高考数学 热点专题复习热点三 不等式 理科试题

热点三不等式【考点精要】考点一.一元二次不等式及其应用.主要考查一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程“三个二次”的关系.特别当一元二次不等式的解集是或R的情况的等价命题：的解集是R或.如：设为整数，方程在区间（0,1）内有两个不同实根，则的最小值为（D）A．-8B.8C.12D.13考点二.绝对值不等式..解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次（二次）不等式（组）进行求解.如:(2011年山东理)若不等式的解集为，则实数k=__________.解析：由可得，即，而，所以.另解：由题意可知是的两根，则，解得.考点三.二元一次不等式组与简单的线性规划问题.了解线性规划的意义，了解线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等知识点.考查用线性规划的方法解决两种重要的实际问题：一是给定一定数量的人力、物力资源，怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务，怎样统筹安排能使完成这项任务耗费的人力、物力资源最小.如：设实数满足不等式组若为整数，则的最小值是()A．14 B．16 C．17 D．19答案:B考点四.不等式的性质.重点考查均值不等式、绝对值不等式、三角不等式、一元二次不等式.一般不直接单独命题，往往与指数函数、对数函数、幂函数等结合进行考查.如：设为正实数，，，则()A. B. C. D.1提示：由，得．又，即．①于是．再由不等式=1\*GB3①中等号成立的条件，得，则，故选A考点五.利用不等式考查函数的性质.利用不等式的性质考查函数的性质如单调性、周期性、参数的范围等.此类题既可以是选择题、填空题也可以是解答题，考查的范围比较广.如：（2010·江苏11）已知函数，则满足不等式的取值范围是.考点六.函数的最值.通过考查函数的最值进而考查学生对不等式的性质、函数的性质的理解和掌握.此类问题综合性较强，多以解答题的形式进行考查，需要学生具备较好的基础知识，并且具有灵活分析问题、解决问题的能力.如：设．若时，，且在区间上的最大值为1，求的最大值和最小值．提示：由题意函数图象为开口向上的抛物线，且在区间上的最大值只能在闭端点取得，故有，从而且．若有实根，则，在区间有即消去c，解出即，这时，且．若无实根，则，将代入解得．综上．所以，单调递减，故．考点七.无理不等式的解法.通常以不等式的性质为依据，等价转化为有理不等式组，对于某些特殊的无理不等式，可以考虑用数形结合的方法求解.如函数及等的图像与性质.考点八.利用函数的单调性、恒成立问题解不等式.利用函数的单调性、恒成立问题解不等式.此类问题多出现在解答题中，运算较为复杂，其关键是找到（列出）不等式（组），再解不等式（组），其中引进参变量是一种常用的策略：恒成立.如：都有恒成立，求的最大值.解析：令，则.（1）当时，，画出平面域，如图，利用线性规划知识可以解得.（2）当时，，由，构造关于的一次函数可得.（3）当时，则或或，仿（1）解得或或，综上可得.考点九.分式不等式的解法.一般是将分式不等式转化为整式不等式,如一元二次不等式组,在一些选择题和填空题中,有时也用穿根法解.即：，，用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”．如:（2011年高考上海卷理科4)不等式的解为.【答案】或考点十.基本不等式的应用.基本不等式这几年在高考题中时常出现,主要是求一些函数的最值,注意“一正、二定、三相等”.特别注意的是，当等号不能成立时，用“对号函数”（）（有的资料叫勾函数）的单调性.如：若实数x，y满足，则的最大值是________．巧点妙拨1．高考对不等式的考查有两种：一种是直接利用基本不等式进行放缩或求最值；另一种是先利用配凑法进行恒等变形，再利用基本不等式求最值，该类问题以选择、填空为主.2．复习不等式的解法时，加强等价转化思想的训练与复习，通过等价转化可简化不等式（组），以快速、准确求解．加强函数与方程思想在不等式中的应用训练．不等式、函数、方程三者密不可分，相互联系、互相转化．如求参数的取值范围问题，函数与方程思想是解决这类问题的重要方法．在不等式的证明中，加强化归思想的复习，证明不等式的过程是一个把已知条件向要证结论的一个转化过程，既可考查学生的基础知识，又可考查学生分析问题和解决问题的能力.因为证明不等式是高考考查学生代数推理能力的重要素材，复习时应引起我们的足够重视．3．强化不等式的应用,突出不等式的知识在解决实际问题中的应用价值，借助不等式来考查学生的应用意识．高考中除单独考查不等式的试题外，常在一些函数、数列、立体几何、解析几何和实际应用问题的试题中涉及不等式的知识，加强不等式应用能力，是提高解综合题能力的关键．因此，在复习时应加强这方面训练，提高应用意识，总结不等式的应用规律，才能提高解决问题的能力．【典题对应】例1.(2014·山东理5)已知实数满足，则下列关系式恒成立的是()A.B.C.D.命题意图：本题主要考查基本不等式的性质、对数函数、三角函数的性质，主要是值域的大小比较.解析：，排除A,B，对于C，是周期函数，排除C.答案：D名师坐堂：对于此类选择题，可以巧妙采用特殊值法进行求解.如列举带入验证即可.例2.(2014·山东理9)已知满足的约束条件当目标函数在该约束条件下取得最小值时，的最小值为()A.5 B.4 C. D.2命题意图：本题考查线性规划的应用，目标函数的实际意义，距离的几何意义.解析：求得交点为，则，即圆心到直线的距离的平方.答案：B名师坐堂：线性规划首先应找准可行域，求得交点，弄清欲求值与可行域中的点、线、域的关系，应用最多的是斜率，其次是截距，再次是距离，求解时应注意灵活掌握.例3.(2013·山东理6)在平面直角坐标中，为不等式组，所表示的区域上的一动点，则直线的斜率的最小值为()A.2 B.1 C. D.命题意图：本题综合考查了线性规划问题和直线的斜率问题.，要求能准确地画出不等式表示的平面区域,并且能够求得目标函数的最值.解析：作出可行域，该可行域为点（1,0），（2，2），（3，-1）形成的三角形.因此直线的最小值为.故选C.名师坐堂：本题应先画出可行域，根据条件求出求出最值.求线性目标函数的最值关键是将目标函数进行平移，以确定最优解所对应的点的坐标.例4.(2013·山东理12)设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为()A.0 B.1 C. D.3命题意图：本题主要考查基本不等式、二次函数的最值，考查对数学表达式的病性能力、消元思想以及运用化归与转化思想解决问题的能力.解析：由，得，故，当且仅当，即时，取等号，即取得最大值时，，.此时，，其最大值为1.名师坐堂：解题的关键在于弄清何时取得最大值，而对于多变量函数，消元为常见思路.例5.(2012·山东理13)若不等式的解集为，则实数k=__________.命题意图：本题综合考查了含绝对值不等式的解法及去掉绝对值号的方法，会解简单的一元二次不等式.解析：由可得，即，而，所以.另解：由题意可知是的两根，则，解得.名师坐堂：解含绝对值的不等式，关键是要把它化为不含绝对值的不等式，然后把不等式等价转化为不等式组，变成求不等式组的解．运用零点讨论法时，要注意找零点去绝对值符号最好画数轴，零点分段，然后从左向右逐段讨论，这样做条理分明、不重不漏．【命题趋向】不等式是联系方程、函数、导数、三角、线性规划等的桥梁与纽带，在教材占有较重的分量，在高考中每年均有涉及，考查时常将不等式与导数不等式与圆锥曲线、不等式与函数、不等式与数列等结合在一起进行考查.每一年的分值在20分左右.【直击高考】1．已知a＝(m,1)，b＝(1－n,1)(其中m、n为正数)，若a∥b，则eq\f(1,m)＋eq\f(2,n)的最小值是()A. B． C. D．2．若实数x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y≥0，,y≥x，,y≥－x＋b，))且z＝2x＋y的最小值为4，则实数b的值为()A．0 B．2 C．3 D．43．设函数，则满足的x的取值范围是()A．[—1,2] B．[0，2] C．[1，+） D．[0，+）4．设变量满足，则的最大值和最小值分别为()A．1，－1 B．2，－2 C．1，－2 D．2，－15．若对任意x∈A，y∈B，(A⊆R，B⊆R)有唯一确定的f(x，y)与之对应，则称f(x，y)为关于x，y的二元函数．满足下列性质的二元函数f(x，y)称为关于实数x，y的广义“距离”：(1)非负性：f(x，y)≥0，当且仅当x＝y时取等号；(2)对称性：f(x，y)＝f(y，x)；(3)三角形不等式：f(x，y)≤f(x，z)＋f(z，y)对任意的实数z均成立．今给出三个二元函数：①f(x，y)＝|x－y|；②f(x，y)＝(x－y)2；③f(x，y)＝eq\r(x－y).其中能够成为关于x，y的广义“距离”的二元函数的序号是()A．① B．①② C．②③ D．①②③6．不等式对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为()A．（-∞，-1] B．[-∞，-2）∪[5，+∞） C．[1，2] D．（-∞，1]∪[2，+∞）7.已知a、b、c、d∈R＋且S＝eq\f(a,a＋b＋c)＋eq\f(b,b＋c＋d)＋eq\f(c,c＋d＋a)＋eq\f(d,a＋b＋d)，则下列判断中正确的是()A．0<S<1 B．1<S<2 C．2<S<3 D．3<S<48．函数的最大值为.9．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数.当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（Ⅰ）当时，求函数的表达式;（Ⅱ）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）.10．若实数、、满足，则称比远离.（1）若比远离0，求的取值范围；（2）对于任意两个不相等的正数、，证明：比远离；（3）已知函数的定义域.任取，等于和中远离0的那个值，写出函数的解析式，并指出他的基本性质（结论不要求证明）.11.已知函数f(x)＝ex＋2x2－3x.(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)当x≥eq\f(1,2)时，若关于x的不等式f(x)≥eq\f(5,2)x2＋(a－3)x＋1恒成立，试求实数a的取值范围．

热点三不等式【直击高考】1.解析：向量a∥b的充要条件是m×1＝1×(1－n)，即m＋n＝1，故eq\f(1,m)＋eq\f(2,n)＝(m＋n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)＋\f(2,n)))＝3＋eq\f(n,m)＋eq\f(2m,n)≥3＋2eq\r(2).答案：选C. 2.解析：C画出可行域可知y＝－2x＋z过eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,3)，\f(2b,3)))时z取得最小值，所以2×eq\f(b,3)＋eq\f(2b,3)＝4，b＝3.3.解析：分两种情况讨论最后求并集，答案为D.4.解析：根据题意划出可行域，根据线性规划求最值的方法易求得答案为B.5.解析：对函数f(x，y)＝|x－y|，∵f(x，y)≥0，当且仅当x＝y时取等号，满足非负性；f(y，x)＝|y－x|＝|x－y|＝f(x，y)，满足对称性；由|a＋b|≤|a|＋|b|得|x－y|＝|(x－z)＋(z－y)|≤|x－z|＋|z－y|对任意的实数z均成立．即f(x，y)≤f(x，z)＋f(z，y)，满足三角形不等式．故①满足广义“距离”．对函数f(x，y)＝(x－y)2，显然满足非负性和对称性．∵当z＝0时，f(x，y)－[f(x,0)＋f(0，y)]＝－2xy，显然不恒小于等于零，故不满足三角形不等式，故②不满足广义“距离”．对函数f(x，y)＝eq\r(x－y)，显然不满足对称性．故③不满足广义“距离”．故选A.6.解析：函数的最大值为4，由已知条件，即，解得，或，选A。7.解析：[答案]Beq\f(a,a＋b＋c＋d)<eq\f(a,a＋b＋c)<eq\f(a,a＋c)；eq\f(b,a＋b＋c＋d)<eq\f(b,b＋c＋d)<eq\f(b,d＋b)；eq\f(c,a＋b＋c＋d)<eq\f(c,c＋d＋a)<eq\f(c,c＋a)；eq\f(c,a＋b＋c＋d)<eq\f(d,d＋a＋b)<eq\f(d,d＋b).以上四个不等式相加得，1<S<2.8.解析：令，则，从而。当时，；当时，当且仅当，即时，取等号，故答案为。9.解析：Ⅰ）由题意：当；当再由已知得故函数的表达式为（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得当为增函数，故当时，其最大值为60×20=1200；当时，当且仅当，即时，等号成立。所以，当在区间[20，200]上取得最大值综上，当时，在区间[0，200]上取得最大值。即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时。10.解析：（1）由题意，得，或，即或，的取值范围是。（2）证明：当、是不相等的正数时，。又，则，，比远离。（3）解：若，则；同理，若，则或。于是，函数的解析式是，函数的最小正周期。函数是非奇非偶函数。当或时，函数取得最大值1；当或时，函数取得最小