人教A版高中数学(选择性必修第一册)同步讲义第33讲 拓展二：圆锥曲线的方程（轨迹方程问题）（原卷版）

第08讲拓展二：圆锥曲线的方程（轨迹方程问题）一、知识点归纳知识点一：曲线方程的定义一般地，如果曲线SKIPIF1<0与方程SKIPIF1<0之间有以下两个关系：①曲线SKIPIF1<0上的点的坐标都是方程SKIPIF1<0的解；②以方程SKIPIF1<0的解为坐标的点都是曲线SKIPIF1<0上的点．此时，把方程SKIPIF1<0叫做曲线SKIPIF1<0的方程，曲线SKIPIF1<0叫做方程SKIPIF1<0的曲线．知识点二：求曲线方程的一般步骤：（1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）；（2）设曲线上任意一点的坐标为SKIPIF1<0；（3）根据曲线上点所适合的条件写出等式；（4）用坐标表示这个等式，并化简；（5）确定化简后的式子中点的范围．上述五个步骤可简记为：求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围．知识点三：求轨迹方程的方法：1、定义法：如果动点SKIPIF1<0的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。2、直译法：如果动点SKIPIF1<0的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点SKIPIF1<0满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点SKIPIF1<0所满足的几何上的等量关系，再用点SKIPIF1<0的坐标SKIPIF1<0表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。3、参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点SKIPIF1<0运动的某个几何量SKIPIF1<0，以此量作为参变数，分别建立SKIPIF1<0点坐标SKIPIF1<0与该参数SKIPIF1<0的函数关系SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，进而通过消参化为轨迹的普通方程SKIPIF1<0.4、代入法（相关点法）：如果动点SKIPIF1<0的运动是由另外某一点SKIPIF1<0的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出SKIPIF1<0，用SKIPIF1<0表示出相关点SKIPIF1<0的坐标，然后把SKIPIF1<0的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点SKIPIF1<0的轨迹方程。5、点差法：圆锥曲线中与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点SKIPIF1<0的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0等关系式，由于弦SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0的坐标满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，由此可求得弦SKIPIF1<0中点的轨迹方程.二、题型精讲方法01直接法【典例1】（2023秋·山东济宁·高二统考期末）已知圆心在SKIPIF1<0轴上移动的圆经过点SKIPIF1<0，且与SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0轴分别相交于SKIPIF1<0两个动点，则点SKIPIF1<0的轨迹方程为.【典例2】（2023·全国·高三专题练习）古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点距离之比值为常数SKIPIF1<0的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼奥斯圆．已知点P到SKIPIF1<0的距离是点P到SKIPIF1<0的距离的2倍．求点P的轨迹方程；【变式1】（2023·高三课时练习）已知两定点A（1，1）、B（-1，-1），动点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则点P的轨迹是.【变式2】（2023秋·高二课时练习）在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，O为坐标原点，动点P与两个定点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的距离之比为SKIPIF1<0．求动点P的轨迹W的方程．方法02相关点法【典例1】（2023春·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考期中）已知面积为16的正方形ABCD的顶点A、B分别在x轴和y轴上滑动，O为坐标原点，SKIPIF1<0，则动点P的轨迹方程是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知点SKIPIF1<0分别在SKIPIF1<0轴、SKIPIF1<0轴上运动，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0.则点SKIPIF1<0的轨迹SKIPIF1<0方程是；【典例3】（2023春·甘肃武威·高二统考开学考试）已知SKIPIF1<0的斜边为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.求：(1)直角顶点SKIPIF1<0的轨迹方程；(2)直角边SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0的轨迹方程.【变式1】（2023春·四川内江·高三四川省内江市第六中学校考阶段练习）已知定点SKIPIF1<0和曲线SKIPIF1<0上的动点SKIPIF1<0，则线段SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0的轨迹方程为．【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知点P是椭圆SKIPIF1<0上任意一点，过点P作x轴的垂线，垂足为M，则线段PM的中点SKIPIF1<0的轨迹方程为．【变式3】（2023春·河北·高三统考阶段练习）已知椭圆SKIPIF1<0的上､下顶点分别为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0上异于SKIPIF1<0的动点，记SKIPIF1<0分别为直线SKIPIF1<0的斜率.点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0.(1)证明：SKIPIF1<0是定值，并求出该定值；(2)求动点SKIPIF1<0的轨迹方程.方法03定义法【典例1】（2023秋·全国·高二期末）一动圆SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0，且与已知圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0相切，则动圆圆心SKIPIF1<0的轨迹方程是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知圆C1：（x＋3）2＋y2＝1和圆C2：（x－3）2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为.【变式1】（2023·上海·高二专题练习）一动圆与圆SKIPIF1<0外切，同时与圆SKIPIF1<0内切，则动圆圆心的轨迹方程为．【变式2】（2023·高二课时练习）如果点M（x，y）在运动过程中，总满足关系式SKIPIF1<0，那么点M的轨迹是．方法04参数法【典例1】（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）已知斜率为SKIPIF1<0的动直线与椭圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，线段SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的轨迹长度为．【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，平行于SKIPIF1<0轴的两条直线SKIPIF1<0分别交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点，交SKIPIF1<0的准线于SKIPIF1<0两点，若SKIPIF1<0的面积是SKIPIF1<0的面积的两倍，求SKIPIF1<0中点的轨迹方程.【变式1】（2023·河南·校联考模拟预测）已知抛物线SKIPIF1<0的焦点SKIPIF1<0到准线的距离为2，直线SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，过点SKIPIF1<0作抛物线SKIPIF1<0的切线SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0的轨迹方程为.【变式2】（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）已知椭圆SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为C的左右焦点.点SKIPIF1<0为椭圆上一点，且SKIPIF1<0.过P作两直线与椭圆C相交于相异的两点A，B，直线PA、PB的倾斜角互补，直线AB与x，y轴正半轴相交.(1)求椭圆C的方程；(2)点M满足SKIPIF1<0，求M的轨迹方程.方法05点差法【典例1】（2023·全国·高三专题练习）（1）若双曲线的一条渐近线方程为SKIPIF1<0，且两顶点间的距离为6，求该双曲线方程．（2）一组平行直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0相交，求弦的中点的轨迹方程．【典例2】（2023春·上海徐汇·高二上海市徐汇中学校考期中）已知双曲