河南省部分名校2023-2024学年高二上学期11月期中考试数学

2023年秋季河南省高二期中考试联考数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一章至第三章。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若直线与直线垂直，则（）A． B． C．7 D．72．若抛物线的焦点坐标为，则（）A．10 B．20 C．10 D．203．直线的倾斜角为（）A．108° B．72° C．118° D．18°4．设，向量在向量上的投影向量为，则的最小值为（）A． B． C． D．5．圆C：与圆D：的位置关系不可能是（）A．内含 B．相交 C．外切 D．内切6．某广场的一个椭球水景雕塑如图所示，其横截面为圆，过横截面圆心的纵截面为椭圆，该椭圆的离心率为．若该椭球横截面的最大直径为1.8米，则该椭球的高为（）A．3.2米 C．4米 7．在四面体OABC中，D为AB的中点，G为的重心，则（）A． B．C． D．8．的最小值为（）A． B．3 C． D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．在棱长为4的正方体中，以空间中某个点作为坐标原点建立空间直角坐标系，则B，的坐标可能为（）A．， B．，C．， D．，10．下列结论正确的是（）A．直线的倾斜角大于45°B．直线过定点C．直线与直线之间的距离是D．与点距离为1，且与点距离为4的直线共有4条11．已知曲线C：，，，P为C上异于A，B的一点，直线AP与直线交于点M，直线BP与直线交于点N，则（）A．P到点的距离的取值范围是B．存在两个定点，使得P到这两个定点的距离之和为定值C．直线AP与直线BP的斜率之积为D．当直线AP的斜率等于时，等于12．已知曲线C：，圆M：，则（）A．当或时，曲线C与圆M没有公共点B．当时，曲线C与圆M有1个公共点C．当时，曲线C与圆M有2个公共点D．当时，曲线C与圆M有4个公共点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若P为椭圆E：上一点，，分别为左、右焦点，若，则______．14．一束光线自点发出，被Oxy平面反射后到达点被吸收，则该光线所走的路程是______．15．若直线与两个圆，都相离，则a的取值范围是______．16．3D打印是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术．如图所示的塔筒为3D打印的双曲线塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）上底直径为6cm，下底直径为10cm，高为20cm，则喉部（最细处）的直径为______cm．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知抛物线C的顶点为坐标原点，准线方程为．（1）求C的方程；（2）若直线l：与C交于A，B两点，求弦AB的长．18．（12分）如图，在所有棱长均为1的平行六面体中，，侧棱与AD，AB均成60°角，M为侧面的中心．（1）若N为AM的中点，证明：，B，D，N四点共面．（2）求异面直线AM与所成角的余弦值．19．（12分）已知圆M经过，，三点．（1）求圆M的一般方程；（2）过点的直线l与圆M交于E，F两点，，求直线l的方程．20．（12分）已知双曲线M：与抛物线有相同的焦点，且M的虚轴长为4．（1）求M的方程．（2）是否存在直线l，使得直线l与M交于A，B两点，且弦AB的中点为？若存在，求l的斜率；若不存在，请说明理由．21．（12分）如图，在正三棱柱中，D是的中点，．（1）证明：．（2）求二面角的余弦值．22．（12分）已知椭圆C：的右焦点为，短轴长为2．（1）求C的方程．（2）若A，B为C上的两个动点，A，B两点的纵坐标的乘积大于0，，，且．证明：直线AB过定点．2023年秋季河南省高二期中考试联考数学参考答案1．A因为直线的斜率为，所以，解得．2．D因为抛物线的焦点坐标为，所以，解得．3．A因为直线的斜率为，所以直线的倾斜角为108°．4．B向量在向量上的投影向量为，则，当且仅当时，等号成立，所以λ的最小值为．5．C圆C的标准方程为，因为，所以圆C的圆心在圆D的内部，所以两圆的位置关系不可能是外切．6．D由题意可知，，则，由该椭球横截面的最大直径为1.8米，可知米，所以米，米，该椭球的高为米．7．D因为D为AB的中点，所以，因为G为的重心，所以，所以．8．C表示直线上一点P到，两点的距离之和．B关于直线的对称点为，故．9．BD在棱长为4的正方体中，，排除A与C，故选BD．10．AB因为直线的斜率为，所以该直线的倾斜角大于45°，故A正确；将直线整理成，由解得，，所以该直线过定点，故B正确；将直线化为，所以两直线间的距离，故C错误；记以为圆心，1为半径的圆为，以为圆心，4为半径的圆为，因为两圆的圆心距，且两圆的半径之和，所以，所以两圆外切，所以两圆有三条公切线，这三条公切线满足与点的距离为1，且与点的距离为4，故D错误．11．ABD由，得，则C表示椭圆的上半部分，根据椭圆的定义，可得B正确．点是椭圆的右焦点，则，A正确．设，则，C错误．设，则，，直线AP的方程为，则M的坐标为．直线BP的方程为，则N的坐标为，所以，当时，，D正确．12．ACD由，得或，设：，：，易得过定点，过定点，当与圆M相切时，由，得或，当与圆M相切时，由，得或．当或时，与圆M相离，与圆M相离，则曲线C与圆M没有公共点．当时，与圆M相交，与圆M相离，则曲线C与圆M有2个公共点．当时，与圆M相交，与圆M相切，则曲线C与圆M有3个公共点．当时，与圆M相交，与圆M相交，则曲线C与圆M有4个公共点．13．5因为，，所以．14．因为入射光线被Oxy平面反射后到达点且被吸收，根据光的反射定律可知，入射光线必过点，故该光线从发射到吸收所走过的路程为．15．点到直线的距离，解得．点到直线的距离，解得．故a的取值范围是．16．双曲塔筒的轴截面如图所示，以C为喉部对应点，设A与B分别为上、下底面对应点．由题意可知cm，cm，cm．设，则．设双曲线的方程为，因为双曲线的离心率为，所以，方程可化简为（*），将A和B的坐标代入（*）式可得解得所以．故该塔筒的喉部直径为cm．17．解：（1）依题意可设C的方程为，…1分则，解得．…3分所以C的方程为．…4分（2）将代入，得，…6分则，，，…8分所以．……10分【注】第（2）问的弦长还可以这样求解：因为直线l：经过C的焦点，所以．18．（1）证明：，…3分所以，因为，所以，B，D，N四点共面．…6分（2）解：，即．…8分…10分，即异面直线AM与所成角的余弦值为．…12分19．解：（1）设圆M的一般方程为，…1分把A，B，C三点坐标代入可得…3分解得，，，…4分所以圆M的一般方程为．…5分（2）由（1）得圆M的标准方程为，即圆心为，半径为．…6分当直线l与x轴垂直，即时，此时，符合题意；…8分当直线l与x轴不垂直时，设该直线的方程为，即，…9分则圆心M到直线l的距离，解得，所以直线l的方程为．…11分综上，直线l的方程为或．…12分20．解：（1）抛物线的焦点为，…1分依题意可得…3分解得，，故M的方程为．…5分（2）设，，则…6分两式相减得．…7分依题意可得…8分所以．…9分M的渐近线方程为．…10分因为，…11分所以直线l与M相交，故存在直线l，且直线l的斜率为．…12分21．（1）证明：取BC的中点E，连接AE，DE，则在正三棱柱中，平面．…1分因为平面，所以．…2分又D是的中点，，所以．…3分因为，所以平面ADE．…4分因为平面ADE，所以．…5分（2）解：以E为坐标原点，直线EB，EA分别为x轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，…6分，，．…7分设平面ABD的法向量为，则由得……8分令，得．…9分设平面ABC₁的法向量为，则由得令，得．…10分．…11分由图可知，二面