第13章《轴对称》（教师版）

2023-2024学年人教版数学八年级上册易错题真题汇编（提高版）第13章《轴对称》考试时间：120分钟试卷满分：100分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023春•成华区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，DE∥AC，DF∥AB，则四边形AEDF的周长是（）A．32 B．24 C．16 D．8解：∵AB＝AC＝8，∴∠B＝∠C，∵DE∥AC，DF∥AB，∴∠FDC＝∠B，∠EDB＝∠C，∴∠C＝∠FDC，∠B＝∠EDB，∴FD＝FC，ED＝EB，∴四边形AEDF的周长＝AE+DE+DF+AF＝AE+BE+FC+AF＝AB+AC＝8+8＝16，故选：C．2．（2分）（2022秋•潢川县校级期末）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC分别交AB、AC于M、N，则△AMN的周长为（）A．4 B．6 C．7 D．8解：∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠ABE＝∠EBC，∠ACE＝∠ECB，∵MN∥BC，∴∠MEB＝∠EBC，∠NEC＝∠ECB，∴∠ABE＝∠MEB，∠ACE＝∠NEC，∴MB＝ME，NE＝NC，∵AB＝3，AC＝4，∴△AMN的周长＝AM+MN+AN＝AM+ME+EN+AN＝AM+MB+CN+AN＝AB+AC＝3+4＝7，故选：C．3．（2分）（2022秋•丰泽区校级期末）如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，分别交BC、AB于D、E，连接CE，BF平分∠ABC，交CE于F，若BE＝AC，∠ACE＝20°，则∠EFB的度数为（）A．56° B．58° C．60° D．63°解：∵DE垂直平分BC，∴EB＝EC，∴∠EBC＝∠ECB，∵BE＝AC，∴CE＝AC，∵∠ACE＝20°，∴∠A＝∠AEC＝（180°﹣∠ACE）＝80°，∵∠AEC＝∠EBC+∠ECB＝80°，∴∠EBC＝∠ECB＝40°，∵BF平分∠ABC，∴∠FBC＝∠EBC＝20°，∴∠EFB＝∠FBC+∠ECB＝60°，故选：C．4．（2分）（2022秋•辛集市期末）规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位，一个点作“1”变换表示将它关于x轴作对称点，一个点作“2”变换表示将它关于y轴作对称点．由数字0，1，2组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换．例如：如图，点A（﹣2，3）按序列“012”作变换，表示点A先向右平移一个单位得到A1（﹣1，3），再将A1（﹣1，3）关于x轴对称得到A2（﹣1，﹣3），再将A2（﹣1，﹣3）关于y轴对称得到A3（1，﹣3）…依次类推．点（1，1）经过“012012012…”100次变换后得到点的坐标为（）（注：“012”算3次变换）A．（2，1） B．（﹣2，1） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣1，﹣1）解：点B（1，1）按序列“012”作变换，表示点B先向右平移一个单位得到B1（2，1），再将A1（2，1）关于x轴对称得到B2（2，﹣1），再将B2（2，﹣1）关于y轴对称得到B3（﹣2，﹣1）…依次类推，点（1，1）经过“012”变换得到点（﹣2，﹣1），点（﹣2，﹣1）经过“012”变换得到点（1，1），说明经过6次变换回到原来的位置，100÷6＝16……4，所以点（1，1）经过“012012012…”100次变换后得到点的坐标为（﹣1，﹣1）．故选：D．5．（2分）（2022秋•南宫市期末）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若在等腰△ABC中，∠A＝50°，则它的特征值k等于（）A． B． C．或 D．或解：分两种情况：当等腰三角形的顶角为50°，∴等腰三角形的两个底角都＝×（180°﹣50°）＝65°，∴这个等腰三角形的“特征值”k＝＝；当等腰三角形的一个底角为50°时，那么另一个底角也是50°，∴等腰三角形的顶角＝180°﹣2×50°＝80°，∴这个等腰三角形的“特征值”k＝＝；综上所述：或，故选：D．6．（2分）（2022秋•番禺区校级期末）如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝75°，D为AB中点且DE⊥AB，交BC于点E，AC＝6cm，则BE等于（）A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm解：∵∠ACB＝90°，∠BAC＝75°，∴∠B＝90°﹣∠BAC＝15°，∵D为AB中点且DE⊥AB，∴DE是AB的垂直平分线，∴EA＝EB，∴∠B＝∠BAE＝15°，∴∠AEC＝∠B+∠BAE＝30°，∵AC＝6cm，∴AE＝2AC＝12（cm），∴BE＝AE＝12cm，故选：D．7．（2分）（2023•青秀区校级模拟）某台球桌为如图所示的长方形ABCD，小球从A沿45°角击出，恰好经过5次碰撞到达B处．则AB：BC等于（）A．1：2 B．2：3 C．2：5 D．3：5解：先作出长方形ABCD，小球从A沿45度射出，到BC的点E，AB＝BE．从E点沿于BC成45度角射出，到AC边的F点，AE＝EF．从F点沿于AD成45度角射出，到CD边的G点，DF＝DG．从G沿于DC成45度角射出，到BC边的H点，HF垂直于AD．GC＝CH＝从H点沿于CB成45度角射出，到AC边的M点，EM垂直于AD，从M点沿于CA成45度角射出，到B点，看图是2个半以AB为边长的正方形，所以1：2.5＝2：5．故选：C．8．（2分）（2023春•大渡口区期末）如图，在△ABC中，AB边的中垂线DE，分别与AB、AC边交于点D、E两点，BC边的中垂线FG，分别与BC、AC边交于点F、G两点，连接BE、BG．若△BEG的周长为16，GE＝1．则AC的长为（）A．13 B．14 C．15 D．16解：∵DE是线段AB的中垂线，GF是线段BC的中垂线，∴EB＝EA，GB＝GC，∵△BEG周长为16，∴EB+GB+EG＝16，∴EA+GC+EG＝16，∴GA+EG+EG+EG+EC＝16，∴AC+2EG＝16，∵EG＝1，∴AC＝14，故选：B．9．（2分）（2022秋•桐乡市期中）如图，在等边△ABC中，D为AC中点，点P，Q分别为AB，AD上的点，BP＝AQ＝3，QD＝2，在BD上有一动点E，则PE+QE的最小值为（）A．7 B．8 C．9 D．10解：∵△ABC是等边三角形，∴BA＝BC，∵BD⊥AC，AQ＝3，QD＝2，∴AD＝DC＝AQ+QD＝5，如图，作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小值PE+QE＝PE+EQ′＝PQ′，∵AQ＝3，AD＝DC＝5，∴QD＝DQ′＝2，∴CQ′＝BP＝3，∴AP＝AQ′＝7，∵∠A＝60°，∴△APQ′是等边三角形，∴PQ′＝PA＝7，∴PE+QE的最小值为7．故选：A．10．（2分）（2022秋•卧龙区校级期末）如图，正方形的网格中，点A，B是小正方形的顶点，如果C点是小正方形的顶点，且使△ABC是等腰三角形，则点C的个数为（）A．6 B．7 C．8 D．9解：如图，分情况讨论：①AB为等腰△ABC的底边时，符合条件的C点有4个；②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．所以△ABC是等腰三角形，点C的个数为8个，故选：C．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2022秋•大连期末）如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，在格纸中能画出与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形（不包括△ABC本身），这样的三角形共有3个解：如图所示，与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形有3个：故答案为：3．12．（2分）（2021秋•右玉县校级期末）如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠BAC＝70°，∠FAE＝19°，则∠C＝16度．解：∵AF平分∠BAC，∠BAC＝70°，∴∠FAC＝∠BAC＝35°，∵∠FAE＝19°，∴∠EAC＝∠FAC﹣∠FAE＝16°，∵ED是AC的垂直平分线，∴EA＝EC，∴∠C＝∠EAC＝16°，故答案为：16．13．（2分）（2022秋•江都区校级月考）如图，∠MAN是一钢架，为了使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管BC，CD，DE，…添加的钢管长度都与AB相等，若∠MAN＝x时，最多能添这样的钢管4根，则x的取值范围是18°≤x＜22.5°．解：∵BA＝BC，∴∠A＝∠BCA＝x，∴∠DBC＝∠A+∠BCA＝2x，∵CB＝CD，∴∠DBC＝∠BDC＝2x，∴∠DCE＝∠A+∠ADC＝3x，∵DC＝DE，∴∠DCE＝∠DEC＝3x，∴∠FDE＝∠A+∠DEC＝4x，∵ED＝EF，∴∠FDE＝∠EFD＝4x，∴∠FEM＝∠A+∠DFE＝5x，∵最多能添这样的钢管4根，∴∠DFE＜90°，且∠FEM≥90°，∴4x＜90°，且5x≥90°，解得：18°≤x＜22.5°，故答案为：18°≤x＜22.5°．14．（2分）（2023春•市南区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AF是∠CAB的角平分线，D是AB上一点，连接CD，过点C作CE∥AB，且DE＝DC＝DB，∠CDE＝36°，∠AFC的度数为72°．解：∵DE＝DC，∠CDE＝36°，∴∠E＝∠DCE＝（180°﹣∠CDE）＝72°，∵CE∥AB，∴∠CDB＝∠DCE＝72°，∵DC＝DB，∴∠DCB＝∠B＝（180°﹣∠CDB）＝54°，∵∠ACB＝90°，∴∠BAC＝90°﹣∠B＝36°，∵AF平分∠BAC，∴∠CAF＝∠BAC＝18°，∴∠AFC＝90°﹣∠CAF＝72°，故答案为：72°．15．（2分）（2022秋•新乡期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD是∠BAC的平分线，AD＝4．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是．解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD垂直平分BC，∴BP＝CP．如图，过点B作BQ⊥AC于点Q，BQ交AD于点P，则此时PC+PQ取最小值，最小值为BQ的长，如图所示．∵S△ABC＝BC•AD＝AC•BQ，∴BQ＝＝，即PC+PQ的最小值是．故答案为：．16．（2分）（2022秋•岳麓区校级期末）如图，已知AB＝AC，AD平分∠BAC，∠DEB＝∠EBC＝60°，若BE＝5，DE＝2，则BC＝7．解：延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，如图，∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AN⊥BC，BN＝CN，∵∠EBC＝∠DEB＝60°，∴△BEM为等边三角形，∴BM＝EM＝BE＝5，∠EMB＝60°，∵DE＝2，∴DM＝3，∵AN⊥BC，∴∠DNM＝90°，∴∠NDM＝30°，∴NM＝DM＝，∴BN＝BM﹣MN＝5﹣＝，∴BC＝2BN＝7．故答案为：7．17．（2分）（2022秋•涪城区期中）如图，∠AOB＝30°，点M，N分别在边OA，OB上，且OM＝2，ON＝5，点P，Q分别在边OB，OA上，则MP+PQ+QN的最小值是．解：作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接ON'，如图所示：连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值．根据轴对称的定义可知：∠N′OQ＝∠M′OB＝30°，∠ONN′＝60°，∴△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，∴∠N′OM′＝90°，OM'＝OM＝2，ON'＝ON＝5，在Rt△M′ON′中，M′N′＝＝．故答案为：．18．（2分）（2022春•龙岗区校级期末）如图，BD垂直平分AC，交AC于E，∠BCD＝∠ADF，FA⊥AC，垂足为A，AF＝DF＝5，AD＝6，则AC的长为9.6．解：∵BD垂直平分AC，∴DA＝DC，BA＝BC，∴∠DAC＝∠DCA，∠BAC＝∠BCA，∴∠DAC+∠BAC＝∠DCA+∠BCA，即∠DAB＝∠BCD，∵∠BCD＝∠ADF，∴∠DAB＝∠ADF，∴AB∥DF，∵FA⊥AC，DB⊥AC，∴AF∥BD，∴四边形AFDB为平行四边形，∴BD＝AF＝5，AB＝DF＝5，设BE＝x，则DE＝5﹣x，在Rt△AEB中，AB2﹣BE2＝AE2，在Rt△AED中，AD2﹣DE2＝AE2，∴AB2﹣BE2＝AD2﹣DE2，即52﹣x2＝62﹣（5﹣x）2，解得：x＝，∴AE＝＝，∴AC＝2AE＝9.6，故AC的长为9.6，故答案为：9.6．19．（2分）（2022秋•洪山区校级期末）如图，在边长为2的等边△ABC中，D是BC的中点，点E在线段AD上，连接BE，在BE的下方作等边△BEF，连接DF．当△BDF的周长最小时，∠DBF的度数是30°．解：如图，连接CF，∵△ABC、△BEF都是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，BE＝EF＝BF，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝∠EBF＝∠BEF＝∠BFE＝60°，∴∠ABC﹣∠EBD＝∠EBF﹣∠EBD，∴∠ABE＝∠CBF，在△BAE和△BCF中，，∴△BAE≌△BCF（SAS），∴∠BCF＝∠BAD＝30°，如图，作点D关于CF的对称点G，连接CG，DG，则FD＝FG，∴当B，F，G在同一直线上时，DF+BF的最小值等于线段BG长，且BG⊥CG时，△BDF的周长最小，由轴对称的性质，可得∠DCG＝2∠BCF＝60°，CD＝CG，∴△DCG是等边三角形，∴DG＝DC＝DB，∴∠DBG＝∠DGB＝∠CDG＝30°，故答案为：30°．20．（2分）（2022春•锦江区校级期中）已知：△ABC是三边都不相等的三角形，点P是三个内角平分线的交点，点O是三边垂直平分线的交点，当P、O同时在不等边△ABC的内部时，那么∠BOC和∠BPC的数量关系是：∠BOC＝4∠BPC﹣360°．解：∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠BAC）＝90°+∠BAC，即∠BAC＝2∠BPC﹣180°；如图，连接AO．∵点O是这个三角形三边垂直平分线的交点，∴OA＝OB＝OC，∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB，∴∠AOB＝180°﹣2∠OAB，∠AOC＝180°﹣2∠OAC，∴∠BOC＝360°﹣（∠AOB+∠AOC）＝360°﹣（180°﹣2∠OAB+180°﹣2∠OAC），＝2∠OAB+2∠OAC＝2∠BAC＝2（2∠BPC﹣180°）＝4∠BPC﹣360°，故答案为：4∠BPC﹣360°．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2022秋•垣曲县期末）如图，直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，l与m分别交边AB于点D和点E．（1）若AB＝10，则△CDE的周长是多少？为什么？（2）若∠ACB＝125°，求∠DCE的度数．解：（1）△CDE的周长为10．∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，∴AD＝CD，BE＝CE，∴△CDE的周长＝CD+DE+CE＝AD+DE+BE＝AB＝10；（2）∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，∴AD＝CD，BE＝CE，∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCE，又∵∠ACB＝125°，∴∠A+∠B＝180°﹣125°＝55°，∴∠ACD+∠BCE＝55°，∴∠DCE＝∠ACB﹣（∠ACD+∠BCE）＝125°﹣55°＝70°．22．（6分）（2022秋•东城区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，∠CBA＝45°．（1）求证：AC⊥AB；（2）分别以点A，C为圆心，AC长为半径作弧，两弧交于点D（点D在AC的左侧），连接CD，AD，BD．求△ABD的面积．（1）证明：∵AB＝AC，∴∠CBA＝∠ACB＝45°，∴∠CAB＝180°﹣∠ACB﹣∠CBA＝90°，∴AC⊥AB；（2）解：过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，由题意得：AC＝AD＝CD＝8，∴△ACD是等边三角形，∴∠DAC＝60°，∴∠DAE＝180°﹣∠DAC﹣∠CAB＝30°，∴DE＝AD＝4，∴△ABD的面积＝AB•DE＝×8×4＝16，∴△ABD的面积为16．23．（8分）（2022秋•郧阳区期中）用一条长41cm的细绳围成一个三角形，已知此三角形的第一条边为xcm，第二条边是第一条边的3倍少4cm．（1）请用含x的式子表示第三条边的长度．（2）若此三角形恰好是一个等腰三角形，求这个等腰三角形的三边长．解：（1）∵三角形的第一条边为xcm，第二条边是第一条边的3倍少4cm．∴第二条边是（3x﹣4）cm，∴第三条边的长度为41﹣x﹣（3x﹣4）＝45﹣4x（cm）；（2）若x＝3x﹣4，则x＝2，不能组成三角形；若x＝45﹣4x，则x＝9，不能组成三角形；若3x﹣4＝45﹣4x，则x＝7，∴3x﹣4＝45﹣4x＝17，符合题意，∴该等腰三角形的三边长分别为：17cm、17cm和7cm．24．（8分）（2021秋•滑县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为VP＝2cm/s，VQ＝1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为ts．（1）当t为何值时，△PBQ为等边三角形？（2）当t为何值时，△PBQ为直角三角形？解：在△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°．∵4÷2＝2，∴0≤t≤2，BP＝4﹣2t，BQ＝t.（1）当BP＝BQ时，△PBQ为等边三角形．即4﹣2t＝t．∴．当时，△PBQ为等边三角形；（2）若△PBQ为直角三角形，①当∠BQP＝90°时，BP＝2BQ，即4﹣2t＝2t，∴t＝1．②当∠BPQ＝90°时，BQ＝2BP，即t＝2（4﹣2t），∴．即当或t＝1时，△PBQ为直角三角形．25．（8分）（2022春•龙口市期末）数学理解（1）如图1，在等边△ABC内，作DB＝DC，且∠BDC＝80°，E是△DBC内一点，且∠CBE＝10°，BE＝BD，求∠BCE的度数；联系拓广（联系图1特点，解决下列问题）（2）如图2，在△DBC中，DB＝DC，∠BDC＝80°，E是△DBC内一点，且∠CBE＝10°，∠BCE＝30°，连接DE，求∠CDE的度数．解：（1）如图1，连接AD，∵AB＝AC，DB＝DC，∴直线AD是线段BC的垂直平分线，∴AD平分∠BAC，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ABC＝60°，∴∠BAD＝30°，∵∠BDC＝80°，∴∠DBC＝50°，∴∠ABD＝60°﹣50°＝10°＝∠CBE，又∵AB＝BC，BE＝BD，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴∠BCE＝∠BAD＝30°；（2）如图2，作等边三角形ABC，连接AD，由（1）解答知，∠BAD＝∠BCE＝30°，∠ABD＝∠CBE＝10°，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴BD＝BE，∵∠DBE＝60°﹣10°﹣10°＝40°，∴∠BDE＝70°，∴∠CDE＝∠BDC﹣∠BDE＝80°﹣70°＝10°．26．（8分）（2022秋•通州区校级月考）如果一个三角形被一条线段分割成两个等腰三角形，那么这种分割叫做等腰分割，这条线段称为这个三角形的等腰分割线．如图1，当△ABD和△ACD为等腰三角形时，AD为△ABC的等腰分割线．（1）如图2，△ABC中，∠B＝2∠C，线段AC的垂直平分线ED交AC于点D，交BC于点E．求证：AE是△ABC的一条等腰分割线．（2）在△ABC中，AD为△ABC的等腰分割线，AD＝BD，∠C＝30°，请你画出所有可能的图形并求出∠B的度数．（1）证明：如图2中，∵DE是线段AC的垂直平分线，∴EA＝EC，即△EAC是等腰三角形，∴∠EAC＝∠C，∴∠AEB＝∠EAC+∠C＝2∠C，∵∠B＝2∠C，∴∠AEB＝∠B，即△EAB是等腰三角形