人教A版高中数学(选择性必修第一册)同步讲义第17讲 直线的两点式方程（含解析）

第04讲直线的两点式方程课程标准学习目标①理解与掌握两点确定一条直线的公理。②掌握两点式方程的公式及其条件，并能应用公式求直线的方。③理解与掌握直线的截距式方程的公式及其条件，并能应用公式求直线的方程。通过本节课的学习，理解与掌握直线确定的几何意义，利用好确定直线的两个几何要素，会求直线方程，并能解决与之有关的问题.知识点01：直线的两点式方程已知条件（使用前提）直线SKIPIF1<0上的两点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）（已知两点）图示点斜式方程形式SKIPIF1<0适用条件斜率存在且不为0；当直线没有斜率(SKIPIF1<0)或斜率为SKIPIF1<0时，不能用两点式求出它的方程1.当过两点SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的直线斜率不存在(SKIPIF1<0)或斜率为0(SKIPIF1<0)时,不能用两点式方程表示.2.在记忆和使用两点式方程时,必须注意坐标的对应关系,即SKIPIF1<0,SKIPIF1<0是同一个点的坐标SKIPIF1<0,SKIPIF1<0是另一个点的坐标.【即学即练1】（2023秋·高二课时练习）直线l过点SKIPIF1<0，则直线l的方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】因为SKIPIF1<0，则线l的方程为SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，所以直线l的方程为SKIPIF1<0.故选：D.知识点02：直线的截距式方程已知条件（使用前提）直线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上的截距为SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0轴上的截距为SKIPIF1<0图示点斜式方程形式SKIPIF1<0适用条件SKIPIF1<0，SKIPIF1<0直线的截距式方程是直线的两点式方程的特殊情况,由直线的截距式方程可以直接读出直线在SKIPIF1<0轴和SKIPIF1<0轴上的截距,所以截距式在解决直线与坐标轴围成的三角形的面积和周长问题时非常方便.【即学即练2】（2023·江苏·高二假期作业）过SKIPIF1<0两点的直线方程是()A．SKIPIF1<0

B．SKIPIF1<0

C．SKIPIF1<0

D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】根据直线的截距式可知直线方程为：SKIPIF1<0故选：C知识点03：中点坐标公式若点SKIPIF1<0的坐标分别为SKIPIF1<0，且线段SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．此公式为线段SKIPIF1<0的中点坐标公式．【即学即练3】（2023·全国·高二专题练习）SKIPIF1<0的三个顶点是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求：边BC上的中线所在直线的方程；【答案】（1）SKIPIF1<0【详解】（1）BC的中点坐标为SKIPIF1<0则边BC上的中线所在直线的方程为SKIPIF1<0；题型01直线的两点式和截距式方程辨析【典例1】（多选）（2023秋·广东广州·高一广州市第十七中学校考期中）下列说法正确的是（

）A．点斜式SKIPIF1<0可以表示任何直线B．过SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点的直线方程为SKIPIF1<0C．直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0相互垂直．D．直线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上的截距为SKIPIF1<0【答案】CD【详解】对于A选项，点斜式SKIPIF1<0不表示与SKIPIF1<0轴垂直的直线，A错；对于B选项，过SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点且斜率不为零的直线方程为SKIPIF1<0，B错；对于C选项，直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，故直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0相互垂直，C对；对于D选项，直线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上的截距为SKIPIF1<0，D对.故选：CD.【典例2】（多选）（2023·全国·高二专题练习）下列说法正确的是（

）A．直线SKIPIF1<0与两坐标轴围成的三角形的面积是SKIPIF1<0B．若三条直线SKIPIF1<0不能构成三角形，则实数SKIPIF1<0的取值集合为SKIPIF1<0C．经过点SKIPIF1<0且在SKIPIF1<0轴和SKIPIF1<0轴上截距都相等的直线方程为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0D．过SKIPIF1<0两点的直线方程为SKIPIF1<0【答案】AD【详解】A选项：直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴和SKIPIF1<0轴的交点分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，三角形面积为SKIPIF1<0，A选项正确；B选项：三条直线SKIPIF1<0不能构成三角形，可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或直线过点SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，B选项错误；C选项：当直线经过坐标原点时，SKIPIF1<0，当直线不经过坐标原点时，设直线方程为SKIPIF1<0，代入点SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故直线为SKIPIF1<0，C选项错误；D选项：由两点式方程可直接判断D选项正确；故选：AD.【变式1】（多选）（2023·全国·高二专题练习）下列说法正确的是（

）A．SKIPIF1<0不能表示过点SKIPIF1<0且斜率为SKIPIF1<0的直线方程B．在SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0轴上的截距分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的直线方程为SKIPIF1<0C．直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴的交点到原点的距离为SKIPIF1<0D．过两点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的直线方程为SKIPIF1<0【答案】AD【详解】SKIPIF1<0＝k表示过点M（x1，y1）且斜率为k的直线去掉点SKIPIF1<0，A正确；在x轴，y轴上的截距分别为a，b，只有SKIPIF1<0时，直线方程为SKIPIF1<0，B错误；直线y＝kx+b与y轴的交点坐标是SKIPIF1<0，交点到原点的距离为SKIPIF1<0，C错误；过两点A（x1，y1）B（x2，y2）的直线当SKIPIF1<0时，直线方程为SKIPIF1<0，变形为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，直线方程为SKIPIF1<0，也适合方程SKIPIF1<0，所以D正确．故选：AD．【变式2】（多选）（2023·江苏·高二假期作业）下列说法错误的是（

）A．过定点SKIPIF1<0的直线都可用方程SKIPIF1<0表示B．过定点SKIPIF1<0的直线都可用方程SKIPIF1<0表示C．过任意两个点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的直线都可用方程SKIPIF1<0表示D．不过原点的直线都可用方程SKIPIF1<0表示【答案】ABD【详解】因为直线与SKIPIF1<0轴垂直时不能用点斜式与斜截式表示，所以选项AB不正确；因为直线与坐标轴垂直时不能与截距式表示，所以选项D不正确；C选项，过任意两个点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的直线，斜率存在时，方程为SKIPIF1<0，可化为SKIPIF1<0；斜率不存在时，SKIPIF1<0，直线方程为SKIPIF1<0也满足SKIPIF1<0，故C正确；故选：ABD.题型02直线的两点式方程（已知两点求直线，建议转化为点斜式求解）【典例1】（2023秋·浙江温州·高二统考期末）过两点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的直线在SKIPIF1<0轴上的截距为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】过两点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的直线的为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，故选：A.【典例2】（2023·全国·高三专题练习）过两点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的直线在SKIPIF1<0轴上的截距为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】由题可知直线方程为：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令x=0，则SKIPIF1<0，故直线在y轴上的截距为SKIPIF1<0.故选：C.【典例3】（2023·江苏·高二假期作业）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，(1)求SKIPIF1<0边所在的直线方程；(2)求SKIPIF1<0边上的中线所在直线的方程．【答案】(1)2x＋5y＋10＝0(2)10x＋11y＋8＝0【详解】（1）BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)，由两点式，得SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，即2x＋5y＋10＝0，故BC边所在的直线方程为2x＋5y＋10＝0．（2）设BC的中点为M(a，b)，则a＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，b＝SKIPIF1<0＝－3，所以SKIPIF1<0，又BC边的中线过点A(－3，2)，所以SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，即10x＋11y＋8＝0，所以BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0．【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】由直线的两点式方程可得，直线l的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．故选：C．【变式2】（2023·高三课时练习）经过点SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0的直线方程是______.【答案】SKIPIF1<0【详解】经过点SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0的直线方程是：SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0【变式3】（2023·江苏·高二假期作业）已知点SKIPIF1<0)，SKIPIF1<0，则过点SKIPIF1<0且过线段SKIPIF1<0的中点的直线方程为______【答案】SKIPIF1<0【详解】A、B中点坐标为SKIPIF1<0，与点C横纵坐标均不相同，代入两点式得：SKIPIF1<0，化简得：SKIPIF1<0.题型03直线的截距式方程【典例1】（2023秋·高二课时练习）过点SKIPIF1<0且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【答案】D【详解】设直线在x，y轴上的截距分别为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，即直线过原点，设直线为SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故直线方程为SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0，设直线为SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故直线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；综上所述：直线方程为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故选：D.【典例2】（2023·全国·高三专题练习）过点(2，1)且在SKIPIF1<0轴上截距与在SKIPIF1<0轴上截距之和为6的直线方程为______________.【答案】x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0【详解】由题意可直线的斜率存在且不为0，设直线方程为SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，解得a＝b＝3，或a＝4，b＝2.直线方程为x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0.故答案为：x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0【典例3】（2023·全国·高三专题练习）求过点SKIPIF1<0，且在SKIPIF1<0轴上的截距是SKIPIF1<0轴上的截距的2倍的直线SKIPIF1<0的方程．【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【详解】①当直线SKIPIF1<0在两坐标轴上的截距均为0时，因为直线过点SKIPIF1<0，所以直线的方程为SKIPIF1<0；②当直线SKIPIF1<0在两坐标轴上的截距均不为0时，设直线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上的截距为SKIPIF1<0，则在SKIPIF1<0轴上的截距为SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，又直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0．综上;直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【变式1】（2023秋·辽宁沈阳·高二东北育才双语学校校考期末）过点SKIPIF1<0在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【答案】D【详解】当截距SKIPIF1<0时，设直线方程为SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0，SKIPIF1<0代入得SKIPIF1<0，∴方程为SKIPIF1<0当截距SKIPIF1<0时，过原点和点SKIPIF1<0的直线方程为SKIPIF1<0又SKIPIF1<0且在两坐标轴上的截距相等，∴过点A且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0故选：D.【变式3】（2023·上海·高二专题练习）求过点SKIPIF1<0，并且在两轴上的截距相等的直线方程_______．【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【详解】当直线经过原点时，直线的方程为SKIPIF1<0，化为SKIPIF1<0，当直线不经过原点时，设直线的截距式为SKIPIF1<0，把点SKIPIF1<0代入可得：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以直线的方程为：SKIPIF1<0，综上所述，所求直线方程为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.【变式3】（2023·江苏·高二假期作业）根据下列条件写出直线方程，并化为一般式：在SKIPIF1<0轴上的截距分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0.【详解】由直线的截距式方程可知，所求直线方程SKIPIF1<0，化为一般式方程为SKIPIF1<0.题型04直线与坐标轴围成图形面积（定值）问题【典例1】（2023秋·广东广州·高一广州市第十七中学校考期中）过点SKIPIF1<0作直线SKIPIF1<0，与两坐标轴相交所得三角形面积为1，则直线SKIPIF1<0有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【答案】B【详解】由题意可知，直线的斜率存在，则设直线的方程为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，化为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0①，SKIPIF1<0②，由于方程①SKIPIF1<0，方程②无解，可得两个方程共有2个不同的解.因此直线SKIPIF1<0共有2条.故选：B.【典例2】（2023·全国·高二专题练习）若直线SKIPIF1<0与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，则直线SKIPIF1<0的方程为________.【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【详解】解：因为直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，所以直线l在两坐标轴上的截距的绝对值相等且不为0.设直线方程为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以直线方程为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故答案为:SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.【典例3】（2023·高三课时练习）已知点SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴的对称点为SKIPIF1<0，关于原点的对称点为SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0中过SKIPIF1<0，SKIPIF1<0边上中点的直线方程；(2)求SKIPIF1<0的面积.【答案】(1)x﹣5y﹣5＝0(2)10【详解】（1）∵点A（5，1）关于x轴的对称点为B（x1，y1），∴B（5，﹣1），又∵点A（5，1）关于原点的对称点为C（x2，y2），∴C（﹣5，﹣1），∴AB的中点坐标是（5，0），BC的中点坐标是（0，﹣1）．过（5，0），（0，﹣1）的直线方程是SKIPIF1<0，整理得x﹣5y﹣5＝0．（2）由题意知|AB|＝|﹣1﹣1|＝2，|BC|＝|﹣5﹣5|＝10，AB⊥BC，∴△ABC的面积SKIPIF1<0SKIPIF1<0．【典例4】（2023秋·安徽合肥·高二校考期末）如图所示，已知SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为底边的等腰三角形，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在直线：SKIPIF1<0上．（1）求SKIPIF1<0边上的高SKIPIF1<0所在直线的方程；（2）设直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面积．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）1．【详解】（1）因为SKIPIF1<0是以AB为底边的等腰三角形，SKIPIF1<0所以E为AB的中点，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以直线CE：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0所以AB边上的高CE所在直线的方程为SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以直线AC：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以点D到直线AC的距离SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【变式1】（2023·高二课时练习）若直线过点SKIPIF1<0且与两坐标轴所围成的三角形的面积为SKIPIF1<0，则这样的直线有______条.【答案】SKIPIF1<0【详解】解：依题意直线在坐标轴上的截距均不为SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0的截距式为SKIPIF1<0，∵直线SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0，且与两坐标轴所围成的三角形的面积为SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0的条数为SKIPIF1<0条．故答案为：SKIPIF1<0【变式2】（2023·全国·高二专题练习）已知直线SKIPIF1<0的斜率为－1，且它与两坐标轴围成的三角形的面积为SKIPIF1<0，求直线SKIPIF1<0的方程．【答案】y＝－x＋1或y＝－x－1．【详解】解：设直线l的方程为y＝－x＋b，则它与两个坐标轴的交点为A(b，0)和B(0，b)，所以围成的两个直角边长都为|b|，故其面积为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得b＝±1，故所求直线的方程为y＝－x＋1或y＝－x－1．【变式3】（2023春·高二单元测试）直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，且与两轴围成的三角形面积为4，求直线SKIPIF1<0的方程.【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【详解】解：由题意知，直线SKIPIF1<0的斜率存在且不为0.设直线SKIPIF1<0.设此直线与SKIPIF1<0轴、SKIPIF1<0轴的交点分别为SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0的坐标分别为SKIPIF1<0因此面积为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，无解；若SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.解方程，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.所以，直线SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；或直线SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.【变式4】（2023春·上海浦东新·高二上海市实验学校校考期中）设直线的方程为SKIPIF1<0.（1）若在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程；（2）若与两坐标轴围成的三角形的面积为1，求SKIPIF1<0的值.【答案】（1）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0【详解】（1）由题意知，当直线过原点时，该直线在两条坐标轴上的截距都为0，此时SKIPIF1<0，直线的方程为SKIPIF1<0；当直线不过原点时，由截距相等，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，直线的方程为SKIPIF1<0，综上所述，所求直线的方程为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.（2）由题意知，直线在SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0轴上的截距分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.题型05直线与坐标轴围成图形面积（最值）问题【典例1】（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系SKIPIF1<0内，经过点SKIPIF1<0的直线分别与SKIPIF1<0轴、SKIPIF1<0轴的正半轴交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，则SKIPIF1<0面积最小值为______．【答案】12【详解】设直线的方程SKIPIF1<0，由过点SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；解得：SKIPIF1<0，当且仅当：SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时取等号；所以SKIPIF1<0故答案为：12【典例2】（2023·全国·高二专题练习）已知直线SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0．(1)求证：不论SKIPIF1<0为何值，直线必过定点SKIPIF1<0；(2)过点SKIPIF1<0引直线SKIPIF1<0，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求SKIPIF1<0的方程．【答案】(1)证明见解析(2)SKIPIF1<0【详解】（1）证明：原方程整理得：SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不论SKIPIF1<0为何值，直线必过定点SKIPIF1<0（2）解：设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0令SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，三角形面积最小．则SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0．【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，且分别与SKIPIF1<0轴的正半轴、SKIPIF1<0轴的正半轴交于SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0为原点，当SKIPIF1<0面积最小时，求直线SKIPIF1<0的方程．【答案】x＋2y－4＝0【详解】方法一：由题意可得直线SKIPIF1<0的斜率存在，设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，取等号，故直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.方法二：设直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，因为直线l过点SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号，所以SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，故直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.【典例4】（2023·高二课时练习）已知一条动直线SKIPIF1<0，(1)求证：直线l恒过定点，并求出定点SKIPIF1<0的坐标；(2)若直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0、SKIPIF1<0轴的正半轴分别交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0为坐标原点，是否存在直线SKIPIF1<0同时满足下列条件：①SKIPIF1<0的周长为SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0.若存在，求出方程；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析，定点SKIPIF1<0；(2)存在，且直线方程为SKIPIF1<0.【详解】（1）证明：将直线方程SKIPIF1<0变形为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，因此，直线SKIPIF1<0恒过定点SKIPIF1<0.（2）解：设点A的坐标为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，故直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，此时直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴的交点为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0的周长为SKIPIF1<0.所以，存在直线SKIPIF1<0满足题意.【变式1】（2023·全国·高二专题练习）已知直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（1）若直线SKIPIF1<0的斜率是2，求SKIPIF1<0的值；（2）当直线SKIPIF1<0与两坐标轴的正半轴围成三角形的面积最大时，求此直线的方程．【答案】（1）m＝－4；（2）x＋y－2＝0.【详解】解：(1)直线l过点(m，0)，(0，4－m)，则SKIPIF1<0，解得m＝－4.(2)由m＞0，4－m＞0，得0＜m＜4，则SKIPIF1<0.当m＝2时，S有最大值，故直线l的方程为x＋y－2＝0.【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知直线方程为SKIPIF1<0．(1)若直线的倾斜角为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；(2)若直线分别与SKIPIF1<0轴、SKIPIF1<0轴的负半轴交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0为坐标原点，求SKIPIF1<0面积的最小值及此时直线的方程．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0面积的最小值为SKIPIF1<0，此时直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.【详解】（1）解：由题意可得SKIPIF1<0.（2）解：在直线SKIPIF1<0的方程中，令SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，即点SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，即点SKIPIF1<0，由已知可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立，此时直线的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.【变式3】（2023·高二课时练习）已知直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0．(1)若直线SKIPIF1<0在两坐标轴上的截距相等，求直线SKIPIF1<0的方程；(2)若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴正半轴的交点为SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0轴正半轴的交点为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为坐标原点）面积的最小值．【答案】(1)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0(2)12【详解】（1）当直线经过原点时，直线的斜率为SKIPIF1<0，所以直线的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；当直线不过原点时，设直线的方程为SKIPIF1<0，代入点SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，所以所求直线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．综上可得，所求直线方程为：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．（2）依题意，设点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0），直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，又点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，于是有SKIPIF1<0，利用基本不等式SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时等号成立，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的面积的最小值为12．题型06重点方法（分类讨论）【典例1】（多选）（2023秋·安徽阜阳·高二统考期末）已知直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴和SKIPIF1<0轴上的截距相等，则SKIPIF1<0的值可能是（

）A．1 B．SKIPIF1<0C．2 D．SKIPIF1<0【答案】AD【详解】当SKIPIF1<0时，直线为SKIPIF1<0不符合题意，所以SKIPIF1<0，若直线过原点，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；若直线不过原点，令SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0；令SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0；所以在SKIPIF1<0轴上的截距为SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0轴上的截距为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，综上所述：SKIPIF1<0的值可能是1或SKIPIF1<0.故选：AD.【典例2】（2022秋·广东深圳·高二校考期中）已知SKIPIF1<0的顶点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0边上的中线所在直线的方程；(2)求经过点SKIPIF1<0，且在SKIPIF1<0轴上的截距和SKIPIF1<0轴上的截距相等的直线的方程．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【详解】（1）线段SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，则中线SKIPIF1<0所在直线方程为：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.（2）设两坐标轴上的截距为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则直线经过原点，斜率SKIPIF1<0，直线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0，则设直线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，把点SKIPIF1<0代入得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，直线方程为SKIPIF1<0；综上，所求直线方程为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【变式1】（2023·江苏·高二假期作业）已知直线经过点SKIPIF1<0，求这条直线的方程．【答案】当SKIPIF1<0时，直线方程为SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，直线方程为SKIPIF1<0．【详解】由直线经过点SKIPIF1<0，可知该直线的斜率不可能为零，但有可能不存在．①当直线斜率不存在，即SKIPIF1<0时，直线方程为SKIPIF1<0；②当直线斜率存在，即SKIPIF1<0时，利用两点式，可得直线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．综上所述，当SKIPIF1<0时，直线方程为SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，直线方程为SKIPIF1<0．A夯实基础B能力提升A夯实基础一、单选题1．（2023秋·安徽阜阳·高二安徽省颍上第一中学校考期末）过点SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0的直线在SKIPIF1<0上的截距为（

）A．1 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】过点SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0的直线方程为SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，故直线在SKIPIF1<0上的截距为1，故选：A2．（2023·高二课时练习）已知直线SKIPIF1<0在两坐标轴上的截距相等，则实数SKIPIF1<0（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0或1 D．2或1【答案】D【详解】当SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0，此时不符合题意，应舍去；当SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0轴与SKIPIF1<0轴上的截距均为0，符合题意；当SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，由直线SKIPIF1<0可得：横截距为SKIPIF1<0，纵截距为SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0的值是2或1.故选：D3．（2022·高二课时练习）在x轴，y轴上的截距分别是－3，4的直线方程是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】由截距式方程可得，所求直线方程为SKIPIF1<0．故选：A．4．（2022·全国·高二专题练习）已知直线l经过SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，点SKIPIF1<0在直线l上，则m的值为（

）A．2021 B．2022 C．2023 D．2024【答案】C【详解】由题意知SKIPIF1<0不与SKIPIF1<0轴平行，故由直线SKIPIF1<0的两点式方程可得SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，故选：C5．（2022·全国·高二专题练习）经过两点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的直线方程都可以表示为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】当经过SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的直线不与SKIPIF1<0轴平行时，所有直线均可以用SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0可能相等，所以只有选项C满足包括与SKIPIF1<0轴平行的直线.故选:C6．（2022秋·高二校考课时练习）已知SKIPIF1<0的三个顶点分别为SKIPIF1<0，M为AB的中点，则中线CM所在直线的方程为()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】点M的坐标为(2,1)，由直线的两点式方程得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故选：D7．（2022·全国·高二专题练习）经过点A（3，4）且在两坐标轴上的截距绝对值相等的直线方程为（

）A．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【答案】B【详解】①当直线经过原点时，斜率SKIPIF1<0，所以直线方程为：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；②当直线在两坐标轴上的截距相等时，设直线方程为SKIPIF1<0，将点SKIPIF1<0代入，的SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以直线方程为：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；③当直线在两坐标轴上的截距互为相反数时，设直线方程为SKIPIF1<0，将点SKIPIF1<0代入，的SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以直线方程为：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；综上所述，直线方程为：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故选：B.二、多选题8．（2023秋·江西吉安·高二江西省安福中学校考期末）过点SKIPIF1<0且在两坐标轴上截距相等的直线方程是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AC【详解】当直线过坐标原点时，直线方程为SKIPIF1<0；当直线不过坐标原点时，设直线方程为SKIPIF1<0，代入点SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故选：AC.9．（2023春·海南·高二统考学业考试）若直线SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0与坐标轴围成的三角形面积为2，则SKIPIF1<0的方程可能是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】CD【详解】易知直线SKIPIF1<0的斜率存在，故设直线SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.故围成的三角形面积为SKIPIF1<0,化简可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.对于方程SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故方程SKIPIF1<0无解.对于方程SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故直线SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故选:CD.三、填空题10．（2023秋·高二课时练习）已知直线经过点SKIPIF1<0，且它在x轴上的截距为1，则直线的方程为__________．【答案】SKIPIF1<0【详解】若直线的斜率不存在，则方程为SKIPIF1<0，显然它在x轴上的截距为1，符合题意；若直线的斜率存在，设为SKIPIF1<0，则方程为SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，不成立；综上所述：直线的方程为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.11．（2023秋·湖北孝感·高二统考期末）已知直线l的斜率为SKIPIF1<0，且和坐标轴围成的三角形的面积为3，则直线l的方程为___________.【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【详解】设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF