一种确定小波分解层数的自适应算法

一种确定小波分解层数的自适应算法

0阈值函数的选取及估计效果1992年，首席教授提出的非线性噪声消噪算法是一种广泛使用的抗小波噪声去除方法之一。该方法的基本原则是基于这样的事实。在小波分解后，噪声信号的噪声能量主要集中在高频部分，分布均匀，包括云数较多但振幅较大的小波系数。有用信号的能量集中在多个振幅较大的小波系数上。因此，可以通过选择合适的阈值来切割和处理小波系数，将值小于该阈值的小波系数置为零，并保持或关闭具有较大位移系数的小波系数。阈值函数的映射可以用于评估小波系数。最后，评估系数的估计直接用于去除噪声。在该方法中,门限阈值的选取以及对小波系数进行量化处理的阈值函数的选取是影响去噪效果的关键.在阈值的选取上,由于最早由Donoho和Johnstone给出的统一阈值δ=σ2ln(N)−−−−−−√δ=σ2ln(Ν)有“过扼杀”小波系数的倾向,因此人们纷纷对阈值的选取进行了研究,提出了多种不同的阈值确定方法,比如Chang等人给出的BayesShrink阈值,Moulin等人给出的MapShrink阈值以及目前使用较多的SureShrink阈值和GCV阈值.在阈值函数的选取上,由于Donoho等人给出的经典的软阈值和硬阈值函数分别都存在着一些缺陷,一些学者对其进行了改进,并得到软硬折中阈值函数和模平方阈值函数等.在实际应用中,通过实验发现不仅阈值和阈值函数的选取是影响去噪效果的关键,小波分解的层数(即尺度)J也对去噪效果有重要影响.人们通常的做法是在对含噪信号进行小波分解时,根据经验预先设定一个分解层数.但仿真实验发现,对不同的信号,在不同的信噪比下,都存在一个去噪效果相对较好的分解层数.当分解层数过多时,对所有各层小波系数都进行阈值处理,会造成有用信号信息的丢失,反而使信噪比下降,而且计算工作量也大为增加;当分解层数过少时,导致不能有效地去除噪声,信噪比不能得到很大提高.因此,确定一个合理的分解层数对去噪是必要的.本文在对含噪信号的小波变换特性分析的基础上,基于运用自相关函数进行白噪声检验的方法,提出了一种确定小波分解层数的自适应算法,并以软阈值函数为例,结合4种不同的阈值选取准则,以信噪比和最小均方误差为度量指标,通过仿真实验验证了该方法的有效性.1自相关函数估计在实际应用中,采集到的信号常混有白噪声.白噪声可以看作是一个平稳的随机序列,它是均值为零,方差为常数的不相关随机变量构成的序列.根据时间序列分析的相关知识,白噪声序列的理论自相关函数为:ρk={1,k=00,k≠0ρk={1,k=00,k≠0.因此,可以利用白噪声序列自相关函数的这一特性进行白噪声的检验.在自然界中,纯粹的白噪声很难遇到,很多随机序列只是近似的符合白噪声的特性.而且在实际中,我们所得到的只是一个随机过程的有限个观测值构成的有限序列,由此只能得到自相关函数的估计值.因此,只能用自相关函数的估计来检验一个序列是否符合白噪声的特性.检验方法如下:假设离散有限数据序列zt(t=1,2,…,N),将它看作一个随机序列的有限个样本值,定义其自相关函数的估计为:ρˆk=γˆkγˆ0‚k=1,2,⋯,Kρ^k=γ^kγ^0‚k=1,2,⋯,Κ其中γˆk=1N∑t=1N−k(zt−z¯)(zt+k−z¯)γˆ0=1N∑t=1N(zt−z¯)2z¯=1N∑t=1Nztγ^k=1Ν∑t=1Ν-k(zt-z¯)(zt+k-z¯)γ^0=1Ν∑t=1Ν(zt-z¯)2z¯=1Ν∑t=1Νzt分别是自协方差函数γk、序列方差σ2zz2、序列均值μ的估计.考虑序列(N−−√ρˆ1‚N−−√ρˆ2‚N−−√ρˆ3‚⋯,N−−√ρˆk)(Νρ^1‚Νρ^2‚Νρ^3‚⋯,Νρ^k),因此检验zt(t=1,2,…,N)是否是白噪声序列,就转化为检验这K个量是否相互独立并服从标准正态分布.令Qk=∑k=1K(N−−√ρˆk)2=N∑k=1Kρˆ2kQk=∑k=1Κ(Νρ^k)2=Ν∑k=1Κρ^k2,此时,问题又转化为检验Qk是否服从自由度为K的中心χ2分布,这时利用统计学中的假设检验即可实现,具体检验过程不在此赘述.2基于小波分解的白噪声检验由小波理论可知,含噪信号经过小波变换以后,有用信号和噪声在各层小波空间里分别具有不同的特性:信号的主要特征由分布在较大尺度上的少数幅值较大的系数来表征,而噪声则表现在各层小波空间里,对应着个数较多,幅值较小的小波系数.白噪声经过小波变换之后仍然是白噪声,因此,在强噪声弱信号的情况下,在大多数小波空间里,白噪声起主导作用,表现出白噪声的特性,而在少数大尺度小波空间里,信号对应的小波系数占主导地位,表现出非白噪声的特性.因此,可以通过对小波系数进行白噪声检验来自适应确定分解层数,具体算法如下:①选择一个小波函数,将待处理的离散含噪信号{f(k)}进行一层小波分解;②保留(1)中得到的尺度系数a1,对得到的小波系数d1进行白噪声检验.若d1能通过白噪声检验,则对a1继续进行一层分解;③重复上述步骤,即每分解一层,就对该层小波系数进行一次白噪声检验,直到分解得到的小波系数不能通过白噪声检验为止;④放弃最后一次未通过白噪声检验的分解结果,即若分解了n次,则分解层数为n-1.并将分解得到的各层小波系数d1,d2,…,dn-1根据阈值λj(j=1,2,…,n-1)进行软阈值量化处理;⑤用尺度系数an-1及经过阈值处理后的小波系数d1,d2,…,dn-1进行重构,即得到消噪后的信号.3最佳分解层数的选取为了验证确定合适分解层数的重要性以及本文方法的有效性,以Blocks、Bumps和Heavysine3种典型信号为例进行仿真实验,原始信号如图1所示.在以上3种信号中,分别叠加均值为0,标准差为1的高斯白噪声形成待处理信号,如图2所示.在实验中,选用Daubechies4小波进行分解.仿真实验中均采用软阈值方法.门限阈值的选取准则分别采用heursure(混合准则),rigrsure(无偏风险估计准则),minimaxi(极大极小准则)和sqtwolog(固定门限准则)四种准则进行处理.对3种信号分别用本文的方法,确定的“最佳”分解层数分别为5,4和5.把这个最佳分解层数下的处理结果与其相邻的上下两个分解层数下的处理结果进行对比,并以信噪比和最小均方误差为度量指标,如表1～3所示.从表中数据可知,对不同信号,分解层数的选取对去噪效果确实有重要影响.当分解层数过少时,不能有效去除噪声;当分解层数过多时,去噪后信号的信噪比反而下降.这说明一个合适的分解层数对取得较好的去噪效果是至关重要的.同时从表中数据还可以看到,采用不同的阈值选取准则,对应的最佳分解层数会有所不同.比如对Blocks信号,如果阈值准则采用heursure和rigrsure,最佳的分解层数为5;如果阈值采用minimaxi和sqtwolog准则,最佳的分解层数为4.对Bumps信号也存在类似的结论.这说明小波分解层数、阈值选取准则以及阈值函数的选取对去噪效果的影响并不相互独立,而应结合起来综合考虑.虽然用本文方法确定的Blocks信号的最佳分解层数为5,这与阈值选取准则为minimaxi和sqtwolog的时候不一致,但是从去噪后的信噪比和最小均方误差来看,5层的分解层数和rigrsure准则结合,效果是最佳的.这说明本文的方法是有效的.最后利用本文分层方法,给出3种含噪信号的去噪结果,如图3所示.4自适应确定分解层数本文通过对含白噪声信号