聚焦中考数学复习知识点整式及其运算

第3课整式及其运算

基础知识题型分类要点梳理题型一列代数式表示数量关系

基础自测题型二合并同类项与整式的加减运算题型三整式的混合运算与求值题型四用代数式表示变化规律思想与方法1.代数式表示多位数知识点索引易错警示2.幂运算易出现错误1.单项式由____________或____________相乘组成的代数式叫做单项式，所有字母指数的和叫做______________，数字因数叫做______________．要点梳理基础知识·自主学习知识点索引2.多项式由几个____________组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高的项的次数叫做这个______________，其中不含字母的项叫做____________．

3.整式

__________________统称为整式.单项式的系数数与字母字母与字母单项式的次数常数项单项式相加多项式的次数单项式和多项式要点梳理基础知识·自主学习知识点索引4.合并同类项同类项：多项式中所含________相同并且相同字母的

________也相同的项，叫做同类项，它与单项式的系数无关．合并同类项就是把同类项的________相加作为结果的系数，而字母与字母的________不变，即把多个同类项合并成一项．特别地，当两个同类项的系数互为相反数时其和为0.

整式的加减，其一般步骤是：如果遇到括号，按去括号法则先________，再______________．合并同类项字母指数系数指数去括号5.幂运算法则

(1)同底数幂相乘：

am·an＝__________________________________(2)幂的乘方：

(am)n＝___________________________________(3)积的乘方：

(ab)n＝___________________________________(4)同底数幂相除：

am÷an＝__________________________________要点梳理基础知识·自主学习知识点索引要点梳理基础知识·自主学习知识点索引6.整式乘法单项式与单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式．单项式乘多项式：m(a＋b)＝____________________

多项式乘多项式：(a＋b)(c＋d)＝_______________ma＋mb

ac＋ad＋bc＋bd

7.乘法公式

(1)平方差公式：________________________(2)完全平方公式：________________________

理解公式(x＋a)(x＋b)＝________________与以上乘法公式之间的关系：当a＝b时，上式变形为完全平方公式；当a＝－b时，上式变形为平方差公式．要点梳理基础知识·自主学习知识点索引8.整式除法单项式与单项式相除，把系数、同底数幂分别相

______，作为商的因子，对于只在被除式里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式．多项式除以单项式，将这个多项式的每一项________

这个单项式，然后把所得的商相______．要点梳理基础知识·自主学习知识点索引除除以加1.(中考真题-济宁)化简－5ab＋4ab的结果是(

)A.－1B.aC.bD.－ab基础自测基础知识·自主学习知识点索引D解析－5ab＋4ab＝(－5＋4)ab＝－ab.故选D.基础自测基础知识·自主学习知识点索引B2.(中考真题-重庆)计算2x6÷x4的结果是(

)A.x2B.2x2

C.2x4D.2x10解析

2x6÷x4＝2x2.故选B.基础自测基础知识·自主学习知识点索引C3.(中考真题-绍兴)计算(ab)2的结果是(

)A.2abB.a2bC.a2b2D.ab2解析

(ab)2＝a2b2.故选C.4.(中考真题-益阳)下列式子化简后的结果为x6的是(

)A.x3＋x3B.x3·x3

C.(x3)3D.x12÷x2基础自测基础知识·自主学习知识点索引B解析

A、原式＝2x3，故本选项错误；B、原式＝x6，故本选项正确；C、原式＝x9，故本选项错误；D、原式＝x12－2＝x10，故本选项错误．故选B.5.(中考真题-威海)已知x2－2＝y，则x(x－3y)＋y(3x－1)－2

的值是(

)A.－2B.0C.2D.4基础自测基础知识·自主学习知识点索引B解析∵x2－2＝y，即x2－y＝2，∴原式＝x2－3xy＋3xy－y－2＝x2－y－2＝2－2＝0.故选B.题型分类·深度剖析题型一列代数式表示数量关系知识点索引【例1】

(1)(中考真题-盐城)“x的2倍与5的和”用代数式表示为________．(2)(中考真题-海南)购买单价为a元的笔记本3本和单价为b元的铅笔5支应付款__________元．2x＋5(3a＋5b)解析首先表示“x的2倍”为2x，再表示“与5的和”为2x＋5.解析用3本笔记本的总价加上5支铅笔的总价即可．即应付款为：(3a＋5b)元．题型分类·深度剖析题型一列代数式表示数量关系知识点索引探究提高列代数式，关键是列代数式时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把带分数化为假分数；书写单位名称什么时候不加括号，什么时候要加括号，注意代数式括号的适当运用；实际问题列代数式，必须理解题意，这里利用“单价×数量＝总价”三者之间的关系解决问题．变式训练1

(1)(中考真题-呼和浩特)某商品先按批发价a元提高

10%零售，后又按零售价降低10%出售，则它最后的单价是(

)A.aB.0.99aC.1.21aD.0.81a题型分类·深度剖析题型一列代数式表示数量关系知识点索引B解析原价提高10%后商品新单价为a(1＋10%)元，再按新价降低10%后单价为a(1＋10%)(1－10%)＝0.99a(元)．故选B.(2)(中考真题-咸宁)体育委员小金带了500元钱去买体育用品，已知一个足球x元，一个篮球y元，则代数式500－3x

－2y表示的实际意义是_____________________________________________________________________．题型分类·深度剖析题型一列代数式表示数量关系知识点索引体育委员买了3个足球、2个解析∵买一个足球x元，一个篮球y元，∴3x表示体育委员买了3个足球，2y表示买了2个篮球，∴代数式500－3x－2y表示体育委员买了3个足球、2个篮球后剩余的经费．篮球后剩余的经费

【例2】

(1)(中考真题-毕节)若－2amb4与5an＋2b2m＋n可以合并成一项，则mn的值是(

)A.2B.0C.－1D.1题型分类·深度剖析题型二合并同类项与整式的加减运算

知识点索引D

解析根据同类项是字母相同且相同字母的指数也相同，可得m、n的值，根据乘方，可得答案．若－2amb4与5an＋2b2m＋n可以合并成一项，题型分类·深度剖析题型二合并同类项与整式的加减运算

知识点索引(2)(中考真题-广东)计算3a－2a的结果正确的是(

)A.1B.aC.－aD.－5aB解析

3a－2a＝(3－2)a＝a.故选B.题型分类·深度剖析题型二合并同类项与整式的加减运算

知识点索引探究提高本题考查了合并同类项，系数相加字母部分不变是解题关键．同类项是字母相同且相同字母的指数也相同．(1)判断同类项时，看字母和相应字母的指数，与系数无关，也与字母的相关位置无关，两个只含数字的单项式也是同类项；(2)只有同类项才可以合并．变式训练2

(1)(中考真题-苏州)计算－2x2＋3x2的结果为

(

)A.－5x2B.5x2

C.－x2D.x2题型分类·深度剖析题型二合并同类项与整式的加减运算

知识点索引D解析－2x2＋3x2＝(－2＋3)x2＝x2.故选D.题型分类·深度剖析题型二合并同类项与整式的加减运算

知识点索引(2)若－4xay＋x2yb＝－3x2y，则a＋b＝________．

3解析－4xay＋x2yb＝－3x2y，可知－4xay，x2yb，－3x2y是同类项，则a＝2，b＝1，所以a＋b＝3.题型分类·深度剖析题型三整式的混合运算与求值知识点索引【例3】

(1)(中考真题-宜昌)化简：(a＋b)(a－b)＋2b2.解原式＝a2－b2＋2b2

＝a2＋b2.题型分类·深度剖析题型三整式的混合运算与求值知识点索引求代数式(x＋1)2－2x＋y(y－2x)的值．∴(x＋1)2－2x＋y(y－2x)＝x2＋2x＋1－2x＋y2－2xy＝x2＋y2－2xy＋1＝(x－y)2＋1题型分类·深度剖析题型三整式的混合运算与求值知识点索引探究提高注意多项式乘多项式的运算中要做到不重不漏，应用乘法公式进行简便计算．另外去括号时，要注意符号的变化，最后把所得式子化简，即合并同类项，最后代入求值计算．记住：先化简，后求值．题型分类·深度剖析题型三整式的混合运算与求值知识点索引变式训练3

(1)(中考真题-绍兴)先化简，再求值：a(a－3b)＋

(a＋b)2－a(a－b)，解原式＝a2－3ab＋a2＋2ab＋b2－a2＋ab

＝a2＋b2题型分类·深度剖析知识点索引解原式＝x2－1－x2＋x＝x－1，题型三整式的混合运算与求值题型分类·深度剖析题型四用代数式表示变化规律知识点索引【例4】

(中考真题-重庆)如图，下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成，其中，第(1)个图形中面积为1

的正方形有2个，第(2)个图形中面积为1的正方形有5个，第(3)个图形中面积为1的正方形有9个，…，按此规律，则第(6)个图形中面积为1的正方形的个数为(

)A.20B.27C.35D.40题型分类·深度剖析题型四用代数式表示变化规律知识点索引解析第(1)个图形中面积为1的正方形有2个，第(2)个图形中面积为1的正方形有2＋3＝5个，第(3)个图形中面积为1的正方形有2＋3＋4＝9个，……按此规律，第n个图形中面积为1的正方形有2＋3＋4＋…＋(n＋1)＝个，则第(6)个图形中面积为1的正方形的个数为2＋3＋4＋5＋6＋7＝27个．故选B.【例4】

(中考真题-重庆)如图，下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成，其中，第(1)个图形中面积为1

的正方形有2个，第(2)个图形中面积为1的正方形有5个，第(3)个图形中面积为1的正方形有9个，…，按此规律，则第(6)个图形中面积为1的正方形的个数为(

)A.20B.27C.35D.40题型分类·深度剖析题型四用代数式表示变化规律知识点索引B题型分类·深度剖析题型四用代数式表示变化规律知识点索引探究提高此题考查图形的变化规律，找出图形的个数的变化规律．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，先用具体的数字等式表示，再用含字母的式子表示，即找出图形与数字之间的运算规律，利用规律解决问题．题型分类·深度剖析题型四用代数式表示变化规律知识点索引变式训练4

(中考真题-赤峰)平移小菱形

可以得到美丽的“中国结”图案，下面四个图案是由

平移后得到的类似“中国结”的图案，按图中规律，第20个图案中，小菱形的个数是________个．题型分类·深度剖析题型四用代数式表示变化规律知识点索引解析第一个图形有2×12＝2个小菱形；第二个图形有2×22＝8个小菱形；第三个图形有2×32＝18个小菱形；……第n个图形有2n2个小菱形；则第20个图形有2×202＝800个小菱形．题型分类·深度剖析题型四用代数式表示变化规律知识点索引变式训练4

(中考真题-赤峰)平移小菱形

可以得到美丽的“中国结”图案，下面四个图案是由

平移后得到的类似“中国结”的图案，按图中规律，第20个图案中，小菱形的个数是________个．800题型分类·深度剖析思想与方法系列思想与方法系列1代数式表示多位数

知识点索引试题一个两位数，将它的十位数字与个位数字对调，证明所得的数与原来的两位数之差是9的倍数．题型分类·深度剖析思想与方法系列知识点索引审题视角为理解题意，不妨随便写一个两位数，例如

37，将它的十位数字与个位数字对调，得73，它与原来的二位数之差为36，是9的倍数．但是，两位数很多，要一个一个去验证，显然很麻烦．为此想到利用字母去表示这个两位数的十位数字和个位数字，用式子表示这个两位数和对调数字所得的新两位数，通过计算来证明一般的结论．题型分类·深度剖析思想与方法系列知识点索引规范答题证明：设两位数的十位数字是a，个位数字是b，那么这个两位数就等于10a＋b.

将十位数字与个位数字对调，所得的新数的十位数字是

b，个位数字是a，它等于10b＋a.

于是，所得的新数与原来的两位数之差为：

(10b＋a)－(10a＋b)＝10b＋a－10a－b

＝9b－9a＝9(b－a)．因为b－a是一个整数，所以9(b－a)是9的倍数，即所得的新数与原来的两位数之差是9的倍数．答题模板题型分类·深度剖析答题模板

知识点索引第一步：先考虑特殊的情形，写出任意一个两位数，以此为立足点探索一般规律；第二步：利用字母去表示两位数的十位数字和个位数字，用代数式表示原两位数与新两位数；第三步：通过计算新两位数与原两位数的差，来证明一般的结论；第四步：明确结论；第五步：反思回顾，查看关键点、易错点，完善解题步骤．题型分类·深度剖析思想与方法系列知识点索引批阅笔记用字母表示数，让字母与数一样参与运算，是数学中重要的思想方法．随着掌握的数学知识的增加，以及所接触