2021春北师大版八年级数学下册教案：第六章 平行四边形

第六章平行四边形

1平行四边形的性质

第1课时平行四边形的边角特征

“炒课而要示

【知识与技能】

探索并掌握平行四边形的性质，并能简单应用.

【过程与方法】

经历探索平行四边形有关概念和性质的过程，在活动中发展学生的探究意识

和合作交流的习惯.

【情感态度】

在探索活动过程中发展学生的探究意识.

【教学重点】

平行四边形性质的探索.

【教学难点】

平行四边形性质的理解.

广,教学亘旌

一.情景导入，初步认知

出示与平行四边形有关的图片，让学生观察.

问题：图中哪些图形我们没有学习过，这些图形是什么图形？

【教学说明】通过观察图片，引出本节课的内容.

二.思考探究，获取新知

探究1:平行四边形的有关概念.

同学们拿出准备好的剪刀、彩纸或白纸一张.将一张纸对折，剪下两张叠放

的三角形纸片，将它们相等的一边重合，得到一个四边形.

（1）你拼出了怎样的四边形？与同桌交流一下；

（2）给出某位同学拼出的四边形，它们的对边有怎样的位置关系？说说你

的理由，请用简捷的语言刻画这个图形的特征.

【教学说明】通过学生动手实践，引出平行四边形的概念.

【归纳结论】两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形，平行四边形

ABCD记做OABCD；平行四边形的不相邻的两个顶点连成的线段叫做它的对角

探究2：平行四边形的对称性.平行四边形是轴对称图形吗？是中心对称图形

吗？如果是，你能找出他的对称中心、对称轴吗？并验证你的结论.

【归纳结论】平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中

探究3:平行四边形的性质.

如图(1),四边形ABCD是平行四边形.求证:AB=CD,BC=DA.

D^4

【教学说明】学生通过说理，由直观感受上升到理性分析，在操作层面感知

的基础上提升，并了解图形具有的数学本质.

【归纳结论】平行四边形的对边、对角相等.

三.运用新知，深化理解

L见教材P136例1

2.如图，在平行四边形ABCD中，下列各式不一定正确的是()

A.Z1+Z2=18O°/

B.Z2+Z3=180°/~7D

C.Z3+Z4=180°£/

D.Z2+Z4=180°

答案：D

3.如图，已知在平行四边形ABCD中，AB=4cm,AD=7cm,力力

NABC的平分线交AD于点E,交CD的延长线于点F,则

DF=.Bc

答案：3cm

4.如图所示，已知平行四边形ABCD中,E.F分别是BC和AD"__F

上的点，且BE=DF./II

求证:4ABEgACDF.E'

证明：•.•四边形ABCD是平行四边形，

.,.AB=CD,ZB=ZD.

在4ABE和4CDF中，

(AH=CD,

(LD,

[BE=DF.

.,.△ABE^ACDF(SAS).

5.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，ZBCD的平分JFG„

线CF交边AB于F,ZADC的平分线DG交边AB于G.|/

⑴求证:AF=GB；口C

(2)请你在已知条件的基础上再添加一个条件，使得4EFG是等腰直角三角

形,并说明理由.

解：(1)证明：••・四边形ABCD是平行四边形，

，AB〃CD.

.•.ZAGD=ZCDG.

VZADG=ZCDG,

/.ZADG=ZAGD.

.\AD=AG.

同理,BC=BF.

又•••四边形ABCD是平行四边形，

，AD=BC,AG=BF.

.\AG-GF=BF-GF,

即AF=GB.

(2)添加条件EF=EG.理由如下：

由(1)证明易知

ZAGD=ZADG=-ZADC

2

ZBFC=ZBCF=-ZBCD.

2

•.•AD〃BC,

.•.ZADC+ZBCD=180°.

/.ZAGD+ZBFC=90o.

/.ZGEF=90°.

又•.•EF=EG,

/.△EFG为等腰直角三角形.

【教学说明】通过练一练，学生进一步理解平行四边形的性质，并进行简单

合情推理，体现性质的应用，同时从不同角度平移.旋转等再一次认识平行四边

形的本质特征.

四.师生互动，课堂小结

(1)经历了对平行四边形的特征探索，你有什么感受和收获？给自己一个

评价.

(2)在与同伴合作交流中练表现，优秀方面有哪些？你看到同伴哪些优点？

(3)本节学习到了什么(知识上、方法上)？

五.教学板书

1.两组对边分别平行

3.平行四边

的四边形叫做平行

形的对边

四边形.

相等.例1：

2.平行四边形是中心

4.平行四边学生演示：

对称图形，两条对角

形的对角

线的交点是它的对

相等.

称中心.

,'课后作业

布置作业:教材“习题6.1”中第2、3、4题.

学?教学反思

本节教材直观感知活动较多，由学生的心理及年龄特点决定，学生有一定的

逻辑思考能力及说理能力，因此从理性角度分析平行四边形的性质特点是非常需

要的.学生在“运用新知，深化理解”环节中，要引导有条理的叙述及数学语言

的表达.

第2课时平行四边形的对角线特征

"孕谣标要示

【知识与技能】

进一步掌握平行四边形对角线互相平分的性质，学会应用平行四边形的性质.

【过程与方法】

对平行四边形具有了一定的观察分析的能力和合情推理能力,具备了自行得

出平行四边形对角线的性质的基础.

【情感态度】

在应用中进一步发展学生合情推理能力，增强逻辑推理能力，掌握说理的基

本方法.

【教学重点】

平行四边形性质的应用.

【教学难点】

发展合情推理及逻辑推理能力.

教学亘引

一.情景导入，初步认知

什么样的图形是平行四边形？

平行四边形都有哪些性质？

平行四边形还有其它的性质吗？

【教学说明】以问题串形式回顾平行四边形的概念和平行四边形的性质.温

故知新，为本节课作准备.

二.思考探究，获取新知

在上节课的做一做中，我们发现平行四边形除了边、角有特殊的关系以外，

对角线还有怎样的特殊关系呢？请尝试证明这一结论.

如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点。.求

证:OA=OC,OB=OD.[------

证明：二•四边形ABCD是平行四边形/>^\/

------

，AB=CD,AB//DC.

.,.ZBAO=ZDCO,ZABO=ZCDO.

/.△AOB^ACOD.

，OA=OC,OB=OD.

【教学说明】通过对上节课做一做的回顾，得出平行四边形对角线互相平分

的性质，再通过严格的说理证明，深化对知识的理解.

【归纳结论】平行四边形的对角线互相平分.

三.运用新知，深化理解

1.见教材P138例2.

2.如图所示，在DABCD中,对角线AC、BD交于点0,下列式子中一定成立的

是（）

A.AC±BD

B.OA=OC

C.AC=BD

D.AO=OD

答案：B.

3.如图，OABCD的周长为16cm,AC、BD相交于点

0,OELAC交AD于E,则ADCE的周长为（）

A.4cmB.6cm

C.8cmD.10cm

答案：c.

4.如图，OABCD中,EF过对角线的交点0,如果AB=4

cm,AD=3cm,0F=lcm,则四边形BCFE的周长为（）

答案：9cm.

5.平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,ZADB=900,OA=6,OB=3.

求AD和AC的长度.

解:•/四边形ABCD是平行四边形

.•.OA=OC=6OB=OD=3

.,.AC=12

XVZADB=90°

...在RtAADO中，根据勾股定理得OA2=OD2+AD2

，AD=3G

6.平行四边形ABCD的两条对角线相交于O,OA、OB、A______/

AB的长度分别为3cm、4cm、5cm,求其它各边以及两条对

角线的长度I八

B1/\1C

解：•.•四边形ABCD是平行四边形，

，AB=CD,AD=BC,OA=OC,OB=OD.

X"."OA=3cm,0B=4cm,AB=5cm,

/.AC=6cm,BD=8cm,CD=5cm.

•.,△AOB中，32+42=52,

即AO2+BO2=AB2,

/.ZAOB=90°.

AACIBD.

.♦.Rt^AOD中，OA2+OD2=AD2.

/.AD=5cm,BC=5cm.

答：这个平行四边形的其它各边都是5cm,两条对角线长分别为6cm和8cm.

【教学说明】通过一组训练，达到了学生对平行四边形性质的掌握.

四.师生互动，课堂小结

本节课你有哪些收获？你能将平行四边形的性质进行归纳吗？

五.教学板书

平行四边形的对角线例2：

互相平分.学生演示：

曾课后作业

布置作业:教材“习题6.2”中第2、3题.

教学反思

通过练习，学生对本节课的知识掌握的较好，唯一不足的地方是：书写过程

不够规范，有待加强.

2平行四边形的判定

第1课时平行四边形的判定（1）

谓标要永

【知识与技能】

1.会证明平行四边形的2种判定方法；

2.理解平行四边形的这两种判定方法，并学会简单运用.

【过程与方法】

在运用平行四边形的判定方法解决问题的过程中，进一步培养和发展学生的

逻辑思维能力和推理论证的表达能力.

【情感态度】

通过平行四边形判别条件的探索，培养学生面对挑战，勇于克服困难的意志,

鼓励学生大胆尝试，从中获得成功的体验，激发学生的学习热情.

【教学重点】

平行四边形判定方法的探究、运用.

【教学难点】

平行四边形判定方法的运用.

*教字亘睚

一.情景导入，初步认知

1.平行四边形的定义是什么？它有什么作用？

2.平行四边形还有哪些性质？

【教学说明】教师提出问题，由学生独立思考，并回答定义正反两方面的作

用，总结出平行四边形的其他几条性质.

二.思考探究，获取新知

探究1：平行四边形的判定定理1.

用两对长度分别相等的笔，能否在平面内用这四根笔摆成一个平行四边形？

你能说明你所摆出的四边形是平行四边形吗？

【教学说明】通过学生的互相交流，口述其推理论证的过程.根据学生的认

知水平，教师应估计到学生可能会在推理论证时遇到困难，所以应加以适当引导.

【归纳结论】两组对边分别相等的四边形是平行四边形.

探究2：平行四边形的判定定理2.

请利用两根长度相等的笔能摆出以笔顶端为顶点的平行四边形.

你能说明你所摆出的四边形是平行四边形吗？

【归纳结论】一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

三.运用新知，深化理解

1.如图，在平行四边形ABCD中，E.F分别是AD、A,―~才

BC的中点.////

求证：四边形BFDE是平行四边形J一£'C

证明：•••四边形ABCD是平行四边形

，AD=CB,AD//BC.

又〈EF分别是AD、BC的中点，

.*.ED=-AD,BF=-BC.

22

，DE=BF.

又•.•ED〃BF,

四边形BFDE是平行四边形.

2.如图,ABJLDC,DC=EF=10，DE=CF=8，则图中的平行四边形有

，理由分别是、

答案：四边形ABCD,四边形CDEF；一组对边平行且相等的四边形是平行

四边形，两组对边分别相等的四边形是平行四边形.

3.如图,E.F是平行四边形ABCD对角线BD上的两点,

请你添加一个适当的条件:，使四边形/

AECF是平行四边形.[

答案：BE=DF或/BAE=NDCF等任何一个均可.

4.如图,AD=BC,要使四边形ABCD是平行四边形，还需补充的一个条件

AD

8Z---------------4'

答案：①AD//BC,②AB=CD,③NA+NB=180。,④NC+ND=180。等.

5.如图，在OABCD中，已知M和N分别是边AB.DC的中点，A_____D

试说明四边形BMDN也是平行四边形J破;二

证明：

V£7ABCD,BL^_JC

AABJCD.

•••M.N是中点，

.,.BM=yAB,DN=yCD,

，BM』DN.

...四边形BMDN也是平行四边形.

【教学说明】学生在思考的过程中逐步熟悉平行四边形的定义，并知道举一

反三，掌握证明平行四边形的方法.

四.师生互动，课堂小结

（1）判定一个四边形是平行四边形的方法有哪几种？这些方法是从什么角

度去考虑的？

（2）我们是通过什么方法得出平行四边形的这几种判定方法的？这样的探

索过程对你有什么启发？

（3）类比、观察、拼图、实验等都是学习数学、发现结论的常用方法.

五.教学板书

L两组对边分别2.一组对边平行且

例1:

相等的四边形相等的四边形是

学生演示：

是平行四边形.平行四边形.

课后作业

布置作业:教材“习题6.3”中第1、2、3题.

学教学反思

本节课在引入的环节上，采用复习引入的方式.首先复习了平行四边形的定

义和性质，唤起学生对已有知识的回忆，让学生初步感受平行四边形的性质与判

定的区别与联系，为平行四边形的性质和判定的综合运用作了铺垫.

知识的真正获得不是靠知者的“告诉”，而是在于学习者的亲身体验所得，

本节课判定方法的得出都非常重视知识的发生、形成过程，让学生亲历了类比、

观察、实验、猜想、验证、推理的整个过程，培养学生的探究能力，发展学生的

合情推理能力.学生把所学知识灵活地加以运用，有效地激发了学生的学习兴趣,

提高了学习效率.

数学的学习要重视学习方法的指导.本节课通过由浅入深的练习和灵活的变

式，引导学生善于抓住图形的基本特征和题目的内在联系，达到触类旁通的效果.

第2课时平行四边形的判定（2）

"孕谣标要示

【知识与技能】

1.理解对角线互相平分的四边形是平行四边形这一判定定理.

2.理解两组对角分别相等的四边形是平行四边形，并学会简单运用.

【过程与方法】

经历平行四边行判别条件的探索过程，在探究活动中发展学生的合情推理意

识.

【情感态度】

在运用平行四边形的判定方法解决问题的过程中，进一步培养和发展学生的

逻辑思维能力和推理论证的几何表达能力.

【教学重点】

平行四边形判定方法的综合运用.

【教学难点】

平行四边形判定方法的综合运用.

;‘教学亘士

一.情景导入，初步认知

1.平行四边形的定义是什么？它有什么作用？

2.判定四边形是平行四边形的方法有哪些？

3.平行四边形有哪些性质？

4.你能根据平行四边形的性质，猜想平行四边形还有哪些判定方法吗？

【教学说明】对比平行四边形的性质，猜测平行四边形判断的其他方法.

二.思考探究，获取新知

探究1：平行四边形的判定定理3.

能否用两根不同长度的细木条摆出以木条顶端为顶点的平行四边形？

思考：你能说明你得到的四边形是平行四边形吗？以上活动事实，能用文字

语言表达吗？

已知:如图,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点0,并且OA=OC,OB=OD.

AD

V

B匕-----------7（、

求证:四边形ABCD是平行四边形.

证明：：OA=OC,OB=OD,

且NAOB=NCOD,

.,.△AOB^ACOD（SAS）.

，AB=CD.

同理可得:BC=AD.

四边形ABCD是平行四边形.

【教学说明】在此活动中，教师应重点关注：（1）学生实验操作的准确性;

（2）学生能否运用不同的方法从理论上证明他们的猜想、发现；（3）学生使用

几何语言的规范性和严谨性.

【归纳结论】对角线互相平分的四边形是平行四边形.

探究2：平行四边形的判定定理4.

如图：NA=/C,/B=ND,求证：四边形ABCD为平行四边形

证明：VZA=ZC,ZB=ZD,

ZA+ZC+ZB+ZD=360°,

/.ZA+ZB=180o,

.•.AD〃BC,

同理：AB//CD,

四边形ABCD是平行四边形.

【归纳结论】两组对角分别相等的四边形是平行四边形.

三.运用新知，深化理解

1.下列给出了四边形ABCD中NA、NB、NC、ND的度数之比，其中能判

断四边形ABCD是平行四边形的是（）

A.1：2：3：4B.2：2：3：3

C.2：3：2：3D.2：3：3：2

答案：c.

2.填空题：如图，在四边形ABCD中，若NA=120°，则NB=,ZC=

ZD=时，四边形ABCD是平行四边形.

答案:60°,120°,60°.

3.如图，在平行四边形ABCD中，点M、N分别是AD、BC上的两点，点E、

F在对角线BD上，且DM=BN,BE=DF.

求证：四边形MENF是平行四边形.

证明：•••四边形ABCD是平行四边形,

，AD〃CB,

，NMDF=NNBE.

又•；DM=BN,DF=BE,

.,.△MDF^ANBE(SAS),

:.MF=EN,ZMFD=ZNEB,

:.NMFE=NNEF,

，MF〃EN,

...四边形MENF是平行四边形.

4.判断下列说法是否正确

(1)一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形.()

(2)两组对角都相等的四边形是平行四边形.()

(3)一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形.()

(4)一组对边平行，一组邻角互补的四边形是平行四边形.()

答案：义，V,V,X.

5.如图所示，D为4ABC的边AB上一点，DF交AC,广，二^"

于点E,且AE=CE,FC〃AB.求证：CD=AF.

证明：VFC/7AB,bL^

/.ZDAC=ZACF,ZADF=ZDFC.

又；AE=CE,

.,.△ADE^ACFE(AAS),

，DE=EF.

VAE=CE,

四边形ADCF为平行四边形.

/.CD=AF.

6.如图，DABCD中，对角线AC.BD相交于点0,过点

。作两条直线分别与AB,BC,CD,AD交于G,F,H,E

四点.求证：四边形EGFH是平行四边形.

证明：•••四边形ABCD是平行四边形

.,.AO=COAD〃CB

/.ZOAE=ZOCF

又；ZAOE=ZCOF

△AOE^ACOF(ASA)

.,.OE=OF

同理可得：OG=OH

四边形EGFH为平行四边形

【教学说明】通过练习进行强化和巩固，加深学生对定理的理解，从而达到灵

活的运用.

四.师生互动.课堂小结

(1)判定一个四边形是平行四边形的方法有哪几种？

(2)我们是通过什么方法得出平行四边形的这几种判定方法的，这样的探

索过程对你有什么启发？

五.教学板书

对角线互相平分的四边形例2：

是平行四边形.学生演示：

课后作业

布置作业:教材“习题6.4”中第1、2、3题.

敬教与反思

本节课的设计通过探究活动的开展探求平行四边形的判定方法，通过对判定

方法的进一步理解、典型例题的分析、精选的随堂练习，使学生一定能够掌握平

行四边形的判定方法及应用判定方法解决实际生活的问题.

第3课时平行四边形性质与判定的综合应用

"孕谣标要示

【知识与技能】

1.理解平行线之间的一些定理；

2.运用平行四边形的性质.判定方法解决问题.

【过程与方法】

经历平行线间相关定理的探索过程，在探究活动中发展学生的合情推理意

识.

【情感态度】

在运用平行四边形的性质.判定方法解决问题的过程中，进一步培养和发展

学生的逻辑思维.

【教学重点】

平行四边形的性质和判定的综合运用.

【教学难点】

平行四边形的性质和判定的综合运用.

;‘教学亘士

一.情景导入，初步认知

1.平行四边形的定义是什么？它有什么作用？

2.平行四边形有那些性质？

3.判定四边形是平行四边形的方法有哪些？

【教学说明】教师提出问题，由学生独立思考，并口答得出定义.总结出平行

四边形的性质和判定四边形是平行四边形的几个条件.

二.思考探究，获取新知

探究1：平行线之间的距离

在笔直的铁轨上，夹在铁轨之间的平行枕木是否一样长？

你能说明理由吗?与同伴交流.

【教学说明】从实际的生活出发,让学生感受数学来源于生活又服务于生活

【归纳结论】若两条直线平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的

距离相等，这个距离称为平行线间的距离，即平行线间的距离相等.

探究2：平行线之间的平行线段.

夹在平行线之间的平行线段一定相等吗？

你能证明你的结论吗？

【归纳结论】平行线之间的平行线段相等.

【教学说明】通过对平行四边形性质的简单应用，引入了平行线之间的距离

的概念;再通过生活中的生活实例的应用，深化对知识的理解.

三.运用新知，深化理解

1.见教材P146例4.

2.在同一平面内，直线a〃c,且直线a到直线c的距离是2；直线b〃c,直

线b到直线c的距离为5,则直线a到直线b的距离为()

A.3B.7C.3或7D.无法确定

/.ZEBF=35°.

•••四边形ABCD是平行四边形，

.•.AD〃CB,NADC=NABC=70°,

VBE//DF,

.*.BE=DF.

二四边形BFDE是平行四边形.

.•.ZADF=ZEBC=35°,

，ZCDF=35°.

4.如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，在AB的延长线上截取

BE=AB,BF=BD,连接CE,DF,相交于点M.求证：CD=CM.

证明：•••四边形ABCD是平行四边形.怔

・••AB』DC./VAA/

又YBEMAB,IVx

AREF

，BE/DC,

...四边形BDCE是平行四边形.

VDC^BF,

.\ZCDF=ZF.

同理，ZBDM=ZDMC.

VBD=BF,

/.ZBDF=ZF.

，NCDF=NCMD,，CD=CM.

5.已知如图所示，在OABCD中，E,F分别是AB,CD的中点.

求证：(1)AAFD^ACEB.(2)四边形AECF是平行四边形.

解：（1）在L7ABCD中，AD=CB,AB=CD,ZD=ZB.

VE,F分别为AB,CD的中点，

.•.DF=-CD,BE=-AB,

22

，DF=BE,

/.△AFD^ACEB.

（2）在。ABCD中，AB=CD,AB〃CD.

由（1）得BE=DF,

/.AE=CF,

...四边形AECF是平行四边形.

【教学说明】通过练习进行强化和巩固,加深学生对平行四边形的性质定理

和判定定理的理解，从而达到灵活的运用.

四.师生互动，课堂小结

师生共同小结，主要围绕下列几个问题：

（1）平行四边形的性质有哪些？判定一个四边形是平行四边形的方法有哪

几种？

（2）夹在平行线间的平行线段有何特点？你是怎样得到结论的？（3）能综

合运用平行线的性质和判定定理.

五.教学板书

如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意

一点到另一条直线的距离都相等,这个距离称为

平行线之间的距离.

例3：1例生

学生演示：:学生演示：

.'课后作业

布置作业:教材“习题6.5”中第2、3题.

教学反思

本节课的内容是对前面所学的平行四边形的性质与判定的综合应用，对于学

生来说，难度有点大，学生不容易掌握性质与判定之间的转化，所以对于本节课

的内容还应该加大训练.

3三角形的中位线

"孕谣标要示

【知识与技能】

1.知道三角形中位线的概念，明确三角形中位线与中线的不同.

2.理解三角形中位线定理，并能运用它进行有关的论证和计算.

【过程与方法】

引导学生通过观察.实验.联想来发现三角形中位线的性质，培养学生观察问

题.分析问题和解决问题的能力.

【情感态度】

创设问题情景，激发学生的热情和兴趣，激活学生思维.

【教学重点】

三角形中位线定理.

【教学难点】

三角形中位线定理的灵活应用.

教学亘引

一.情景导入，初步认知

怎样将一张三角形纸片剪成两部分，使分成的两部分能拼成一个平行四边

形？

操作：（1）剪一个三角形，记为△ABC；

（2）分别取AB,AC中点D,E,连接DE；

（3）沿DE将△ABC剪成两部分，并将△ABC绕点E旋转180。，得四边

形BCFD.

【教学说明】通过一个有趣的动手操作问题入手，激发学生学习兴趣.为后

面中位线的证明做准备.

二.思考探究，获取新知

1.思考：四边形ABCD是平行四边形吗？你能证明吗？

2.探索新结论：若四边形ABCD是平行四边形，那么DE与BC有什么位置

和数量关系呢？

【教学说明】激发了学生的求知欲和好奇心，激起了学生探究活动的兴趣.

【归纳结论】1.连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线；

2.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半.

三.运用新知，深化理解

1.如图所示，DE是△ABC的中位线，BC=8,则DE=.

答案：4.

2.如图所示，在OABCD中，对角线AC,BD交于点O,0E〃BC交CD于

E,若0E=3cm,则AD的长为（）.

答案:B.

3.如图所示，已知E为OABCD中DC边的延长线上的一点，且CE=DC,

连接AE,分别交BC,BD于点EG,连接AC交BD于点0,连接0F,求证:

AB=20F.

证明：•••四边形ABCD是平行四边形，

，AB必CD,AD=BC.

VCE=CD,，AB』CE,

二四边形ABEC为平行四边形.

，BF=FC,.*.OF^-AB,即AB=20F.

2

4.如图所示，在ABCD中，EF〃AB且交BC于点E,交AD于点F,连接

AE,BF交于点M,连接CF,DE交于点N,求证：MN〃AD且MN='AD.

2

证明：•••四边形ABCD是平行四边形，

，AB〃CD,AD〃BC.

XVEF^AB,，EF〃CD.

二四边形ABEF,ECDF均为平行四边形.

又；M,N分别为OABEF和OECDF对角线的交点.

...M为AE的中点，N为DE的中点，即MN为△AED的中位线.

，MN〃AD且MN=-AD.

2

5.如图所示，在四边形ABCD中，E,F,G,H分别是AB,BC,CD,AD

的中点，则四边形EFGH是平行四边形吗？为什么？

解：EFGH是平行四边形，连接AC

在△ABC中，：EF是中位线，

AEF^-AC.同理，GH^-AC

22

，EF』GH.

四边形EFGH为平行四边形

【教学说明】巩固三角形中位线定理，同时也兼顾平行四边形判定定理的熟

练运用.

四.师生互动，课堂小结

1.了解三角形中位线的概念;

2.探索并掌握三角形中位线的性质，并能应用其性质求有关问题.

五.教学板书

1.连接三角形两边中点的线段叫做

三角形的中位线.

弓1例：

2.三角形中位线定理：三角形的中

学生演示：

位线平行于第三边，且等于第三

边的一半.

;,课后作业

布置作业:教材“习题6.6”中第1、2、3题.

戮教学反思

本节课以探究三角形中位线的性质及证明为主线，开展教学活动.在三角形

中位线定理探究过程中，学生先是通过动手画图、观察、测量、猜想出三角形中

位线的性质，然后师生利用几何画板的测量和动态演示功能验证猜想的正确性，

再引导学生尝试构造平行四边形进行证明.通过知识的形成过程，使学生体会探

究数学问题的基本方法；通过定理的探究与证明，努力培养学生分析问题和解决

问题的能力，提升学生数学的思维品质.

4多边形的内角和与外角和

"孕谣标要示

【知识与技能】

掌握多边形内角和定理与外角和定理，进一步了解转化的数学思想.

【过程与方法】

经历质疑、猜想、归纳等活动，发展学生的合情推理能力，积累数学活动的

经验，在探索中学会与人合作，学会交流自己的思想和方法.

【情感态度】

让学生体验猜想得到证实的成功喜悦和成就感，在解题中感受生活中数学的

存在，体验数学充满着探索和创造.

【教学重点】

多边形内角和、外角和定理的探索和应用.

【教学难点】

多边形定义的理解；多边形内角和公式的推导；转化的数学思维方法的渗透.

教学亘引

一.情景导入，初步认知

i.三角形是如何定义的？

2.仿照三角形定义，你能学着给四边形.五边形……n边形下定义吗？

3.结合图形认识多边形的顶点、边、内角及对角线.

【教学说明】对概念分析和归纳，培养学生的口头表达能力和语言组织能力,

同时渗透类比思想.

二.思考探究，获取新知

探究：多边形的内角和

1.三角形的内角和是多少度？你是怎么得出的？

①用量角器度量；

②拼角.

【教学说明】学生分组，利用度量和拼角的方法验证三角形的内角和，为四

边形内角和的探索奠定基础.

2.四边形的内角和是多少？你又是怎样得出的？

①度量；②拼角；③将四边形转化成三角形求内角和.

3.在四边形内角和的探索过程中，用到了几种方法，你认为哪种方法好?

请讲述你的理由.

度量法：不精确；

拼角法：操作不方便；

当多边形边数n较大时，度量法.拼角法都不可取.

第三种方法：精确.省事且有理论根据.

4.根据四边形的内角和的求法，你能否求出五边形的内角和呢？

【教学说明】由于四边形的内角和易求得，这里采用略讲，而着重研究求五

边形的内角和.在课堂上应该留给学生充足的时间讨论、交流，寻求多种不同的

分割方法来得出五边形的内角和.这既符合新课程教学理念，又符合学生的认知

规律和年龄特征，同时渗透转化思想.

【归纳结论】从n边形的一个顶点可以引出(n-3)条对角线，把n边形分成(n-2)

个三角形.从而得出：n边形的内角和是(n-2)•180°.

探究2：多边形的外角和

问题：(多媒体演示)清晨，小明沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针

方向跑步.

(1)小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角是哪个角？

(2)他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？

(3)在上图中，你能求出/1+N2+N3+N4+N5的结果吗？你是怎样得到

的？

问题引申：

1.如果广场的形状是六边形，那么还有类似的结论吗？

2.如果广场的形状是八边形呢？

【归纳结论】1.多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这

个多边形的外角.

2.在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角

3.多边形的外角和等于360°.

三.运用新知，深化理解

1.四边形ABCD中，如果/A+NC+/D=280°,则NB的度数是（）

A.80°B.90°C.170°D.20°

答案：A.

2.一个多边形的内角和等于1080°,这个多边形的边数是（）

A.9B.8C.7D.6

答案：B.

3.内角和等于外角和2倍的多边形是（）

A.五边形B.六边形

C.七边形D.八边形

答案：B.

4.六边形的内角和等于度.

答案：720.

5.正十边形的每一个内角的度数等于，每一个外角的度数等于

答案：144°,36°.

6.已知：如图，在四边形ABCD中，NA=NC=90°,BE平分NABC,DF平

分NADC.BE与DF有怎样的位置关系？为什么？

解：BE〃DF.

理由：VZA=ZC=90°,

.,.ZA+ZC=180°.

/.ZABC+ZADC=360°-180°=180°.

VZABE=-ZABC,ZADF=-ZADC,

22

.,.ZABE+ZADF=-（ZABC+ZADC）=-X18O0=90°.

22

XVZABE+ZAEB=90°,

，NAEB=NADF,

.••BE〃DF（同位角相等，两直线平行）.

7.如果一个多边形的边数增加1,那么这个多边形的内角和增加多少度？若

将n边形的边数增加1倍，则它的内角和增加多少度？

答案：180°,n•180°.

8.如图，以五边形的每个顶点为圆心，以1为半径画圆，求圆与五边形重合

的面积.

【教学说明】通过练习，学生加深对n边形内角和和外角和定义的理解，并

将其运用到圆的面积问题中，扩散了学生的思维.

四.师生互动，课堂小结

1.多边形的内角的概念及内角和公式；

2.多边形的外角概念及外角和.

五.教学板书

L定理:“边形的内角和等于（n-例1：

2)•180°.学生演示：

2.定理：多边形的外角和都等于例2：

360°.学生演示：

,'课后作业

布置作业:教材“习题6.7”中第1题，“习题6.8”中第1、2、3题.

本节课的设计突出对多边形的内角和、外角和公式的探究与推导过程，探究

过程既有类比的方法，又有承接多边形内角和的新方法；既是新知识的学习过程,

又是旧知识的拓展过程.相信这样的设计一定能够达到教学目标的三个维度的要

求.另外，可以考虑增加一些课堂中的习题量，以帮助学生巩固新知识.

章末复习

谓标要求

【知识与技能】

1.能够熟练掌握平行四边形的判定和性质定理，并能够应用数学符号语言表

述证明过程.

2.掌握三角形中位线的定义和性质，明确三角形中位线与中线的不同并能运

用它进行有关的论证和计算.

3.掌握多边形内角和、外角和定理，进一步了解转化的数学思想.

4.会熟练应用所学定理进行证明.

【过程与方法】

通过讨论交流，进一步发展学生的合作交流意识.

【情感态度】

体会证明中所运用的归类、类比、转化等数学思想，通过复习课对证明的必

要性有进一步的认识.

【教学重点】

熟练应用所学定理进行证明.

【教学难点】

熟练应用所学定理进行证明.

,教学国旌

一.知识结构

性质

平行四边形

判定

两条平行线距离

平行四边形定义

三角形中位线

定理

外角和

多边形

内角和

【教学说明】引导学生回顾本章知识点，使学生系统地了解本章知识及它们

之间的关系.

二.释疑解惑，加深理解

1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形.

2.平行四边形的性质（边，角，对角线，对称性）

（1）边的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对边平行；

（2）角的性质：平行四边形的对角相等；

（3）对角线的性质：平行四边形的对角线互相平分；

（4）平行四边形是中心对称图形.

3.平行四边形的判定.

（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义）；

（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形；

（4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；

（5）两组对角分别相等的四边形是平行四边形.

4.两条平行线间的距离的定义.

若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相

等，这个距离称为平行线之间的距离，实际上平行线间的距离处处相等.

5.三角形的中位线.

（1）三角形中位线的定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位

线.

（2）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角线的第三边，且等于

第三边的一半.

6.多边形的内角与外角和.

（1）多边形：在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连

组成的封闭图形叫做多边形；

（2）n边形的内角和是（n-2）•180°;

（3）多边形的外角和等于360°.

【教学说明】通过课前热身练习，学生对知识进行回忆，进一步体会平行四

边形的性质、判定，概念再现，知识梳理.

三.典例精析，复习新知

1.在四边形ABCD中，若AB=CD,再添加一个条件为,

就可以判定四边形ABCD为平行四边形.

答案：本题为开放式题目，只需添上一组能使四边形ABCD成平行四边形

的条件即可，例AB〃CD.

2.已知E.F.G.H分别为OABCD各边的中点，则四边形EFGH为.

答案：平行四边形.

3.下列结论正确的是（）

A.对角线相等且一组对角相等的四边形是平行四边形

B.一边长为5cm,两条对角线长分别是4cm和6cm的四边形是平行四边形

C.一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形

D.对角线相等的四边形是平行四边形

答案：C.

4.如图，在平行四边形ABCD中，EF〃AB,GH〃AD,EF与GH交于点O,

则该图中的平行四边形的个数共有（）

答案：C.

5.已知如图直线01〃11,A.B为直线n上两点，C.D为直线m上两点，BC与

AD交于点O,则图中面积相等的三角形有（）

答案：C.

6.若一个多边形内角和为1800°,求该多边形的边数.

解：设这个多边形的边数为n,则：

（n-2）X180°=1800°

n=12

即该多边形为十二边形

7.如图所示，