人教A版高中数学(选择性必修第一册)同步讲义第29讲 3.2.2双曲线的简单几何性质（含解析）

第04讲3.2.2双曲线的简单几何性质课程标准学习目标①掌握双曲线的简单几何性质，了解双曲线中a，b，c，e的几何意义及范围。②会根据双曲线的方程解决双曲线的几何性质，会用双曲线的几何意义解决相关问题。通过本节课的学习，要求掌握双曲线的几何量a，b，c，e的意义，会利用几何量之间的关系，求相关几何量的大小，会利用双曲线的几何性质解决与双曲线有关的点、弦、周长、面积等问题知识点01：双曲线的简单几何性质标准方程（）（）图形性质范围或或对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点坐标，,渐近线离心率，，a，b，c间的关系【即学即练1】（2023秋·高二课时练习）双曲线的焦点坐标为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】因为双曲线方程为，化为标准方程为：，所以，由于焦点在轴上，所以焦点坐标为：.故选：C.知识点02：等轴双曲线（，）当时称双曲线为等轴双曲线①；②离心率；③两渐近线互相垂直，分别为；④等轴双曲线的方程，；【即学即练2】（2023春·四川南充·高二四川省南充高级中学校考阶段练习）经过点且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程为【答案】【详解】设所求双曲线方程为：，双曲线经过点，，所求双曲线方程为：.故答案为：.知识点03：直线与双曲线的位置关系1、代数法：设直线，双曲线联立解得：（1）时，，直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；，，或k不存在时，直线与双曲线没有交点；（2）时，存在时，若，，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；若，时，，直线与双曲线相交于两点；时，，直线与双曲线相离，没有交点；时，直线与双曲线有一个交点；相切不存在，时，直线与双曲线没有交点；直线与双曲线相交于两点；【即学即练3】（2023·全国·高三专题练习）直线与双曲线上支的交点个数为．【答案】2【详解】由，可得，解得或．当时，；当时，，所以直线与双曲线上支的交点个数为2．故答案为：2知识点04：弦长公式1、直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与椭圆交于，两点，则为直线斜率2、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于、两点，则弦长.【即学即练4】（2023·高二课时练习）过双曲线的右焦点作倾斜角为30°的直线l，直线l与双曲线交于不同的两点A，B，则AB的长为．【答案】【详解】双曲线的右焦点为，所以直线l的方程为．由，得．设，，则，，所以．故答案为：知识点05：双曲线与渐近线的关系1、若双曲线方程为渐近线方程：2、若双曲线方程为（，）渐近线方程：3、若渐近线方程为，则双曲线方程可设为，4、若双曲线与有公共渐近线，则双曲线的方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在轴上）【即学即练5】（2023·四川成都·校考一模）已知中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】设双曲线的方程为，因为，所以，则，所以渐近线方程为.故选：C.知识点06：双曲线中点弦的斜率公式设为双曲线弦（不平行轴）的中点，则有证明：设，，则有，两式相减得：整理得：，即，因为是弦的中点，所以：，所以【即学即练6】（2023·全国·高三专题练习）过点的直线与双曲线相交于两点，若是线段的中点，则直线的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】解：设，则，两式相减得直线的斜率为，又直线过点，所以直线的方程为，经检验此时与双曲线有两个交点.故选：A题型01由双曲线的方程求几何性质【典例1】（多选）（2023·海南·校考模拟预测）下列关于双曲线说法正确的是（

）A．实轴长为6 B．与双曲线有相同的渐近线C．焦点到渐近线距离为4 D．与椭圆有同样的焦点【答案】ABD【详解】由题意，双曲线满足，即，于是，故A选项正确；双曲线的焦点在轴上，故渐近线方程为：，而双曲线焦点也在轴，故渐近线为，即它们渐近线方程相同，B选项正确；焦点为，不妨取其中一个焦点和一条渐近线，根据点到直线的距离公式，焦点到渐近线距离为：，C选项错误；椭圆的焦点为，根据C选项可知，椭圆和双曲线焦点一样，D选项正确.故选：ABD【典例2】（多选）（2023春·福建三明·高二校联考开学考试）已知双曲线，则不因的值改变而改变的是（

）A．焦距 B．顶点坐标C．离心率 D．渐近线方程【答案】CD【详解】由方程，则该双曲线的标准方程为，即，，则焦距为，顶点坐标为，离心率，渐近线方程为.故选：CD.【变式1】（多选）（2023春·山东临沂·高二统考期末）已知双曲线，则（

）A．实轴长为1 B．虚轴长为2C．离心率 D．渐近线方程为【答案】BCD【详解】由可知，，故实轴长为，虚轴长为，离心率，渐近线方程为，即.故选：BCD【变式2】（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知双曲线，下列结论正确的是（

）A．C的实轴长为 B．C的渐近线方程为C．C的离心率为 D．C的一个焦点的坐标为【答案】C【详解】对A，C的实轴长为，A错；对B，C的渐近线方程为，B错；对C，C的离心率为，C对；对D，C的焦点的坐标为，D错.故选：C题型02根据双曲线几何性质求其标准方程【典例1】（2023·全国·高三专题练习）过点且与椭圆有相同焦点的双曲线的标准方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】椭圆的标准方程为，故，可得焦点坐标为.设双曲线的方程为，故，解得，故双曲线的标准方程为.故选:A.【典例2】（2023·高二课时练习）与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线方程为．【答案】【详解】解：设双曲线方程为，将点代入，即，解得或（舍去），故所求双曲线方程为．故答案为：【典例3】（2023秋·湖南衡阳·高二统考期末）解答下列两个小题：（1）双曲线：离心率为，且点在双曲线上，求的方程；（2）双曲线实轴长为2，且双曲线与椭圆的焦点相同，求双曲线的标准方程．【答案】（1）；（2）.【详解】（1）由，得，即，又，即，双曲线的方程即为，点坐标代入得，解得．所以，双曲线的方程为．（2）椭圆的焦点为，设双曲线的方程为，所以，且，所以，所以，双曲线的方程为．【变式1】（2023春·广东佛山·高二南海中学校考阶段练习）一双曲线的虚轴长为4，离心率与椭圆的离心率互为倒数，且焦点所在轴相同，则该双曲线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】解：因为椭圆的焦点在轴上，离心率，所以所求双曲线的焦点也在轴上，离心率，即，所以，又因为双曲线的虚轴长为，即，所以，即，所以，所以所求双曲线的方程为：.故选：C.【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的离心率，实半轴长为4，则双曲线的方程为.【答案】【详解】由已知可得,即得,所以双曲线方程为:.故答案为:.题型03双曲线的渐近线问题【典例1】（2023秋·高二单元测试）已知双曲线两条渐近线的夹角为，则此双曲线的离心率为（

）A．2 B． C． D．【答案】C【详解】∵双曲线的渐近线方程为，∴由双曲线两条渐近线的夹角为，可得.∴双曲线的离心率为.故选：C.【典例2】（2023春·四川达州·高二统考期末）已知双曲线的离心率为2，则它的渐近线方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由得双曲线的渐近线方程为．∵双曲线的离心率为2，∴，解得，∴双曲线的渐近线方程为．故选：A．【典例3】（2023春·江西赣州·高二校联考阶段练习）如图所示，点是双曲线的左、右焦点，双曲线的右支上存在一点满足与双曲线的左支的交点平分线段，则双曲线的渐近线斜率为（

）

A．3 B． C． D．【答案】B【详解】设，则，由双曲线的定义得，，又由得，即，解得，所以，在直角中，由勾股定理得，即，整理得，则，双曲线的渐近线斜率为．故选：B．【变式1】（2023春·河南平顶山·高二统考期末）双曲线的右焦点到C的一条渐近线的距离为（

）A．2 B． C．3 D．4【答案】A【详解】依题意得，，，所以，，，所以渐近线方程为，右焦点为，所以点到渐近线的距离为.故选：A【变式2】（2023秋·四川巴中·高二统考期末）若双曲线经过点，则该双曲线的渐近线方程为．【答案】【详解】双曲线经过点，，，解得，所以双曲线方程为，又，则该双曲线的渐近线方程为．故答案为：．【变式3】（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）已知为双曲线的左、右焦点，过作直线的垂线分别交双曲线的左、右两支于两点（如图）.若构成以为顶角的等腰三角形，则双曲线的渐近线方程为.

【答案】【详解】由题意可得，由双曲线的定义及点在右支上，，又点在左支上，则，则，在中，由余弦定理可得，而与渐近线垂直，于是，即，从而得，所以，即，化简得，解得，所以双曲线的渐近线方程为.故答案为：题型04双曲线的离心率问题（定值）【典例1】（2023秋·高二单元测试）已知双曲线两条渐近线的夹角为，则此双曲线的离心率为（

）A．2 B． C． D．【答案】C【详解】∵双曲线的渐近线方程为，∴由双曲线两条渐近线的夹角为，可得.∴双曲线的离心率为.故选：C.【典例2】（2023春·湖南衡阳·高二统考期末）古希腊数学家托勒密在他的名著《数学汇编》，里给出了托勒密定理，即任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于等于两组对边的乘积之和，当且仅当凸四边形的四个顶点同在一个圆上时等号成立.已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线C上关于原点对称的两点，满足，若，则双曲线的离心率.【答案】/【详解】由双曲线的左、右焦点分别为，及双曲线上关于原点对称的两点，，则，，可得四边形为平行四边形，

又及托勒密定理，可得四边形为矩形．设，，在中，，则，，，，，，解得．双曲线的离心率为．故答案为：．【典例3】（2023春·四川凉山·高二宁南中学校联考期末）已知双曲线，（，）的左、右焦点分别为，，过点作一条斜率为的直线与双曲线在第一象限交于点M，且，则双曲线C的离心率为.【答案】/【详解】

如图所示，设，则，所以，又M在第一象限，即，故，因为，过M作轴于D，，故，即，故，解之得（负值舍去）.故答案为：【变式1】（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知双曲线，为原点，分别为该双曲线的左，右顶点分别为该双曲线的左、右焦点，第二象限内的点在双曲线的渐近线上，为的平分线，且线段的长为焦距的一半，则该双曲线的离心率为（

）A． B． C．2 D．【答案】C【详解】因为为的平分线，所以，又因为，所以，设，因为点在渐近线上，所以，因为，所以，所以，所以，又点在第二象限内，所以，，所以点的坐标为，所以，所以，所以，所以，可得，

故选：C.【变式2】（2023春·福建泉州·高二校联考期末）已知直线是双曲线（）的一条渐近线，则的离心率为.【答案】【详解】因为直线是双曲线的一条渐近线，所以，所以C的离心率为.故答案为：【变式3】（2023春·江西宜春·高二江西省宜丰中学校考期末）已知双曲线的一条渐近线被圆截得的弦长为，则双曲线的离心率为.【答案】/【详解】双曲线的渐近线的方程为.圆的标准方程为：，故该圆的圆心为，半径为2，而圆心到渐近线的距离为，故渐近线被该圆截得的弦长为，整理得到：或，而，故，故离心率为.故答案为：.题型05双曲线的离心率问题（最值或范围）【典例1】（2023春·福建泉州·高二校联考期中）已知双曲线的上下焦点分别为，点在的下支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，若恒成立，则的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】如图，过点作渐近线的垂线，垂足为，设，则点到渐近线的距离.由双曲线的定义可得，故，所以，即的最小值为，因为恒成立，所以恒成立，即恒成立，所以，，即，即，所以，，即，解得.故选：A.

【典例2】（2023·安徽合肥·合肥市第六中学校考模拟预测）双曲线（，）的焦距为，已知点，，点到直线的距离为，点到直线的距离为，且，则双曲线离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】依题意直线：，即，又，所以，，所以，所以，即，即，解得，又，所以.故选：B【典例3】（2023春·福建福州·高二校联考期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线的左顶点为A，以为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P，Q两点，其中点Q在y轴右侧，若，则该双曲线的离心率的取值范围是.【答案】【详解】依题意可得，以为直径的圆的方程为，不妨设双曲线的这条渐近线方程为，由，得：或，所以，双曲线的左顶点为，则，所以，，因为，所以，化简得，所以，所以，所以，又，所以.故答案为：

【变式1】（2023·河北·校联考三模）已知双曲线（其中），若，则双曲线离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由双曲线（其中），得，则双曲线离心率，因为，所以，则，所以，所以，即双曲线离心率的取值范围为.故选：A.【变式2】（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）设点F为双曲线的左焦点，经过原点O且斜率的直线与双曲线C交于A､B两点，AF的中点为P，BF的中点为Q.若，则双曲线C的离心率e的取值范围是.【答案】【详解】设双曲线的右焦点为，根据双曲线方程知，，则.因为直线过原点，由对称性，原点平分线段，又原点平分线段，所以四边形为平行四边形.在和中，分别有中位线，，，因为，所以，所以四边形为矩形，为直角三角形.不妨设在第一象限，设直线倾斜角为，则，且，在Rt中可得：，所以，因为，所以，又在上为增函数，所以.故答案为：

【变式3】（2023春·湖北宜昌·高二葛洲坝中学校考阶段练习）已知，是双曲线的左，右焦点，经过点且与轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线相交于点，且在第三象限，四边形为平行四边形，为直线的倾斜角，若，则该双曲线离心率的取值范围是.【答案】【详解】解：因为经过点且与轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线相交于点，且在第三象限，四边形为平行四边形，所以由双曲线的对称性可知点B也在双曲线的渐近线上，且B在第一象限，因为，所以，则，因为为直线的倾斜角，且，所以在中，，且，则，即，即，即，解得，所以该双曲线离心率的取值范围是，故答案为：题型06根据双曲线的离心率求参数【典例1】（2023春·陕西咸阳·高二校考阶段练习）已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意，双曲线的离心率为，可得，即，解得，即双曲线的渐近线的方程为.故选：B.【典例2】（2023秋·江苏·高二统考期末）设为实数，已知双曲线的离心率，则的取值范围为【答案】【详解】因为表示双曲线的方程，所以有，因此，因为，所以由，即k的取值范围为，故答案为：.【变式1】（2023春·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知，是双曲线的两个焦点，为上一点，且，，若的离心率为，则的值为（

）A．3 B． C．2 D．【答案】A【详解】因为，由双曲线的定义可得，所以，；因为,由余弦定理可得，整理可得，所以，即,解得或,又因为,即.故选：A【变式2】（2023·北京·高三专题练习）已知双曲线的离心率为2，则实数．【答案】【详解】由题知，，则方程表示焦点在轴上的双曲线，所以，则，所以，解得：.故答案为：.题型07直线与双曲线的位置关系【典例1】（多选）（2023秋·山西太原·高二山西大附中校考期末）直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则的可能取值为（

）A． B． C． D．【答案】AD【详解】联立，消去y得，.因为直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，所以方程有一正一负根，所以，整理得，解得.所以的取值范围为，故A，D符合题意.故选：AD.【典例2】（2023春·安徽六安·高二六安二中校考开学考试）已知直线与双曲线相交于A，B两点，若A，B两点在双曲线的左支上，则实数a的取值范围是．【答案】【详解】由得，方程在有两个不相等的负实根，所以,解得.故答案为：.【变式1】（2023春·上海徐汇·高二上海市徐汇中学校考期中）已知直线和双曲线，若l与C的右支交于不同的两点，则t的取值范围是．【答案】【详解】由消去y得：，由于l与C的右支交于不同的两点，则直线与双曲线的两个交点横坐标均为正，且不等，于是，解得，所以t的取值范围是.故答案为：

【变式2】（2023·上海崇明·上海市崇明中学校考模拟预测）记双曲线的离心率为，若直线与无公共点，则的取值范围为.【答案】【详解】，所以C的渐近线方程为，结合渐近线的特点，只需，即，可满足条件“直线与C无公共点”.所以，又因为，所以.故答案为：【变式3】（2023秋·广西北海·高二统考期末）若直线l过点，且与双曲线有且只有一个公共点，则满足条件的直线有条．【答案】4【详解】当直线l的斜率不存在时，直线为，与曲线有且只有一个公共点．当直线l的斜率存在时，可设直线为，代入曲线方程整理得，若，则，此时有两条分别平行于双曲线的两条渐近线的直线，与曲线有且只有一个公共点；当时，则由，得，此时有一条直线与曲线相切，有且只有一个公共点．综上，这样的直线共有4条．故答案为：4题型08弦长问题【典例1】（2023·新疆喀什·校考模拟预测）已知双曲线C两条准线之间的距离为1，离心率为2，直线l经过C的右焦点，且与C相交于A、B两点.(1)求C的标准方程；(2)若直线l与该双曲线的渐近线垂直，求AB的长度.【答案】(1)=1(2)3【详解】（1）因为直线l经过C的右焦点，所以该双曲线的焦点在横轴上，因为双曲线C两条准线之间的距离为1，所以有，又因为离心率为2，所以有代入中，可得，∴C的标准方程为：；（2）由上可知：该双曲线的渐近线方程为，所以直线l的斜率为，由于双曲线和两条直线都关于y轴对称，所以两条直线与双曲线的相交弦相等.又因为直线斜率的绝对值小于渐近线斜率的绝对值，所以直线与双曲线交于左右两支，因此不妨设直线l的斜率为，方程为与双曲线方程联立为：，设，则有，【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为.(1)求双曲线C的标准方程；(2)若O为坐标原点，过的直线l交双曲线C于A，B两点，且的面积为，求直线l的方程.【答案】(1)(2)或【详解】（1）由题意得：，，，解得：，，，双曲线的标准方程为．（2）由题意可知，直线的斜率一定存在，设直线的方程为，，，，，联立方程组，消去整理得，则，原点到直线的距离为，所以，解得或，故或，故直线方程为或【典例3】（2023春·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考阶段练习）已知双曲线C的渐近线为，且过点．(1)求双曲线C的方程；(2)若直线与双曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点，若OA与OB垂直，求a的值以及弦长．【答案】(1)(2)，【详解】（1）由双曲线渐近线方程为，可设双曲线方程为：，又双曲线过点，双曲线的方程为：（2）设，，联立，化为．∵直线与双曲线C相交于A，B两点，∴，化为．∴，（*）∵，∴．∴，又，，∴，把（*）代入上式得，化为．满足．∴．由弦长公式可得【变式1】（2023春·四川遂宁·高二射洪中学校考期中）已知双曲线的焦点为，，且该双曲线过点．(1)求双曲线的标准方程；(2)过左焦点作斜率为的弦AB，求AB的长；(3)求的周长．【答案】(1)(2)25(3)54【详解】（1）因为双曲线的焦点在轴上，设双曲线方程为，由题意得，解得，所以双曲线方程为.（2）依题意得直线AB的方程为，设，.联立，得，，且，所以.（3）由（2）知A，B两点都在双曲线左支上，且，由双曲线定义，，从而，的周长为．【变式2】（2023·全国·高三专题练习）过双曲线的左焦点，作倾斜角为的直线.(1)求证：与双曲线有两个不同的交点；(2)求线段的中点的坐标和.【答案】(1)证明见解析(2)，【详解】（1）由双曲线方程知：，则，由得：，则，与双曲线有两个不同的交点.（2）设，，由（1）得：，，；；.【变式3】（2023秋·辽宁沈阳·高二沈阳二十中校联考期末）已知双曲线经过点，它的左焦点为，且到其渐近线的距离是．(1)求的方程；(2)过点的直线交左支于一点，且的斜率是，求长．【答案】(1)(2)【详解】（1）双曲线的左焦点为，渐近线方程为，即则到渐近线的距离为，又将代入双曲线方程得：，所以，故双曲线方程为；（2）由题意可得直线的方程为：，即，则，所以，解得，，即点横坐标为，所以.题型09三角形面积问题【典例1】（2023春·河南·高二校联考阶段练习）已知双曲线，点为其两个焦点，点为双曲线上一点，若，则三角形的面积为（

）A．2 B． C． D．【答案】D【详解】设，则，而，且，所以，故，故选：D.【典例2】（2023·河南新乡·新乡市第一中学校考模拟预测）已知双曲线：（）的离心率为3，焦点分别为，，点在双曲线上.若的周长为，则的面积是.【答案】【详解】解：设，因为双曲线：（）的离心率为3，所以，即，又的周长为，所以，由双曲线的定义得，解得，由余弦定理得，则，所以，故答案为：【典例3】（2023春·上海宝山·高二上海交大附中校考期中）已知双曲线，及直线.(1)若与有且只有一个公共点，求实数的值；(2)若与的左右两支分别交于A、B两点，且的面积为，求实数的值.【答案】(1)或(2)【详解】（1）由，消去，得①，当，即时，方程①有一解，与仅有一个交点（与渐近线平行时）.当，得与也只有一个交点（与双曲线相切时），综上得的取值是或；（2）设交点，由，消去，得，首先由，得且，并且，又因为与的左右两支分别交于A､B两点，所以，即，解得，故.因为直线l与y轴交于点，所以，故.解得或.因为，所以.【变式1】（2023·安徽六安·六安一中校考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为、，直线与双曲线交于，两点，若，则的面积等于（

）A．18 B．10 C．9 D．6【答案】C【详解】直线与双曲线交于，两点，若，则四边形为矩形，所以，，

由双曲线可得，，则，所以，所以，又，所以，解得，所以．故选：C．【变式2】（2023秋·河南平顶山·高二统考期末）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，其中与抛物线的焦点重合，点P在双曲线C的右支上，若，且，则的面积为.【答案】【详解】由双曲线右焦点与抛物线的焦点重合，可得，所以，设，则，因为，所以，则，解得，所以，.故答案为：【变式3】（2023·浙江·二模）已知，分别为双曲线：的左、右焦点，是上一点，线段与交于点.(1)证明：；(2)若的面积为8，求直线的斜率.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）由题意在双曲线左支上，在右支上，令且，而，则线段中点为，又，则，所以，则中点在双曲线上或外部，即，仅当重合时等号成立，故.（2）若，则，令，，联立双曲线，则，而，则，，所以，故，可得（负值舍），所以，故直线斜率为.题型10中点弦和点差法【典例1】（2023·全国·高三专题练习）过点的直线与双曲线相交于两点，若是线段的中点，则直线的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】解：设，则，两式相减得直线的斜率为，又直线过点，所以直线的方程为，经检验此时与双曲线有两个交点.故选：A【典例2】（2023春·甘肃兰州·高二统考期中）已知双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为1.(1)求的方程；(2)经过点的直线交于两点，且为线段的中点，求的方程.【答案】(1)(2)【详解】（1）解：双曲线的渐近线为，即，所以，又焦点到直线的距离，所以，又，所以，，所以双曲线方程为（2）解：设，，直线的斜率为，则，，所以，，两式相减得，即即，所以，解得，所以直线的方程为，即，经检验直线与双曲线有两个交点，满足条件，所以直线的方程为.【典例3】（2023春·江西萍乡·高二校联考阶段练习）已知双曲线的右焦点为，且C的一条渐近线经过点.(1)求C的标准方程；(2)是否存在过点的直线l与C交于不同的A，B两点，且线段AB的中点为P.若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)不存在，理由见解析【详解】（1）解：因为双曲线C的右焦点为，所以，可得，又因为双曲线C的一条渐近线经过点，可得，即，联立方程组，解得，所以双曲线C的标准方程为.（2）解：假设存在符合条件的直线，易知直线l的斜率存在，设直线的斜率为，且，则，两式相减得，所以，因为的中点为，所以，所以，解得，直线的方程为，即，把直线代入，整理得，可得，该方程没有实根，所以假设不成立，即不存在过点的直线与C交于两点，使得线段的中点为.【变式1】（2023·高二课时练习）双曲线的一条弦的中点为，则此弦所在的直线方程为.【答案】【详解】由双曲线的对称性可得此弦所在的直线斜率存在，设弦的两端分别为，，则有，两式相减得，所以，又因为弦的中点为，所以，故直线斜率，则所求直线方程为，整理得，由得，，故该直线满足题意，故答案为：【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的其中一个焦点为，一条渐近线方程为（1）求双曲线的标准方程；（2）已知倾斜角为的直线与双曲线交于两点，且线段的中点的纵坐标为4，求直线的方程.【答案】（1）（2）【详解】（1）由焦点可知，又一条渐近线方程为所以，由可得,解得，，故双曲线的标准方程为（2）设，AB中点的坐标为则①，②，②①得：，即，又，所以，所以直线的方程为，即【变式3】（2023秋·重庆北碚·高二西南大学附中校考阶段练习）双曲线的渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为2．(1)求C的方程；(2)是否存在直线l，经过点且与双曲线C于A，B两点，M为线段AB的中点，若存在，求l的方程：若不存在，说明理由．【答案】(1)(2)存在；.【详解】（1）双曲线的渐近线为，因为双曲线的一条渐近线方程为，所以，又焦点到直线的距离，所以，又，所以，，所以双曲线方程为（2）假设存在，由题意知：直线的斜率存在，设，，直线的斜率为，则，，所以，，两式相减得，即即，所以，解得，所以直线的方程为，即，经检验直线与双曲线有两个交点，满足条件，所以直线的方程为.题型11双曲线的定点、定值、定直线问题问题【典例1】（2023春·全国·高二合肥市第六中学校联考开学考试）已知为坐标原点，双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，，分别是线段，的中点，且，．(1)求双曲线的标准方程；(2)已知点，，当与，不重合时，设直线，的斜率分别为，，证明：为定值．【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）因为，，分别是线段，，的中点，所以，．因为，所以，所以由双曲线的定义知，解得．设双曲线的半焦距为（）．因为，所以，所以，所以．所以双曲线的标准方程为．（2）设（），则，所以，所以，所以．因为，，所以，所以，为定值．【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的离心率为2，右焦点到其中一条渐近线的距离为.(1)求双曲线的标准方程；(2)过右焦点作直线交双曲线于两点，过点作直线的垂线，垂足为，求证直线过定点.【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）由题意，设右焦点的坐标为，双曲线的渐近线方程为：，右焦点到其中一条渐近线的距离为，可得，又因为，解得，故双曲线的标准方程为.（2）当直线的斜率不为0时，设，则联立方程组，得整理得：.，且，,，令得，，直线过定点.当直线的斜率为0时，此时直线:，此时均在轴上，故直线过定点.综上：直线过定点.【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C：的离心率为，过点的直线l与C左右两支分别交于M，N两个不同的点（异于顶点）．(1)若点P为线段MN的中点，求直线OP与直线MN斜率之积（O为坐标原点）；(2)若A，B为双曲线的左右顶点，且，试判断直线AN与直线BM的交点G是否在定直线上，若是，求出该定直线，若不是，请说明理由【答案】(1)1(2)是在定直线上，定直线【详解】（1）由题意得，所以，设，，，则，作差得，又MN的斜率，，所以.（2）∵，∴，，，直线l：，，设，，联立得，所以，所以，设直线AN：，BM：，所以，所以．故存在定直线，使直线AN与直线BM的交点G在定直线上．【变式1】（2023·高二课时练习）已知双曲线过点，且离心率(1)求该双曲线的标准方程：(2)如果，为双曲线上的动点，直线与直线的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出该定值.【答案】(1)(2)证明见解析，【详解】（1）由题意，解得，，故双曲线方程为（2）设点，，设直线的方程为，代入双曲线方程，得，，，，同理，.【变式2】（2023·高二课时练习）已知双曲线的左右顶点分别为.直线和两条渐近线交于点,点在第一象限且,是双曲线上的任意一点.(1)求双曲线的标准方程；(2)是否存在点P使得为直角三角形？若存在,求出点P的个数；(3)直线与直线分别交于点,证明：以为直径的圆必过定点.【答案】(1)；(2)4个；(3)证明过程见解析.【详解】(1)因为,所以,双曲线的渐近线方程为：,由题意可知：而,所以,因此双曲线的标准方程为：；(2)因为直线的斜率为,所以与直线垂直的直线的斜率为,设点的坐标为：,则有.当时,所以且,解得或此时存在2个点；当时,所以且,,解得或,此时存在2个点；当时,此时点是以线段为直径圆上,圆的方程为：,与双曲线方程联立,无实数解,综上所述：点P的个数为4个；(3)设点的坐标为,.因为三点共线,所以直线的斜率相等,即因为三点共线,所以直线的斜率相等,即,所以的中点坐标为：,所以以为直径的圆的方程为：,即令或,因此该圆恒过两点.【变式3】（2023·全国·高三专题练习）在①C的渐近线方程为

②C的离心率为这两个条件中任选一个，填在题中的横线上，并解答．已知双曲线C的对称中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，点在C上，且______．(1)求C的标准方程；(2)已知C的右焦点为F，直线PF与C交于另一点Q，不与直线PF重合且过F的动直线l与C交于M，N两点，直线PM和QN交于点A，证明：A在定直线上．注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分．【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）选①因为C的渐近线方程为，所以，故可设C的方程为，代入点P的坐标得，可得，故C的标准方程为．选②．因为C的离心率为，所以，得，故可设C的方程为，代入点P的坐标得，可得，故C的标准方程为．（2）由（1）可知F的坐标为，由双曲线的对称性，可知点Q的坐标为．设点M，N的坐标分别为，直线l的方程为，联立直线和双曲线方程得，所以，，直线PM：，即，直线QN：，即，消去y，得，整理得，则．因为，所以A的横坐标为1．故A在定直线上．题型12双曲线中的向量问题【典例1】（2023秋·广东深圳·高二统考期末）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：（，）的一条渐近线为，且点在C上．(1)求C的方程；(2)设C的上焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点，且，求l的斜率．【答案】(1)(2)【详解】（1）由双曲线标准方程可知，其渐近线方程为，所以，可得，将代入可得，解得；所以双曲线C的方程为.（2）由（1）可知，上焦点，设直线l的斜率为，，则直线l的方程为，联立整理得；所以又，即，可得，所以，即，解得；所以直线l的斜率为【典例2】（2023秋·江苏苏州·高二统考期末）在平面直角坐标系中，存在两定点，与一动点A.已知直线与直线的斜率之积为3.(1)求A的轨迹；(2)记的左、右焦点分别为、.过定点的直线交于、两点.若、两点满足，求的方程.【答案】(1)(2)或.【详解】（1）设，由题意，化简可得所以A的轨迹为.（2）由题设过定点的直线方程为，将其与联立有：，消去y得：因交于、两点，则.设，则由韦达定理有：.又，则，，则.又，，解得，则的方程为：或.【变式1】（2023秋·浙江杭州·高二杭州高级中学校考期末）已知双曲线C：的渐近线方程为，且过点．(1)求双曲线C的方程；(2)若F是双曲线的右焦点，Q是双曲线上的一点，过点F，Q的直线l与y轴交于点M，且，求直线l的斜率．【答案】(1)(2)【详解】（1）解：因为双曲线C：的渐近线方程为，所以，又因为双曲线C：过点，所以，解得，所以双曲线的方程为；（2）由（1）知：，则，由题意设直线方程为，令，得，则，设，则，因为，所以，则，解得，因为点Q在双曲线上，所以，解得，所以直线l的斜率为.【变式2】（2023秋·安徽滁州·高二校联考期末）已知双曲线：（，）的左顶点为，到的一条渐近线的距离为．(1)求的方程；(2)过点的直线与交于，两点，求的值．【答案】(1)(2)0【详解】（1）由题意知，的一条渐近线方程为，即，所以到的一条渐近线的距离为，所以，又，解得，所以的方程为．（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，易得，或，，所以；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，联立，得，所以，解得，所以，，所以综上，．A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础一、单选题1．（2023春·四川资阳·高二统考期末）双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为双曲线，所以，，所以，的离心率，故B，C，D错误.故选：A.2．（2023·四川成都·校考一模）已知中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的离心率为，则它的渐近线方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】设双曲线的方程为，因为，所以，则，所以渐近线方程为.故选：C.3．（2023春·四川成都·高二校联考期末）若双曲线的渐近线方程为，实轴长为，且焦点在x轴上，则该双曲线的标准方程为（

）A．或 B．C． D．【答案】C【详解】由题可得，解得，因为焦点在x轴上，所以双曲线的标准方程为.故选:C.4．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知，分别为双曲线的左、右焦点，点在的右支上，点在直线上，若，则双曲线的离心率的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】设点的横坐标为，，，即，由题可知，，得．故选：D.5．（2023·湖南·校联考模拟预测）过双曲线的左焦点作直线交双曲线于A，B两点，若实数使得的直线恰有3条，则（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【详解】左支内最短的焦点弦，又，所以与左、右两支相交的焦点弦长，因为实数使得的直线恰有3条，根据双曲线对称性可知：其中一条与实轴垂直，另两条关于轴对称.如图所示：

所以当时，有3条直线满足题意.故选：C6．（2023春·河南·高二校联考阶段练习）已知双曲线，点为其两个焦点，点为双曲线上一点，若，则三角形的面积为（

）A．2 B． C． D．【答案】D【详解】设，则，而，且，所以，故，故选：D.7．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知双曲线的左焦点为，过原点的直线与交于点，，若，则（

）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】A【详解】双曲线，则，，，由可得，设为右支上一点，为右焦点，连接、，则四边形为矩形，所以，设，，则，，所以.故选：A8．（2023·江西赣州·统考二模）已知双曲线的左、右焦点分别是，，直线分别经过双曲线的实轴和虚轴的一个端点，，到直线的距离和大于实轴长，则双曲线的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】设直线经过，则直线的方程为，即，则到直线的距离分别为，，故，解得，故离心率，故双曲线的离心率的取值范围是.故选：B二、多选题9．（2023·海南·校考模拟预测）下列关于双曲线说法正确的是（

）A．实轴长为6 B．与双曲线有相同的渐近线C．焦点到渐近线距离为4 D．与椭圆有同样的焦点【答案】ABD【详解】由题意，双曲线满足，即，于是，故A选项正确；双曲线的焦点在轴上，故渐近线方程为：，而双曲线焦点也在轴，故渐近线为，即它们渐近线方程相同，B选项正确；焦点为，不妨取其中一个焦点和一条渐近线，根据点到直线的距离公式，焦点到渐近线距离为：，C选项错误；椭圆的焦点为，根据C选项可知，椭圆和双曲线焦点一样，D选项正确.故选：ABD10．（2023秋·广东梅州·高二统考期末）已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的方程可以是（

）A． B．C． D．【答案】BC【详解】对于A项，的渐近线方程为，故A项错误；对于B项，的渐近线方程为，故B项正确；对于C项，的渐近线方程为，故C项正确；对于D项，的渐近线方程为，故D项错误.故选：BC.三、填空题11．（2023春·上海静安·高二统考期末）若双曲线的渐近线方程为，且过点，则的焦距为.【答案】【详解】因为双曲线的渐近线方程是，故可设双曲线的方程为：，把点代入双曲线方程可得，所以双曲线方程为，化为标准方程得，所以，，，，所以双曲线的焦距为．故答案为：．12．（2023春·上海徐汇·高二上海市徐汇中学校考期中）已知直线和双曲线，若l与C的右支交于不同的两点，则t的取值范围是．【答案】【详解】由消去y得：，由于l与C的右支交于不同的两点，则直线与双曲线的两个交点横坐标均为正，且不等，于是，解得，所以t的取值范围是.故答案为：

四、解答题13．（2023春·新疆塔城·高二统考开学考试）双曲线的左、右焦点分别为，已知焦距为8，离心率为2，(1)求双曲线标准方程；(2)求双曲线的顶点坐标、焦点坐标、实轴和虚轴长及渐近线方程.【答案】(1)(2)答案见详解【详解】（1）由题知，，解得，所以，所以双曲线标准方程为：.（2）由（1）知，双曲线焦点在x轴上，所以双曲线的顶点坐标为，焦点坐标为，实轴长，虚轴长，渐近线方程为，即.14．（2023春·黑龙江鸡西·高二鸡西实验中学校考期中）已知双曲线的实轴长为2，右焦点为.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线与双曲线交于不同的两点，，求.【答案】(1)(2)【详解】（1）由已知，，又，则，所以双曲线方程为.（2）由，得，则，设，，则，，所以.15．（2023春·浙江杭州·高二校考阶段练习）已知双曲线的方程为，离心率为2，右顶点为.(1)求双曲线的标准方程；(2)过的直线与双曲线的一支交于、两点，求的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）由离心率又,所以，又右顶点为，所以，所以，故双曲线的标准方程为.（2）设直线的方程为，设，则由得，因为直线与双曲线一支交于、两点，所以