人教A版高中数学(选择性必修第一册)同步讲义第19讲 2.3直线的交点坐标与距离公式（含解析）

第06讲2.3直线的交点坐标与距离公式（2.3.1两条直线的交点坐标+2.3.2两点间的距离公式+2.3.3点到直线的距离公式+2.3.4两条平行线间的距离公式）课程标准学习目标①掌握两条直线的位置关系中的相交几何意义，并能根据已知条件求出两条直线的交点坐标，并能根据两条直线相交的性质求待定参数。②会求平面内点与直线的距离，并能解决与距离有关的平面几何问题。③.会用两点间的距离公式求平面内两点间的距离.。④能应用公式求两平行线间的距离，以此解决与平面距离有关的综合问题。1.会求两条直线的交点坐标，通过两条直线相交的性质，解决与直线相交有关的问题；2.掌握利用向量法推导两点间距离公式的方法，并能用两点间距离公式求两点间的距离，以及解决与平面距离相关的问题；3.会用公式解决与点到直线距离有关的问题，并能解决与之相关的综合问题；4.熟练应用公式求平面内两平行线间的距离，以及与距离有关的参数的求解，能处理平面内与距离有关的问题.；知识点01：两条直线的交点坐标直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）和SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的公共点的坐标与方程组SKIPIF1<0的解一一对应.SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交SKIPIF1<0方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；SKIPIF1<0与SKIPIF1<0平行SKIPIF1<0方程组无解；SKIPIF1<0与SKIPIF1<0重合SKIPIF1<0方程组有无数个解.【即学即练1】（2023·江苏·高二假期作业）分别判断下列直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0是否相交．如果相交，求出交点的坐标．(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【答案】(1)相交，交点坐标为SKIPIF1<0(2)不相交(3)不相交【详解】（1）解方程组SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交，交点坐标为SKIPIF1<0．（2）解方程组SKIPIF1<0，方程组无解，所以SKIPIF1<0与SKIPIF1<0无公共点，即SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不相交．（3）解方程组SKIPIF1<0，因为方程SKIPIF1<0可化为SKIPIF1<0，所以方程组有无数组解，所以SKIPIF1<0与SKIPIF1<0有无数个公共点，即SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不相交．知识点02：两点间的距离平面上任意两点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0间的距离公式为SKIPIF1<0特别地，原点SKIPIF1<0与任一点SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0.【即学即练2】（2023·江苏·高二假期作业）已知点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0间的距离为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0________．【答案】9或SKIPIF1<0【详解】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．故答案为：9或SKIPIF1<0.知识点03：点到直线的距离平面上任意一点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0.【即学即练3】（2023春·上海青浦·高二统考期末）点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为__________．【答案】SKIPIF1<0【详解】由点到直线的距离公式，可得点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.知识点04：两条平行线间的距离一般地，两条平行直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）和SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）间的距离SKIPIF1<0.【即学即练4】（2023秋·广西河池·高二统考期末）已知直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0相互平行，则SKIPIF1<0、SKIPIF1<0之间的距离为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】因为直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0相互平行，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0之间的距离SKIPIF1<0.故选：A.知识点05：对称问题1、点关于点对称问题(方法：中点坐标公式)求点SKIPIF1<0关于点SKIPIF1<0的对称点SKIPIF1<0由：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<02、点关于直线对称问题（联立两个方程）求点SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的对称点SKIPIF1<0①设SKIPIF1<0中点为SKIPIF1<0利用中点坐标公式得SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0中；②SKIPIF1<0整理得：SKIPIF1<0【即学即练5】（2023秋·高二课时练习）若点SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称，则SKIPIF1<0_________；SKIPIF1<0__________．【答案】42【详解】依题意，直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，线段SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：4；23、直线关于点对称问题(求SKIPIF1<0关于点SKIPIF1<0的对称直线SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0）方法一：在直线SKIPIF1<0上找一点SKIPIF1<0，求点SKIPIF1<0关于点SKIPIF1<0对称的点SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0，再由点斜式求解；方法二：由SKIPIF1<0SKIPIF1<0，设出SKIPIF1<0的直线方程，由点SKIPIF1<0到两直线的距离相等SKIPIF1<0求参数.方法三：在直线SKIPIF1<0任意一点SKIPIF1<0，求该点关于点SKIPIF1<0对称的点SKIPIF1<0，则该点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上.【即学即练6】（2023·高二单元测试）直线SKIPIF1<0关于点SKIPIF1<0的对称直线方程是______．【答案】SKIPIF1<0【详解】设对称直线为SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0解这个方程得SKIPIF1<0（舍）或SKIPIF1<0.所以对称直线SKIPIF1<0的方程中SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.4、直线关于直线对称问题4.1直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）和SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）相交,求SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0的对称直线SKIPIF1<0①求出SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点SKIPIF1<0②在SKIPIF1<0上任意取一点SKIPIF1<0(非SKIPIF1<0点），求出SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0的对称点SKIPIF1<0③根据SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点求出直线SKIPIF1<04.2直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）和SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）平行,求SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0的对称直线SKIPIF1<0①SKIPIF1<0②在直线SKIPIF1<0上任取一点SKIPIF1<0，求点SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0的对称点SKIPIF1<0，利用点斜式求直线SKIPIF1<0.【即学即练7】（2023·高二课时练习）求直线SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称的直线SKIPIF1<0的方程．【答案】SKIPIF1<0【详解】联立两直线方程SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即两直线的交点为SKIPIF1<0，取直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0上一点SKIPIF1<0，设其关于直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的对称点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为所求直线过SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.【即学即练8】（2023春·上海宝山·高二上海市吴淞中学校考期中）直线SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称的直线方程为________【答案】SKIPIF1<0【详解】设所求直线方程为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0间的距离为SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0间的距离为SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以所求直线方程为SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0.题型01求直线交点坐标【典例1】（2023·江苏·高二假期作业）直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0的交点坐标是（

）A．(2,0) B．(2,1)C．(0,2) D．(1,2)【答案】C【详解】解方程组SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，即直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0的交点坐标是(0,2)．故选：C.【典例2】（2023秋·高二课时练习）若直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0的交点位于第一象限，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】联立SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，因为直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0的交点位于第一象限，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：D【变式1】（2023秋·天津·高二校联考期末）过直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的交点，且与直线SKIPIF1<0垂直的直线方程是（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】联立方程SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以交点坐标为SKIPIF1<0；直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，所以所求直线方程的斜率为SKIPIF1<0，由点斜式直线方程得：所求直线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；故选：B.【变式2】（2023·高二课时练习）若直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0相交且交点在第二象限内，则SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】若直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0平行或重合，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，若直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0相交，可得SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则有：联立方程SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即交点坐标SKIPIF1<0，由题意可得：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；综上所述：k的取值范围为SKIPIF1<0.故选：C.题型02由方程组解的个数判断直线的位置关系【典例1】（2023秋·高二课时练习）判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点坐标．(1)直线SKIPIF1<0；(2)直线SKIPIF1<0．【答案】(1)相交，交点是SKIPIF1<0(2)答案见解析【详解】（1）联立SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以两直线相交，交点坐标为SKIPIF1<0.（2）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，方程组有无数组解，故两直线重合，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，方程组无解，故两直线平行，当SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以两直线相交，交点坐标为SKIPIF1<0.综上所述：当SKIPIF1<0时，两直线重合；当SKIPIF1<0时，两直线平行；当SKIPIF1<0时，两直线相交，交点坐标为SKIPIF1<0.【典例2】（2022·上海·高三专题练习）若关于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的方程组SKIPIF1<0无解，则实数SKIPIF1<0________【答案】SKIPIF1<0【详解】由题意关于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的方程组SKIPIF1<0无解，即直线SKIPIF1<0和直线SKIPIF1<0平行，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，此时直线SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，确实与SKIPIF1<0平行，故满足题意，所以实数SKIPIF1<0.故答案为：-2.【变式1】（2022·高二课时练习）若关于SKIPIF1<0的二元一次方程组SKIPIF1<0有无穷多组解，则SKIPIF1<0______．【答案】SKIPIF1<0【详解】依题意二元一次方程组SKIPIF1<0有无穷多组解，即两个方程对应的直线重合，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，二元一次方程组为SKIPIF1<0，两直线不重合，不符合题意.当SKIPIF1<0时，二元一次方程组为SKIPIF1<0，两直线重合，符合题意.综上所述，SKIPIF1<0的值为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0【变式2】（2022·高二课时练习）关于SKIPIF1<0､SKIPIF1<0的二元一次方程组SKIPIF1<0有无穷多组解，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的积是_____.【答案】-35【详解】因为x､y的二元一次方程组SKIPIF1<0有无穷多组解，所以直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0重合，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故答案为：-35题型03由直线交点的个数求参数【典例1】（2022秋·广东广州·高二广州市第一一三中学校考阶段练习）直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0相交，则实数SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0且SKIPIF1<0【答案】D【详解】因直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0相交，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以实数k的值为SKIPIF1<0且SKIPIF1<0.故选：D【典例2】（2022·高二校联考课时练习）若关于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方程组SKIPIF1<0有唯一解，则实数SKIPIF1<0满足的条件是________.【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【详解】由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，由关于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方程组SKIPIF1<0有唯一解，可得方程SKIPIF1<0有唯一解，则SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0【典例3】（2022·高二校联考课时练习）已知三条直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）若直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交于一点，求实数SKIPIF1<0的值；（2）若直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不能围成三角形，求实数SKIPIF1<0的值.【答案】（1）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或4或SKIPIF1<0.【详解】（1）∵直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交于一点，∴SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不平行，∴SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点为SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0的方程，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.（2）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交于一点，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0，则不存在满足条件的实数SKIPIF1<0.综上，可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或4或SKIPIF1<0.【变式1】（2022·江苏·高二专题练习）若三条直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共有两个交点，则实数SKIPIF1<0的值为（

）A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1【答案】C【详解】由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行，∵直线SKIPIF1<0和直线SKIPIF1<0不平行，∴直线SKIPIF1<0和直线SKIPIF1<0平行或直线SKIPIF1<0和直线SKIPIF1<0平行，∵直线SKIPIF1<0的斜率为1，直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故选：C.【变式2】（2022·高二课时练习）三条直线SKIPIF1<0､SKIPIF1<0､SKIPIF1<0有且只有两个交点，求实数SKIPIF1<0的值.【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【详解】由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0有一个交点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.题型04由直线的交点坐标求参数【典例1】（2023秋·高一单元测试）若直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0的交点在第四象限，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】由方程组SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即两直线的交点坐标为SKIPIF1<0，因为两直线的交点位于第四象限，可得SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即实数SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0.故选：D.【典例2】（2023·高二课时练习）若直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0的交点在第一象限，则实数SKIPIF1<0的取值范围是___________.【答案】SKIPIF1<0【详解】由题意，直线SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0；令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，如图所示，当直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0；当直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，要使得直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0的交点在第一象限，则SKIPIF1<0，即实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【变式1】（2023·江苏·高二假期作业）若三条直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0交于一点，则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．3 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】解：联立SKIPIF1<0得SKIPIF1<0.把SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0得SKIPIF1<0.故选：C【变式2】（2023·江苏·高二假期作业）两直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的交点在SKIPIF1<0轴上，则SKIPIF1<0的值是（

）A．-24 B．6 C．±6 D．24【答案】C【详解】因为两条直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的交点在SKIPIF1<0轴上，所以设交点为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0．故选：SKIPIF1<0．题型05三线围成三角形问题【典例1】（2023秋·高二课时练习）使三条直线SKIPIF1<0不能围成三角形的实数SKIPIF1<0的值最多有几个（

）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】B【详解】要使三条直线不能围成三角形，存在两条直线平行或三条直线交于一点，若SKIPIF1<0平行，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0平行，则SKIPIF1<0，即无解；若SKIPIF1<0平行，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；若三条直线交于一点，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；经检验知：SKIPIF1<0均满足三条直线不能围成三角形，故m最多有4个.故选：B【典例2】（2023·江苏·高二假期作业）若三条直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0能构成三角形，求SKIPIF1<0应满足的条件．

【答案】SKIPIF1<0且SKIPIF1<0【详解】为使三条直线能构成三角形，需三条直线两两相交且不共点．①若SKIPIF1<0，则由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；②若SKIPIF1<0，则由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；③若SKIPIF1<0，则由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0三线重合，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0平行．④若三条直线交于一点，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0的交点SKIPIF1<0的坐标代入SKIPIF1<0的方程，解得SKIPIF1<0(舍去)，或SKIPIF1<0，所以要使三条直线能构成三角形，需SKIPIF1<0且SKIPIF1<0．【变式1】（多选）（2023·全国·高二专题练习）三条直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0构成三角形，则SKIPIF1<0的值不能为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．－2【答案】AC【详解】直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0都经过原点，而无论SKIPIF1<0为何值，直线SKIPIF1<0总不经过原点，因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线SKIPIF1<0与另两条直线不平行，所以SKIPIF1<0．故选：AC.【变式2】（2023秋·浙江宁波·高二期末）若三条直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0能围成一个直角三角形，则SKIPIF1<0__________．【答案】SKIPIF1<0或1【详解】显然，3x-y+1=0，x+y+3=0有交点，若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0垂直，则SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0垂直，则SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0或1．故答案为：SKIPIF1<0或1题型06直线交点系方程及其应用【典例1】（2023·江苏·高二假期作业）设直线SKIPIF1<0经过SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，则直线SKIPIF1<0的方程为___________.【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【详解】方法一：由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以两条直线的交点坐标为（14，10）,由题意可得直线SKIPIF1<0的斜率为1或-1，所以直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.方法二：设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，由题意，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.【典例2】（2022·高二课时练习）已知两直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的交点为SKIPIF1<0．求：(1)过点SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的直线方程；(2)过点SKIPIF1<0且与直线SKIPIF1<0平行的直线方程．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0（1）设过直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0交点的直线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．①把点SKIPIF1<0代入方程①，化简得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以过点P与Q的直线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．（2）由两直线平行，得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以所求直线的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．【变式1】（2022秋·高二课时练习）过两直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的交点和原点的直线方程为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】设过两直线交点的直线系方程为SKIPIF1<0，代入原点坐标，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故所求直线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故选：D.【变式2】（2022·高二单元测试）已知直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）．求证：直线SKIPIF1<0恒过定点SKIPIF1<0，并求点SKIPIF1<0的坐标．【答案】证明见解析，SKIPIF1<0SKIPIF1<0【详解】证明：原方程整理为SKIPIF1<0，则由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0点坐标为SKIPIF1<0．【变式3】（2022·高二课时练习）直线SKIPIF1<0经过直线SKIPIF1<0的交点，且与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，求直线SKIPIF1<0的方程.【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【详解】解：设直线SKIPIF1<0方程为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.代入并化简得直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.所以所求的直线方程为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.题型07求两点间的距离公式【典例1】（2023·江苏·高二假期作业）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点分别在两条互相垂直的直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0线段的中点为SKIPIF1<0，则线段SKIPIF1<0的长为（

）A．11 B．10 C．9 D．8【答案】B【详解】因为直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0互相垂直，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以线段AB的中点为SKIPIF1<0，所以设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：C【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知直线SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．10 B．13 C．16 D．20【答案】B【详解】解：因为SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0互相垂直且垂足为点SKIPIF1<0，又因为直线SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0，所以在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，故选：B.【变式1】（2023秋·高二课时练习）已知SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上，且SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0的坐标为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】因为点C在x轴上，设点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，化简可得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：D.【变式2】（2023·江苏·高二假期作业）直线SKIPIF1<0和直线SKIPIF1<0分别过定点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0|________．【答案】SKIPIF1<0【详解】将直线SKIPIF1<0的方程变形为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即点SKIPIF1<0，将直线SKIPIF1<0的方程变形为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即点SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【变式3】（2023·高三课时练习）如图，SKIPIF1<0是边长为1的正三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为线段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上一点，满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点为SKIPIF1<0，则线段SKIPIF1<0的长度为___________.【答案】SKIPIF1<0【详解】解：以SKIPIF1<0为原点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.题型08距离公式的应用【典例1】（2023春·江西·高三校联考开学考试）费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角均小于120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等且均为120°.根据以上性质，.则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．4 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】由题意得：SKIPIF1<0的几何意义为点SKIPIF1<0到点SKIPIF1<0的距离之和的最小值，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故三角形ABC为等腰直角三角形，，取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故点SKIPIF1<0到三角形三个顶点距离之和最小，即SKIPIF1<0取得最小值，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，同理得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故选：B【典例2】（2022秋·福建·高二校联考期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：SKIPIF1<0可以转化为点SKIPIF1<0到点SKIPIF1<0的距离，则SKIPIF1<0的最小值为（

）．A．3 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】SKIPIF1<0,可以看作点SKIPIF1<0到点SKIPIF1<0的距离之和，作点SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴的对称点SKIPIF1<0，显然当SKIPIF1<0三点共线时，取到最小值，最小值为SKIPIF1<0间的距离SKIPIF1<0.故选：D.【典例3】（2022秋·甘肃嘉峪关·高二校考期中）函数SKIPIF1<0的最小值是_____________.【答案】5【详解】解：因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0表示点SKIPIF1<0到点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点的距离之和，即SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0轴上的点，则点SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴的对称点为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0【变式1】（2023·全国·高三专题练习）费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角均小于SKIPIF1<0时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等均为SKIPIF1<0.根据以上性质，SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】由题SKIPIF1<0的几何意义为点SKIPIF1<0到点SKIPIF1<0的距离之和的最小值.由题可知,此时SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上.故SKIPIF1<0.SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0故选：D【变式2】（2022秋·北京·高二北京工业大学附属中学校考期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直觉，形少数时难入微.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：SKIPIF1<0可以转化为平面上点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0的距离.结合上述观点，可得SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】因为SKIPIF1<0，记点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当且仅当点SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴的交点时，等号成立，即SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故选：C.【变式3】（2023·江苏·高二假期作业）某同学在研究函数SKIPIF1<0的性质时，联想到两点间的距离公式，从而将函数变形为SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0的最小值为________．【答案】SKIPIF1<0【详解】由变形所得函数知：SKIPIF1<0表示x轴上的动点SKIPIF1<0到两定点SKIPIF1<0的距离之和，∴当且仅当SKIPIF1<0与SKIPIF1<0重合时，SKIPIF1<0有最小值为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0题型09求点到直线的距离【典例1】（2023·重庆·高二统考学业考试）点(1,1)到直线SKIPIF1<0的距离是（

）A．1 B．2 C．SKIPIF1<0【答案】A【详解】SKIPIF1<0，故选：A【典例2】（2023春·上海浦东新·高二统考期中）已知动点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，则SKIPIF1<0的最小值为_________.【答案】2【详解】因为SKIP