大题考法精研(一)-数列的运算及求和

大题考法精研(一)——数列的运算及求和12目录题型一数列的基本运算题型二数列求和[例1]

(2023·新课标Ⅰ卷)设等差数列{an}的公差为d，且d＞1.令bn＝题型一数列的基本运算(1)若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求{an}的通项公式；(2)若{bn}为等差数列，且S99－T99＝99，求d.[解]

(1)因为3a2＝3a1＋a3，所以3d＝a1＋2d，所以a1＝d，所以an＝nd.因为S3＋T3＝21，因为d＞1，所以d＝3.所以{an}的通项公式为an＝3n.因为d>1，所以an>0，又因为S99－T99＝99，由等差数列的性质，得99a50－99b50＝99，[思维建模]在等差数列与等比数列综合问题中，若等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能；在数列的通项问题中，第一项和后面的项能否用同一个公式表示等．[针对训练]1．已知数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列，且bn∈N*，若a1＝b2＝2，a1＋a2＋a3＝b1＋b2＋b3＋b4＝15.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)设由{an}，{bn}的公共项构成的新数列记为{cn}，求数列{cn}的前5项之和S5.解：(1)设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q，因为a1＝2，a1＋a2＋a3＝15，所以an＝a1＋(n－1)d＝2＋3(n－1)＝3n－1.因为b2＝2，b1＋b2＋b3＋b4＝15，则2q3＋2q2－13q＋2＝0，所以(q－2)(2q2＋6q－1)＝0.因为bn∈N*，所以q＝2，b1＝1.所以bn＝2n－1.(2)设数列{an}的第m项与数列{bn}的第n项相等，则am＝bn

3m－1＝2n－1，

因为m，n∈N*，当n＝10时，m＝171，则c5＝512.故{cn}的前5项之和S5＝2＋8＋32＋128＋512＝682.

方法1

分组法题型二数列求和记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和，S4＝32，T3＝16.(1)求{an}的通项公式；(2)证明：当n＞5时，Tn＞Sn.[解]

(1)设等差数列{an}的公差为d.所以b1＝a1－6，b2＝2a2＝2a1＋2d，b3＝a3－6＝a1＋2d－6.因为S4＝32，T3＝16，所以{an}的通项公式为an＝2n＋3.(2)证明：由(1)知an＝2n＋3，当n为偶数时，Tn＝(－1＋14)＋(3＋22)＋(7＋30)＋…＋[(2n－5)＋(4n＋6)]＝[－1＋3＋7＋…＋(2n－5)]＋[14＋22＋30＋…＋(4n＋6)]＝[思维建模]使用分组法求和的数列常见类型数列通项中含绝对值先不考虑绝对值，求解数列从哪一项开始变号，把正数项和非正数项分开看作两个数列，分别求和(此时需考虑绝对值)，相加得解续表(1)求数列{an}的通项公式；(2)将数列{an}和数列{2n}中所有的项，按照从小到大的顺序排列得到一个新数列{bn}，求{bn}的前100项的和．方法2

裂项相消法[例3]

(2023·潍坊一模)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＋2Sn－1＝3Sn(n≥2)．(1)求数列{an}的通项公式；[解]

(1)当n≥2时，Sn＋1＋2Sn－1＝3Sn

Sn＋1－Sn＝2Sn－2Sn－1，即an＋1＝2an.又∵{an}是等比数列，∴q＝2.由题意，a1＝1，∴数列{an}的通项公式为an＝2n－1，n∈N*.[思维建模]1．裂项相消之后，余项的基本特征(1)前几后几：即前面的余式和后面的余式的个数相同；(2)前第几，后倒数第几：即余下的式子是对称的；(3)突破口：裂项是关键！注意检验裂项过程中的等号；可以把裂好的项通分，检验等号是否成立．2．裂项常见形式(1)分母两项的差等于常数(2)分母两项的差与分子存在一定关系(3)分母含无理式[针对训练](2)记数列bn＝(an－3)(an＋1－3)，求数列{bn}的前n项和Tn.∴2an－2an＋1＝(an＋1－3)(an－3)，即2(an－3)－2(an＋1－3)＝(an＋1－3)(an－3)，方法3

错位相减法[例4]

(2023·济宁一模)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝1，nan＋1＝2Sn＋n(n∈N*)．[解]

(1)证明：由nan＋1＝2Sn＋n，当n＝1时，a2＝2S1＋1＝2a1＋1＝3；当n≥2时，(n－1)an＝2Sn－1＋n－1，两式相减得nan＋1－(n－1)an＝2an＋1，[思维建模]运用错位相减法求和的关键判断模型判断数列{an}，{bn}是不是一个为等差数列，一个为等比数列错开位置为两式相减不会看错列做准备相减相减时一定要注意最后一项的符号[针对训练]4．已知数列{an}满足a1＝1，Sn＝an＋1－1－n.(1)证明：数列{an＋1}是等比数列；解：(1)证明：当n＝1时，S1＝a2－2，解得a2＝3；当n≥2时，Sn＝an＋1－1－n，Sn－1＝an－n，两式相减得an＝an＋1－an－1，即an＋1＝2a