第四章指数函数与对数函数（15类知识归纳34类题型突破）

第四章指数函数与对数函数（15类知识归纳+34类题型突破）1.了解根式的相关概念与性质、掌握分数指数幂的运算．2.理解并掌握指数函数的图象及性质．3.了解对数的概念与性质、掌握对数的的相关运算．4.理解并掌握对数函数的图象与性质.5.理解函数零点的定义，并会用零点存在性定理判断零点所在区间及二分法近似求解.根式的相关概念与性质方根一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数当为偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数，负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0.根式的概念式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数当为奇数时，当为偶数时，分数指数幂的意义及应用0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义实数指数幂的运算性质及应用①同底数幂的乘法运算②同底数幂的除法运算③幂的乘方运算④积的乘方运算指数函数的定义一般地，函数，叫做指数函数。指数函数的图象与性质a>10<a<1图像定义域R值域(0，+∞)性质（1）过定点（0，1）（2）当x>0时，y>1;x<0时,0<y<1(2)当x>0时，0<y<1;x<0时,y>1(3)在（，+）上是增函数（3）在（，+）上是减函数对数的定义如果，那么数叫做以为底，的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数。两种特殊的对数一般对数：底数为，，记为常用对数：底数为10，记为；自然对数：底数为e（e≈…），记为指数和对数的互化公式对数的性质与运算法则两个基本对数：①，②对数恒等式：①，②幂的对数：①：②：③：积的对数：商的对数：换底公式：；推广1：对数的倒数式推广2：对数函数的定义形如：的函数叫做对数函数判断下列函数是否为对数函数①，②，③，④，⑤，⑥，⑦对数函数的图象与性质图象性质（1）定义域：（0,+）（2）值域：R（3）当x=1时，y=0即过定点（1，0）（4）当时，；当时，（4）当时，；当时，（5）在（0,+）上为增函数（5）在（0,+）上为减函数函数的零点对于函数，我们把的实数叫做函数的零点函数的零点与方程的根和图象与轴交点的关系函数的零点就是方程的实数解，也就是函数的图象与轴交点的横坐标方程的实数解函数的零点函数的图象与轴有交点零点存在性定理如果函数在区间的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么函数在区间至少有一个零点，即存在，使得，这个也是方程的解题型一根式的化简求值【例1】（1）（2023春·江西抚州·高一资溪县第一中学校考期末）（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据根式运算求解.【详解】由题意可得：.故选：C.（2）（2022秋·西藏拉萨·高一拉萨中学校考期末）若，，则的值为（

）A．1 B．5 C． D．【答案】A【分析】根据给定条件利用根式的性质直接计算即可得解.【详解】依题意，，，则，所以的值为1.故选：A巩固训练：1．（2023秋·江苏南通·高一统考期末）式子的值为（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】利用指数幂的运算性质即可得出.【详解】.故选：A.2．（2023秋·湖南娄底·高一统考期末）（多选）下列运算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】直接借助根式的运算法则计算即可.【详解】对于A，，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，，故D错误；故选：AC.题型二指数幂的运算【例2】（1）（2023秋·天津河西·高一统考期末）（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据指数幂的运算性质计算即可.【详解】.故选：C.（2）（2022秋·陕西宝鸡·高一统考期末）已知，则的值是（

）A．47 B．45 C．50 D．35【答案】A【分析】将两边平方可以求出的值，然后再平方一次可得答案.【详解】因为，所以，所以，所以，所以，故选：A．巩固训练1．（2023春·江西抚州·高一江西省乐安县第二中学校考期末）下列各式计算正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据分数指数幂的运算性质即可求解.【详解】对于A，，A对；对于B，，B错；对于C，，C错；对于D，，D错.故选：A2．（2023秋·甘肃白银·高一统考期末）下列等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据分数指数幂的运算法则计算可得；【详解】对于A：，故A错误；对于B：，故B错误；对于C：，故C错误；对于D：，故D正确；故选：D题型三分数指数幂与根式的互化【例3】（1）（2023春·江西·高一赣州市第四中学校考期末）可化为()A． B．C． D．【答案】A【分析】将根式化为有理数指数幂的形式，即可得答案.【详解】.故选：A（2）（2023秋·上海金山·高一统考期末）将化为有理数指数幂的形式为．【答案】【分析】根据分数指数幂的定义与运算求解.【详解】由题意可得：.故答案为：.（3）（2023秋·内蒙古阿拉善盟·高一阿拉善盟第一中学校考期末）化简（a，b为正数）的结果是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由分数指数幂的概念和指数幂的运算律计算.【详解】.故选：C.巩固训练1．（2023秋·上海浦东新·高一上海师大附中校考期末）把化成有理数指数幂的形式为.【答案】【分析】根据给定条件，利用分数指数幂的意义求解作答.【详解】，.故答案为：2．（2023秋·陕西西安·高一校考期末）化简的结果为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】先将根式转化为分数指数幂，再利用指数幂的运算性质化简.【详解】由条件知，则，故选：C.【点睛】本题考查了根式与分数指数幂，属于基础题.题型四指数幂化简求值【例4】（1）（2023秋·湖南益阳·高一统考期末）计算：.【答案】【分析】将分数指数幂转化为根式形式,求出值即可.【详解】由题知.故答案为:（2）（2023春·江西·高一宁冈中学校考期末）计算，结果是（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】根据给定条件，利用指数幂的运算及根式的意义计算作答.【详解】.故选：B（3）（2023秋·山西朔州·高一怀仁市第一中学校校考期末）已知函数，则.【答案】/【分析】根据指数幂的运算性质直接化简计算即可求解.【详解】.故答案为：.巩固训练1．（2023秋·广东深圳·高一统考期末）化简的值为.【答案】【分析】根据指数幂的运算律运算即得.【详解】，故答案为：.2．（2023春·河南洛阳·高一统考期末）．【答案】5【分析】利用分数指幂的运算性质求解即可【详解】，故答案为：53．（2023秋·江西吉安·高一江西省泰和中学校考期末）若，则的值为．【答案】0【分析】利用指数的综合运算求值即可.【详解】,，..故答案为：0.题型五根据函数是指数函数求参数【例5】（1）（2023秋·吉林长春·高一长春外国语学校校考期末）若函数是指数函数，则等于（

）A．或 B． C． D．【答案】C【分析】根据指数函数的定义求解即可.【详解】因为函数是指数函数，所以.故选：C（2）（2023秋·江西宜春·高一统考期末）已知函数是指数函数.(1)求实数的值；(2)解不等式【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意可得从而可求出实数的值；（2）由（1）可得，再由幂函数的单调性可得，解不等式组可得答案【详解】（1）由题可知解得（2）由（1）得∵在上单调递增，∴，解得，故原不等式的解集为（3）（2023秋·天津·高一统考期末）已知指数函数（a＞0，且）的图象过点．(1)求a的值；(2)若，，求m＋n的值；(3)求不等式的解集．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由于函数过点，将点代入函数解析式即可求得a的值.（2）将，分别代入函数中，分别求得，再用对数的运算性质求得的值。（3）将中的代换成，再由函数的单调性即可求得不等式的解集.【详解】（1）函数(，且)的图象过点，所以，解得.又，故a的值为.（2）由（1）知，因为，，即，，所以，，（3）不等式，因为，所以，

因为，在上单调递减函数，所以，解得，所以不等式的解集为.巩固训练1．（2023秋·甘肃临夏·高一校考期末）已知是指数函数.(1)求的值；(2)解不等式【答案】(1)(2)【分析】（1）根据函数为指数函数，得到底数大于0且不等式1，系数为1，求出的值；（2）在第一问的基础上，由对数函数的单调性及定义域列出不等式，求出不等式的解集.【详解】（1）因为是指数函数，所以，解得：或（舍去）；（2）不等式，即为，∵函数为增函数，∴要使不等式成立，只需满足，解得：，即原不等式的解集为.2．（2023秋·内蒙古鄂尔多斯·高一校联考期末）已知函数是指数函数.(1)求实数的值；(2)已知，，求的值域.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据指数函数的定义可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值；（2）令，，求出函数在上的最大值和最小值，即可得出函数的值域.【详解】（1）解：由题意可得，解得.（2）解：由（1）可得，因为，令，，令，则，，因此，函数的值域为.题型六求指数函数解析式【例6】（1）（2023春·贵州黔东南·高一校考期末）已知指数函数的图像经过点，则．【答案】【分析】设出指数函数解析式，根据条件求出解析式，然后再计算的值.【详解】设（，且），由于其图像经过点，所以，解得或（舍去），因此，故.故答案为：.（2）（2023秋·辽宁朝阳·高一建平县实验中学校考期末）已知指数函数的图象过点．(1)求的解析式；(2)若函数，且在区间上有两个零点，求m的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）设（，且），根据函数过点，代入求出参数的值，即可得解；（2）首先求出的解析式，令，，令，，则问题转化为在上有两个零点，根据二次函数根的分布得到不等式组，解得即可.【详解】（1）由题意，设（，且），∵的图象过点，∴，解得，故函数的解析式．（2）∵，∴，令，因为，所以，∴，，函数在上有两个零点，等价于在上有两个零点，则，即，解得，故实数的取值范围为．巩固训练1．（2023秋·内蒙古乌兰察布·高一校考期末）已知函数,其中a为常数,且函数的图象过点,则．【答案】1【分析】将点代入中,解出即可.【详解】解:由题知,将点代入中有:,解得:.故答案为:12．（2023秋·安徽滁州·高一校考期末）已知指数函数（，且）的图象过点．(1)求函数的解析式；(2)若，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）将点代入求解即可；（2）由指数函数的单调性求解即可.【详解】（1）∵指数函数（，且）过点，∴，∴解得，∴函数的解析式为.（2）若，则，∴，由指数函数的单调性知，在上单调递减，∴，解得，∴实数的取值范围是.题型七指数型函数图象过定点问题【例7】（1）（2023秋·四川巴中·高一校考期末）函数（且）的图像恒过定点，则点的坐标为．【答案】【分析】根据指数函数的性质，令，即可求解.【详解】令，即，则，所以定点为，故答案为：．（2）（2023秋·广东广州·高一统考期末）函数的图象恒过定点P，则点P的坐标是；若点P在直线上，则的最小值为.【答案】；8【分析】利用指数幂的运算即可求得点P的坐标，利用均值定理即可求得的最小值.【详解】当时，，则函数的图象恒过定点，点P在直线上，可得，则（当且仅当时等号成立）故答案为：；8巩固训练1．（2023春·上海宝山·高一统考期末）无论为何值，函数的图象恒经过一个定点，该定点坐标为.【答案】【分析】由已知可知，求解代入，即可得出答案.【详解】当，即时，无论为何值，恒有，此时，所以定点坐标为.故答案为：.2．（2023春·湖北咸宁·高一统考期末）函数的图像一定过定点，则点的坐标是.【答案】【分析】用指数函数恒过点推理指数型函数恒过点即可.【详解】因为函数，所以，令，解得，此时，所以函数的图象过定点.故答案为：.题型八根据指数型函数图象判断参数的范围【例8】（1）（2023秋·四川内江·高一统考期末）函数①；②；③；④的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是（

）A．，，， B．，，，C．，，，， D．，，，，【答案】C【分析】根据指数函数的性质，结合函数图象判断底数的大小关系.【详解】由题图，直线与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b，而.故选：C．（2）（2023秋·浙江台州·高一统考期末）已知指数函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根据指数函数的图象与性质讨论的关系，再利用一次函数的性质得其图象即可.【详解】由指数函数的图象和性质可知：，若均为正数，则，根据一次函数的图象和性质得此时函数图象过一、二、三象限，即C正确；若均为负数，则，此时函数过二、三、四象限，由选项A、D可知异号，不符合题意排除，选项B可知图象过原点则也不符合题意，排除.故选：C（3）（2023春·浙江杭州·高一校考期末）函数和函数在同一坐标系下的图像可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】按照和的图像特征依次判断4个选项即可.【详解】必过，必过，D错误；A选项：由图像知，由图像可知，A错误；B选项：由图像知，由图像可知，B错误；C选项：由图像知，由图像可知，C正确.故选：C.巩固训练1．（2023秋·陕西安康·高一校联考期末）指数函数与的图象如图所示，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】直接利用指数函数的性质判断选项即可．【详解】当时，指数函数是增函数；当时，指数函数是减函数，所以根据函数的图象可知，．故选：C．2．（2023秋·河南南阳·高一统考期末）（多选）已知函数，且，则下列式子可能成立的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】在同一直角坐标系中作出和的图象，然后根据图象即可完成判断.【详解】在同一直角坐标系中作出和的图象以及平行于x轴的直线如下：则时，的关系有三种可能，分别是：，，.故选：BCD题型九判断指数型函数的图象形状【例9】（1）（2023春·内蒙古巴彦淖尔·高一校考期末）函数的图像大致为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用函数的性质和特殊值排除部分选项可得答案.【详解】若函数有意义，则，解得，所以函数的定义域为；因为，所以；所以为定义域上的偶函数，图像关于轴对称，可排除选项A，C；当时,,排除选项B．故选：D．（2）（2023秋·山东临沂·高一校考期末）函数的图象大致是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根据函数解析式可判断出为奇函数，其图象关于原点对称，再利用时的取值即可判断出正确选项.【详解】由函数可知，其定义域为，关于原点对称；又对于定义域内任意满足，所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，因此排除B，又根据不同函数的增长速度可知，当趋近于，趋近于，而非接近于0，所以排除A；又排除D故选：C（3）（2023秋·浙江宁波·高一统考期末）（多选）已知且，函数的图象可能是（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根据函数的单调性、特殊点的函数值确定正确答案.【详解】依题意且，，B选项错误.当时，，且在上递增，A选项符合题意.当时，，在CD选项中，C选项错误，则D选项正确.故选：AD巩固训练1．（2023秋·安徽滁州·高一校考期末）函数的大致图象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】先分类讨论化简函数式，然后根据指数函数的单调性排除错误选项．【详解】因为又，根据指数函数的性质知，时，函数为增函数，排除B、D；时，函数为减函数，排除A．故选：C．2．（2023秋·江苏无锡·高一统考期末）函数的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先判断的奇偶性，排除B；再由得，排除C，再取特殊点法推得在上并不单调递增，从而排除D；再分析A中的图像性质，满足的性质，从而得解.【详解】因为，所以的定义域为，关于原点对称，又因为，所以函数是奇函数，所以的图象关于原点对称，故B错误；当时，因为，所以，故C错误；因为，，又，所以，则，所以，即，所以在上并不单调递增，故D错误；由于排除了选项BCD，而且选项A中的图像满足上述的性质，故A正确.故选：A.3．（2023秋·浙江湖州·高一期末）（多选）函数的图像可能是（

）A．B．C． D．【答案】ABD【分析】分别取，，能得到ABD选项中图像，由定义域解得的值，排除C选项.【详解】当时，，函数定义域为，，函数为奇函数，图像关于原点对称，时，且单调递减，可得A选项中的图像；当时，，函数定义域为R，，函数为偶函数，图像关于轴对称，，有，则，得，所以，即，时，且单调递减，当时，函数有最大值，可得B选项中的图像；令，，函数为指数函数，可得D选项中的图像；函数，当时，函数定义域为R，当时，函数定义域为，C选项中的图像，函数定义域为，，得，此时的图像应为A选项中的图像，所以C选项中的图像不可能.故选：ABD题型十判断指数函数的单调性【例10】（1）（2023秋·北京东城·高一统考期末）下列函数中，在区间上单调递减的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据指数函数，对数函数，幂函数的单调性即可得到答案.【详解】根据幂函数图像与性质可知，对A选项在单调递增，故A错误，对D选项在单调性递增，故D错误，根据指数函数图像与性质可知在单调递减，故C正确，根据对数函数图像与性质可知在单调性递增.故选：C.（2）（2023秋·内蒙古呼和浩特·高一铁路一中校考期末）已知函数，则（

）A．是奇函数，且在R上是增函数B．是偶函数，且在上是增函数C．是奇函数，且在R上是减函数D．是偶函数，且在上是减函数【答案】A【分析】根据函数的奇偶性定义，即可判断奇偶性，根据函数单调性的定义，即可判断函数的增减性.【详解】函数的定义域为，，所以函数是奇函数，且是增函数，是减函数，所以函数在上是增函数.故选：A巩固训练1．（2023秋·江西宜春·高一校考期末）（多选）下列函数既是偶函数又在上单调递增的是（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】根据偶函数的定义，结合指数型函数的单调性逐一判断即可.【详解】A：因为的定义域为，，所以本选项函数是偶函数，当时，函数单调递增，故符合题意；B：因为，所以本选项函数不是偶函数；C：因为，所以本选项函数不是偶函数；D：因为的定义域为，，所以本选项函数是偶函数，当时，与单调递增，则函数单调递增，故符合题意，故选：AD2．（2023秋·四川·高一四川外国语大学附属外国语学校校考期末）（多选）设函数，对于任意的，下列命题正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根据指数运算法则可知A正确，利用反例可知B错误；根据指数函数单调性可知C正确；结合基本不等式可确定D正确.【详解】对于A，，A正确；对于B，令，，则，，，，B错误；对于C，为定义在上的增函数，，C正确；对于D，，，D正确.故选：ACD.题型十一求指数型复合函数的单调性【例11】（1）（2023秋·四川眉山·高一校考期末）函数的减区间是；【答案】/【分析】把函数看成与复合而成，根据复合函数“同增异减”法则即可求出.【详解】函数可看成由与复合而成，而为单调递增函数，所以函数的单调递减区间为单调递减区间，即单调递减区间为.故答案为：.（2）（2022秋·四川凉山·高一统考期末）已知函数，则该函数的单调递减区间为．【答案】【分析】根据复合函数的单调性的性质进行求解即可.【详解】指数函数是实数集上的单调增函数，因为，所以该二次函数的对称轴为，所以该二次函数单调递减区间是，因此根据复合函数的单调性可得函数的单调递减区间是.故答案为：（3）（2023秋·广东·高一统考期末）函数的单调递增区间为.【答案】【分析】利用换元法，结合复合函数单调性的关系进行转化求解即可.【详解】设，则，对称轴为，当，即，即，即时，为减函数，函数为增函数，则为减函数，即函数单调减区间为；当，即，即，即时，为减函数，函数为减函数，则为增函数，即函数单调增区间为.故答案为：巩固训练1．（2022秋·甘肃甘南·高一甘南藏族自治州合作第一中学校考期末）函数y=的单调递增区间是.【答案】【分析】设函数，再利用复合函数的单调性原理求解.【详解】解：由题得函数的定义域为.设函数，因为函数的单调递减区间为，单调递增区间为，函数是单调递减函数，由复合函数的单调性得函数y=的单调递增区间为.故答案为：2．（2022秋·上海浦东新·高一上海师大附中校考期末）函数的单调减区间是.【答案】/【分析】根据复合函数的单调性“同增异减”，即可求解.【详解】令，根据复合函数单调性可知，内层函数在上单调递减，在上单调递增，外层函数在定义域上单调递增，所以函数#在上单调递减，在上单调递增.故答案为：.3．（2023秋·山东淄博·高一山东省淄博第六中学校考期末）函数的单调递增区间是．【答案】【分析】欲求函数得单调递增区间，根据指数函数的单调性，只须求函数y=的单调减区间即可．【详解】令，得函数定义域为，所以在上递增，在递减．根据“同增异减”的原则，函数的单调递增区间是．【点睛】本小题主要考查函数的单调性及单调区间、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．当遇到函数综合应用时，处理的优先考虑“让解析式有意义”的原则，先确定函数的定义域．题型十二由指数(型)的单调性求参数【例12】（1）（2023秋·广东清远·高一统考期末）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】若在上单调递增,必有，求解即可.【详解】根据题意,函数，若在上单调递增,必有，解得，所以的取值范围为.故选：C（2）（2023秋·陕西宝鸡·高一统考期末）已知函数，满足对任意，都有成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据函数的单调性求解．【详解】对任意，都有成立，即时，恒成立，∴是增函数，∴，解得,故选：B．（3）（2023秋·陕西西安·高一统考期末）（多选）若,且（，且）在上单调递增，则a的值可能是（

）A． B． C．3 D．【答案】BC【分析】由在上单调递增分析，两段函数都要递增，且分段处也要符合递增的情形，故而可得不等式组，求解即可.【详解】因为在上单调递增，所以，解得，则BC符合取值范围.故选：BC.巩固训练1．（2023秋·江西新余·高一统考期末）若（且）是R上的单调函数，则a的取值范围为（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根据指数函数和一次函数的单调性，结合分割点处函数值的大小关系，列出不等式，求解即可.【详解】因为函数是减函数，且是R上的单调函数，根据题意可知：函数是R上的单调递减函数，所以，解得：，所以实数的取值范围为，故选：.2．（2023秋·河北石家庄·高一统考期末）已知函数在上单调递增，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先利用指数函数与一次函数的单调性，分段讨论的单调性，从而得到，再由在上的单调性得处有，从而得到，由此得解.【详解】因为在上单调递增，当时，在上单调递增，所以；当时，在上单调递增，所以，即；同时，在处，，即，即，因为，所以，即，解得或（舍去），综上：，即.故选：B.3．（2023秋·内蒙古通辽·高一开鲁县第一中学校考期末）（多选）已知函数是上的增函数，则实数的值可以是（

）A．4 B．3 C． D．【答案】CD【分析】利用分段函数单调性建立不等关系，从而求出参数的取值范围．【详解】由函数是上的增函数，所以所以，故选：CD．题型十三由指数函数的单调性解不等式【例13】（1）（2023秋·江苏无锡·高一统考期末）不等式的解集是．【答案】【分析】结合换元法及指数函数单调性求解.【详解】令，则可得，由指数函数单调性可得.故答案为：.（2）（2023秋·内蒙古乌兰察布·高一校考期末）若，则实数a的取值范围是（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根据指数函数的单调性求解即可.【详解】因为函数是减函数，且，所以，解得，即实数a的取值范围是.故选：D.（3）（2023秋·山西朔州·高一怀仁市第一中学校校考期末）已知函数，则的解集为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据函数奇偶性可得为偶函数，根据解析式直接判断函数在上的单调性，则可结合奇偶性与单调性解不等式得解集.【详解】解：因为，则所以，则为偶函数，当时，，又，在上均为增函数，所以在上为增函数，所以，即，解得或，所以的解集为故选：D.（4）（2022秋·河北邢台·高一邢台市第二中学校考期末）若，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据不等式的形式构建新函数，利用其单调性可判断，的大小关系.【详解】设，因为为上的增函数，而为上的减函数，故为上的增函数，而即为，故，故，故B正确，AC错误.因为，可能为负数，故D错误.故选：B.巩固训练1．（2023秋·安徽滁州·高一校考期末）不等式的解集为．【答案】，【分析】首先由指数函数性质化简不等式，然后移项、通分，利用分类讨论法解不等式．【详解】不等式可化为，因为函数为增函数，所以，移项、通分整理为，此不等式等价于或解得或．所以原不等式的解集为，．故答案为：，．2．（2023秋·河北承德·高一统考期末）已知函数，则不等式的解集为.【答案】【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.【详解】对于函数，则定义域为，且，所以是偶函数，当时，又函数、、在上单调递增，所以在上单调递增，则在上单调递减.又，所以不等式，即，即，即，所以，解得，故不等式的解集为.故答案为：3．（2023春·广东深圳·高一统考期末）已知函数，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】判断出函数的奇偶性和单调性，再由偶函数的定义和增函数的定义化简不等式，得出解集.【详解】函数的定义域为，且，即是偶函数，当时，，构造，，令，则在上单调递增，又也是增函数，则在上单调递增，又是定义域内的增函数，故在上单调递增，不等式等价于，即，平方得：，解得且，则不等式的解集为.故选：B.4．（2023秋·江苏盐城·高一江苏省射阳中学校考期末）若实数x，y满足，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知可得，然后构造函数，，再通过判断函数的单调性可得，然后逐个分析判断即可.【详解】因为，所以，令，则，因为和在上均为增函数，所以在上为增函数，所以，对于AB，因为，所以，所以，所以A正确，B错误，对于CD，因为，所以，所以当时，，当时，，当时，，所以CD错误，故选：A题型十四求指数型复合函数的值域【例14】（1）（2023秋·广东深圳·高一红岭中学校考期末）函数，的值域是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，求出的值域，再根据指数函数单调性求值域.【详解】令，则，所以又在上单调递增，所以即故选：B.（2）（2023秋·湖南邵阳·高一统考期末）已知函数，，则函数的值域为（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根据给定条件换元，借助二次函数在闭区间上的最值即可作答.【详解】依题意，函数，，令，则在上单调递增，即，于是有，当时，，此时，，当时，，此时，，所以函数的值域为.故选：B巩固训练1．（2023秋·上海浦东新·高一校考期末）函数的值域是.【答案】【分析】对函数解析式进行变形处理，即可得解.【详解】，因为，，所以.故答案为：2．（2023秋·四川内江·高一统考期末）若函数的定义域为，则该函数的值域是.【答案】【分析】把二次函数看作整体求出范围,再由指数函数的单调性求函数值域即可【详解】因为函数,设,则因为定义域为,当时,.当时,所以,又因为单调递增,即得,函数的值域为故答案为:题型十五指数函数的应用【例15】（1）（2023秋·辽宁葫芦岛·高一统考期末）写出一个同时具有性质①②③的函数．①；②当时，；③是增函数．【答案】（写一个满足，的即可）.【分析】运用指数函数的性质分析即可.【详解】当，时，所以定义域为R，且恒成立，且是增函数，又因为，所以，符合题意.所以可以是满足，的即可，如：（或、、等）.故答案为：.（2）（2023秋·广东佛山·高一统考期末）在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以的增长率呈指数增长，已知经过天以后，该湖泊的蓝藻数大约为原来的倍，那么经过天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的（

）A．18倍 B．倍 C．倍 D．倍【答案】C【分析】构造指数函数模型，计算即可.【详解】某湖泊中的蓝藻每天以的增长率呈指数增长，经过30天以后，该湖泊的蓝藻数大约为原来的6倍，设湖泊中原来蓝藻数量为，则，经过60天后该湖泊的蓝藻数量为：经过60天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的36倍.故选：C.（3）（2022秋·陕西渭南·高一统考期末）国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2022年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到真正的智慧场馆､绿色场馆．并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水､雨水过滤系统．若过滤过程中废水的污染物数量与时间（小时）的关系为（为最初污染物数量），且前4小时消除了的污染物，则污染物消除至最初的还需要过滤小时．【答案】4【分析】先列出关于还需要过滤时间x小时的方程，解之即可求得还需要过滤时间为4小时.【详解】根据题意有，，可得，即设污染物消除至最初的还需要过滤x小时，则，即则，即，则，解之得故答案为：4巩固训练1．（2023秋·广东湛江·高一统考期末）写出一个同时满足下列两个条件的非常数函数①当时，；②为偶函数【答案】（，）（答案不唯一）【分析】根据可知为指数函数，将其做相应的变化符合是偶函数即可.【详解】若满足①对任意的有成立，则对应的函数为指数函数的形式；若满足②为偶函数，只需要将加绝对值即可，所以满足①②两个条件的函数可以是：（，）.故答案为：（，）（答案不唯一）2．（2023秋·山西大同·高一统考期末）一个口罩厂今年12月份的产量是去年12月份产量的倍，则该口罩厂这一年中产量的月平均增长率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设月平均增长率为，去年12月份的产量为1.建立方程关系，进行求解即可．【详解】设这一年该口罩厂的月平均增长率为，去年12月份的产量为1.因为今年12月份的产量是去年12月份产量的倍，所以，即，即.故选：B.3．（2023秋·上海浦东新·高一校考期末）专家对某地区新冠肺炎爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间（单位：天）与病情爆发系数之间，满足函数模型：，当时，标志着疫情将要大面积爆发，则此时约为（

）(参考数据：)A． B． C． D．【答案】B【解析】根据列式求解即可得答案.【详解】解：因为，，所以，即，所以，由于，故，所以，所以，解得.故选：B.【点睛】本题解题的关键在于根据题意得，再结合已知得，进而根据解方程即可得答案，是基础题.题型十六指数式与对数式的互化【例16】（1）（2023秋·上海松江·高一校考期末）若，则（用字母表示）.【答案】【分析】根据指对数互化可得，进而结合对数的运算求解.【详解】因为，可得，所以.故答案为：.（2）（2023秋·甘肃天水·高一校联考期末）已知，，则（

）A． B． C．4 D．5【答案】A【分析】利用指数式和对数式的关系可得a的值，再根据换底公式可得.【详解】因为，所以，所以.故选：A（3）（2022秋·江苏南京·高一校考期末）若，且，则实数的值为．【答案】【分析】化指数式为对数式，得到，从而得到方程，求出答案.【详解】因为，所以，，故，则，所以，解得.故答案为：（4）（2023秋·辽宁葫芦岛·高一校考期末）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先由对数公式把化简，然后代入即可求解.【详解】由题意可得，，所以，所以.故选：B.巩固训练1．（2022秋·上海宝山·高一校考期末）已知，试用表示为.【答案】【分析】指对互化可得，由换底公式可得，由可得答案.【详解】因为，所以，可得，.故答案为：.2．（2022秋·天津河西·高一校考期末）若，则（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】根据给定条件，利用对数式与指数式互化，再利用换底公式、对数运算求解作答.【详解】因为，则，，同理，所以.故选：A3．（2022秋·新疆哈密·高一校考期末）设，，则.【答案】21【分析】由对数运算性质可得答案.【详解】.故答案为：.4．（2022秋·上海浦东新·高一统考期末）已知正数a和b满足，用a及b表示.【答案】【分析】令，由，可得，进而可得以现由即可得答案.【详解】解：因为均为正数，令，则有，，又因为，所以，所以，所以，所以所以.故答案为：题型十七对数的运算【例17】（1）（2023秋·甘肃天水·高一统考期末）计算(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）根据指数的运算可得答案；（2）根据对数的运算可得答案.【详解】（1）（2）（2）（2023秋·山西太原·高一太原市进山中学校校考期末）计算下列式子(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）根据对数的运算性质求解；（2）根据对数的运算性质和换底公式求解.【详解】（1）.（2）.（3）（2023秋·福建莆田·高一莆田第五中学校考期末）化简求值：(1)；(2)．【答案】(1)；(2)4.【分析】（1）根据指数幂的运算法则计算可得；（2）根据对数的运算法则及换底公式计算可得；【详解】（1）；（2）.（4）（2023秋·四川雅安·高一统考期末）已知.(1)求a，b的值；(2)若，用b，c表示的值.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据指数和对数的运算性质可求出，可得结果；（2）根据指数式与对数式的互化以及对数的运算性质可得结果.【详解】（1）因为，所以，所以，所以，所以，因为，所以，即，解得，（舍去），故.（2）由（1）知，，，所以，所以，所以.（5）（2023春·四川宜宾·高一四川省宜宾市第四中学校校考开学考试）（1）已知实数满足，求的值．（2）若，求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）利用指数幂的运算求出的值，再利用平方差公式可求得的值；（2）利用指数与对数的换算可得出，，，再利用换底公式以及对数的运算性质可证得结论成立.【详解】（1）解：，，，又，，所以；（2）证明：设，则且，，，，，，，.巩固训练1．（2023·全国·高一专题练习）已知实数，满足，．(1)用表示；(2)计算的值．【答案】(1)(2)【分析】根据对数的运算法则及性质求解即可.【详解】（1）由题意可知，所以．（2）因为，所以．2．（2023秋·陕西西安·高一统考期末）求值：(1)；(2)．【答案】(1)2(2)0【分析】（1）利用指数幂的运算性质进行运算即可；（2）运用对数的运算性质进行运算即可【详解】（1）（2）3．（2023秋·新疆喀什·高一校联考期末）化简求值：(1)；(2)(3)化简【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据分数指数幂的运算法则，即可求解；（2）根据对数运算法则，即可化简求值；（3）根据根式和分数指数幂的化简公式，化简求值.【详解】（1）原式；（2）原式；（3）原式.4．（2023秋·天津红桥·高一天津市瑞景中学校考期末）（1）计算：；（2）已知，求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用对数的运算性质可计算出所求代数式的值；（2）利用指数与对数的互化可得，，再利用换底公式结合对数的运算性质可求得的值.【详解】解：（1）原式；（2）由可得，，因此，.5．（2023秋·四川眉山·高一校考期末）（1）计算：；（2）已知，求的值．【答案】（1）

；（2）．【分析】（1）根据指数幂的运算化简求值，即可求得答案；（2）根据对数的运算法则化简求值，可得的值，再结合指数的运算即可求得答案.【详解】（1）原式．（2），所以题型十八求对数型复合函数的定义域【例18】（1）（2023秋·辽宁朝阳·高一建平县实验中学校考期末）函数的定义域是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由对数函数定义域求法解不等式可得结果.【详解】利用对数函数定义域求法可知，易得，故选：C．（2）（2023秋·甘肃天水·高一秦安县第一中学校考期末）函数y=定义域为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】解不等式可得．【详解】.故选：D．（3）（2023秋·河北石家庄·高一统考期末）函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，解不等式可得答案．【详解】令，解得，故定义域为.故选：B.巩固训练1．（2023秋·山东菏泽·高一山东省郓城第一中学校考期末）函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用偶次根式下部分非负及对数的真数大于0列式求解即可．【详解】要使函数有意义，需满足，解得，所以的定义域为．故选：C2．（2023秋·湖北鄂州·高一校考期末）函数的定义域是．【答案】【分析】由对数函数的定义域及被开平方数大于等于，可解得结果．【详解】因为函数，所以，解得，故函数的定义域为．故答案为：．3．（2023春·云南红河·高一统考期末）函数的定义域为（

）．A． B．C． D．【答案】A【分析】根据解析式列出不等式组求解即可.【详解】由题得，解得且.故选：A.题型十九对数型函数图象过定点问题【例19】（1）（2023秋·新疆塔城·高一乌苏市第一中学校考期末）函数（，且）的图象恒过点．【答案】【分析】根据对数函数的性质求出定点坐标.【详解】令，解得，此时，故（，且）的图象恒过点.故答案为：（2）（2023秋·山东临沂·高一统考期末）一次函数的图象经过函数的定点，则的最小值为.【答案】8【分析】求出函数过的定点，可得，将变为，结合基本不等式即可求得答案.【详解】对于函数，令，则该函数图象过定点，将代入，得，故，当且仅当且，即时取等号，故答案为：8巩固训练1．（2023秋·上海金山·高一统考期末）已知常数且，无论a取何值，函数的图像恒过一个定点，则此定点为．【答案】【分析】利用对数函数性质可知，只需令即可求出的图像恒过的定点的坐标.【详解】因为的图像必过，即，当，即时，，从而图像必过定点.故答案为：.2．（2023秋·湖北荆门·高一荆门市龙泉中学校考期末）已知函数的图象过定点，且点在指数函数图象上，则.【答案】【分析】由对数函数的图象可得，故可求的解析式，根据对数的运算即可求解.【详解】在中，令,可得,故.设,由题意可得,解得.所以，.故答案为:.题型二十根据对数型函数图象判断参数的范围【例20】（1）（2022秋·新疆巴音郭楞·高一校联考期末）如图是三个对数函数的图象，则a、b、c的大小关系是（

）A．a＞b＞c B．c＞b＞aC．c＞a＞b D．a＞c＞b【答案】D【分析】根据对数函数的图象与单调性确定大小．【详解】y＝logax的图象在（0，＋∞）上是上升的，所以底数a＞1，函数y＝logbx，y＝logcx的图象在（0，＋∞）上都是下降的，因此b，c∈（0，1），又易知c＞b，故a＞c＞b.故选：D．（2）（2022秋·上海长宁·高一统考期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数与对数函数（且）的图象关系可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据对数函数的图象以及直线方程与图象关系分别进行讨论即可．【详解】．由对数图象知，此时直线的纵截距，矛盾，．由对数图象知，此时直线的纵截距，矛盾，．由对数图象知，此时直线的纵截距，保持一致，．由对数图象知，此时直线的纵截距，矛盾，故选：．（3）（2023秋·河南周口·高一周口恒大中学校考期末）已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】根据函数图象及对数函数的性质可求解.【详解】因为函数为减函数，所以又因为函数图象与轴的交点在正半轴，所以，即又因为函数图象与轴有交点，所以，所以，故选：D巩固训练1．（2023秋·山东德州·高一统考期末）华罗庚是享誉世界的数学大师，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．若函数（且）的大致图象如图，则函数的大致图象是（

）B．C． D．【答案】C【分析】根据题意，求得，结合指数函数的图象与性质以及图象变换，即可求解.【详解】由题意，根据函数的图象，可得，根据指数函数的图象与性质，结合图象变换向下移动个单位，可得函数的图象只有选项C符合.故选：C.2．（2023秋·湖南长沙·高一统考期末）函数，且)与函数在同一直角坐标系中的图象大致是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据和分类讨论然后结合二次函数的性质可得.【详解】当时，在区间上单调递增，此时的对称轴为，且对应方程的判别式，故A、B均不满足；当时，在区间上单调递减，此时的对称轴为，且对应方程的判别式，故C满足．D不满足.故选：C.3．（2023秋·上海松江·高一校考期末）若函数的大致图象如图，其中为常数，则函数的大致图象是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由函数的图象可推得，，且，可得函数的图象递减，且，从而可判断答案.【详解】由函数的图象为减函数可知，，再由图象的平移变换知，的图象由向左平移不超过一个单位，可知，故函数的图象递减，且，则符合题意的只有B中图象故选：B.题型二十一判断对数型函数的图象形状【例21】（1）（2023秋·江西上饶·高一统考期末）函数的部分图像大致为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】分析函数的奇偶性及其最小值，结合排除法可得出合适的选项.【详解】对任意的，，则函数的定义域为，因为，，则函数为偶函数，排除CD选项，又因为，当且仅当时，等号成立，排除B选项.故选：A.（2）（2023秋·湖南益阳·高一校联考期末）函数（且）的图像大致为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由函数图像过的定点和函数的值域可判断正确选项.【详解】，函数定义域为，有，函数图像过原点，AD选项不符合，，B选项不符合.故选：C.（3）（2023秋·江西新余·高一统考期末）已知函数图象如图所示，那么该函数可能为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据所给函数的图象，利用排除法分析ABC即可得解.【详解】由图象可知，函数定义域为，图象关于原点对称，函数是奇函数，时，据此，定义域不符合，排除A;若，则时，，不符合图象，故排除B；若，则当趋向于时，趋向于，当趋向于时，趋向于1，不符合图象，故排除C;故选：D巩固训练1．（2023秋·浙江杭州·高一杭十四中校考期末）函数的图象大致是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据函数的奇偶性以及特殊点的函数值求得正确答案.【详解】，所以的定义域为，，所以是奇函数，图象关于原点对称，排除BD选项.，排除C选项，所以A选项正确.故选：A2．（2023秋·山西运城·高一康杰中学校考期末）函数的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】分析函数的定义域、奇偶性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.【详解】对于函数，有，解得且，所以，函数的定义域为，因为，函数为奇函数，排除CD选项，当时，，则，排除B选项.故选：A.3．（2023秋·江苏镇江·高一统考期末）函数的图象大致是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】分析函数的奇偶性及其在上的增长速度，结合排除法可得出合适的选项.【详解】函数的定义域为，当时，，，当时，，，故对任意的，，所以，函数为偶函数，排除BD选项；当时，，则函数在的增长速度快于函数的增长速度，排除C选项.故选：A.题型二十二求对数型复合函数的单调性【例22】（1）（2023秋·天津静海·高一静海一中校考期末）函数的单调递增区间为．【答案】【分析】求得的定义域，由二次函数和对数函数的单调性，结合复合函数的单调性，可得所求区间【详解】令，解得或，则的定义域为，由在单调递减，根据复合函数的单调性：同增异减，求出的减区间即为的增区间，再结合的定义域可知的单调递增区间为，故答案为：（2）（2023秋·河北石家庄·高一石家庄二中校考期末）已知函数，则的单调增区间为.【答案】/（1，1）【分析】先求定义域为，再利用复合函数的单调性法则“同增异减”即可求得.【详解】因为，解得：，所以的定义域为.令，则.要求的单调增区间，只需.所以，所以的单调增区间为.故答案为：.（3）（2023秋·内蒙古乌兰察布·高一校考期末）函数的单调递增区间是．【答案】/【分析】先求出函数的定义域，再根据对数函数及复合函数的单调性即可得解.【详解】由，得，则函数的定义域为，，令，在上递增，在上递减，又在定义域上是增函数，所以函数的单调递增区间是.故答案为：.巩固训练1．（2023秋·四川巴中·高一校考期末）函数的单调递减区间是．【答案】（也正确）【分析】先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性的判断方法，“同增异减”求得函数的递减区间．【详解】由，则，解得，又函数的开口向下，对称轴是y轴，且在上递减，根据复合函数单调性“同增异减”可知的单调递减区间是．故答案为：（也正确）．2．（2023秋·广东广州·高一校考期末）已知，则的单调递增区间为．【答案】【分析】令，则，根据复合函数单调性“同增异减”的原则，可得答案．【详解】解：函数的定义域为：令，则为增函数，当时，为减函数，此时为减函数，当时，为增函数，此时为增函数，即的单调递增区间是，故答案为：3．（2023秋·福建莆田·高一莆田一中校考期末）函数的单调递减区间为．【答案】【分析】由对数复合函数的单调性确定单调区间即可.【详解】由解析式，则，即定义域为，又，而在上递增，在上递减；在定义域上递增；所以在上递增，上递减.故答案为：题型二十三由对数(型)函数的单调性求参数【例23】（1）（2023秋·陕西渭南·高一统考期末）已知在区间上是减函数，则实数的取值范围是．【答案】【分析】令，根据对数型复合函数的单调性可得在上单调递增且恒大于零，即可得到，解得即可.【详解】解：令，因为在定义域上单调递减，又在区间上是减函数，所以在上单调递增且恒大于零，所以，解得，所以实数的取值范围是.故答案为：（2）（2023秋·辽宁·高一大连二十四中校联考期末）已知函数，若在区间内单调递减，则的取值范围是.【答案】【分析】设，由题得在区间上为减函数，且在区间上恒成立，分，，三种情况讨论即可解决.【详解】因为函数在区间内单调递减，设，所以在区间上为减函数，且在区间上恒成立，当时，，满足题意；当时，，开口向下，在区间上不为减函数，不满足题意；当时，，所以，解得；所以综上可得.故答案为：（3）（2023秋·内蒙古呼和浩特·高一铁路一中校考期末）已知是上的减函数，那么的取值范围是.【答案】【分析】由题意可得每一段上函数为减函数，且，从而可求出的取值范围【详解】因为是上的减函数，所以，解得，所以的取值范围，故答案为：巩固训练1．（2023秋·四川资阳·高一四川省安岳实验中学校考期末）若函数在上是增函数，则实数a的取值范围是．【答案】【分析】根据是函数递增区间的子集求得实数a的取值范围．【详解】解：∵在上是增函数，，即，解得．故答案为：．2．（2023秋·上海浦东新·高一校考期末）已知函数在上是严格减函数，则实数a的取值范围为；【答案】【分析】由题意，利用复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，求得的范围．【详解】函数在上严格单调递减，函数在上单调递增，且，，解得，故答案为：．3．（2023秋·内蒙古呼和浩特·高一统考期末）若（，且）在区间上单调递增，则实数a的取值范围为．【答案】【分析】利用复合函数的单调性求解.【详解】解：令，当时，是增函数，因为（，且）在区间上单调递增，则在区间上单调递增，且在区间上恒成立，则，且，解得；当时，是减函数，因为（，且）在区间上单调递增，则在区间上单调递减，且在区间上恒成立，则，且，无解，综上：，故答案为：题型二十四由对数函数的单调性解不等式【例24】（1）（2023春·湖北咸宁·高一统考期末）若存在实数，使得，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由题意存在实数，使得，则满足，然后对参数进行分类讨论即可解决.【详解】依题意可知，；当时，，显然成立；当时，由，令，由在为递增函数，所以在为递增函数，且，因此，即，综上可知.故选：B.（2）（2023春·广东深圳·高一统考期末）已知函数，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】判断出函数的奇偶性和单调性，再由偶函数的定义和增函数的定义化简不等式，得出解集.【详解】函数的定义域为，且，即是偶函数，当时，，构造，，令，则在上单调递增，又也是增函数，则在上单调递增，又是定义域内的增函数，故在上单调递增，不等式等价于，即，平方得：，解得且，则不等式的解集为.故选：B.（3）（2023秋·广西防城港·高一统考期末）已知函数（且）的图象过点.(1)求实数的值；(2)解关于的不等式.【答案】(1)(2)【分析】（1）将点代入函数即可求解；（2）先求出函数的定义域，然后利用单调性列出不等式即可求解【详解】（1）由题设条件可知，，即，解得，∴（2）∵的定义域为，并在其定义域内单调递增，∴⇔，解得，∴不等式的解集为.巩固训练1．（2023春·安徽阜阳·高一统考期末）已知定义在上的函数，若函数是偶函数，且对任意，都有，若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据函数的对称性以及单调性即可求解.【详解】∵函数为偶函数，∴定义在上的函数的图象关于直线对称，∵对任意，都有，∴函数在上单调递减，在上单调递增，又函数的图象关于直线对称，且，∴，即，解得，即实数的取值范围是.故选：C.2．（2023秋·甘肃定西·高一统考期末）已知，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据对数函数的定义域可得，将代入，结合对数函数单调性运算求解.【详解】令，解得，可知的定义域为，可得，解得，关于不等式，即，整理得，且在定义域内单调递增，则，结合，解得，所以不等式的解集为.故选：D.3．（2023秋·湖南长沙·高一统考期末）已知（，且）.(1)求函数的定义域；(2)当（其中，且t为常数）时，是否存在最小值，如果存在，求出最小值；如果不存在，请说明理由；(3)当时，求满足不等式的实数x的取值范围.【答案】(1)(2)当时存在最小值，当时，不存在最小值，理由见解析(3)【分析】(1)根据真数大于零解不等式即可求定义域；(2)讨论函数的单调性即可求最小值；(3)利用函数的奇偶性单调性解不等式.【详解】（1）由可得或，解得，即函数的定义域为.（2）设，则，∵，∴，，∴，①当时，则在上是减函数，又，∴时，有最小值，且最小值为；②当时，，则在上是增函数，又，∴时，无最小值.（3）由于的定义域为，定义域关于原点对称，且，所以函数为奇函数.由（2）可知，当时，函数为减函数，由此，不等式等价于，即有，解得，所以x的取值范围是.题型二十五指对式的大小比较【例25】（1）（2023秋·吉林长春·高一长春外国语学校校考期末）设，则a，b，c的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据指数函数的性质得到，根据对数函数的性质得到，即可得到答案.【详解】因为，，所以.又因为，所以.故选：C（2）（2023春·四川德阳·高一统考期末）已知，若，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据对数函数的单调性比较可得答案.【详解】，，，因为为增函数，由，得，所以.故选：D（3）（2023春·浙江金华·高一统考期末）设，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用对数的运算和对数函数的性质即可判断大小.【详解】，，所以，又，，因，所以，综上，.故选：C（4）（2023春·湖南衡阳·高一衡阳市一中校考期末）已知函数，设，，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由对数运算性质，借助中间量得，进而在结合函数的单调性比较大小即可.【详解】因为，由开口向上且，即，所以的定义域为R，又，所以关于对称，结合复合函数单调性知：在上单调递减，在上单调递增.因为，又，则，综上，.故选：A.（5）（2023春·广东广州·高一校联考期末）已知则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据指对互化可得，再利用基本不等式与换底公式可得与，从而利用指数函数的单调性即可得解．【详解】因为，所以，因为，所以，则，所以；因为，所以，则，所以；综上，.故选：A.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是熟练掌握，从而得到与，由此得解.（6）（2023秋·广东佛山·高一统考期末）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】对对数同步升幂，利用将对数变形，再利用中间值比较大小.【详解】，，故；，，故；故，故选：B.巩固训练1．（2023秋·山东菏泽·高一山东省郓城第一中学校考期末）若，，，则有（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由指数和对数函数的性质，利用中间值确定a，b，c的范围，即可求解．【详解】指数函数在R上为减函数，则，即，对数函数在上为增函数，则，对数函数在上为增函数，则．因此.故选：B．2．（2023春·海南·高一校考期末）若，，，则下列关系正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用指数函数的单调性可判断的范围，利用对数函数的性质比较的大小，即可得答案.【详解】因为指数函数为R上的单调递减函数,故可得，，故，故选：A3．（2023秋·河南新乡·高一校联考期末）设，，，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用指数函数、对数函数的单调性，结合中间值法可得出、、的大小关系.【详解】因为，，，所以．故选：B.4．（2023秋·甘肃定西·高一统考期末）已知，则的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据指对数的性质判断的大小关系.【详解】由，故选：C5．（2023春·湖南益阳·高一统考期末）已知是定义在R上的偶函数，对任意实数x满足，且在上单调递增，设，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】依题意可得函数为周期为的偶函数，即可得到，，再根据对数函数的性质及函数在上的单调性判断可得.【详解】是偶函数，，，，，的周期为2.所以，，又因为，即，又在上单调递增，则在上单调递增，则在上单调递减，所以，即.故选：D.6．（2023秋·黑龙江大庆·高一铁人中学校考期末）已知，则的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】对给定的幂或对数变形，借助幂函数和对数函数单调性并结合“媒介”数即可判断作答.【详解】依题意，，函数在上单调递增，而，于是得，即，函数在单调递增，并且有，则，于是得，即，则，又函数在单调递增，且，则有，所以.故选：C【点睛】思路点睛：同指数的幂或同底数的幂，同底数的对数大小比较可分别利用幂函数、指数函数、对数函数单调性进行比较，如果既有幂，又有对数，一般是选取适当的“媒介”数，分别与要比较的数比较，从而可间接地比较出要比较的数的大小.题型二十六对数型函数值域问题【例26】（1）（2023秋·湖北武汉·高一武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期末）函数的值域为.【答案】【分析】求出的取值范围，结合对数函数的基本性质可求得函数的值域.【详解】因为，对于函数，则有，所以，.故答案为：.（2）（2023秋·重庆九龙坡·高一重庆市铁路中学校校考期末）函数的值域为，则实数的取值范围为.【答案】【分析】由对数函数的图像可知是值域的子集，当时显然成立，当时，由二次函数的图像解的取值范围即可.【详解】由函数的值域为及对数函数的图像和性质可得，是值域的子集，当即时，的值域为，显然成立；当即时，二次函数的对称轴为，所以由一元二次函数的图像可得，解得，.综上，故答案为：（3）（2023秋·山东聊城·高一校联考期末）已知函数的值域是R，则实数的最大值是．【答案】【分析】根据条件可得在上的最小值小于或等于，判断其单调性列出不等式得出的范围．【详解】当时，．因为的值域为，则当时，．当时，，故在上单调递增，，即，解得，即的最大值为．故答案为：．（4）（2023秋·辽宁·高一校联考期末）（多选）设函数，则下列说法正确的是（

）A．是偶函数B．当时，的单调递减区间为C．若的定义域为，则a的取值范围为D．若的值域为，则a的取值范围为【答案】AD【分析】根据函数的奇偶性，单调性，值域和定义域进行逐项的判断即可求解.【详解】对于选项，因为当时，函数定义域为，当时，函数定义域为；当时，函数的定义域为，函数定义域关于原点对称，且，所以是偶函数，故正确；对于选项，当时，令，解得或，由复合函数的单调性可知的单调递减区间为，故错误；对于选项，若的定义域为，则恒成立，故，则a的取值范围为，故错误；对于选项，若的值域为，则，故，则a的取值范围为，故正确．故选：.（5）（2023秋·山东枣庄·高一山东省滕州市第五中学校考期末）求函数的值域.【答案】【分析】利用换元法，结合对数函数的知识求得正确答案.【详解】当时，，令，则，这是一个开口向上的二次函数，对称轴为，所以当时，取得最小值为；当时，取得最大值为.所以函数的值域为，也即函数的值域为.巩固训练1．（2023春·云南昆明·高一统考期末）已知函数的定义域为，值域为，则满足要求的一个的值为.【答案】2（写出中的任意一个实数即可）【分析】根据题意，列出不等式求解，即可得到结果.【详解】当时，，因为函数的定义域为，值域为，所以，解得.取.故答案为：.2．（2023秋·北京·高一北京市十一学校校考期末）已知函数的值域为，则的取值范围是.【答案】【分析】根据函数的取值范围转化为定义域的问题，对参数是否为0进行分类讨论，即可求出的取值范围【详解】解：因为函数的值域为，所以，是函数的值域的子集，所以，当时，的值域为，满足题意；当时，要使是函数的值域的子集，则需满足，解得，综上，的取值范围是故答案为：3．（2023秋·江苏淮安·高一淮阴中学校考期末）函数的值域是.【答案】【解析】先求出函数的定义域为，设，，根据二次函数的性质求出单调性和值域，结合对数函数的单调性，以及利用复合函数的单调性即可求出的单调性，从而可求出值域.【详解】解：由题可知，函数，则，解得：，所以函数的定义域为，设，，则时，为增函数，时，为减函数，可知当时，有最大值为，而，所以，而对数函数在定义域内为减函数，由复合函数的单调性可知，函数在区间上为减函数，在上为增函数，，∴函数的值域为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查对数型复合函数的值域问题，考查对数函数的单调性和二次函数的单调性，利用“同增异减”求出复合函数的单调性是解题的关键，考查了数学运算能力.4．（2023秋·云南昆明·高一昆明一中统考期末）（多选）设函数，则（

）A．的定义域为 B．的值域为C．在单调递增 D．在单调递减【答案】BD【分析】根据函数解析式可确定其定义域和值域，判断A，B；根据复合函数的单调性的判断方法，可判断C，D.【详解】由可得，即的定义域为，A错误；又，由于，故的值域为R，B正确；当时，，由于在上单调递减，故在单调递减，C错误；当时，，由于在上单调递减，故在单调递减，D正确；故选：BD5．（2023秋·湖南湘潭·高一统考期末）已知函数．(1)求的定义域;(2)求的值域．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据对数函数的定义域,列出不等式,解出即可.（2）运用对数运算性质将化简为,根据(1)中的定义域求得的范围,再根据的单调性即可求得值域.【详解】（1）因为,所以,解得,所以的定义域为．（2）因为,由(1)知的定义域为,所以,,，因为是增函数，所以，故的值域为．题型二十七对数(型)函数最值问题【例27】（1）（2023秋·内蒙古乌兰察布·高一校考期末）函数（）在上的最大值是（

）．A．0 B．1 C．3 D．a【答案】C【分析】根据对数的单调性，结合对数的运算性质进行求解即可.【详解】因为，所以该函数是单调递增函数，所以，故选：C（2）（2023秋·河南安阳·高一统考期末）（多选）已知函数，其中，若的最大值为M，最小值为N，则当a的值变化时（

）A．为定值 B．为定值 C． D．【答案】BC【分析】对函数变形得到，其中判断出为奇函数，故，A错误；，B正确；由基本不等式求出，C正确；，D错误.【详解】，令，定义域为，，故为奇函数，，，与a有关，不是定值，故A错误；因为，故C正确；为定值，故B正确；，故D错误．故选：BC（3）（2023秋·云南昆明·高一昆明一中统考期末）函数的最大值为.【答案】/【分析】根据对数的运算可得,配方，根据二次函数的性质即可求最大值.【详解】，故当时，.故答案为:.（4）（2023秋·山东泰安·高一统考期末）已知函数．(1)已知，函数是定义在R上的奇函数，当时，，求的解析式；(2)若函数有且只有一个零点，求a的值；(3)设，若对任意，函数在上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．【答案】(1)；(2)或；(3)．【分析】（1）由奇函数的定义求解；（2）化简方程然后分类讨论得方程根的情况，注意检验；（3）由定义确定函数的单调性，得函数最大值与最小值的差，由题意转化为一元二次不等式恒成立问题后求解．【详解】（1）由题知，当，，设．则，所以，因为是奇函数，所以，又因为所以；（2）令，整理得，因为有且只有一个零点，所以方程有且只有一根或两相等根，当时，，符合题意，当时，只需所以，此时，符合题意综上，或．（3）在上任取，且，则，．所以，所以在上单调递减．所以函数在上的最大值与最小值分别为，．所以，即，对任意成立．因为，所以函数的图象开口向上，对称轴，所以函数在上单调递增，所以当时，y有最小值，所以，解得．所以a的取值范围为．巩固训练1．（2023春·江西宜春·高一江西省宜丰中学校考期末）若函数在区间上的最大值与最小值的差不小于3，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据指数函数与对数函数的单调性可得函数的单调性，从而可求出函数在上的最值，再列出不等式，即可得解，注意对数的真数大于零.【详解】令，则函数为减函数，又函数为增函数，所以函数是减函数，故在区间上的最大值是，最小值是，由题设得，则，所以，解得，故实数的取值范围是.故选：A.2．（2023秋·四川绵阳·高一统考期末）（多选）已知函数（a＞0，且）的定义域为，值域为．若的最小值为，则实数a的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】根据给定条件，分析判断函数取得最小值0，最大值1的区间在1及左侧可使区间长度最小，再求出a的取值范围作答.【详解】函数在上单调递减，在上单调递增，，因为函数在的值域为，则，即，由，得，则有或，当时，，有，当时，，有，令方程的两个根为，如图，因此在上函数取得最小值0，最大值1，且最小时，，于是，解得或，而的最小值为，则有或，解得或，所以实数a的值可以是或，即BC满足，AD不满足.故选：BC3．（2023秋·山东临沂·高一校考期末）若函数（且）在上的最大值为2，最小值为m，函数在上是增函数，则的值是．【答案】3【分析】根据对数函数的单调性，分类讨论，再结合已知进行求解得出和的值，最后根据的单调性检验即可得到.【详解】当时，函数是正实数集上的增函数，而函数在上的最大值为，因此有，解得，所以，此时在上是增函数，符合