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文档简介
专题09二次函数中的定值与定点压轴题全梳理类型一、定值问题例.如图1,抛物线与轴交于,两点,与轴交于点.点是第二象限内抛物线上的一个动点,设点的横坐标为,过点作直线轴于点,作直线交于点.
(1)求该抛物线的解析式;(2)如图1,当是以为底边的等腰三角形时,求点的坐标;(3)如图2,连接,过点作直线,交轴于点,连接.试探究:在点运动的过程中,是否存在点,使得,若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.【变式训练1】已知抛物线的顶点为,与轴交于.
(1)求抛物线的解析式;(2)如图1,过顶点作轴于点,交直线于,点、分别在抛物线和轴上,若为,且以、、、为顶点的四边形为平行四边形,求的值;(3)如图2,将抛物线向右平移一个单位得到抛物线,直线与轴交于点,与抛物线交于、两个不同点,分别过、两点作轴的垂线,垂足分别为、,当的值在取值范围内发生变化时,式子的值是否发生变化?若不变,请求其值.(解此题时不用相似知识)【变式训练2】如图1,已知抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点D.(1)求直线BD的解析式;(2)P为抛物线上一点,当点Р到直线BD的距离为时,求点P的坐标;(3)如图2,直线交抛物线与M,N两点,C为抛物线上一点,当时,请探究点C到MN的距离是否为定值.【变式训练3】如图1,抛物线,交x轴于A、B两点,交y轴于点C,F为抛物线顶点,直线垂直于x轴于点E,当时,.(1)求抛物线的表达式;(2)点P是线段上的动点(除B、E外),过点P作x轴的垂线交抛物线于点D.①当点P的横坐标为2时,求四边形的面积;②如图2,直线分别与抛物线对称轴交于M、N两点.试问,是否为定值?如果是,请求出这个定值:如果不是,请说明理由.类型二、定点问题例.如图,抛物线与x轴的交点为A,B两点,与y轴的交于点C,.
(1)求抛物线的解析式;(2)P为抛物线在第四象限上的一点,直线与抛物线的对称轴相交于点M,若是以为底边的等腰三角形,求点P的坐标;(3)P是该抛物线上位于对称轴右侧的动点,Q、N是抛物线对称轴上两点,.求证:存在确定的点N,使直线与抛物线只有唯一交点P.【变式训练1】如图,抛物线与轴分别相交于,两点(点在点的左侧),是的中点,平行四边形的顶点,均在抛物线上.
(1)直接写出点的坐标;(2)如图(1),若点的横坐标是,点在第二象限,平行四边形的面积是13,①求直线的解析式;②求点的坐标;(3)如图(2),若点在抛物线上,连接,求证:直线过一定点.【变式训练2】已知二次函数的图象经过点,直线AB与抛物线相交于A、B两点.
(1)求抛物线的解析式;(2)如图1,若直线AB的解析式为,且的面积为35,求k的值;(3)如图2,若,则直线AB必经过一个定点C,求点C的坐标.【变式训练3】已知抛物线与轴交于、两点,与轴交于点,,且的面积为6,
(1)求抛物线的对称轴和解析式;(2)如图1,若,为抛物线上两点,以、、、为顶点的四边形是平行四边形,设点横坐标为,求的值;(3)如图2,过定点的直线交抛物线于,两点,过点的直线与抛物线交于点,求证:直线必过定点.课后训练1.如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,抛物线与x轴交于点A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,且.
(1)求抛物线的解析式;(2)如图①,若点P为第一象限的抛物线上一点,直线交x轴于点D,且平分,求点P的坐标;(3)如图②,点Q为第四象限的抛物线上一点,直线BQ交y轴于点M,过点B作直线,交y轴于点N,当Q点运动时,线段MN的长度是否会变化?若不变,请求出其长度;若变化,请求出其长度的变化范围.2.如图,在平面直角坐标系中,二次函数的图像与x轴相交于点A、B,与y轴相交于点C,其中B点的坐标为,点M为抛物线上的一个动点.
(1)二次函数图像的对称轴为直线.①求二次函数的表达式;②若点M与点C关于对称轴对称,则点M的坐标是________;③在②的条件下,连接,在上任意取一点P,过点P作x轴的平行线,与抛物线对称轴左侧的图像交于点Q,求线段的最大值;(2)过点M作的平行线,交抛物线于点N,设点M、N的横坐标为m、n,在点M运动的过程中,试问的值是否会发生改变?若改变,请说明理由;若不变,请求出的值.3.如图,直线:交轴于点,交轴于点,点在轴上,,经过点,的抛物线:交直线于另一点.
(1)求抛物线的解析式;(2)点为直线上方抛物线上一点,过点作轴于点,交于点.当时,求点的坐标;(3)抛物线与轴的另一个交点为,过点的任意直线(不与轴平行)与抛物线交于点、,直线、分别交轴于点、,是否存在的值使得与的积为定值?若存在,求的值,若不存在,请说明理由.4.如图,抛物线交轴于,两点(在的左边)与轴交于点.
(1)如图1,已知,且点的坐标为①求抛物线的解析式;②P为第四象限抛物线上一点,交轴于点,求面积的最大值及此时点的坐标.(2)如图,为轴正半轴上一点,过点作交抛物线于,两点(在的左边),直线,分别交轴于,两点,求的值.5.如图1,已知一次函数的图象与y轴,x轴相交于点A,B,抛物线与y轴交于点C,顶点M在直线上,设点M横坐标为m.(1)如图2,
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