2023年新高一数学暑假课程（人教A版2019）第二十讲不等关系与不等式

第二十讲：不等关系与不等式【教学目标】1.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系.、作商法比较两实数的大小．【基础知识】两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a>b，a＝b，a<b.比较大小作差法作商法（）依据结论要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的商与1的大小作差法比较大小的步骤：（1）作差；（2）化简为乘除的形式；（3）判断正负；（4）下结论.【题型目录】考点一：不等式组表示不等关系考点二：作差法比较大小（一）考点三：作差法比较大小（二）考点四：作商法比较大小【考点剖析】考点一：不等式组表示不等关系例1．铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm，且体积不超过，设携带品外部尺寸长、宽、高分别记为a，b，c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（） A．且 B．且 C．且 D．且【答案】C【详解】由长、宽、高之和不超过130cm得，由体积不超过得.故选：C.变式训练1．糖水溶液（不饱和）的浓度计算公式为，向糖水（不饱和）中再加入克糖，那么糖水（不饱和）将变得更甜，则反应这一事实的不等关系为（） A． B． C． D．【答案】B【详解】依题意，向糖水（不饱和）中再加入克糖，此时糖水的浓度为，根据糖水更甜，可得故选：变式训练2．将一根长为的绳子截成两段，已知其中一段的长度为m，若两段绳子长度之差不小于，则所满足的不等关系为（） A． B．或 C． D．【答案】D【详解】由题意,可知另一段绳子的长度为.因为两段绳子长度之差不小于，所以，化简得：.故选：D变式训练3．如图，在一个面积为200m2的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地，仓库的长a大于宽b的4倍，则表示上述的不等关系正确的是（） A． B． C． D．【答案】C【详解】解：由题意知，根据面积公式可以得到.故选:C．考点二：作差法比较大小（一）例2．已知，，为不全相等的实数，，，那么与的大小关系是（） A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，所以，当且仅当时取等号,，，为不全相等的实数，因此等号不成立，即，．故选：A变式训练1．设，，则有（） A． B． C． D．【答案】A【详解】，∴.故选：A.变式训练2．已知p∈R，，，则M，N的大小关系为（） A．M<N B．M>N C．M≤N D．M≥N【答案】B【详解】，所以.故选：B.变式训练3．已知，，设，则（） A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意可知，当且仅当时，等号成立；即.故选：A考点三：作差法比较大小（二）例3．比较大小：(1)和；(2)和，其中．【答案】(1)；(2)【详解】（1）因为，所以；（2）因为，所以，所以.变式训练1．设，，，则有（）. A． B． C． D．m，n的大小不定【答案】A【详解】由已知，所以，所以又因为，且，所以.故选：A变式训练2．用作差法比较与的大小.【答案】【详解】∵所以.变式训练3．(1)比较与的大小；(2)已知，求证：.【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析【详解】（1）由，可得；（2），∵，∴，，，∴，∴．考点四：作商法比较大小例4．设，，则（）． A． B． C． D．【答案】D【详解】，，则.故，当且仅当时，取等号，故选：D变式训练1．，则的大小关系为_______．【答案】≥【详解】因为，则由所以故答案为：变式训练2．已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（） A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定【答案】C【详解】由题设，易知x，y＞0，又，∴x＜y.故选：C.变式训练3．试比较下列组式子的大小：(1)与，其中；(2)与，其中，；(3)与，．【答案】(1);(2);(3).【详解】（1），，因为，所以，即；（2）．因为，，所以，，所以，即；（3）方法一（作差法）．因为，所以，，，．所以，所以．方法二（作商法）因为，所以，，，所以，所以．【课堂小结】1．知识清单：(1)用不等式(组)表示不等关系．(2)作差法比较大小．(3)重要不等式．2．方法归纳：作差法．3．常见误区：实际问题中变量的实际意义．【课后作业】1、在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点150米以外（含150米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度（单位：厘米）应满足的不等式为（） A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意知导火索的长度（单位：厘米），故导火索燃烧的时间为秒，人在此时间内跑的路程为米，由题意可得.故选：B.2、某学生月考数学成绩x不低于100分，英语成绩y和语文成绩z的总成绩高于200分且低于240分，用不等式组表示为（） A． B． C． D．【答案】D【详解】数学成绩不低于100分表示为，英语成绩y和语文成绩z的总成绩高于200分且低于240分表示为，即.故选：D.3、如图，在一块长为22m，宽为17m的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路分别与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪的面积不小于300m2.设道路宽为xm，根据题意可列出的不等式为（） A． B． C． D．【答案】B【详解】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，设道路的宽应为x米，草坪面积为（22﹣x）（17﹣x），因为草坪的面积不小于300m2，所以(22－x)(17－x)300，故选：B．4、某同学拿50元钱买纪念邮票，票面8角的每套5张，票面2元的每套4张，如果每种邮票至少买两套，那么买票面8角的x套与票面2元的y套用不等式表示为（） A． B． C． D．0.8×5x＋2×4y≤50【答案】A【详解】买票面8角的x套，而票面8角的每套5张，知：每套价格为元买票面2元的y套，而票面2元的每套4张，知：每套价格为元∵某同学拿50元钱买纪念邮票∴+≤50又知，每种邮票至少买两套：故且综上，有不等式组故选：A5、设，，则与的大小关系是（） A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，所以.故选：A.6、若，设，则（） A． B． C． D．【答案】A【详解】故选：A7、已知a>0，b>0，M＝，N＝，则M与N的大小关系为（） A．M>N B．M<N C．M≤N D．M，N大小关系不确定【答案】B【详解】，∴M<N.故选：B.8、设，则的大小顺序是（） A． B． C． D．【答案】C【详解】，，，，.又，故.则.故选：C.9、若，，则与的大小关系是__________.【答案】【详解】，因此，.故答案为：.10、已知，比较与的大小.【答案】.【详解】∵，∴∴.11、若，试比较和的大小；【答案】答案见解析；【详解】作差得：；所以当时，；当时，；当时，；12、设、为实数，比较与的值的大小.【答案】【详解】由于、为实数，则，当且仅当时，等号成立.因此，.13、比较与的大小；【答案】；

【详解】因为，又，所以，所以；14、，比较与的大小．【答案】【详解】由所以15、设，为实数，比较与的大小．【答案】见解析详解：解：，当且仅当时同时取等号，当且仅当时取等16、已知，，试比较与的大小．【答案】当时，；当时，.【详解】.因为，，所以，，得当时，；当时，.17、已知，试比较与的大小．【答案】【详解】因为，显然成立，，当且仅当时取等号.18、若，，，试比较与的大小.【答案】【详解】，，，，，，，.，又，，即.19、，第二次购物时该物品单价为（）.甲两次购物的平均价格记为，乙两次购物的平均价格记为.（1）求，的表达式（用表示）；（2）通过比较，的大小，说明哪种购物方式比较划算.【答案】（1）；（2）第二种购物方式比较划算.【详解】（1）设甲两次购物时购物量均为m，则两次购物总花费为m+m，购物总量为2m，平均价格为.设乙两次购物时用去钱数均为n，则两次购物总花费2n，购物总量为，平均价格为=综上，（2）∵，∴由此可知，第二种购物方式比较划算.20、甲、乙两位消费者同时两次购买同一种物品，分别采用两种不同的策略，甲的策略是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；乙的策略是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定.（1）若两次购买这种物品的价格分别为元，元，求甲两次购买这种物品平均价格和乙两次购买这种物品平均价格分别为多少；（2）设两次购买这种物品的价格分别为元，元，问甲、