第3讲12.3 角的平分线的性质（解析版）

12.3角平分线的性质（解析版）一、学习目标1.掌握角平分线的尺规作图的方法，知道作法的理论依据。能理解角平分线与三角形的角平分线的区别与联系2.探索并证明角平分线的性质与判定定理（高频考点，难点）3.能用角平分线的性质与判定定理解决问题（高频考点，难点）4.通过三角形的角平分线，了解三角形中三条角平分线交于一点的事实（高频考点，难点）5.掌握命题的一般步骤二、新知解读知识点1角平分线的尺规作图典例1在平行四边形ABCD中，用尺规作图画∠BAD的角平分线（不用写过程，留下作图痕迹），交DC于点H，若BC＝6，DH＝2HC，求平行四边形ABCD的周长．【思路引领】利用基本作图作AH平分∠BAD，则∠BAH＝∠DAH，再利用平行四边形的性质得到CD∥AB，AB＝CD，AD＝BC＝6，接着证明∠DAH＝∠DHA得到DA＝DH＝6，所以CH＝3，然后计算平行四边形ABCD的周长．解：如图，AH为所作．∵AH平分∠BAD，∴∠BAH＝∠DAH，∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD∥AB，AB＝CD，AD＝BC＝6，∴∠BAH＝∠DHA，∴∠DAH＝∠DHA，∴DA＝DH＝6，∵DH＝2CH，∴CH＝3，∴平行四边形ABCD的周长＝2（AD+CD）＝2×（6+9）＝30．【点睛】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了平行四边形的性质．知识点2角平分线的性质典例2如图，在△ABC中，C＝90°，AD是∠BAC的平分线，若CD＝3，AB＝10，则S△ABD＝．【思路引领】由点D是∠BAC平分线上的点，根据角平分线的性质，得到点D到∠BAC两边的距离相等，再根据三角形的面积公式即可解答．解：过点D作DE⊥AB于点E，∵AD是∠BAC的平分线，∠C＝90°，CD＝3，∴CD＝DE＝3．∵AB＝10，∴S△ABD＝15．故答案为：15．【点睛】本题考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到两边的距离相等是解题的关键．知识点3命题的证明典例3-1已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BD、CE分别是AC、AB边上的高．求证：BD＝CE．【思路引领】利用“AAS”证明△ABD≌△ACE，进而得出BD＝CE．证明：∵BD、CE分别是AC、AB边上的高，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（AAS），∴BD＝CE．【点睛】本题考查了全等三角形的判断与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．典例3-2投影屏上是对“定理：角平分线上的点到角两边的距离相等”的证明．已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P是OC上任意一点，PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为E、F．求证：PE＝PF．证明：∵OC是∠AOB的平分线，∴∠POE＝∠POF，∵PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠PEO＝∠PFO，∴△POE≌△POF，∴PE＝PF．小明为了保证以上证明过程更加严谨，想在投影屏上“∴∠PEO＝∠PFO”和“∴△POE≌△POF”之间作补充，下列正确的是（）A．投影屏上推理严谨，不必补充 B．应补充：“又∵∠OPE＝∠OPF” C．应补充：“又OE＝OF，OP＝OP” D．应补充：“又OP＝OP”【思路引领】根据全等三角形的判定的定理进行求解即可．解：∵OC是∠AOB的平分线，∴∠POE＝∠POF，∵PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠PEO＝∠PFO，∵OP＝OP，∴△POE≌△POF（AAS），∴PE＝PF．故选：D．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，解答的关键是对全等三角形的判定条件的掌握．知识点4角平分线的判定典例4如图，△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于E，F在AC上，且BE＝FC，BD＝FD，求证：AD是∠BAC的平分线．【思路引领】利用“HL”可证明Rt△CDF≌Rt△EDB，则DC＝DE，然后根据角平行线性质定理的逆定理可判断AD是∠BAC的平分线．证明：在Rt△CDF和Rt△EDB中，，∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），∴DC＝DE，而DC⊥AC，DE⊥AB，∴∠DAC＝∠DAB，即AD是∠BAC的平分线．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．也考查了角平分线的性质定理的逆定理．三、易错预警易错点：在应用角平分线的性质时由于漏掉条件而出错。易错题如图，OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，点F是射线OB上一个动点，若PE＝2，则PF的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【思路引领】由直线外一点与直线上各点连接的所有线段中垂线段最短可知，当PF⊥OB时，PF的值最小，根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”可得PE＝PF．解：当PF⊥OB时，PF的值最小．∵OP平分∠AOB，PE⊥OA，PF⊥OB，PE＝2，∴PE＝PF＝2（角平分线上的点到角的两边距离相等），∴PF的最小值为2．故选：B．【点睛】本题考查角平分线的性质，垂线段最短，解题的关键是熟练角平分线的性质，属于中考常考题型．四、题型梳理题型1角平分线性质的一般应用方法点拨：点在角平分线上，得垂线段相等，从而求线段的和差、周长、面积，以及作为证明全等的条件典例1如图，已知∠1＝∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于D，AB+BC＝2BD，求证：∠BAP+∠BCP＝180°．【思路引领】过点P作PE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PD＝PE，再利用“HL”证明Rt△BPE和Rt△BPD全等，根据全等三角形对应边相等可得BE＝BD，然后求出AE＝CD，再利用“边角边”证明△APE和△CPD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BCP＝∠PAE，然后根据邻补角的定义解答即可．证明：如图，过点P作PE⊥AB于E，∵∠1＝∠2，PD⊥BC，∴PD＝PE，在Rt△BPE和Rt△BPD中，，∴Rt△BPE≌Rt△BPD（HL），∴BE＝BD，∵AB+BC＝2BD，∴BE﹣AE+BD+CD＝2BD，∴AE＝CD，在△APE和△CPD中，，∴△APE≌△CPD（SAS），∴∠BCP＝∠PAE，∵∠BAP+∠PAE＝180°，∴∠BAP+∠BCP＝180°．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形，并二次证明全等是解题的关键．针对训练1．如图所示，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，且AB＝6cm，则△DEB的周长为（）A．5cm B．6cm C．9cm D．不能确定【思路引领】由AD平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB可得DC＝DE，从而可得AC＝AE，再根据AC＝BC求解．解：∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DC＝DE，∵AD＝AD，∴△ACD≌△AED，∴AC＝AE，∴△DEB的周长为BE+BD+DE＝BE+BD+DC＝BE+BC＝BE+AE＝AB＝6cm．故选：B．【点睛】本题考查角平分线的性质，解题关键是掌握等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法及性质．2．如图所示，已知点P是△ABC三条角平分线的交点，PD⊥AB，若PD＝5，△ABC的周长为50，求△ABC的面积．【思路引领】作PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，如图，根据角平分线的性质得到PE＝PF＝PD＝5，然后根据三角形面积公式和S△ABC＝S△PAB+S△PBC+S△PAC得到S△ABC＝（AB+BC+AC），再把△ABC的周长为50代入计算即可．解：作PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，如图，∵点P是△ABC三条角平分线的交点，∴PE＝PF＝PD＝5，∴S△ABC＝S△PAB+S△PBC+S△PAC＝PD•AB+PE•BC+PF•AC＝（AB+BC+AC）＝×50＝125．【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形面积公式．题型2角平分线性质的实际应用方法点拨：利用角平分线的性质去确定符合条件的点的位置典例2为了加快灾后重建的步伐，我市某镇要在三条公路围成的一块平地上修建一个砂石场，如图，要使这个砂石场到三条公路的距离相等，则可供选择的地址（）A．仅有一处 B．有四处 C．有七处 D．有无数处【思路引领】利用角平分线性质定理：角的平分线上的点，到这个角的两边的距离相等．又要求砂石场建在三条公路围成的一块平地上，所以是三个内角平分线的交点．解：满足条件的点有1个：是三个内角平分线交点．故选：A．【点睛】此题考查学生对角平分线的性质的理解和掌握，解答此题的关键是熟练掌握角平分线性质定理．针对训练1．如图所示，有一块三角形的空地，其三边长分别为20m、30m、40m，现在要把它分成面积比为2：3：4的三部分，分别种植不同的花．请你设计出一个方案，并说明你的理由．【思路引领】分别作∠C和∠B的角平分线，它们相交于点P，连接PA，经过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，PH⊥BC于点H，利用S△ABP＝AB×PE，S△BCP＝BC×PH，S△ACP＝AC×PF，得出面积比即可．解：方案：如图所示，分别作∠C和∠B的角平分线，它们相交于点P，连接PA．则△PAB、△PAC、△PBC的面积之比就是2：3：4．理由：经过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，PH⊥BC于点H．因为点P是∠C和∠B的角平分线上的点，所以PE＝PF＝PH．所以S△ABP＝AB×PE＝10PE，S△BCP＝BC×PH＝20PH，S△ACP＝AC×PF＝15PF，所以S△ABP：S△ACP：S△BCP＝10PE：15PF：20PH＝2：3：4．【点睛】此题主要考查了全等三角形的面积求法以及应用与设计作图，根据已知表示出三角形面积是解题关键．题型3角平分线判定定理的应用方法点拨：做垂直，证相等，根据角平分线的判定定理得角平分线典例3如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB．若CD＝3，AB＝10，△ABD的面积为15，AD是∠BAC的角平分线吗？请说明理由．【思路引领】根据三角形面积公式得出DE，进而利用角平分线的判定解答即可．解：AD是∠BAC的角平分线，∵AB＝10，△ABD的面积为15，DE⊥AB，∴DE＝，∴DE＝CD，∵∠C＝90°，DE⊥AB，∴AD是∠BAC的角平分线．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，利用角平分线的判定是解题的关键．针对训练1．已知，如图，点B、C分别在射线OA、OD上，AB＝CD，△PAB的面积等于△PCD的面积求证：OP平分∠AOD．【思路引领】作PE⊥AB于E，PF⊥CD于F，根据三角形的面积公式得到PE＝PF，根据角平分线的判定定理证明即可．证明：作PE⊥AB于E，PF⊥CD于F，∵△PAB的面积等于△PCD的面积，AB＝CD，∴PE＝PF，∵PE＝PF，PE⊥AB，PF⊥CD，∴OP平分∠AOD．【点睛】本题考查的是角平分线的判定定理，掌握到角的两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键．题型四角平分线的性质与判定的综合运用方法点拨：利用角平分线的性质和判定定理去解决线段相等或角相等的问题，不必再去证明两个三角形全等，有时需要添加辅助线，过角平分线上的点向角的两边作垂线段，将符合性质定理的基本图形构造出来。典例4如图，BP，CP都是△ABC的外角平分线，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N．求证：AP平分∠MAN．【思路引领】作PD⊥BC于点D，根据角平分线的性质得到PM＝PD，PN＝PD，得到PM＝PN，根据角平分线的判定定理证明即可．证明：作PD⊥BC于点D，∵BP是△ABC的外角平分线，PM⊥AB，PD⊥BC，∴PM＝PD，同理，PN＝PD，∴PM＝PN，又∵PM⊥AB，PN⊥AC，∴PA平分∠MAN．【点睛】本题考查的是角平分线的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．针对训练1．已知：如图，△ABC的角平分线BE、CF相交于点P．求证：点P在∠A的平分线上．【思路引领】过点P作PD⊥AB、PM⊥BC、PN⊥AC垂足分别为D、M、N，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PD＝PM，同理可得PM＝PN，从而得到PD＝PN，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可．证明：如图，过点P作PD⊥AB、PM⊥BC、PN⊥AC垂足分别为D、M、N，∵BE平分∠ABC，点P在BE上，∴PD＝PM，同理，PM＝PN，∴PD＝PN，∴点P在∠A的平分线上．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．题型5角平分线在探究题中的应用此类题灵活性较强，一般是将角平分线的性质定理和三角形全等综合使用，用于探究线段间的数量关系或者等积变形等问题典例5在△ABC中，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．（1）①如图（1），当∠B＝60°，∠ACB＝90°，则∠AFC＝；②如图（2），如果∠ACB不是直角，∠B＝60°时，请问在①中所得的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（2）如图（3），在②的条件下，请猜想EF与DF的数量关系，并证明你的猜想．【思路引领】（1）①根据角平分线的定义求出∠FAC、∠FCA，再根据三角形的内角和定理列式计算即可得解；②根据三角形内角和定理和角平分线的定义求出∠FAC、∠FCA，再利用三角形内角和定理列式计算即可得解；（2）过点F作FG⊥BC于G，作FH⊥AB于H，作FM⊥AC于M，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得FG＝FH＝FM，再求出∠EFH＝∠DFG，然后利用“角边角”证明△EFH和△DFG全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．解：（1）①∵∠B＝60°，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，∴∠FAC＝∠BAC＝×30°＝15°，∠FCA＝∠ACB＝×90°＝45°，∴∠AFC＝180°﹣15°﹣45°＝120°；故答案为：120°．②∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，∴∠FAC+∠FCA＝（∠BAC+∠ACB）＝（180°﹣∠B），∴∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠FCA）＝180°﹣（180°﹣∠B）＝90°+∠B，∵∠B＝60°，∴∠AFC＝90°+×60°＝120°；（2）如图，过点F作FG⊥BC于G，作FH⊥AB于H，作FM⊥AC于M，∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，∴FG＝FH＝FM，∵∠EFH+∠DFH＝120°，∠DFG+∠DFH＝360°﹣90°×2﹣60°＝120°，∴∠EFH＝∠DFG，在△EFH和△DFG中，，∴△EFH≌△DFG（AAS），∴EF＝DF．【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判断与性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，（2）作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．针对训练1．如图，∠AOB＝90°，OM平分∠AOB，将直角三角板的顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA、OB相交于点C、D，问PC与PD相等吗？试说明理由．【思路引领】先过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，构造全等三角形：Rt△PCE和Rt△PDF，这两个三角形已具备两个条件：90°的角以及PE＝PF，只需再证∠EPC＝∠FPD，根据已知，两个角都等于90°减去∠CPF，那么三角形全等就可证．解：PC与PD相等．理由如下：过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F．∵OM平分∠AOB，点P在OM上，PE⊥OA，PF⊥OB，∴PE＝PF（角平分线上的点到角两边的距离相等）又∵∠AOB＝90°，∠PEO＝∠PFO＝90°，∴四边形OEPF为矩形，∴∠EPF＝90°，∴∠EPC+∠CPF＝90°，又∵∠CPD＝90°，∴∠CPF+∠FPD＝90°，∴∠EPC＝∠FPD＝90°﹣∠CPF．在△PCE与△PDF中，∵，∴△PCE≌△PDF（ASA），∴PC＝PD．【点睛】本题考查了角平分线的性质，以及四边形的内角和是360°、还有三角形全等的判定和性质等知识．正确作出辅助线是解答本题的关键．2．如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC上一点，且DM平分∠ADC，AM平分∠DAB，求证：AD＝CD+AB．【思路引领】过M作ME⊥AD于E，根据垂直定义和角平分线性质得出∠C＝∠DEM＝90°，∠B＝∠AEM＝90°，∠CDM＝∠EDM，CM＝EM，∠EAM＝∠BAM，BM＝ME，根据AAS推出△MCD≌△MED，根据全等得出CD＝DE，AE＝AB，即可得出答案．证明：如图：过M作ME⊥AD于E，∵∠B＝∠C＝90°，DM平分∠ADC，AM平分∠DAB，∴∠C＝∠DEM＝90°，∠B＝∠AEM＝90°，∠CDM＝∠EDM，CM＝EM，∠EAM＝∠BAM，BM＝ME，在△MCD和△MED中∴△MCD≌△MED（AAS），∴CD＝DE，同理：AE＝AB，∴AD＝AE+DE＝CD+AB．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．五、重点题型重点题型——利用角平分线的性质解决面积问题方法点拨：1.三角形三条角分线的交点到三边的距离相等，链接这个交点与各个顶点，讲角平分线的交点到三边的距离转化为三个小三角形的高2.登高三角形的面积等于底边长的比典例角平分线上的点到角两边的距离相等．这一性质在解决图形面积问题时有何妙用呢？阅读材料：已知，如图（1），在面积为S的△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，三条角平分线的交点O到三边的距离为r．连接OA、OB、OC，△ABC被划分为三个小三角形．∵S＝S△OBC+S△OAC+S△OAB＝BC•r+AC•r+AB•r＝（a+b+c）•r，∴r＝（1）类比推理：若面积为S的四边形ABCD的四条角平分线交于O点，如图（2），各边长分别为AB＝a，BC＝b，CD＝c，AD＝d，求点O到四边的距离r；（2）理解应用：如图（3），在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝21，CD＝11，AD＝BC＝13，对角线BD＝20，点O1与O2分别为△ABD与△BCD的三条角平分线的交点，设它们到各自三角形三边的距离为r1和r2，求的值．【思路引领】（1）已知已给出示例，我们仿照例子，连接OA，OB，OC，OD，则四边形被分为四个小三角形，且每个三角形都以内切圆半径为高，以四边形各边作底，这与题目情形类似．仿照证明过程，r易得；（2）（1）中已告诉我们内切圆半径的求法，如是我们再相比即得结果．但求内切圆半径需首先知道三角形各边边长，根据等腰梯形性质，过点D作AB垂线，进一步易得BD的长，则r1、r2、易得．解：（1）如图，连接OA、OB、OC、OD，∵S＝S△AOB+S△BOC+S△COD+S△AOD＝ar+br+cr+dr＝（a+b+c+d）r，∴r＝；（2）∵AB∥CD，∴S△ABD：S△BCD＝AB：CD＝21：11；∵r1＝＝，r2＝＝，∴＝：＝×＝＝．【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形面积计算以及等腰梯形等相关知识的综合应用，这类创新性题目已经成为新课标热衷的考点，同时要求学生在日常的学习中要注重自我学习能力的培养．针对训练1．在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连接AD．（1）如图1，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ACD＝；（2）如图2，当AD是∠BAC的平分线时，若AB＝m，AC＝n，求S△ABD：S△ACD的值（用含m，n的代数式表示）；（3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E，使得AD＝DE，连接BE，如果AC＝2，AB＝4，S△BDE＝6，那么S△ABC＝．【思路引领】（1）过A作AE⊥BC于E，根据三角形面积公式求出即可；（2）过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根据角平分线性质求出DE＝DF，根据三角形面积公式求出即可；（3）根据已知和（1）（2）的结论求出△ABD和△ACD的面积，即可求出答案．解：（1）过A作AE⊥BC于E，∵点D是BC边上的中点，∴BD＝DC，∴SABD：S△ACD＝（×BD×AE）：（×CD×AE）＝1：1，故答案为：1：1；（2）过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∵AD为∠BAC的角平分线，∴DE＝DF，∵AB＝m，AC＝n，∴SABD：S△ACD＝（×AB×DE）：（×AC×DF）＝m：n；（3）∵AD＝DE，∴由（1）知：S△ABD：S△EBD＝1：1，∵S△BDE＝6，∴S△ABD＝6，∵AC＝2，AB＝4，AD平分∠CAB，∴由（2）知：S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝4：2＝2：1，∴S△ACD＝3，∴S△ABC＝3+6＝9，故答案为：9．【点睛】本题考查了角平分线性质和三角形的面积公式，能根据（1）（2）得出规律是解此题的关键．六、考向预测考点1角平分线的性质考情分析：与教材第56页第12题考点相同，中考中考查利用角平分线的性质证明或计算，题型以选择题、填空题为主，难度中等。典例1如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，AC＝2，DE＝1，则△ACD的面积为（）A．2 B．1 C．4 D．3【思路引领】过D点作DF⊥AC于F，如图，根据角平分线的性质得到DF＝DE＝3，然后根据三角形面积公式求解．解：过D点作DF⊥AC于F，如图，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DF＝DE＝1，∴△ADC的面积＝×2×1＝1．故选：B．【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．考点2角平分线的判定考情分析：和教材第55页第5题考点相同，中考中考查通过角平分线的判定方法进行判定，进而计算角度。题型以选择题、填空题为主，难度中等典例2如图所示，点O在一块直角三角板ABC上（其中∠ABC＝30°），OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N，若OM＝ON，则∠ABO＝度．【思路引领】方法一：根据OM⊥AB，ON⊥BC，可知∠OMB＝∠ONB＝90°，从而可证Rt△OMB≌Rt△ONB（HL），根据全等三角形的性质可得∠OBM＝∠OBN，即可求出∠ABO的度数．方法二：根据角平分线的判定定理求解即可．解：方法一：∵OM⊥AB，ON⊥BC，∴∠OMB＝∠ONB＝90°，在Rt△OMB和Rt△ONB中，，∴Rt△OMB≌Rt△ONB（HL），∴∠OBM＝∠OBN，∵∠ABC＝30°，∴∠ABO＝15°．方法二：∵OM⊥AB，ON⊥BC，又∵OM＝ON，∴OB平分∠ABC，∴∠OBM＝∠OBN，∵∠ABC＝30°，∴∠ABO＝15°．故答案为：15．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握判定直角三角形全等特有的方法（HL）是解题的关键．最新考法——三角形的面积与周长的关系方法点拨：角平分线的性质与垂直相关，进而联想到三角形的边长那个、高于面积或周长之间的关系。预测题如图，△ABC的两条内角平分线相交于点D，过点D作一条平分△ABC面积的直线，那么这条直线分成的两个图形的周长比是（）A．2：1 B．1：1 C．2：3 D．3：1【思路引领】连接AD，过D点作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，作DG⊥BC于点G，根据角平分线的性质可知：AD也是一条角平分线，D为△ABC的内心，则有DE＝DF＝DG，根据MDN平分△ABC的面积以此来列等式即可求解．解：连接AD，过D点作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，作DG⊥BC于点G，∵△ABC的两条内角平分线相交于点D，∴AD也是△ABC的角平分线，则D点为△ABC的内心，∴DE＝DF＝DG，设MN平分△ABC的面积，则S△BDM+S△BDN＝S△ADM+S△ADC+S△DCN，∵S△BDM＝BM•DE，S△ADM＝AM•DE，S△ADC＝AC•DF，S△DCN＝NC•DG，S△BDN＝BN•DG，∴BM•DE+BN•DG＝AM•DE+AC•DF+NC•DG，∴BM+BN＝AM+AC+NC，∵MN＝MN，∴BM+BN+MN＝AM+AC+NC+MN，∴，即这条直线分成的两个图形的周长比是：1：1．故选：B．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，掌握三角形中三条角平分线的交点为三角形的内心，内心到三边的距离相等是解答本题的关键．七、提优训练（一）夯实双基1．如图，△ABC中，AB＝5，AC＝4，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、AC于D和E，再分别以点D、E为圆心，大于二分之一DE为半径作弧，两弧交于点F，连接AF并延长交BC于点G，GH⊥AC于H，GH＝2，则△ABG的面积为．【思路引领】由作法得AG平分∠BAC，过G点作GQ⊥AB于Q点，如图，根据角平分线的性质得到GH＝GQ＝2，然后利用三角形面积公式计算．解：由作法得AG平分∠BAC，过G点作GQ⊥AB于Q点，如图，∴GH＝GQ＝2，∴△ABG的面积＝×5×2＝5．故答案为：5．【点睛】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质．2．如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，且CD：BD＝3：4．若BC＝21，则点D到AB边的距离为（）A．7 B．9 C．11 D．14【思路引领】先确定出CD＝9，再利用角平分线上的点到两边的距离相等，即可得出结论．解：如图，∵CD：BD＝3：4．设CD＝3x，则BD＝4x，∴BC＝CD+BD＝7x，∵BC＝21，∴7x＝21，∴x＝3，∴CD＝9，过点D作DE⊥AB于E，∵AD是∠BAC的平分线，∠C＝90°，∴DE＝CD＝9，∴点D到AB边的距离是9，故选：B．【点睛】此题主要考查了角平分线的性质，线段的和差，解本题的关键是掌握角平分线的性质定理．3．如图，已知△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝2∠B，D是BC上一点，DE⊥AB于E，DE＝DC．求证：AD＝BD．【思路引领】根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上可以证明∠BAD＝∠BAC，然后即可证明∠B＝∠BAD，再根据等角对等边的性质即可证明AD＝BD．证明：∵∠C＝90°，DE⊥AB于E，DE＝DC，∴AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAD＝∠BAC，∵∠BAC＝2∠B，∴∠B＝∠BAD，∴AD＝BD．【点睛】本题考查了角平分线的判定与等角对等边的性质，证明得到AD是∠BAC的角平分线是证明本题的关键．4．命题：有两个内角相等的三角形必有两条高线相等，写出它的逆命题，并判断逆命题的真假，若是真命题，给出证明；若是假命题，请举反例，【思路引领】先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题，再得出命题的正确性．解：有两个内角相等的三角形必有两条高线相等的逆命题是有两条高线相等的三角形必有两个内角相等，是真命题；在Rt△BCE与Rt△CBD中．∴Rt△BCE≌Rt△CBD（HL），∴∠DCB＝∠EBC．【点睛】此题主要考查了命题与定理的证明，根据逆命题的概念来回答：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题，进而利用全等三角形的证明方法求出即可．（二）提高能力5．如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，S△ABC＝90，AB＝18，BC＝12，求DE的长．【思路引领】过点D作DF⊥BC于F，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE＝DF，然后根据三角形的面积列出方程求解即可．解：如图，过点D作DF⊥BC于F，∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，∴DE＝DF，∴S△ABC＝AB•DE+BC•DF＝90，即×18•DE+×12•DE＝90，解得DE＝6．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．6．如图，已知在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．（1）如图1，求∠BDC的度数；（2）如图2，连接AD，作DE⊥AB，DE＝2，AC＝4，求△ADC的面积．【思路引领】（1）先根据角平分线的定义得到∠DBC＝30°，∠DCB＝20°，然后根据三角形内角和进行计算即可解答；（2）过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点D作DH⊥BC，垂足为H，然后根据角平分线的性质得到DH＝DE＝DF＝2，然后根据三角形面积公式，进行计算即可解答．解：（1）∵BD平分∠ABC∴∠DBC＝∠ABC＝×60°＝30°，∵CD平分∠ACB，∴∠DCB＝∠ACB＝×40°＝20°，∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB＝180°﹣30°﹣20°＝130°，∴∠BDC的度数为130°；（2）过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点D作DH⊥BC，垂足为H，∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DH⊥BC，∴DH＝DE＝2，∵CD平分∠ACB，DF⊥AC，DH⊥BC，∴DF＝DH＝2，∴△ADC的面积＝DF•AC＝×2×4＝4，∴△ADC的面积为4．【点睛】本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．7．如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE．（1）求∠CAD的度数；（2）求证：DE平分∠ADC；（3）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，则△ABE的面积＝（直接写出结果，不需要过程）【思路引领】（1）根据题意先求出∠DAF的度数，利用直角三角形中两锐角互余可求出∠EAF的度数，然后根据∠CAD＝∠DAF﹣∠EAF即可求出∠CAD的度数；（2）根据题意作出辅助线，利用角平分线的性质，可以推出EF＝EN＝EM，再利用角平分线的判定推出DE平分∠ADC；（3）根据图形可得出：S△ADE+S△CDE＝S△ACD，利用高相等可以求出EF长，即可求出△ABE的面积．（1）解：∵∠BAD＝100°，∴∠DAF＝180°﹣∠BAD＝80°，∵EF⊥AB，∴∠A