二绝对值三角不等式

二绝对值不等式

1．绝对值三角不等式

课前自主学案课堂互动讲练知能优化训练1．绝对值三角不等式学习目标学习目标1.理解绝对值三角不等式定理并会应用；2．会进行含绝对值三角不等式的证明．课前自主学案1．定理1：__________________________________________________________推论1：__________________________________________.推论2：__________________________________________.如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|.当且仅当ab≥0时等号成立．如果a，b是实数，那么|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|如果a，b是实数，那么|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|2．_______________________________________________________________________________________________定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|.当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立.思考感悟如何理解|a|－|b|<|a±b|<|a|＋|b|的几何意义？提示：三角形任意两边之差小于第三边，三角形任意两边之和大于第三边．课堂互动讲练(1)设xy<0，x，y∈R，那么正确的是(

)A．|x＋y|>|x－y|B．|x－y|<|x|＋|y|C．|x＋y|<|x－y|D．|x－y|<||x|－|y||考点一含绝对值不等式的理解考点突破例1【思路点拨】

(1)由于xy<0，x，y异号，利用|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|判定．(2)题易判定m，n与1的大小关系．【解析】

(1)法一：特殊值法：取x＝1，y＝－2，则满足xy＝－2<0，这样有|x＋y|＝|1－2|＝1，|x－y|＝|1－(－2)|＝3，|x|＋|y|＝3，||x|－|y||＝1，∴选项C成立，A，B，D不成立．法二：由xy<0得x，y异号，易知|x＋y|<|x－y|，|x－y|＝|x|＋|y|，|x－y|>||x|－|y||，∴选项C成立，A、B、D不成立．【答案】

(1)C

(2)m≤n【名师点评】绝对值不等式性质的重要作用在于放缩，放缩的思路主要有两种：分子不变，分母变小，则分数值变大；分子变大，分母不变，则分数值也变大，注意放缩后等号是否还能成立．变式训练1

0<a<1，下列不等式一定成立的是(

)A．|log(1＋a)(1－a)|＋|log(1－a)(1＋a)|>2B．|log(1＋a)(1－a)|<|log(1－a)(1＋a)|C．|log(1＋a)(1－a)＋log(1－a)(1＋a)|<|log(1＋a)(1－a)|＋|log(1－a)(1＋a)|D．|log(1＋a)(1－a)－log(1－a)(1＋a)|>|log(1＋a)(1－a)|－|log(1－a)(1＋a)|【思路点拨】根据所证结论，对“xy－ab”进行凑配，凑出已知的“x－a，y－b”来．考点二含绝对值不等式的证明例2【名师点评】含绝对值不等式的证明题主要分两类：一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法，换元法去掉绝对值号转化为常见的不等式证明题，或利用不等式的性质|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|证明不等式，常要对绝对值内的式子进行分析组合、添项减项，使待证式与已知之间联系起来，最后通过绝对值的运算完成证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值不等式，这时，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程根的分布方法来证明．已知a，b，c是实数，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，g(x)＝ax＋b，当－1≤x≤1时，|f(x)|≤1.(1)证明：|c|≤1；(2)证明：当－1≤x≤1时，|g(x)|≤2.【思路点拨】对于(1)用一般到特殊的思想，即c＝f(0)．对于(2)分a>0，a＝0，a<0根据函数的单调性讨论．例3【证明】

(1)由条件当－1≤x≤1时，|f(x)|≤1，取x＝0，得|c|＝|f(0)|≤1，即|c|≤1.(2)当a>0时，g(x)＝ax＋b在[－1,1]上是增函数，∴g(－1)≤g(x)≤g(1)．∵|f(x)|≤1(－1≤x≤1)，|c|≤1，∴g(1)＝a＋b＝f(1)－c≤|f(1)|＋|c|≤2，g(－1)＝－a＋b＝－f(－1)＋c≥－(|f(－1)|＋|c|)≥－2，由此得|g(x)|≤2；当a<0时，g(x)＝ax＋b在[－1,1]上是减函数，∴g(－1)≥g(x)≥g(1)．∵|f(x)|≤1(－1≤x≤1)，|c|≤1，∴g(－1)＝－a＋b＝－f(－1)＋c≤|f(－1)|＋|c|≤2，g(1)＝a＋b＝f(1)－c≥－(|f(1)|＋|c|)≥－2，由此得|g(x)|≤2；当a＝0时，g(x)＝b，f(x)＝bx＋c.∵－1≤x≤1，∴|g(x)|＝|f(1)－c|≤|f(1)|＋|c|≤2.综上，得|g(x)|≤2.【名师点评】本题利用函数的单调性，结合最值或值域，求绝对值的取值．变式训练3设f(x)＝x2－x＋13，实数a满足|x－a|<1.求证：|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1)．证明：|f(x)－f(a)|＝|(x－a)(x＋a－1)|＝|x－a|·|x＋a－1|<|x＋a－1|＝|(x－a)＋2a－1|≤|x－a|＋|2a|＋1<1＋2|a|＋1＝2(|a|＋1)．∴|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1)．例误区警示【错因】本题错误在于不能保证1＋|a＋b|≥1＋|a|,1＋|a＋b|≥1＋|b|成立．对|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|的诠释方法感悟定理的构成部分特征大小关系等号成立的条件左端|a|－|b|可能是负的≤中间部分中间部分为|a＋b|时，ab≤0，且|a|≥|b|时，左边的等号成立；中间部分为|a－b|时，ab≥0，且|a|≥|b|时，左边等号成立定理的构成部分特征大小关系等号成立的条件中间部分|a±b|肯定是非负的≥左端≤右端用“＋”连结时，ab≥0，右端取等号，ab≤0，且|