高三数学 复习试题 74 直线与圆的位置关系 理（含解析）

74几何证明选讲(二)直线与圆的位置关系导学目标：1.理解圆周角定理，弦切角定理及其推论；2.理解圆的切线的判定及性质定理；3.理解相交弦定理，割线定理，切割线定理；4.理解圆内接四边形的性质定理及判定．自主梳理1．圆周角、弦切角及圆心角定理(1)__________的度数等于其的对______的度数的一半．推论1：________(或________)所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角__________相等．推论2：半圆(或直径)所对的__________等于90°.反之，90°的圆周角所对的弧是________(或__________)．(2)弦切角的度数等于其所夹孤的度数的____．(3)圆心角的度数等于它所对弧的度数．2．圆中比例线段有关定理(1)相交弦定理：______的两条____________，每条弦被交点分成的____________的积相等．(2)切割线定理：从圆外一点引圆的一条割线和一条切线，切线长是这点到割线与圆的两个交点的线段长的____________．(3)割线定理：从圆外一点引圆的两条________，该点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．温馨提示相交弦定理，切割线定理，割线定理揭示了与圆有关的线段间的比例关系，在与圆有关的比例线段问题的证明、计算以及证明线段或角相等等问题中应用甚广．3．切线长定理从________一点引圆的两条切线，__________相等．4．圆内接四边形的性质与判定定理(1)性质定理：圆内接四边形的对角________．推论：圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内角的________．(2)判定定理：如果四边形的__________，则四边形内接于____．推论：如果四边形的一个外角等于它的____________，那么这个四边形的四个顶点________．5．圆的切线的性质及判定定理(1)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的________．推论1：经过________且________与垂直的直线必经过切点．推论2：经过________且切线与垂直的直线必经过______________________________．(2)判定定理：过半径________且与这条半径________的直线是圆的切线．自我检测1．如图在Rt△ABC中，∠B＝90°，D是AB上一点，且AD＝2DB，以D为圆心，DB为半径的圆与AC相切，则sinA＝________.2．(2010·南京模拟)如图，AB是圆O的直径，EF切圆O于C，AD⊥EF于D，AD＝2，AB＝6，则AC长为________．3．(2011·湖南)如图，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC＝4，AD⊥BC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则AF的长为________．4．如图所示，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，AC交⊙O于点D，若AD＝32，CD＝18，则AB＝________.5．(2010·揭阳模拟)如图，已知P是⊙O外一点，PD为⊙O的切线，D为切点，割线PEF经过圆心O，PF＝12，PD＝4eq\r(3)，则圆O的半径长为________、∠EFD的度数为________.探究点一与圆有关的等角、等弧、等弦的判定例1如图，⊙O的两条弦AC，BD互相垂直，OE⊥AB，垂足为点E.求证：OE＝eq\f(1,2)CD.变式迁移1在△ABC中，已知CM是∠ACB的平分线，△AMC的外接圆O交BC于点N；若AC＝eq\f(1,3)AB，求证：BN＝3MN.探究点二四点共圆的判定例2如图，四边形ABCD中，AB、DC的延长线交于点E，AD，BC的延长线交于点F，∠AED，∠AFB的角平分线交于点M，且EM⊥FM.求证：四边形ABCD内接于圆．变式迁移2如图，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B、C两点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点．(1)证明：A，P，O，M四点共圆；(2)求∠OAM＋∠APM的大小．探究点三与圆有关的比例线段的证明例3如图，PA切⊙O于点A，割线PBC交⊙O于点B，C，∠APC的角平分线分别与AB，AC相交于点D，E，求证：(1)AD＝AE；(2)AD2＝DB·EC.变式迁移3(2010·全国)如图，已知圆上的弧＝，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：(1)∠ACE＝∠BCD；(2)BC2＝BE×CD.1．圆周角定理与圆心角定理在证明角相等时有较普遍的应用，尤其是利用定理进行等角代换与传递．2．要注意一些常用的添加辅助线的方法，若证明直线与圆相切，则连结直线与圆的公共点和圆心证垂直；遇到直径时，一般要引直径所对的圆周角，利用直径所对的圆周角是直角解决有关问题．3．判断两线段是否相等，除一般方法(通过三角形全等)外，也可用等线段代换，或用圆心角定理及其推论证明．4．证明多点共圆的常用方法：(1)证明几个点与某个定点距离相等；(2)如果某两点在某条线段的同旁，证明这两点对这条线段的张角相等；(3)证明凸四边形内对角互补(或外角等于它的内角的对角)．5．圆中比例线段有关定理常与圆周角、弦切角联合应用，要注意在题中找相等的角，找相似三角形，从而得到线段的比．(满分：75分)一、填空题(每小题5分，共40分)1．如图，已知AB，CD是⊙O的两条弦，且AB＝CD，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别是E，F，则结论①＝，②∠AOB＝∠COD，③OE＝OF，④＝中，正确的有________个．2．(2010·湖南)如图所示，过⊙O外一点P作一条直线与⊙O交于A、B两点．已知PA＝2，点P到⊙O的切线长PT＝4，则弦AB的长为________．3．(2010·陕西)如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3cm,4cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则eq\f(BD,DA)＝________.4．(2009·广东)如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝45°，则圆O的面积为________．5．已知PA是圆O的切线，切点为A，PA＝2，AC是圆O的直径，PC与圆O交于点B，PB＝1，则圆O的半径R＝________.6．如图，圆O是△ABC的外接圆，过点C的切线交AB的延长线于点D，CD＝2eq\r(7)，AB＝3.则BD的长为________．7．(2011·天津)如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF＝CF＝eq\r(2)，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1.若CE与圆相切，则线段CE的长为________．8．(2010·天津)如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P.若eq\f(PB,PA)＝eq\f(1,2)，eq\f(PC,PD)＝eq\f(1,3)，则eq\f(BC,AD)的值为________．二、解答题(共35分)9．(11分)如图，三角形ABC中，AB＝AC，⊙O经过点A，与BC相切于B，与AC相交于D，若AD＝CD＝1，求⊙O的半径r.10．(12分)(2009·江苏)如图，在四边形ABCD中，△ABC≌△BAD.求证：AB∥CD.11．(12分)(2011·江苏)如图，圆O1与圆O2内切于点A，其半径分别为r1与r2(r1>r2)．圆O1的弦AB交圆O2于点C(O1不在AB上)．求证：AB∶AC为定值．74几何证明选讲(二)直线与圆的位置关系自主梳理1．(1)圆周角弧同弧等弧所对的弧圆周角半圆弦为直径(2)一半2.(1)圆相交弦两条线段长(2)等比中项(3)割线3.圆外切线长4.(1)互补对角(2)对角互补圆内角的对角共圆5．(1)半径圆心切线切点圆心(2)外端垂直自我检测1.eq\f(1,2)解析设切点为T，则DT⊥AC，AD＝2DB＝2DT，∴∠A＝30°，sinA＝eq\f(1,2).2．2eq\r(3)解析连接CB，则∠DCA＝∠CBA，又∠ADC＝∠ACB＝90°，∴△ADC∽△ACB.∴eq\f(AD,AC)＝eq\f(AC,AB).∴AC2＝AB·AD＝2×6＝12.∴AC＝2eq\r(3).3.eq\f(2\r(3),3)解析如图，连接CE，AO，AB.根据A，E是半圆周上的两个三等分点，BC为直径，可得∠CEB＝90°，∠CBE＝30°，∠AOB＝60°，故△AOB为等边三角形，AD＝eq\r(3)，OD＝BD＝1，∴DF＝eq\f(\r(3),3)，∴AF＝AD－DF＝eq\f(2\r(3),3).4．40解析如图，连接BD，则BD⊥AC，由射影定理知，AB2＝AD·AC＝32×50＝1600，故AB＝40.5．430°解析由切割线定理得PD2＝PE·PF，∴PE＝eq\f(PD2,PF)＝eq\f(16×3,12)＝4，∴EF＝8，OD＝4.又∵OD⊥PD，OD＝eq\f(1,2)PO，∠P＝30°，∠POD＝60°＝2∠EFD，∴∠EFD＝30°.课堂活动区例1解题导引(1)借用等弦或等弧所对圆周角相等，所对的圆心角相等，进行角的等量代换；同时也可借在同圆或等圆中，相等的圆周角(或圆心角)所对的弧相等，进行弧(或弦)的等量代换．(2)本题的证法是证明一条线段等于另一条线段的一半的常用方法．证明作直径AF，连接BF，CF，则∠ABF＝∠ACF＝90°.又OE⊥AB，O为AF的中点，则OE＝eq\f(1,2)BF.∵AC⊥BD，∴∠DBC＋∠ACB＝90°，又∵AF为直径，∠BAF＋∠BFA＝90°，∵∠AFB＝∠ACB，∴∠DBC＝∠BAF，即有CD＝BF.从而得OE＝eq\f(1,2)CD.变式迁移1证明∵CM是∠ACB的平分线，∴eq\f(AC,AM)＝eq\f(BC,BM)，即BC＝AC·eq\f(BM,AM)，又由割线定理得BM·BA＝BN·BC，∴BN·AC·eq\f(BM,AM)＝BM·BA，又∵AC＝eq\f(1,3)AB，∴BN＝3AM，∵在圆O内∠ACM＝∠MCN，∴AM＝MN，∴BN＝3MN.例2解题导引证明多点共圆，当它们在一条线段同侧时，可证它们对此线段张角相等，也可以证明它们与某一定点距离相等；如两点在一条线段异侧，则证明它们与线段两端点连成的凸四边形对角互补．证明连接EF，因为EM是∠AEC的角平分线，所以∠FEC＋∠FEA＝2∠FEM.同理，∠EFC＋∠EFA＝2∠EFM.而∠BCD＋∠BAD＝∠ECF＋∠BAD＝(180°－∠FEC－∠EFC)＋(180°－∠FEA－∠EFA)＝360°－2(∠FEM＋∠EFM)＝360°－2(180°－∠EMF)＝2∠EMF＝180°，即∠BCD与∠BAD互补．所以四边形ABCD内接于圆．变式迁移2(1)证明连接OP，OM，因为AP与⊙O相切于点P，所以OP⊥AP.因为M是⊙O的弦BC的中点，所以OM⊥BC.于是∠OPA＋∠OMA＝180°，由圆心O在∠PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A，P，O，M四点共圆．(2)解由(1)得A，P，O，M四点共圆，所以∠OAM＝∠OPM.由(1)得OP⊥AP.由圆心O在∠PAC的内部，可知∠OPM＋∠APM＝90°，所以∠OAM＋∠APM＝90°.例3解题导引寻找适当的相似三角形，把几条要证的线段集中到这些相似三角形中，再用圆中角、与圆有关的比例线段的定理找到需要的比例式，使问题得证．证明(1)∠AED＝∠EPC＋∠C，∠ADE＝∠APD＋∠PAB.因PE是∠APC的角平分线，故∠EPC＝∠APD，PA是⊙O的切线，故∠C＝∠PAB.所以∠AED＝∠ADE.故AD＝AE.(2)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(∠PCE＝∠PAD,∠CPE＝∠APD))⇒△PCE∽△PAD⇒eq\f(EC,AD)＝eq\f(PC,PA)；eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(∠PEA＝∠PDB,∠APE＝∠BPD))⇒△PAE∽△PBD⇒eq\f(AE,DB)＝eq\f(PA,PB).又PA是切线，PBC是割线⇒PA2＝PB·PC⇒eq\f(PA,PB)＝eq\f(PC,PA).故eq\f(EC,AD)＝eq\f(AE,DB)，又AD＝AE，故AD2＝DB·EC.变式迁移3证明(1)因为＝，所以∠BCD＝∠ABC.又因为EC与圆相切于点C，故∠ACE＝∠ABC，所以∠ACE＝∠BCD.(2)因为∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD，所以△BDC∽△ECB，故eq\f(BC,BE)＝eq\f(CD,BC)，即BC2＝BE×CD.课后练习区1．4解析∵在同圆或等圆中，等弦所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对弦心距相等，故①②③成立，又由＝，得＝，∴④正确．2．6解析连接BT，由切割线定理，得PT2＝PA·PB，所以PB＝8，故AB＝6.3.eq\f(16,9)解析eq\f(AD,AC)＝eq\f(AC,AB)⇒eq\f(AD,3)＝eq\f(3,5)⇒AD＝eq\f(9,5)⇒BD＝eq\f(16,5)(cm)，eq\f(BD,DA)＝eq\f(16,9).4．8π解析连接OA，OB，∵∠BCA＝45°，∴∠AOB＝90°.设圆O的半径为R，在Rt△AOB中，R2＋R2＝AB2＝16，∴R2＝8.∴圆O的面积为8π.5.eq\r(3)解析如图，依题意，AO⊥PA，AB⊥PC，PA＝2，PB＝1，∠P＝60°，在Rt△CAP中，有2OA＝2R＝2tan60°＝2eq\r(3)，∴R＝eq\r(3).6．4解析由切割线定理得：DB·DA＝DC2，即DB(DB＋BA)＝DC2，∴DB2＋3DB－28＝0，∴DB＝4.7.eq\f(\r(7),2)解析设BE＝a，则AF＝4a，FB＝2a.∵AF·FB＝DF·FC，∴8a2＝2，∴a＝eq\f(1,2)，∴AF＝2，FB＝1，BE＝eq\f(1,2)，∴AE＝eq\f(7,2).又∵CE为圆的切线，∴CE2＝EB·EA＝eq\f(1,2)×eq\f(7,2)＝eq\f(7,4).∴CE＝eq\f(\r(7),2).8.eq\f(\r(6),6)解析∵∠P＝∠P，∠PCB＝∠PAD，∴△PCB∽△PAD.∴eq\f(PB,PD)＝eq\f(PC,PA)＝eq\f(BC,AD).∵eq\f(PB,PA)＝eq\f(1,