2.2圆的对称性（一）弧、弦、圆心角（八大题型）（ 原卷版）

（苏科版）九年级上册数学《第2章对称图形---圆》2.2圆的对称性第一课时弧、弦、圆心角知识点一知识点一圆的旋转对称性圆的旋转对称性圆是旋转对称图形，具有旋转不变性，把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合.因此，圆是中心对称图形，圆心就是它的对称轴.知识点二知识点二弧、弦、圆心角的关系◆1、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.一个圆心角所对的弧是唯一的.◆2、弧、弦、圆心角的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.推论：在同一个圆中，如果弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等．【注意】（1）不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提，如果丢掉了这个前提，即使圆心角相等，圆心角所对的弧、弦也不一定相等．（2）因为弦所对的弧有两条，所以不可以说“在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等”．题型一弧、弦、圆心角的概念题型一弧、弦、圆心角的概念【例题1】下列说法正确的是（）A．相等的圆心角所对的弧相等 B．在同圆中，等弧所对的圆心角相等 C．在同圆中，相等的弦所对的弧相等 D．相等的弦所对的弧相等解题技巧提炼正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系：三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．【变式1-1】下列说法中，正确的是（）A．等弦所对的弧相等 B．在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等 C．圆心角相等，所对的弦相等 D．弦相等所对的圆心角相等【变式1-2】（2022春•惠山区校级月考）下列说法正确的个数有（）①半圆是弧；②面积相等的两个圆是等圆；③所对的弦长相等的两条弧是等弧；④如果圆心角相等，那么它们所对的弦一定相等；⑤等弧所对的圆心角相等A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【变式1-3】（2022秋•凯里市校级期中）如图，在⊙O中，AB=CD，则下列结论中：①AB＝CD；②AC＝BD；③∠AOC＝∠BOD；④AC=BD，正确的是【变式1-4】（2022秋•庆云县期中）下列说法中，正确的个数为（）（1）在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等；（2）优弧一定比劣弧长；（3）弧长相等的弧则所对的圆心角相等；（4）在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式1-5】如图，AB，CD分别为⊙O的两条弦，OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，且∠AOB＝∠COD，则下列结论中，正确的个数为（）①AB＝CD；②OM＝ON；③AB=A．0个 B．1个 C．2个 D．3个题型二利用弧、弦、圆心角求角度题型二利用弧、弦、圆心角求角度【例题2】（2022•资中县一模）如图，AB，CD是⊙O的直径，AE=BD，若∠AOE＝32°，则∠A．32° B．60° C．68° D．64°解题技巧提炼本题考查了圆心角、弧、弦的关系，利用半径相等构建等腰三角形是解决问题的关键有时要利用直角三角形的性质等知识点．【变式2-1】（2022秋•西湖区校级期中）在⊙O中，弦AB等于圆的半径，则它所对应的圆心角的度数为（）A．120° B．75° C．60° D．30°【变式2-2】（2022秋•延边州期末）如图，在⊙O中AB=CD，∠AOB＝45°，则∠A．60° B．45° C．30° D．40°【变式2-3】（2023•西陵区模拟）如图，AB是圆O的直径，BC、CD、DA是圆O的弦，且BC＝CD＝DA，则∠BCD等于（）A．100° B．110° C．120° D．135°【变式2-4】（2022秋•亭湖区期末）如图，AB是⊙O的直径，BC=CD=DE，∠COD＝34°，则∠AEO【变式2-5】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点A为圆心，AC长为半径作圆，交BC于点D，交AB于点E，连接DE．若∠ABC＝20°，求∠DEA的度数．题型三利用弧、弦、圆心角求弧的度数题型三利用弧、弦、圆心角求弧的度数【例题3】（2022秋•亭湖区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝28°，以点C为圆心，BC为半径的圆分别交AB、AC于点D、点E，则弧BD的度数为（）A．28° B．64° C．56° D．124°解题技巧提炼利用弧、弦、圆心角求弧的度数就是求弧所对的圆心角的度数，有时要利用等腰三角形的性质．【变式3-1】如图，C是⊙O直径AB上一点，过C作弦DE，使CD＝CO，若AD所对圆心角度数为40°，则BE所对圆心角度数为（）A．40° B．80° C．90° D．120°【变式3-2】（2022秋•北仑区期中）在半径为1的圆中，长度等于2的弦所对的弧的度数为．【变式3-3】如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且点C、D在AB的异侧，连接AD、OD、OC．若AC的度数是70°，且AD∥OC，求AD的度数．【变式3-4】如图，A、B、C、D均为圆O上的点，其中A、B两点的连线经过圆心O，线段AB、CD的延长线交于点E，已知AB＝2DE，∠E＝16°，求弧AC的度数．【变式3-5】点C是圆O直径AB上一点，过C点作弦DE，使CD等于CO，若弧AD的度数为40°，求弧BE的度数．题型四利用弧、弦、圆心角求线段长题型四利用弧、弦、圆心角求线段长【例题4】如图，点A在半圆O上，BC是直径，AB=AC．若AB＝2，则BC的长为解题技巧提炼此类问题主要是利用弧，弦之间的关系，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．【变式4-1】（2022秋•芜湖期末）如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOC＝90°，AB=2，BC＝1，则⊙OA．3 B．52 C．102 D【变式4-2】（2023•贵池区二模）如图，点C是直径AB的三等分点（AC＜CB），点D是弧ADB的三等分点（弧BD＜弧AD），若直径AB＝12，则DC的长为．【变式4-3】如图，在⊙O中，AC=12AB，直径BC＝25，BD=CD，则AD＝题型五利用弧、弦、圆心角比较大小题型五利用弧、弦、圆心角比较大小【例题5】（2022秋•莲池区校级期末）如图，在⊙O中，AB=2CDA．AB＞2CD B．AB＝2CD C．AB＜2CD D．以上都不正确解题技巧提炼本题考查了圆心角、弧、弦的关系以及三角形的三边关系；熟练掌握三角形的三边关系，熟记圆心角、弧、弦的关系是解题的关键．【变式5-1】如图，在同圆中，若∠AOB＝2∠COD，则AB与2CD的大小关系是（）A．AB＞2CD B．AB＜2CD C．AB＝2CD D．不能确定【变式5-2（2022秋•西林县期末）如图，AB是⊙O的直径，CD的是⊙O中非直径的任意一条弦，试比较AB与CD的大小，并说明理由．【变式5-3】（2022秋•余姚市月考）如图，在三个等圆上各有一条劣弧：弧AB、弧CD、弧EF，如果AB+CD=EF，那么AB+A．AB+CD＝EF B．AB+CD＜EF C．AB+CD＞EF D．大小关系不确定【变式5-4】（2022天河区一模）如图，AB为半圆的直径，点C、D在半圆上．（1）若BC=3AD，CD=2（2）若点C、D在半圆上运动，并保持弧CD的长度不变，（点C、D不与点A、B重合）．试比较∠DAB和∠ABC的大小．题型六弧、弦、圆心角中的倍数关系题型六弧、弦、圆心角中的倍数关系【例题6】如图，在⊙O中，AB是直径，CO⊥AB，D是CO的中点，DE∥AB，求证：EC=2BE解题技巧提炼本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质和判定，圆心角、弧、弦之间的关系，和30度角的直角三角形，利用圆心角的度数等于它所对的弧的度数是解答此题的关键．【变式6-1】（2023•莱西市二模）如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，若∠AOB是锐角，且∠AOB＝2∠BOC，则下列结论正确的是（）个①AB＝2BC；②AB=2BC；③∠ACB＝2∠CAB；④∠ACB＝∠BOCA．1 B．2 C．3 D．4【变式6-2】（2022•陵城区模拟）圆的一条弦把圆分为度数比为1：3的两条弧，则弦心距与弦长的比为（）A．1：3 B．2：3 C．1：4 D．1：2【变式6-3】（2023•陕西模拟）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC=3BC，则弦AC与弦BCA．AC＝3BC B．AC=3BC C．AC＝（2+1）BC D．3AC题型七弧、弦、圆心角中的证明问题题型七弧、弦、圆心角中的证明问题【例题7】（2022秋•延边州期末）如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点H，AB＝CD，连接AD、BC．求证：AH＝CH．解题技巧提炼本题主要考查在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，如果其中一对量相等，那么其它两对量也分别相等．同时利用了全等三角形的判定与性质，等腰三角形等图形的性质等，灵活运用圆的性质进行证明是解题的关键．【变式7-1】（2022秋•瑞安市期中）已知：如图，AB，DE是⊙O的直径，C是⊙O上一点，且BE＝CE．求证：AD=【变式7-2】（2022秋•硚口区期末）如图，⊙O中的弦AB＝CD，AB与CD相交于点E．求证：（1）AC＝BD；（2）CE＝BE．【变式7-3】（2022秋•防城港期末）如图，AC=CB，M，N分别是半径OA，求证：CM＝CN．【变式7-4】如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为AD的中点，连接BM，CM，求证：BM＝CM．【变式7-5】已知，如图，AB是⊙O的直径，M，N分别为AO、BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB，垂足分别为M，N．求证：AC＝BD．题型八弧、弦、圆心角中的综合问题题型八弧、弦、圆心角中的综合问题【例题8】（2021秋•南昌期中）如图所示，以£ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，分别交AD，BC于点E，F，延长BA交⊙A于G．（1）求证：GE=（2）若BF的度数为70°，求∠C的度数．解题技巧提炼解决此类综合问题，主要是利用了弧、弦、圆心角关系，同时考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质和勾股定理等相关知识的综合运用.【变式8-1】（2022秋•玄武区期末）如图，在⊙O中，AB＝AC．（1）若∠BOC＝100°，则AB的度数为°；（2）若AB＝13，BC＝10，求⊙O的半径．【变式8-2】如图，在⊙O中，OA、OB是半径，OA⊥OB，C、D是AB的三等分点，OC、OD分别交AB于点E、F，求证：AE＝CD＝BF．【变式8-3】如图，A、B、C为⊙O上三点，且AB=BC=CA，连接AB、（1）试确定△ABC的形状；（2