF1<0的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若点SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0上的动点，则直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0所成角的余弦值的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】将半正多面体补成正方体，建立如图所示的空间直角坐标系.因为半正多面体的棱长为SKIPIF1<0，故正方体的棱长为SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0所成角的余弦值的取值范围为SKIPIF1<0.故选：C【典例2】（2023·全国·高三专题练习）如图，在长方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上一点，SKIPIF1<02，SKIPIF1<0，动点SKIPIF1<0在上底面SKIPIF1<0上，且满足三棱锥SKIPIF1<0的体积等于1，则直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的正切值的最小值为_________.【答案】SKIPIF1<0【详解】解：以D为坐标原点，分别以SKIPIF1<0所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0的一个法向量SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0所以点P到平面BFE的距离SKIPIF1<0SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0，所以在等腰SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的高为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0(舍去)，设直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0最小，此时SKIPIF1<0最小，因为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即直线CP与SKIPIF1<0所成角的正切值的最小值为SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知正四面体SKIPIF1<0内接于半径为SKIPIF1<0的球SKIPIF1<0中，在平面SKIPIF1<0内有一动点SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是______；直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0所成角的取值范围为______.【答案】SKIPIF1<0SKIPIF1<0【详解】在正四面体SKIPIF1<0中，设A在面SKIPIF1<0内的投影为E，故E为三角形SKIPIF1<0的中心，设正四面体SKIPIF1<0的棱长为x，球O的半径为R，则SKIPIF1<0，依题意正四面体SKIPIF1<0内接于半径为SKIPIF1<0的球SKIPIF1<0中，故球心O在SKIPIF1<0上，设球的半径为R,则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（舍去），则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故P的轨迹为平面SKIPIF1<0内以E为圆心，SKIPIF1<0为半径的圆，而SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0三点共线时，且P在SKIPIF1<0之间时，SKIPIF1<0最小，最小值是SKIPIF1<0；以E为圆心，SKIPIF1<0所在直线为x轴，在底面SKIPIF1<0内过点E作SKIPIF1<0的垂线为y轴，SKIPIF1<0为z轴，建立如图所示直角坐标系，则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,设直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0.【变式1】（2023春·江苏南京·高二校考开学考试）如图，四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．现将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起，当二面角SKIPIF1<0处于SKIPIF1<0过程中，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】设向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<0，二面角SKIPIF1<0的平面角大小为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0中点E，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为直线夹角范围为SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值范围是SKIPIF1<0．故选：D．【变式2】（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）如图所示，正方体SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0为底面SKIPIF1<0的中心，点SKIPIF1<0在侧面SKIPIF1<0的边界及其内部移动，若SKIPIF1<0，则异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值的最大值为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在侧面SKIPIF1<0内取一点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0易知三角形SKIPIF1<0为直角三角形，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，对称轴为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0即SKIPIF1<0故选：C【变式3】（2023·全国·高三专题练习）三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0两两垂直，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为平面SKIPIF1<0内的动点，且满足SKIPIF1<0，记直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0的所成角的余弦值的取值范围为_____________．【答案】SKIPIF1<0【详解】因为SKIPIF1<0两两垂直，且SKIPIF1<0，所以由勾股定理可知SKIPIF1<0，所以三棱锥为正三棱锥，记SKIPIF1<0在底面SKIPIF1<0内的投影为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的轨迹是以SKIPIF1<0为圆心半径为SKIPIF1<0的圆，取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0，建立如下图所示的空间直角坐标系：设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0的所成角为SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0.题型05已知线线角求参数【典例1】（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，且底面SKIPIF1<0为菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0内运动（不与SKIPIF1<0重合），且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为___________.【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【详解】连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为四边形SKIPIF1<0为菱形，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，以点SKIPIF1<0为坐标原点，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的方向分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，易知平面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由已知可得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即点SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以，点SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【典例2】（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且四边形SKIPIF1<0为直角梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）求平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成锐二面角的余弦值；（2）点SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0上的动点，当直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角最小时，求线段SKIPIF1<0的长.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】试题分析：以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系SKIPIF1<0，则各点的坐标为SKIPIF1<0．（1）因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以是平面SKIPIF1<0的一个法向量，．因为SKIPIF1<0．设平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0的一个法向量，从而SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成二面