专题34第7章圆之四点共圆备战2021中考数学解题方法系统训练（全国通用）【有答案】

34第7章圆之四点共圆一、单选题1．下列长度的三根木棒首尾依次相接，不能搭成三角形框架的是（）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【分析】结合三角形满足的三角形满足的规律是两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，依次分析各个选项，选出正确答案.【详解】A选项中，5+6>7可以构成三角形；B选项中，3+7>8，能够构成三角形；C选项中4+3=7不能构成三角形；D选项中2+4>5,能够构成三角形.故选C.【点睛】考查三角形构成规则，抓住三角形满足的规律是两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，难度较容易.2．如图，四边形内接于，，为中点，，则等于（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据，为中点求出∠CBD=∠ADB=∠ABD，再根据圆内接四边形的性质得到∠ABC+∠ADC=180°，即可求出答案．【详解】∵为中点，∴,∴∠ADB=∠ABD，AB=AD，∵，∴∠CBD=∠ADB=∠ABD，∵四边形内接于，∴∠ABC+∠ADC=180°，∴3∠ADB+60°=180°，∴=40°，故选：A．【点睛】此题考查圆周角定理：在同圆中等弧所对的圆周角相等、相等的弦所对的圆周角相等，圆内接四边形的性质：对角互补．3．如图，圆上有、、、四点，其中，若弧、弧的长度分别为、，则弧的长度为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出圆的周长，再根据圆内接四边形的性质可得，然后根据圆周角定理可得弧所对圆心角的度数，最后根据弧长的定义即可得．【详解】弧、弧的长度分别为、圆的周长为（圆内接四边形的对角互补）弧所对圆心角的度数为则弧的长度为故选：C．【点睛】本题考查了圆周角定理、弧长的定义、圆内接四边形的性质，熟记圆的相关定理与性质是解题关键．4．如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，BC=6．如图2，在底边BC上取一点D，连结AD，使得∠DAC=∠ACD．如图3，将△ACD沿着AD所在直线折叠，使得点C落在点E处，连结BE，得到四边形ABED．则BE的长是（）A．1 B． C． D．【答案】A【分析】只要证明，得，求出、即可解决问题．【详解】解：，，，，，，，，，，，，，，即，，，，、、、四点共圆，，，，，．故选：．【点睛】本题考查翻折变换、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是充分利用相似三角形的性质解决问题，本题需要三次相似解决问题，题目比较难，属于中考选择题中的压轴题．二、填空题5．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若⊙O半径为4，且∠C＝2∠A，则的长为__．【答案】4【分析】连接OB，OD，利用内接四边形的性质得出∠A=60°，进而得出∠BOD=120°，利用含30°的直角三角形的性质解答即可．【详解】连接OB，OD，过O作OE⊥BD，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠C=2∠A，∴∠C+∠A=3∠A=180°，解得：∠A=60°，∴∠BOD=120°，在Rt△BEO中，OB=4，∴BE=2，∴AC=4，故答案为：4．【点睛】此题考查内接四边形的性质，关键是利用内接四边形的性质得出∠A=60°．6．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接BE，则∠ABE的度数为____________度.【答案】36【分析】由正五边形的性质可知△ABE是等腰三角形，求出∠A的度数即可解决问题．【详解】∵在正五边形ABCDE中，∠A＝×（5−2）×180＝108°，AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB＝（180°−108°）＝36°．故答案为36．【点睛】本题主要考查多边形内角与外角的知识点，解答本题的关键是求出正五边形的内角，此题基础题，比较简单．7．如图，在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，点O为对角线AC的中点，点E在DC的延长线上且CE＝1.5，连接OE，过点O作OF⊥OE交CB延长线于点F，连接FE并延长交AC的延长线于点G，则＝_____．【答案】【分析】作OM⊥CD于M，ON⊥BC于N，根据三角形中位线定理分别求出OM、ON，根据勾股定理求出OE，根据相似三角形的性质求出FN，得到FC的长，证明△GFC∽△GOE，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算得到答案．【详解】解：作OM⊥CD于M，ON⊥BC于N，∵四边形ABCD为矩形，∴∠D=90°，∠ABC=90°，∴OM∥AD，ON∥AB，∵点O为AC的中点，∴OM=AD=3，ON=AB=4.5，CM=4.5，CN=3，∵CE=1.5，∴ME=CM+CE=6，在Rt△OME中，OE==3，∵∠MON=90°，∠EOF=90°，∴∠MOE+∠NOE=∠NOF+∠NOE=90°，∴∠MOE=∠NOF，又∠OME=∠ONF=90°，∴△OME∽△ONF，∴，即，解得，FN=9，∴FC=FN+NC=12，∵∠FOE=∠FCE=90°，∴F、O、C、E四点共圆，∴∠GFC=∠GOE，又∠G=∠G，∴△GFC∽△GOE，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质、圆周角定理的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．8．如图，正方形中，，点为上一点，且，点为边上一动点，连接，过点作，交射线于点，连接，点为中点，连接，则的最小值为________．【答案】【分析】由已知可得AE=3，DE=6，又AB=9，，由勾股定理得BE=，由，，M为PF中点，可知M为四边形BFEP外接圆的圆心，BE为圆M的弦，故圆心M在线段BE的垂直平分线上，作线段BE的垂直平分线GH交BE于G，交CD于H，过点D作于M，此时的线段DM即为所求最小值，过点E作于N，则四边形EGMN为矩形，可得，GE=MN，可证，可得，代入数据得：DN=，又MN=EG=，可得DM的长度．【详解】∵，AD=AB=9，∴AE=3，DE=6，又∵AB=9，，∴BE=，∵，，∴B、F、E、P四点共圆，且PF为直径，∵M为PF中点，∴M为四边形BFEP外接圆的圆心，∵E、B为定点，∴BE为圆M的弦，∴圆心M在线段BE的垂直平分线上，如下图，作线段BE的垂直平分线GH交BE于G，交CD于H，过点D作于M，此时的线段DM即为所求最小值，过点E作于N，则四边形EGMN为矩形，∴，GE=MN,∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，即，解得：DN=，∵BE=，∴EG=，∴MN=，∴DM=DN+MN=+=．【点睛】本题考查了圆内接四边形，圆的对称性，相似三角形的判定和性质，熟练掌握圆周角定理及其逆定理确定四点共圆是解题的关键．三、解答题9．如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC边上一点，连接AD．（1）如图1，作BE⊥AD延长线于E，连接CE，求证：∠AEC＝45°；（2）如图2，P为AD上一点，且∠BPD＝45°，连接CP．①若AP＝2，求△APC的面积；②若AP＝2BP，直接写出sin∠ACP的值为______．【答案】（1）证明见解析；（2）①△APC的面积＝1；②．【分析】（1）由题意可证点A，点B，点E，点C四点共圆，可得∠AEC＝∠ABC＝45°；（2）①通过证明△APB∽△CEB，可求CE＝＝，由等腰直角三角形的性质可求CF＝1，即可求解；②过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E，过点C作CF⊥AD于F，过点P作PH⊥AC于H，设AP＝2a，则BP＝a，可得CE＝＝a，CF＝EF＝a，BE＝PE＝a，由勾股定理可求AC2，CP2，利用面积法可求PH2，即可求解．【详解】证明：（1）∵等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴AC＝BC，∠ABC＝∠CAB＝45°，AB＝BC，∵BE⊥AD，∴∠AEB＝90°＝∠ACB，∴点A，点B，点E，点C四点共圆，∴∠AEC＝∠ABC＝45°；（2）①如图2，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E，过点C作CF⊥AD于F，∵∠BPD＝45°，BE⊥AD，∴∠PBE＝45°＝∠ABC，∴∠ABP＝∠CBE，∵∠AEB＝90°＝∠ACB，∴点A，点B，点E，点C四点共圆，∴∠BAE＝∠BCE，∠AEC＝∠ABC＝45°，∴△APB∽△CEB，∴CE＝＝，∵CF⊥AD，∠AEC＝45°，∴∠FCE＝∠CEF＝45°，∴CF＝EF＝CE＝1，∴△APC的面积＝×AP×CF＝1；②如图，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E，过点C作CF⊥AD于F，过点P作PH⊥AC于H，设AP＝2a，则BP＝a，由①可知，CE＝＝a，CF＝EF＝a，∵BP＝a，∠BPE＝45°，∠BEP＝90°，∴BE＝PE＝a，∴AF＝AE﹣EF＝2a+a﹣a＝a+a，PF＝a﹣a，∴CP2＝CF2+PF2＝a2+（a﹣a）2＝a2﹣a2，AC2＝AF2+CF2＝a2+（a+a）2＝a2+a2，∵S△ACP＝×AC×PH＝×AP×CF，∴（AC•PH）2＝（AP•CF）2，∴PH2＝a2，∵（sin∠ACP）2＝＝＝，∴sin∠ACP＝，故答案为：．【点睛】本题是三角形综合题，考查了四点共圆，圆的有关知识，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键．10．在边长为12cm的正方形ABCD中，点E从点D出发，沿边DC以1cm/s的速度向点C运动，同时，点F从点C出发，沿边CB以1cm/s的速度向点B运动，当点E达到点C时，两点同时停止运动，连接AE、DF交于点P，设点E．

F运动时间为t秒．回答下列问题：(1)如图1，当t为多少时，EF的长等于cm?(2)如图2，在点E、F运动过程中，①求证：点A、B、F、P在同一个圆(⊙O)上；②是否存在这样的t值，使得问题①中的⊙O与正方形ABCD的一边相切?若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；③请直接写出问题①中，圆心O的运动的路径长为_________．【答案】（1）t=4或8；（2）①证明见解析；②存在，t=3或12；③6cm．【分析】（1）由题意易得DE=CF=t，则有EC=12-t，然后利用勾股定理求解即可；（2）①由题意易证△ADE≌△DCF，则有∠CDF=∠DAE，然后根据平行线的性质可得∠APF=90°，进而可得∠B+∠APF=180°，则问题得证；②由题意可知当⊙O与正方形ABCD的一边相切时，可分两种情况进行分类讨论求解：一是当圆与AD相切时，一是当圆与边DC相切时；③由动点E、F在特殊位置时得出圆心O的运动轨迹，进而求解即可．【详解】解：（1）由题意易得：DE=CF=t，四边形ABCD是正方形，AB=CD=BC=AD=12cm，∠C=∠B=∠ADC=∠DAB=90°，EC=12-t，EF的长等于cm，在Rt△CEF中，，即解得；（2）①由（1）可得AB=CD=BC=AD=12cm，∠C=∠B=∠ADC=∠DAB=90°，DE=CF=t，△ADE≌△DCF，∠CDF=∠DAE，∠CDF+∠PDA=90°，∠DAE+∠PDA=90°，∠ADP=∠APF=90°，∠APF+∠B=180°，由四边形APFB内角和为360°可得：∠PAB+∠PFB=180°，点A、B、F、P在同一个圆(⊙O)上；②由题意易得：当⊙O与正方形ABCD的一边相切时，只有两种情况；a、当⊙O与正方形ABCD的边AD相切时，如图所示：由题意可得AB为⊙O的直径，t=12；b、当⊙O与正方形ABCD的边DC相切于点G时，连接OG并延长交AB于点M，过点O作OH⊥BC交BC于点H，连接OF，如图所示：OG⊥DC，GM⊥AB，HF=HB，四边形OMBH、GOHC是矩形，OH=BM=GC，OG=HC，AB=BC=12cm，OH=6，CF=t，BF=12-t，，在Rt△FOH中，，即，解得：；综上所述：当或t=12时，⊙O与正方形ABCD的边相切；③由（1）（2）可得：当点E与点D重合及点F与点C重合时，圆心在正方形的中心上；当点E与点C重合及点F与点B重合时，圆心在AB的中点上，故圆心的运动轨迹为一条线段，如图所示：OP即为圆心的运动轨迹，即OP=6cm．故答案为6cm．【点睛】本题主要考查圆的综合，熟练掌握圆的性质及切线定理解题的关键，注意运用分类讨论思想解决问题．11．已知为锐角的高，为中点，于点，延长至，使得．（1）证明：；（2）证明：；（3）若，求四边形的面积．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【分析】（1）通过得A，D，F，C四点共圆，得到，结合，证得；（2）通过，证得；（3）利用勾股定理求得AD，BD，CD，在中，求出DE，AE，得出，借助，求得，再用，得到，最后．【详解】解：（1）∵∴四点共圆∴又∵∴（2）由（1）∴又∵∴∴即（3）∵∴∵中，∴而∴同理利用得到∴．【点睛】本题考查了四点共圆的判断，圆内接四边形的性质，圆周角定理的应用，相似三角形的证明，不规则图形的面积的求法，熟练掌握其中的联系，是解题的关键．12．四边形内接于圆，连接．(1)求证：；(2)求证：；(3)如图2，点是上一点，连接并延长交的延长线于点，连接交圆于点，求的长．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)【分析】（1）根据题意可得，根据圆的内接四边形对角互补即可得证；（2）过点作交延长线于点P，易证△BDP为等腰直角三角形，通过“角边角”证明，则，进而可得证；（3）连接，过点作交延长线于点，延长⾄点，使，连接，易证，，设则，整理可得，根据题意得到相关线段的长，在R中根据勾股定理可得，根据圆周角定理可得，得到，进而求得CG的长，最后得到答案.【详解】解：，，，；过点作交延长线于点P，，，，，，（ASA），，；连接，过点作交延长线于点，延长⾄点，使，连接，易证，，设则，∴，，，，，，，，在R中根据勾股定理可得，，，，，即，，.【点睛】本题主要考查圆的综合问题，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，综合性较强，解此题的关键在于熟练掌握其知识点，构造适当辅助线帮助解题.13．已知：内接于，过点作的切线，交的延长线于点，连接．（1）如图1，求证：；（2）如图2，过点作于点，连接，交于点，，求证：；（3）如图3，在（2）的条件下，点为上一点，过点的切线交的延长线于点，连接，交的延长线于点，连接，，点为上一点，连接，若，，，，求的长．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）【分析】（1）延长BO交于G，连接CG，根据切线的性质可得可证∠DBC＋∠CBG=90°，然后根据直径所对的圆周角是直角可证∠CBG＋∠G=90°，再根据圆的内接四边形的性质可得∠DAB=∠G，从而证出结论；（2）在MB上截取一点H，使AM=MH，连接DH，根据垂直平分线性质可得DH=AD，再根据等边对等角可得∠DHA=∠DAH，然后根据等边对等角和三角形外角的性质证出∠ABC=∠C，可得AB=AC，再根据垂直平分线的判定可得AO垂直平分BC，从而证出结论；（3）延长CF交BD于M，延长BO交CQ于G，连接OE，证出tan∠BGE=tan∠ECF=2，然后利用AAS证出△CFN≌△BON，可设CF=BO=r，ON=FN=a，则OE=r，根据锐角三角函数和相似三角形即可证出四边形OBPE为正方形，利用r和a表示出各线段，最后根据，即可分别求出a和CF．【详解】解：（1）延长BO交于G，连接CG∵BD是的切线∴∠OBD=90°∴∠DBC＋∠CBG=90°∵BG为直径∴∠BCG=90°∴∠CBG＋∠G=90°∴∠DBC=∠G∵四边形ABGC为的内接四边形∴∠DAB=∠G∴∠DAB=∠DBC（2）在MB上截取一点H，使AM=MH，连接DH∴DM垂直平分AH∴DH=AD∴∠DHA=∠DAH∵，∴AD=BH∴DH=BH∴∠HDB=∠HBD∴∠DHA=∠HDB＋∠HBD=2∠HBD由（1）知∠DAB=∠DBC∴∠DHA=∠DAB=∠DBC∴∠DBC=2∠HBD∵∠DBC=∠HBD＋∠ABC∴∠HBD=∠ABC，∠DBC=2∠ABC∴∠DAB=2∠ABC∵∠DAB=∠ABC＋∠C∴∠ABC=∠C∴AB=AC∴点A在BC的垂直平分线上∵点O也在BC的垂直平分线上∴AO垂直平分BC∴（3）延长CF交BD于M，延长BO交CQ于G，连接OE，∵∴∠DMC=90°∵∠OBD=90°∴∠DMC=∠OBD∴CF∥OB∴∠BGE=∠ECF，∠CFN=∠BON，∴tan∠BGE=tan∠ECF=2由（2）知OA垂直平分BC∴∠CNF=∠BNO=90°，BN=CN∴△CFN≌△BON∴CF=BO，ON=FN，设CF=BO=r，ON=FN=a，则OE=r∵∴OQ=2a∵CF∥OB∴△QGO∽△QCF∴即∴OG=过点O作OE′⊥BG，交PE于E′∴OE′=OG·tan∠BGE=r=OE∴点E′与点E重合∴∠EOG=90°∴∠BOE=90°∵PB和PE是圆O的切线∴∠OBP=∠OEP=∠BOE=90°，OB=OE=r∴四边形OBPE为正方形∴∠BOE=90°，PE=OB=r∴∠BCE=∠BOE==45°∴△NQC为等腰直角三角形∴NC=NQ=3a，∴BC=2NC=6a在Rt△CFN中，CF=∵∴PQ∥BC∴∠PQE=∠BCG∵PE∥BG∴∠PEQ=∠BGC∴△PQE∽△BCG∴即解得：PQ=4a∵，∴4a＋2a=解得：a=∴CF==10【点睛】此题考查的是圆的综合大题，难度较大，掌握圆的相关性质、相似三角形的判定及性质、锐角三角函数、勾股定理、全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质、正方形的判定及性质是解决此题的关键．14．如图，等腰三角形△ABC中，∠BAC=120°，AB=3．（1）求BC的长．（2）如图，点D在CA的延长线上，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，连EF．求EF的最小值．【答案】（1）BC=；（2）EF的最小值为【分析】（1）过点A作AM⊥BC于点M，根据等腰三角形的性质得∠B=30°，BM=CM，由直角三角形的性质得BM=，进而即可求解；（2）连接BD，取BD的中点O，连接OE，OF，易得B，D，E，F四点共圆，从而得∆OEF是等边三角形，进而得EF=BD，由BD⊥CD时，BD的值最小，进而即可求解．【详解】（1）过点A作AM⊥BC于点M，∵等腰三角形△ABC中，∠BAC=120°，AB=3，∴∠B=(180°-120°)÷2=30°，BM=CM，∴BM=3÷2×=，∴BC=2BM=2×=3；（2）连接BD，取BD的中点O，连接OE，OF，∵DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，∴在Rt∆BDF与Rt∆BDE中，OB=OD=OE=OF=BD，∴B，D，E，F四点共圆，∴∠EOF=2∠EBF=2×30°=60°，∴∆OEF是等边三角形，∴EF=OF=BD，∵∠C=∠EBF=30°，∴当BD⊥CD时，BD=BC=，此时，BD的值最小，∴EF的最小值=BD=×=．【点睛】本题主要考查圆的基本性质以及等腰三角形，直角三角形的性质定理，添加辅助线，构造四边形的外接圆，是解题的关键．15．如图1，抛物线经过原点，两点．（1）求的值；（2）如图2，点是第一象限内抛物线上一点，连接，若，求点的坐标；（3）如图3，在（2）的条件下，过点的直线与轴交于点，作，连接交抛物线于点，点在线段上，连接、、，交于点，若，，求点的坐标．【答案】（1）；（2）点，；（3）点，．【分析】（1）根据待定系数法，即可得到答案；（2）过点作于点，设点，，结合，列出关于m的方程，即可求解；（3）连接，易得直线解析式为：，点，，根据三角形内角和定理与外角的性质，得点，点，点，点四点共圆，从而得，进而得点，过点，点，点，点四点的圆的圆心，，设点，根据两点间的距离公式，列出关于a，b的方程，得，可得直线解析式为：，进而即可得到点Q的坐标．【详解】（1）抛物线经过原点，两点．，；（2）如图2，过点作于点，，，抛物线解析式为：点是第一象限内抛物线上一点，设点，，，，点，；（3）连接，直线过点，，，直线解析式为：，当，，点，，，且，，，，，，，，，点，点，点，点四点共圆，，，，，，，，，设点，点设过点，点，点，点四点的圆的圆心，，，，，，，设点，，，①，②，由①②组成方程组可求：，设直线解析式为：，且过点，，，直线解析式为：，，（不合题意舍去），，点，．【点睛】本题主要考查二次函数，一次函数以及几何图形的综合，掌握圆的内接四边形的性质以及两点间的距离公式，是解题的关键．16．定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．已知四边形是圆美四边形．（1）求美角的度数；（2）如图1，若的半径为5，求的长；（3）如图2，若平分，求证：．【答案】（1）60°；（2）；（3）见解析【分析】（1）根据美角的定义可得，然后根据圆内接四边形的性质即可求出结论；（2）连接DO并延长，交与点E，连接BE，根据同弧所对的圆周角相等可得∠E=∠A=60°，然后根据直径所对的圆周角是直角可得∠DBE=90°，最后利用锐角三角函数即可求出结论；（3）延长CB至F，使BF=DC，连接AF、BD，先证出△ABD为等边三角形，然后利用SAS证出△ABF≌△ADC，从而得出AF=AC，∠F=∠DCA=60°，再证出△ACF为等边三角形，利用等边三角形的性质和等量代换即可得出结论．【详解】解：（1）根据题意可得：，而∠A＋∠C=180°∴∠A=60°（2）连接DO并延长，交与点E，连接BE∴∠E=∠A=60°∵DE为的直径，的半