聚焦中考数学复习知识点第28课直角三角形

第28课直角三角形基础知识题型分类要点梳理题型一直角三角形的性质与判定基础自测题型二勾股定理的应用题型三勾股定理逆定理的应用易错警示21.三角形的高线可能在三角形外知识点索引要点梳理基础知识·自主学习知识点索引1.直角三角形有一个角是________的三角形是直角三角形．2.直角三角形的性质

(1)直角三角形的两个锐角________；

(2)直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的________；

(3)直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的________；

(4)勾股定理：直角三角形的两直角边的________等于斜边的________．直角互余一半一半平方和平方要点梳理基础知识·自主学习知识点索引3.直角三角形的判定

(1)有一个角是直角的三角形是直角三角形；

(2)有两个内角互余的三角形是直角三角形；

(3)一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形；

(4)如果三角形的三边长a、b、c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．基础自测基础知识·自主学习知识点索引1.(中考真题-枣庄)如图，AB∥CD，AE交CD于C，∠A＝34°，∠DEC＝90°，则∠D的度数为(

)A.17°B.34°C.56°D.124°C解析∵AB∥CD，∴∠DCE＝∠A＝34°，∵∠DEC＝90°，∴∠D＝90°－∠DCE＝90°－34°＝56°.故选C.基础自测基础知识·自主学习知识点索引2.(中考真题-衢州)将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为(

)基础自测基础知识·自主学习知识点索引解析过点C作CD⊥AD，∴CD＝3，在Rt△ADC中，∵∠CAD＝30°，∴AC＝2CD＝2×3＝6，又∵三角板是有45°角的三角板，故选D.基础自测基础知识·自主学习知识点索引2.(中考真题-衢州)将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为(

)D基础自测基础知识·自主学习知识点索引解析

A、42＋52＝41≠62，不可以构成直角三角形，故本选项错误；B、1.52＋22＝6.25＝2.52，可以构成直角三角形，故本选项正确；基础自测基础知识·自主学习知识点索引BC、22＋32＝13≠42，不可以构成直角三角形，故本选项错误；基础自测基础知识·自主学习知识点索引4.(中考真题-安徽)如图，Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝

90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为

MN，则线段BN的长为(

)C解析设BN＝x，由折叠的性质可得DN＝AN＝9－x，∵D是BC的中点，∴BD＝3，在Rt△BDN中，由勾股定理得，x2＋32＝(9－x)2，解得x＝4，即线段BN的长为4.故选C.基础自测基础知识·自主学习知识点索引5.(中考真题-张家界)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，DE

是斜边AC的中垂线，分别交AB、AC于D、E两点．若BD

＝2，则AC的长是(

)基础自测基础知识·自主学习知识点索引解析

∵在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，∴∠A＝30°.∵DE垂直平分斜边AC，∴AD＝CD，∴∠A＝∠ACD＝30°，∴∠DCB＝60°－30°＝30°，∵BD＝2，∴CD＝AD＝4，∴AB＝2＋4＝6，基础自测基础知识·自主学习知识点索引5.(中考真题-张家界)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，DE

是斜边AC的中垂线，分别交AB、AC于D、E两点．若BD

＝2，则AC的长是(

)B题型一直角三角形的性质与判定

题型分类·深度剖析知识点索引【例1】

(中考真题-宿迁)如图，已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∠BAD＝∠BCE＝90°，点M为DE的中点，过点E

与AD平行的直线交射线AM于点N.(1)当A、B、C三点在同一直线上时(如图1)，求证：M为AN

的中点；题型一直角三角形的性质与判定

题型分类·深度剖析知识点索引(2)将图1中的△BCE绕点B旋转，当A、B、E三点在同一直线上时(如图2)，求证：△ACN为等腰直角三角形；(3)将图1中的△BCE绕点B旋转到图3位置时，(2)中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由．题型一直角三角形的性质与判定

题型分类·深度剖析知识点索引解

(1)证明：∵EN∥AD，∴∠MAD＝∠MNE，∠ADM＝∠NEM，∵点M为DE的中点，∴△ADM≌△NEM，∴AM＝NM，∴M为AN的中点．题型一直角三角形的性质与判定

题型分类·深度剖析知识点索引(2)证明：∵△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∴AB＝AD，CB＝CE，∠CBE＝∠CEB＝45°，∵AD∥NE，∴∠DAE＋∠NEA＝180°，∵∠DAE＝90°，∴∠NEA＝90°，∴∠NEC＝90°＋45°＝135°.∵A、B、E三点在同一直线上，∴∠ABC＝180°－∠CBE＝180°－45°＝135°，∴∠ABC＝∠NEC.∵△ADM≌△NEM(已证)，∴AD＝NE，∵AD＝AB，∴AB＝NE.

题型一直角三角形的性质与判定

题型分类·深度剖析知识点索引∴△ABC≌△NEC，∴AC＝NC，∠ACB＝∠NCE，∴∠ACN＝∠BCE＝90°，∴△ACN为等腰直角三角形．题型一直角三角形的性质与判定

题型分类·深度剖析知识点索引(3)△ACN仍为等腰直角三角形．证明：∵AD∥EN，∠DAB＝90°，∴∠ENA＝∠DAN＝90°，∵∠BCE＝90°，∴∠CBN＋∠CEN＝360°－90°－90°＝180°.∵A、B、N三点在同一条直线上，∴∠ABC＋∠CBN＝180°，∴∠ABC＝∠NEC.∵△ADM≌△NEM(已证)，∴AD＝NE，∵AD＝AB，∴AB＝NE，题型一直角三角形的性质与判定

题型分类·深度剖析知识点索引∴△ABC≌△NEC，∴AC＝NC，∠ACB＝∠NCE，∴∠ACN＝∠BCE＝90°，∴△ACN为等腰直角三角形．题型一直角三角形的性质与判定

题型分类·深度剖析知识点索引探究提高本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、多边形的内角与外角等知识，渗透了变中有不变的辩证思想．题型一直角三角形的性质与判定

题型分类·深度剖析知识点索引变式训练1

(中考真题-绍兴)(1)如图1，正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°，延长CD到点G，使DG＝BE，连接EF、AG.求证：EF＝FG.(2)如图2，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M、N在边BC上，且∠MAN＝45°，若BM＝1，CN＝3，求MN

的长．题型一直角三角形的性质与判定

题型分类·深度剖析知识点索引解

(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABE＝∠ADG，AB＝AD，∴△ABE≌△ADG(SAS)，∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∴∠EAG＝90°，∴△FAE≌△FAG(SAS)，∴EF＝FG.题型一直角三角形的性质与判定

题型分类·深度剖析知识点索引(2)如图2，过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE，使CE＝BM，连接AE、EN.∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C＝45°，∵CE⊥BC，∴∠ACE＝∠B＝45°.∴△ABM≌△ACE(SAS)，∴AM＝AE，∠BAM＝∠CAE，题型一直角三角形的性质与判定

题型分类·深度剖析知识点索引∵∠BAC＝90°，∠MAN＝45°，∴∠BAM＋∠CAN＝45°，∴∠MAN＝∠EAN＝45°.∴△MAN≌△EAN(SAS)，∴MN＝EN.在Rt△ENC中，由勾股定理，得EN2＝EC2＋NC2，题型二勾股定理的应用

题型分类·深度剖析知识点索引【例2】

(中考真题-湘潭)如图，修公路遇到一座山，于是要修一条隧道．为了加快施工进度，想在小山的另一侧同时施工．为了使山的另一侧的开挖点C在AB的延长线上，设想过C点作直线AB的垂线L，过点B作一直线(在山的旁边经过)，与L相交于D点，经测量∠ABD＝135°，BD＝800米，求直线L上距离D点多远的C处开挖？题型二勾股定理的应用

题型分类·深度剖析知识点索引解∵CD⊥AC，∴∠ACD＝90°，∵∠ABD＝135°，∴∠DBC＝45°，∴∠D＝45°，∴CB＝CD，在Rt△DCB中，CD2＋BC2＝BD2，则2CD2＝8002，答：直线L上距离D点566米的C处开挖．

题型二勾股定理的应用

题型分类·深度剖析知识点索引探究提高本题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，领会数形结合的思想的应用．题型二勾股定理的应用

题型分类·深度剖析知识点索引变式训练2

(中考真题-东营)如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，问小鸟至少飞行________米．题型二勾股定理的应用

题型分类·深度剖析知识点索引解析如图，设大树高为AB＝12，小树高为CD＝6，过C点作CE⊥AB于E，则四边形EBDC是矩形，连接AC，∴EB＝6，EC＝8，AE＝AB－EB＝12－6＝6，题型二勾股定理的应用

题型分类·深度剖析知识点索引变式训练2

(中考真题-东营)如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，问小鸟至少飞行________米．10题型三勾股定理逆定理的应用

题型分类·深度剖析知识点索引【例3】如图所示，正方形ABCD中，E为AB的中点，

F点在BC上，且BF＝BC，求证：DE⊥EF.题型三勾股定理逆定理的应用

题型分类·深度剖析知识点索引证明连接DF，设正方形的边长为4a，则AE＝BE＝2a，BF＝a，CF＝3a.在Rt△ADE中，DE2＝AD2＋AE2＝16a2＋4a2＝20a2，在Rt△BEF中，EF2＝BE2＋BF2＝4a2＋a2＝5a2，在Rt△DCF中，DF2＝DC2＋CF2＝16a2＋9a2＝25a2，∵DE2＋EF2＝DF2＝25a2，∴△DEF是直角三角形，且∠DEF＝90°，即DE⊥EF.题型三勾股定理逆定理的应用

题型分类·深度剖析知识点索引探究提高重视勾股定理及逆定理结构的剖析，正确理解和应用定理，适时提高理解能力，灵活处理定理应用的条件，理解题意，找到合适的条件建立勾股定理及逆定理的应用模型．本题证明线段DE与EF垂直，可以证明△DEF是直角三角形，自然联想到勾股定理逆定理．题型三勾股定理逆定理的应用

题型分类·深度剖析知识点索引变式训练3已知，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，

BC＝4，CD＝12，AD＝13，求四边形ABCD的面积．题型三勾股定理逆定理的应用

题型分类·深度剖析知识点索引解析

连接AC，在Rt△ABC中，在△ACD中，∵AC2＋CD2＝52＋122＝169，AB2＝132＝169，∴AC2＋CD2＝AB2，∴△ACD是直角三角形，∴∠ACD＝90°，题型分类·深度剖析易错警示系列易错警示系列21三角形的高线可能在三角形外知识点索引考题再现在△ABC中，高AD和