轴对称变换(师)

热烈欢迎各位专家来校指导！宁波市第十五中学如图，半圆O的直径AB＝10cm，把弓形AD沿直线AD翻折,交直径AB于C’，若AC’=6cm,则AD的长为（）简析:将△ABD沿AD翻折至△ADG

，连结BC.可得AC=AC’=6，CG＝BC’=4，BC=8，BG=所以BD=DG=

计算得AD=C’引例：A宁波市第十五中学杨相云轴对称变换几何解题方法之一

1.有关图形翻折的问题：如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（）∠A=∠1+∠2B.2∠A=∠1+∠2C.

3∠A=∠1+∠2D.

3∠A=2(∠1+∠2)

BA’由翻折引出的一些几何问题中，我们可以尝试利用轴对称变换的方法把图形翻折回去，可以解决问题。探索：将△AED沿AD翻折，则△AED≌△A‘ED，∠1=1800-2∠AED,∠2=1800-2∠ADE,∠1+∠2=3600-2(∠AED+∠ADE)=2∠A

2.含有角平分线的问题：如图：△ABC中，∠BAC＝54°，∠BAC的角平分线交BC于D，若AB-AC=CD，求∠ABC的度数。对含有角平分线的一些几何问题，尝试进行轴对称变换,可使分散的条件相对集中。探索：如图，在△ABC中，∠BAC=54°，∠BAC的外角平分线交直线BC于D，若AB+AC=BD，求∠ABC的度数。思考:E分析：设∠ABC=x,将△ACD沿AD翻折，使C落在BA的延长线的点E处，则AC=AE,∠ACD=∠AED=∠ABC+∠BAC=54°+x,由BD=BE得，∠BED=1/2(180°-x)=54°+x解得x=24°,所以∠ABC=24°.

3.有关轴对称图形的问题：如图，AB是半圆O的直径，C、D、E三点在半圆上，H、K是直径AB上的点，若∠AHC=∠DHB，∠DKA=∠EKB，已知E’450涉及轴对称图形的一些几何问题，可尝试进行轴对称变换，能使条件和结论联系更为明显。探索：E’

4.含有特殊角的问题：如图，A、B、C三个村庄在一条东西方向的公路沿线上，其中AB＝3km，BC=2km，在B村的正北方向有一个D村，测得∠ADC＝45º，现将△ADC区域规划为开发区，试求这个开发区的面积。探索：设正方形边长为x,则AE=x-3，CE=x-2,而AC=5,解得x=6,所以BD=x=6,△ADC的面积为15.EGH对于一些含有特殊角几何问题，如30º、45º、60º等，也可尝试轴对称变换，将问题于以转化。分析：将△ABD沿着AD翻折至△AGD，将△CBD沿着CD翻折至△CHD，可得AG=AB=3,CH=BC=2;延长GA、HC交于E,可证四边形DGEH为正方形，1.如图，AD是△ABC的角平分线，BE⊥AD，交AD的延长线于E，EF//AC交AB于F.求证：AF=FB.B’简析：将△ABE沿AE翻折，设点B的对应点为B’则BE=BE’,而EF//AC所以AF=BF.应用：2．如图AB是半圆O的直径，点C在BA的延长线上运动（不与A重合），以OC为直径的半圆M与半圆O交于点D，∠DCB的平分线与半圆M交于点E。（1）求证：CD是半圆O的切线；（2）过点E作EF⊥AB于F，则有OA=2EF，请说明理由。E’分析：（1）只需证∠OCD=Rt∠(2)将半圆M沿直径CO翻折，再延长EF交圆于E',连接CE'，由∠DCO=∠ECE',得到EE'=DO=AO,从而证明2EF=AO.

3.如图，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，若∆ABC固定不动，∆AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E(点D不与点B重合,点E不与点C重合)。在旋转过程中，BD2＋CE2=DE2是否始终成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

H分析：将∆ABD和∆CAE分别沿AD和AE翻折，由∠BAD+∠CAE=45°和AB=AC可得：点B和点C的对应点重合，设对应点为H，则∠DHE=∠ABD+∠ACE=90°,DH=BD,HE=EG，则BD2＋CE2=DE2；所以在旋转过程中，结论始终成立.D’方法二：将∆ABD绕点A逆时针方向旋转90°，得到∆ACD’可得∆DCE=90°,D’E=DE，则则BD2＋CE2=DE2.C’’

(拓展练习）4.如图，正方形AMBD的边长为6，C，E分别在AD，BD上，且AC＝2，BE＝3，H、K是对角线AB上的点。若∠AHC=∠DHB，∠BKE=∠DKA，∠HDK的度数为______。C’E’450简析:延长DH，DK分别交AM,BM于点C’,E’，可证在Rt

△C’ME’中,可得C’E’=5延长MB到C’’，使BC’‘=2，可证得归纳：一、对涉及翻折、角平分线、轴对称图形或含有特殊角的一些几何问题，