3.2函数与方程不等式之间的关系

函数与方程、不等式之间的关系一、零点的概念1、定义：一般地，如果函数在实数处的函数值等于零，即，则称为函数的零点.2、为函数的零点为函数图象与轴的公共点.3、当函数图象通过零点并穿过轴时，函数值变号，该零点称为函数的变号零点；当函数图象通过零点但不穿过轴时，函数值不变号，该零点称为函数的不变号零点.4、两个零点把轴分成3个开区间，在每个区间上所有函数值保持同号.【注意】（1）零点不是点，而是数；（2）方程的解的个数函数的图象与轴的公共点的个数函数的零点的个数（3）函数的编号零点时函数值由正转负或由负转正的分界线。二、二次函数的零点及其对应方程、不等式解集之间的关系对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集.判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1，或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))))Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅三、零点的存在定理1、定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的，且，（即在区间两个端点处的函数值异号），那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解。【注意】（1）定义不能确定零点的个数；（2）不满足定理条件时依然可能有零点；（3）定理中的“连续不断”是必不可少的条件；（4）定理反之是不成立的.（5）一般地，解析式是多项式的函数的图象都是联系不断的，需要注意的是，反比例函数的图象不是连续不断的。2、重要推论：（1）推论1：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，，且具有单调性，则函数在区间内只有一个零点.（2）推论2：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，函数在区间内有零点，且函数具有单调性，则四、二分法求函数的近似解1、二分法的概念：对于区间上连续不断切的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步地逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫作二分法。2、用二分法求函数零点近似值的步骤在函数零点存在定理的条件满足时，给定近似的精度，用二分法求零点的近似值，使得的一般步骤如下：第一步：检查是否成立。如果成立，取，计算结果；如果不成立，转到第二步；第二步：计算区间的中点对应的函数值，若，则取，计算结束；若，转到第三步；第三步：若，将的值赋值给（用表示，下同），回到第一步；否则必有，将将的值赋值给，回到第一步.【注意】用可知，令，与函数的零点之间的误差一定小于，原因是，也可以是题型一利用图象解不等式【例1】（2022·高一课时练习）解关于的不等式：．【答案】或【解析】设，分析各个因式的符号，画图如下：结合图像可知，原不等式的解集为或．【变式11】（2023·上海·高一专题练习）解下列关于的不等式．（1）；（2）．【答案】（1）或或；（2）或或【解析】（1）原不等式等价于，所以，如图所示：解得或且，所以原不等式解集为或或.（2）由得，，原不等式等价于，即，如图所示：解得或或，所以原不等式的解集为或或．【变式12】（2022·高一课时练习）求函数的零点，并求不等式的解集．【答案】零点为2，，3，1，解集为或或【解析】令，得方程的根为2，，3，1．函数图象示意图如图所示，所以的解集为或或．【变式13】（2023·全国·高一课时练习）求下列函数的零点，并作出函数图像的示意图，写出不等式和的解集：（1）；（2）.【答案】见解析【解析】解：（1）令，解得.函数图像示意图如图（1）所示.所以的解集为.的解集为.（2）令，解得.函数图像示意图如图（2）所示.所以的解集为的解集为.题型二求函数的零点【例2】（2023秋·安徽·高一校联考阶段练习）函数的零点是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解方程，即，解得或，因此，函数的零点为.故选：.【变式21】（2023·全国·高一专题练习）函数的零点是【答案】/【解析】令，则，解得，故答案为：.【变式22】（2023·全国·高一课堂例题）的零点是；【答案】1【解析】令，即，则且，解得，所以函数存在零点，且零点为1．故答案为：1.【变式23】（2021·全国·高一专题练习）若求函数的零点．【答案】和1．【解析】函数的零点即为方程的根．当时，方程，变形为，即，解得或，因为，所以；当时，方程，变形为，符合题意．综上，函数的零点为和1．题型三判断函数零点个数【例3】（2022秋·辽宁·高一校联考期中）函数的零点个数为（）A．4B．3C．2D．1【答案】B【解析】，或，，，或，时，不合题意，舍去，满足题意．因此方程有三个解，即函数有三个零点．故选：B．【变式31】（2023·全国·高一专题练习）设函数是定义在上的奇函数，当时，，则的零点个数为.【答案】3【解析】∵函数是定义域为的奇函数，∴，所以0是函数的一个零点，当时，令，得到，分别画出函数和的图像，如图所示，有一个交点，所以函数在上有一个零点，又根据对称性知，当时，函数也有一个零点.综上所述，的零点个数为3.【变式32】（2023·全国·高一专题练习）若函数，则方程的实根个数为（）A．3B．4C．5D．6【答案】A【解析】由，则可作出函数的图象如下：由方程，得或，所以方程的实根个数为3．故选：A．【变式33】（2022秋·河北石家庄·高一校考阶段练习）已知，均是定义在的函数，其中函数是奇函数且在上的图象如图1，函数在定义域上的图象如图2，则方程的根的个数是（）A．3B．4C．5D．6【答案】D【解析】由函数的图象知，当时，或，而函数是奇函数，因此函数有3个零点，由函数的图象知，在上递增，函数值从2递增到2，在上递减，函数值从2递减到2，由方程得，或或，显然有2个根，有2个根，有2个根，所以方程的根的个数是6.故选：D【变式34】（2023·全国·高一专题练习）已知函数.（1）作出函数的图象；（2）就a的取值范围讨论函数的零点的个数．【答案】（1）作图见解析；（2）答案见解析【解析】（1）先作出的图象，然后将其在x轴下方的部分翻折到x轴上方，原x轴上及其上方的图象及翻折上来的图象便是所要作的图象．（2）由图象易知，函数的零点的个数就是函数的图象与直线的交点的个数．.当时，函数的零点的个数为0；当与时，函数的零点的个数为2；当时，函数的零点的个数为4；当时，函数的零点的个数为3.题型四判断函数零点所在区间【例4】（2023秋·北京·高一校考期中）函数在下列哪个区间存在零点（）A．B．C．D．【答案】C【解析】函数定义域为,当时恒成立，当时单调递增，单调递增且大于零恒成立，单调递增，根据复合函数的单调性可知在上单调递增，又，，即，所以的零点位于区间内.故选：C【变式41】（2022秋·北京·高一校考期中）函数的一个零点在内，另一个零点在（）内.A．B．C．D．【答案】C【解析】因为函数的一个零点在内，所以，又因为函数在连续不断，根据零点存在性定理另一个零点在内.故选：C.【变式42】（2023秋·新疆·高一校联考期末）（多选）已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表：135724131则一定包含的零点的区间是（）A．B．C．D．【答案】BCD【解析】因为的图象是一条连续不断的曲线，且，所以一定包含的零点的区间是．故选：BCD【变式43】（2023秋·广西北海·高一统考期末）若函数在区间上存在一个零点，则实数m的取值范围是.【答案】【解析】由函数在区间上存在一个零点，则.即，解之得，故答案为：题型五根据函数零点个数求参数【例5】（2023秋·北京·高一校考期中）已知函数若关于的函数有且只有三个不同的零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为关于的函数有且只有三个不同的零点，所以函数与函数图象有三个不同的交点，画出图象，如图：由图可知，当时，函数与函数图象有三个不同的交点，所以实数的取值范围是.故选：B【变式51】（2023·全国·高一专题练习）已知函数，，若存在3个零点，则实数的取值范围为．【答案】.【解析】由存在3个零点，即方程有3个实数根，即函数与的图象有3个不同的交点，因为函数，画出函数和的图象，如图所示，结合图象，将点代入，可得，此时，要使得函数和的图象有3个不同的交点，则满足，解得，即实数的取值范围是.【变式52】（2023秋·辽宁辽阳·高一统考期中）（多选）若函数恰有三个零点，则a的值可能为（）A．－1B．6C．1D．2【答案】BCD【解析】函数恰有三个零点，时，，函数有两个零点0和6，则时，有一个零点，所以，即，BCD选项都符合.故选：BCD【变式53】（2023·全国·高一专题练习）已知函数，若方程有六个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，作出函数的图象，如图所示：由图象可知：当时，有三个不同的与对应，令，因为方程有六个不相等的实数根，所以在内有两个不同的实根，设，即，即，解得：，所以实数a的取值范围是，故选：.题型六二次函数零点分布问题【例6】（2023秋·河南南阳·高一校考阶段练习）若方程的两实根均在区间内，求的取值范围（）.A．B．C．D．【答案】B【解析】根据题意可知，一元二次函数在区间内与轴有交点，所以需满足，解得；所以可得的取值范围是.故选：B【变式61】（2023秋·上海·高一校考阶段练习）方程在区间和各有一个根的充要条件是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为一元二次方程在区间和各有一个根，令，则由题意可得，即，解得，则方程在区间和各有一个根的充要条件是.故选：B.【变式62】（2022秋·江苏南通·高一校考期中）函数的一个零点在区间内，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】令，即，解得，，又因为函数的一个零点在区间内，，所以，所以实数m的取值范围是．故选：C．【变式63】（2023秋·北京·高一校考期中）已知方程有两个不相等的正根，则实数的取值范围是.【答案】【解析】因为有两个不相等的正根，即有两个不相等的正根，所以，解得.故答案为：.【变式64】（2023·全国·高一专题练习）已知函数有两个零点，一个大于1，一个小于1，那么实数k的取值范围是．【答案】【解析】由题意可知函数有两个零点，所以，若，则为开口向上的二次函数，要有两个零点且一个大于1一个小于1，则，得，故；若，则为开口向下的二次函数，要有两个零点且一个大于1一个小于1，则，得，故；综上可知：或，故答案为：题型七二分法求方程的近似值【例7】（2023秋·高一课时练习）以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据二分法的思想，函数在区间上的图象连续不断，且，即函数的零点是变号零点，才能将区间一分为二，逐步得到零点的近似值．对各选项的函数图象分析可知，A，B，D都符合条件，而选项C不符合，因为图象经过零点时函数值的符号没有发生变化，因此不能用二分法求函数零点．故选：C.【变式71】（2023·全国·高一专题练习）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下:那么方程的一个近似解（误差不超过）可以是（）A．1.25B．1.39C．1.42D．【答案】C【解析】依据题意，，，所以方程的一个近似解为，满足误差不超过，故选：C.【变式72】（2023·全国·高一专题练习