空间向量与立体几何知识梳理高三数学一轮复习

空间向量与立体几何知识梳理一．空间向量1.空间向量的有关概念：（1）空间向量的定义：。（2）表示方法①几何表示法：空间向量用表示，若向量的起点是A，终点是B，也可记作；②字母表示法：用字母，，，…表示。（3）长度或模：空间向量的，记作。（4）零向量：记为，其方向是任意的或方向不确定。（5）单位向量：。（6）相反向量：与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为。（7）共线向量(平行向量)：如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相，那么这些向量叫做共线向量或平行向量，平行于，记作．规定零向量与任何向量平行，与共线的单位向量为.（8）相等向量：，相等向量经过平移后总可以重合。与平行向量关系。（9）共面向量：一般地，能平移到的向量叫做共面向量。说明：空间任意的两向量都是共面的。2.空间向量的加、减法运算、数乘运算（与平面向量运算一样）(1)向量加法的三角形法则：首尾相接,首尾连向量加法的平行四边形法则：共起点,对角线(2)向量减法的三角形法则，共起点,连终点,指向被减向量推广：；。(3)实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作：，它的长度和方向规定如下：=1\*GB3①,=2\*GB3②当时,的方向与的方向；当时,的方向与的方向.(4)运算律：=1\*GB3①加法交换律：=2\*GB3②加法结合律：=3\*GB3③数乘结合律：λ(μ＝μ(λ)＝(λμ)．数乘分配律：(λ＋μ)＝λ＋μ，λ(＋)＝λ＋λ3.空间向量的有关定理（1）共线向量定理：空间任意两个向量、（≠），//的充要条件是存在实数λ，使＝λ。推论：在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：eq\o(OA,\s\up6(→))＝xeq\o(OB,\s\up6(→))＋yeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点.（2）共面向量定理：如果两个向量不，与向量共面的充要条件是存在实数使。推论：对空间四点P，M，A，B四点共面的充要条件是=1\*GB3①eq\o(MP,\s\up7(→))＝xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))；=2\*GB3②对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OM,\s\up7(→))＋xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))；=3\*GB3③对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OM,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))＋zeq\o(OC,\s\up7(→))(x＋y＋z＝1)；=4\*GB3④eq\o(PM,\s\up7(→))∥eq\o(AB,\s\up7(→))(或eq\o(PA,\s\up7(→))∥eq\o(MB,\s\up7(→))，或eq\o(PB,\s\up7(→))∥eq\o(AM,\s\up7(→))).（3）空间向量基本定理：如果三个向量不，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使。4.空间向量的数量积(1)两向量的夹角：已知两个非零向量，在空间任取一点O，作，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，其范围是，若，则称与互相垂直，记作：。(2)两向量的数量积：已知两个非零向量，则叫做的数量积，记作记作，即。(3)空间向量数量积的运算律①结合律：；②交换律：；③分配律：c.④不满足乘法结合率：（4）投影向量：向量向向量投影，得到，向量称为向量在向量上的投影向量。5.空间向量的直角坐标系：（1）在空间选定一点O和一个单位正交基底，以点O为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立一个空间直角坐标系O—xyz，x轴、y轴、z轴，都叫做叫做坐标轴，点O叫做原点，向量都叫做坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Oxz平面，它们把空间分成八个部分。在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标。对空间任一向量，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组,使=（x,y,z）（3）空间向量的坐标表示及其应用设，.向量表示坐标表示两向量和两向量差数乘向量数量积共线垂直模夹角，注意：①若，，则。一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。②中点公式：若，，当P为AB中点时其坐标为。③，三角形重心P坐标为。④ΔABC中①<=>A为锐角；②<=>A为钝角，钝角Δ。二．空间向量与立体几何1.直线的方向向量和平面的法向量⑴直线的方向向量：若A、B是直线l上的任意两点，则为直线l的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线l的方向向量.

⑵平面的法向量：若向量所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果，那么向量叫做平面的法向量.⑶平面的法向量的求法（待定系数法）：=1\*GB3①建立适当的坐标系．②设平面的法向量为．③求出平面内两个不共线向量的坐标．④根据法向量定义建立方程组.⑤解方程组，取其中一组解，即得平面的法向量.2.用向量方法判定空间中的平行关系⑴线线平行设直线的方向向量分别是，则要证明∥，只需证明∥，即.即：两直线平行或重合两直线的方向向量共线。

⑵线面平行（法一）设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明∥，只需证明，即.即：直线与平面平行直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外②（法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可.⑶面面平行若平面的法向量为，平面的法向量为，要证∥，只需证∥，即证.即：两平面平行或重合两平面的法向量共线。3.用向量方法判定空间的垂直关系

⑴线线垂直：设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即.即：两直线垂直两直线的方向向量垂直。

⑵线面垂直：(法一)设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明，只需证明∥，即.②(法二)设直线的方向向量是，平面内的两个相交向量分别为，若即：直线与平面垂直直线的方向向量与平面的法向量共线直线的方向向量与平面内两条不共线直线的方向向量都垂直。⑶面面垂直：若平面的法向量为，平面的法向量为，要证，只需证，即证.即：两平面垂直两平面的法向量垂直。

4、利用向量求空间角求异面直线所成的角:eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则=.⑵求直线和平面所成的角:eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))OABOBlA求法：设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的夹角为，则为的余角或的补角的余角.即有：OABOBlA⑶求二面角:[0，π]二面角的平面角是指在二面角的棱上任取一点O，分别在两个半平面内作射线，则为二面角的平面角.如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝．如图②③，分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cosθ|＝，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角),根据具体图形确定是锐角或是钝角.5、利用法向量求空间距离⑴点P到直线距离若P为直线外的一点,A在直线上,=,直线的方向向量为，则点P到直线距离为