平行四边形（练习）-2022-2023学年八年级数学下册同步沪教版详解

22.2平行四边形（分层练习）【夯实基础】一、单选题1．（2022春·上海奉贤·八年级校考期中）四边形的对角线相交于点，且，那么下列条件不能判断四边形为平行四边形的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题目条件结合平行四边形的判定方法：对角线互相平分的四边形是平行四边形分别进行分析即可.【详解】解：A、加上BO=DO可利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，故此选项不合题意；B、加上条件AB∥CD可证明△AOB≌△COD可得BO=DO，可利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，故此选项不合题意；C、加上条件AB=CD不能证明四边形是平行四边形，故此选项符合题意；D、加上条件∠ADB=∠DBC可利用ASA证明△AOD≌△COB，可证明BO=DO，可利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，故此选项不合题意；故选C．【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握平行四边形的判定定理．2．（2022春·上海徐汇·八年级校考期中）下列不能判断一个四边形是平行四边形的是（）A．一组对边平行且相等四边形B．两组对角分别相等的四边形C．一组对边平行，且一组对角相等的四边形D．一组对边相等，且另一组对边平行的四边形【答案】D【分析】根据平行四边形的判定方法逐一分析解题．【详解】解：A，∵一组对边平行且相等四边形是平行四边形，∴选项A不符合题意；B，∵两组对角分别相等的四边形是平行四边形，∴选项B不符合题意；C，∵一组对边平行，且一组对角相等的四边形是平行四边形，∴选项C不符合题意；D，∵一组对边相等，且另一组对边平行不一定是平行四边形，∴选项D符合题意；故选：D．【点睛】本题考查平行四边形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．3．（2022春·上海·八年级期中）已知点、点、点，以点A，B，C三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【详解】试题分析：根据平行四边形的边的性质知，对边相等．可以知道另一个顶点的坐标可以为：（1，﹣1）或（－3，1）或（3，1），∴不在第三象限．故选C．考点：1．坐标与图形性质；2．平行四边形的性质．4．（2022春·上海·八年级专题练习）已知在四边形中，，添加下列一个条件后，一定能判定四边形是平行四边形的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据平行四边形的判定进行判断即可．【详解】解：A、B.∵在四边形ABCD中，，∴或，都不能判定四边形ABCD为平行四边形，故A、B错误；C.∵，∴，∵，∴，∴，∴四边形ABCD为平行四边形，故C正确．D.当时，无法判定四边形ABCD为平行四边形，故D错误．故选：C．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，解题的关键是熟练的掌握平行四边形的判定方法，是解题的关键．5．（2022春·上海·八年级上海市民办扬波中学校考期中）下列给出的条件能判定四边形为平行四边形的是（

）A．AB//CD， B．，C．， D．，【答案】C【分析】由平行四边形的判定分别对各个选项进行判断即可．【详解】解：A、由ABCD，AD=BC，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项A不符合题意；B、由∠A=∠B，∠C=∠D，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项B不符合题意；C、∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD为平行四边形，故选项C符合题意；D、由AB=AD，CB=CD，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项D不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．6．（2022春·上海·八年级校考阶段练习）已知平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，则下列式子不一定正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由平行四边形的性质容易得出结论．【详解】解：如图，∵平行四边形ABCD，∴、、，∴选项A、B、D正确，不符合题意，∴选项C错误，符合题意．故选C．【点睛】本题考查了平行四边形的性质；熟记平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分是解决问题的关键．二、填空题7．（2022春·上海徐汇·八年级校考期中）已知平行四边形相邻两个内角相差40°，则该平行四边形中较小内角的度数是_____．【答案】70°【分析】由平行四边形的性质得出∠B+∠C=180°，由已知条件得出∠C-∠B=40°，解答即可．【详解】如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠B+∠C=180°，∵∠C-∠B=40°，解得：∠B=70°，故答案是：70°．【点睛】考查了平行四边形的性质、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．8．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，已知的周长是，和相交于点，的周长比的周长小，那么________．【答案】【分析】根据平行四边形性质得出OA=OC，AB=CD，AD=BC，求出AB+BC=13，AB-BC=2，两式相减即可求出BC，从而求得AD．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AB=CD，AD=BC，∵的周长是26cm，∴2AB+2BC=26，∴AB+BC=13①，∵△OBC的周长比△OAB的周长小2cm，∴（AB+OA+OB）-（BC+OC+OB）=2，∴AB-BC=2②，∵①-②得：2BC=11，∴AD=BC=cm．故答案为：．【点睛】本题考查平行四边形的性质，关键是能根据题意得出AB+BC=13，AB-BC=2．9．（2022春·上海·八年级校考期中）如图，在▱ABCD中，，则∠C的度数为________．【答案】60°【分析】根据平行四边形的对角相等即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴．故答案为60°．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的对角相等是解题的关键．10．（2022春·上海·八年级校考期中）如图，在ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BC=6，AC+BD=14，那么△BOC的周长是_____．【答案】13【分析】先根据平行四边形的性质可得，从而可得，再根据三角形的周长公式即可得．【详解】解：四边形是平行四边形，，，，又，的周长为，故答案为：13．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．11．（2022春·上海·八年级校考期中）平行四边形中，，，对边和的距离是，则对边和间的距离是______．【答案】【分析】根据平行四边形的面积公式求解即可．【详解】解：设对边和间的距离是，根据平行四边形的面积公式可得：，可得．故答案为．【点睛】此题考查平行四边形的性质，“等面积法”是数学中的重要解题方法．在三角形和四边形中，以不同的边为底其高也不相同，但面积是定值，从而可以得到不同底的高的关系．12．（2019春·上海·八年级上海市娄山中学校考阶段练习）平行四边形的一个内角比它相邻的内角小，则这个内角分别为__________和__________．【答案】

【分析】设这个内角为x°，另一个内角为，根据题意列方程求解即可．【详解】设这个内角为x°，另一个内角为，由题意可得解得则故答案为：，．【点睛】本题考查了平行四边形的问题，掌握平行四边形的性质是解题的关键．13．（2021春·上海普陀·八年级统考期中）如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把ABC沿着AD方向平移，得到，若两个三角形重叠部分的面积是1cm2，则它移动的距离等于___cm．【答案】1【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质及平移的基本性质．【详解】解：设CD与交于点H，AC与交于点G，由平移的性质知，与CD平行且相等，∠AC＝45°，∠DH＝∠DH＝45°，∴△DH是等腰直角三角形，D＝DH，四边形GCH是平行四边形，∵SA′GCH＝HC•C＝（CD﹣DH）•DH＝1cm2，∴DH＝D＝1cm，∴A＝AD﹣D＝1cm．故答案为：1．【点睛】本题需要运用等腰直角三角形的判定和性质及平移的基本性质结合求解．注意平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．14．（2022春·上海·八年级上海市张江集团中学校考期末）如图，在ABCD中，AC与BD交于点O，，，则ABCD的面积为___．【答案】【分析】作OE⊥AD交AD于点E，利用勾股定理求出AD，即可求出，由此即可求得ABCD的面积．【详解】解：作OE⊥AD交AD于点E，如图，∵，，∴OE=，∴在中，由勾股定理得：，∵，OE=4，，∴在中，由勾股定理得：，∴AD=，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查平行四边形面积的求法，勾股定理的应用，准确做出辅助线是解题的关键．15．（2022春·上海徐汇·八年级统考期末）如图，在梯形ABCD中，，，，交BC于点E．如果cm，cm，那么CD的长是______cm．【答案】7【分析】由在四边形ABCD中，AD∥BC，DE∥AB，可判定四边形ABED是平行四边形，即可求得CE的长，又由∠B＝70°，∠C＝40°，易判定△CDE是等腰三角形，继而求得答案．【详解】解：∵在四边形ABCD中，AD∥BC，DE∥AB，∴四边形ABED是平行四边形，∴BE＝AD＝5cm，∴CE＝BC﹣BE＝12﹣5＝7（cm），∵∠DEC＝∠B＝70°，∠C＝40°，∴∠CDE＝180°﹣∠DEC﹣∠C＝70°，∴∠CDE＝∠DEC，∴△CDE是等腰三角形，∴CD＝CE＝7cm．故答案为：7．【点睛】此题考查了平行四边形的性质与判定以及等腰三角形的判定与性质．注意证得四边形ABED是平行四边形，△CDE是等腰三角形是关键．16．（2022春·上海·八年级上海市进才中学校考期中）如果一个平行四边形的内角平分线与边相交，并且这条边被分成3、5两段，那么这个平行四边形的周长为______________．【答案】26或22【分析】根据题意可证明AE=AB，由于一边被分成了3、5两段，可分两种情况讨论，一是AE=5，DE=3，二是AE=3，DE=5，再计算平行四边形的周长即可．【详解】解：设平行四边形ABCD，BE平分∠ABC∠AD于点E，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC∴∠AEB=∠EBC，又∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC∴∠AEB=∠ABE∴AE=AB根据题意，可分如下两种情况，①当AE=5，DE=3时，如图1所示，则AD=3+5=8，AB=AE=5∴平行四边形的周长为：2（8+5）=26，②当AE=3，DE=5时，则AB=AE=3，AD=3+5=8，∴平行四边形的周长为：2（8+3）=22故答案为：22或26．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义以及平行四边形周长的计算，解题的关键是画出图形，分类讨论．17．（2021春·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考期中）已知点E在面积为4的平行四边形ABCD的边上运动，那么使△ABE的面积为1的点E共有_____个．【答案】2【分析】因为△ABE的底与平行四边形的底相等，要使△ABE的面积为1，则高△ABE的高必须为平行四边形的一半，所以当E在AD，BC的中点时成立．【详解】解：如图，∵平行四边形ABCD的底是不变的，即AB是固定的，AB即为△ABE的底不变，高变化，∵AB×AB边上的高=1，∴当△ABE的高为平行四边形ABCD的底边AB上的高的一半时△ABE的面积为1，即E在AD，BC的中点时成立，故使△ABE的面积为1的点E共有2个．故答案为2．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形的面积等，注意：同底同高的三角形的面积是平行四边形的面积的一半．18．（2022春·上海徐汇·八年级上海市田林第三中学校考期中）平行四边形两邻边分别是4和6，其中一边上的高是3，则平行四边形的面积是______．【答案】12或18##18或12【分析】分两种情况讨论：①3是长为4的边上的高，②3是长为6的边上的高，再根据平行四边形的面积公式求解即可．【详解】解：当3是长为4的边上的高时，平行四边形的面积为：3×4=12；当3是长为6的边上的高时，平行四边形的面积为：3×6=18；故答案为：12或18．【点睛】本题主要考查了平行四边形的面积计算，解题的关键是掌握平行四边形的面积公式，当高不知道是哪条边上的高时，要进行讨论．19．（2022春·上海奉贤·八年级校考期中）如图，在□ABCD中，若DC＝24，BC＝18，∠ADC和∠BCD的平分线分别交AB于点N、M，则MN的长为______．【答案】12【分析】由平行四边形的性质和角平分线的定义可知角之间的等量关系，得出BC＝BM，AD＝AN，由AB＋MN＝AD＋BC，即可得出MN的长．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD＝BC，∴∠CDN＝∠AND，∠DCM＝∠CMB，∵CM平分∠BCD，DN平分∠ADC，∴∠ADN＝∠CDN，∠DCM＝∠MCB，∴∠ADN＝∠AND，∠BCM＝∠CMB，∴AD＝AN，BM＝BC，∵AB＋MN＝AD＋BC，∴24＋MN＝18＋18，∴MN＝12；故答案为：12．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证出AD＝AN，BM＝BC是解决问题的关键．20．（2022春·上海青浦·八年级校考期中）如图，在平行四边形中，，平分交边于点，且，则平行四边形的周长为_________．【答案】12【分析】利用平行四边形的对边相等且互相平行，进而得出AE=DE=AB，再求出平行四边形ABCD的周长即可．【详解】解：∵CE平分∠BCD交AD边于点E，∴∠ECD=∠ECB，在平行四边形ABCD中，ADBC，AB=CD，AD=BC，∴∠DEC=∠ECB，∴∠DEC=∠DCE，∴DE=DC，∵AD=2AB，∴AD=2CD，∴AE=DE=AB=2，∴AD=4，∴平行四边形ABCD的周长为：2×（2+4）=12．故答案为：12．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证出∠DEC=∠DCE是解题关键．21．（2022春·上海·八年级校考期中）ABCD的周长为64cm，BC上高AE=6cm，CD上高AF=10cm，则ABCD的面积为_____cm2．【答案】120【分析】首先根据ABCD的周长，得出与的和，然后根据面积相等法，得出，然后把代入与的和中，即可算出的长，最后根据平行四边形面积公式，即可得出ABCD的面积．【详解】解：∵ABCD的周长为64cm，∴cm，即cm，又∵，，∴，∴，把代入，可得：，可得：cm，∴cm2，故答案为：120【点睛】本题考查了平行四边形的面积，解本题的关键在熟练掌握平行四边形的面积公式．三、解答题22．（2022春·上海·八年级期末）如图，平行四边形的对角线、交于点，，，连接．(1)求证：；(2)求证：四边形是平行四边形．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）首先证明四边形是平行四边形，推出，再证明即可；（2）只要证明，即可．（1）证明：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴四边形是平行四边形，∴，∵四边形是平行四边形，∴，∴．（2）∵，，∴四边形是平行四边形，∴，，∵四边形是平行四边形，∴，，∴，，∴四边形是平行四边形．【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定、平行线的性质和判定等知识．解题的关键是首先证明四边形是平行四边形．23．（2022春·上海·八年级期中）已知：如图，点E、G在平行四边形ABCD的边AD上，EG＝ED，延长CE到点F，使得EF＝EC．求证：AF∥BG．【答案】见解析【分析】连接FG，FD，GC，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定四边形FGCD是平行四边形，然后根据平行四边形的对边平行且相等可得FG∥DC，FG=DC，又四边形ABCD也是平行四边形，所以AB∥DC，AB=DC，从而得到AB∥FG，AB=FG，然后得到四边形ABGF是平行四边形，根据平行四边形的对边平行即可得证．【详解】证明：连接FG，FD，GC．∵EG=ED，EF=EC，∴四边形FGCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），∴FG∥DC，FG=DC（平行四边形对边相等且平行），∵平行四边形ABCD，∴AB∥DC，AB=DC，∴AB∥FG，AB=FG，∴四边形ABGF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），∴AF∥BG．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，主要利用了对角线互相平分的四边形是平行四边形，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对边平行且相等，作出辅助线构造出平行四边形是解题的关键．24．（2021春·上海·八年级校考期中）如图，和均为等腰三角形，且，点是的中点，求证；四边形是平行四边形．【答案】证明见解析．【分析】由等腰三角形的性质可得，，，，可证，，可得四边形是平行四边形．【详解】证明：为等腰三角形，，是的中点，，，是等腰三角形，，，，，，四边形是平行四边形．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定，利用等腰直角三角形的性质推出角相等后再推出平行是解题关键．25．（2022春·上海闵行·八年级上海市民办文绮中学校考期中）如图，在▱ABCD中，AB＝AE．（1）求证：AC＝ED；（2）若AE平分∠DAB，∠EAC＝25°．求∠ACD的度数．【答案】（1）见解析；（2）85°【分析】（1）△ABC和△EAD中已经有一条边和一个角分别相等，根据平行的性质和等边对等角得出∠B＝∠DAE即可证明ABC≌EAD（SAS），进而得出答案；（2）先证明ABE为等边三角形，利用平行四边形的性质求解即可．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC．∴∠DAE＝∠AEB．∵AB＝AE，∴∠AEB＝∠B．∴∠B＝∠DAE．在△ABC和△AED中，，∴ABC≌EAD（SAS），∴AC＝ED．（2）解：∵AE平分∠DAB（已知），∴∠DAE＝∠BAE；又∵∠DAE＝∠AEB，∠AEB＝∠B．∴∠BAE＝∠AEB＝∠B．∴ABE为等边三角形．∴∠BAE＝60°．∵∠EAC＝25°，∴∠BAC＝85°．∴∠ACD＝∠BAC＝85°．【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，（1）中能根据题意得出△ABC≌△EAD并证明是解题关键；（2）中能结合（1）推出△ABE为等边三角形是解题关键．26．（2022春·上海·八年级上海市进才中学校考期中）如图，已知□，点分别是边上的点，且分别过点作，垂足为点，求证：．【答案】证明见解析．【分析】由平行四边形对边相等、对边平行的性质，解得，根据已知条件计算得，再由两直线平行，内错角相等解得，进而证明，最后根据全等三角形对应边相等的性质解题即可．【详解】证明：四边形是平行四边形，，即,,（AAS）【点睛】本题考查平行四边形的性质、平行线定理、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．27．（2021春·上海·八年级校考期中）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，分别过点，作，，垂足分别为，，求证：．【答案】见解析【分析】只需要证明即可得到答案.【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴.∵，，∴.在和中，，∴.∴.【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，垂直的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.28．（2022春·上海·八年级专题练习）已知：如图，中，AE、CF分别是∠BAD和∠BCD的角平分线，分别交边DC、AB于点E、F，求证：AE＝CF．【答案】证明见解析【分析】根据平行四边形的性质及角平分线的定义，证明△ADE≌△CBF即可判断AE＝CF．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB＝∠DCB，∠D＝∠B，AD＝BC，∵AE、CF分别是∠BAD和∠BCD的角平分线，∴∠DAE＝∠BCF，∴△ADE≌△CBF（ASA），∴AE＝CF．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质．证明线段相等的技巧一般是找到两个线段的相关三角形，通过全等求解．【能力提升】一、单选题1．（2022春·上海·八年级校考期中）在ABCD中，AC与BD相交于点O，则下列结论不一定成立的是（

）①SADOSABO；O②ADB≌CBD；③BAD2BAC；④ACBDA．①④ B．①②④ C．③④ D．①②③④【答案】C【分析】由平行四边形的性质和全等三角形的判定方法即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，BO=DO，AB=CD，∠BAD=∠BCD，AD=BC，ADBC，①∵BO=DO，∴根据等底同高可得SADOSABO，正确；②∵AB=CD，AD=BC，BD=DB，∴根据SSS可得ADB≌CBD，正确；③∵平行四边形的对角线不一定平分对角，∴无法得到∠BAD=2∠BAC，错误；④∵平行四边形的对角线不一定相等，∴无法得到AC=BD，错误．故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，以及全等三角形的判定与性质，掌握平行四边形的性质是解题关键．2．（2022春·上海青浦·八年级校考期中）平面直角坐标系中，平行四边形三个顶点坐标分别为，则顶点B的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由平行四边形的性质可得，，根据平移的性质可求得顶点B的坐标．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，．∵平行四边形三个顶点坐标分别为，，，点向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到点∴向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到点的坐标是，∴点．故选：A．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平移的性质，掌握平移的性质是本题的关键．二、填空题3．（2022春·上海·八年级上海市泗塘中学校考阶段练习）如图：已知梯形于点O，．则＝_______________【答案】【分析】过D作DEAC交BC的延长线于E，根据平行四边形的判定和性质得出四边形ACED是平行四边形，结合图形得出CE=AD=2，DE=AC=5，BE=8，利用勾股定理求解即可．【详解】解：过D作DEAC交BC的延长线于E，∵AC⊥BD，∴DE⊥BD，∴∠BDE=90°，∵ADBC，∴四边形ACED是平行四边形，∴CE=AD=2，DE=AC=5，∴BE=BC＋CE=6＋2=8，在Rt△BDE中，BD=，故答案为：．【点睛】题目主要考查平行四边形的判定和性质，勾股定理解三角形，理解题意，作出相应辅助线是解题关键．4．（2022春·上海·八年级校考期中）在平行四边形中一边长为，它的一条对角线的长，那么它的另一条对角线的长度的取值范围______．【答案】【分析】根据平行四边形性质推出，，在中，由三角形三边关系定理得出，求出即可．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，，在中，，由三角形三边关系定理得：，即，．故答案为：．【点睛】本题考查了平行四边形的性质和三角形三边关系定理，关键是把已知数和未知数设法放在一个三角形中，题目比较好，难度适中．5．（2022春·上海·八年级校考期中）若一个平行四边形的一个内角平分线把一条边分成和两条线段，则该平行四边形的周长为__________．【答案】22cm或26cm【分析】利用平行四边形的性质和角平分线证出∠BAE＝∠BEA，得出AB＝BE，由此求出另一边，从而求出周长，注意两种情况．【详解】解：如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，，∵∠A的平分线交BC于点E，∴∠BAE＝∠DAE∵，∴∠DAE＝∠BEA，∴∠BAE＝∠BEA，∴AB＝BE，分两种情况进行讨论：当BE＝3cm，EC＝5cm时，AB＝BE＝3cm，BC＝BE+EC＝8cm，平行四边形的周长＝2×（3＋8）＝22（cm）；当BE＝5cm，EC＝3cm时，AB＝BE＝5cm，BC＝BE+EC＝8cm，平行四边形的周长＝2×（5＋8）＝26（cm）；综上所述：▱ABCD的周长是22或26cm．故答案为：22cm或26cm．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证明AB＝BE是解题的关键．6．（2022春·上海奉贤·八年级校考阶段练习）如图，在中，，将绕顶点B顺时针旋转到，当首次经过顶点C时，旋转角为_______度．【答案】40【分析】由旋转的性质可知BC＝BC1，∠BCD＝∠C1，所以∠BCC1＝∠C1，根据平行四边形的性质可得∠BCD＝70°，求出∠CBC1即可．【详解】解：∵▱ABCD绕顶点B顺时针旋转到▱A1BC1D1，∴BC＝BC1，∴∠BCC1＝∠C1，∵∠A＝70°，∴∠BCD＝∠C1＝70°，∴∠BCC1＝∠C1＝70°，∴∠CBC1＝180°−2×70°＝40°，即旋转角为40度，故答案为：40．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、旋转的性质、等腰三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理，解题的关键是得出BC＝BC1．7．（2022春·上海奉贤·八年级校联考期中）如图，在平行四边形中，，将平行四边形沿着过点A的一条直线l翻折后，点B恰好与点C重合，设直线l交边于点E，则的长为___________．【答案】3【分析】根据折叠的性质可得AE垂直平分BC，，再根据勾股定理即可求得AE的长．【详解】解：四边形ABCD是平行四边形，，将平行四边形沿着过点A的一条直线l翻折后，点B恰好与点C重合，垂直平分BC，，，，故答案为：3．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理，得到AE垂直平分BC是解决本题的关键．8．（2022春·上海闵行·八年级上海市民办文绮中学校考期中）在平行四边形中，和交于点O，，，如果将沿直线翻折后，点B落在点E处，那么的面积等于________．【答案】【分析】连接OE，过点O作OF⊥DE于点F．利用翻折的性质可得出△DOE为等边三角形，进而可得AC∥DE，故S△ADE＝S△DOE，直接求三角形DOE的面积即可得出答案．【详解】解：连接OE，过点O作OF⊥DE于点F．由翻折可知，∠AOB＝∠AOE＝60°，OB＝OD＝OE＝BD＝5，∵∠DOE＝180°−∠AOB−∠AOE＝60°，∴△DOE为等边三角形，∴∠EDO＝∠AOB＝60°，EF＝DF，∴AC∥DE，∴S△ADE＝S△DOE，∵，DE＝OD＝5，∴S△ADE＝S△DOE＝．故答案为：．【点睛】本题考查翻折的性质、平行四边形的性质以及等边三角形的性质，解题的关键是准确作出辅助线，利用数形结合思想求解．9．（2022春·上海·八年级上海市市西初级中学校考期中）如图，线段AB两点的坐标分别为、，在x轴的下方存在点C，使以点A，B，C为顶点的三角形与全等，则点C的坐标为______．【答案】（﹣6，﹣4）或（﹣，﹣）##（﹣，﹣）或（﹣6，﹣4）【分析】先证明OB＝AB，再分△ABO≌△BAC和△ABO≌△ABC两种情况，画出图形，再进行求解即可．【详解】解：∵线段AB两点的坐标分别为、，∴OB＝，AB＝，∴OB＝AB，以点A，B，C为顶点的三角形与全等，存在两种情况：①△ABO≌△BAC，如图1，∴OA＝BC，AC＝BO，∴四边形ACBO是平行四边形，∵点A（﹣4,0），点（﹣2，﹣4），点O（0，0））∴点C的坐标是（﹣6，﹣4）；②△ABO≌△ABC时，如图2，连接OC交AB于点P，过点P作PF⊥x轴于点F，过点C作CE⊥x轴于点E，∵AC＝AO，BC＝BO，∴AB是OC的垂直平分线，∴∠APO＝90°，∵，∴由勾股定理得，AP＝，∵，∴PF＝，∴OF＝，∵PFCE，OP＝PC，∴OE＝2OF＝，CE＝2PF＝，∴点C的坐标是（﹣，﹣）；综上所述，点C的坐标是（﹣6，﹣4）或（﹣，﹣）．故答案为：（﹣6，﹣4）或（﹣，﹣）【点睛】.此题考查了平面直角坐标系中两点间距离公式、平行四边形的判定和性质、勾股定理、垂直平分线的判定和性质、全等三角形的性质等知识，分情况讨论是解决此题的关键．10．（2022春·上海·八年级上海同济大学附属存志学校校考期中）在面积为15的平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直于直线BC于点E，作AF垂直于直线CD于点F，若AB＝5，BC＝6，则CE+CF的值为_________________．【答案】或【分析】根据平行四边形面积求出AE和AF，有两种情况，求出BE、DF的值，求出CE和CF的值，相加即可得出答案．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝5，BC＝AD＝6，①如图：由平行四边形面积公式得：BC×AE＝CD×AF＝15，求出AE＝，AF＝3，在Rt△ABE和Rt△ADF中，由勾股定理得：AB2＝AE2+BE2，把AB＝5，AE＝代入求出BE＝，同理DF＝3，∴CE＝6+，CF＝3+5，即CE+CF＝11+，②如图：∵AB＝5，AE＝，在△ABE中，由勾股定理得：BE＝，同理DF＝3，由①知：CE＝6﹣，CF＝3﹣5，∴CE+CF＝1+，故答案为：11+或1+．【点睛】本题考查了平行四边形性质，勾股定理的应用，主要培养学生的理解能力和计算能力，注意：要分类讨论．11．（2022春·上海·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD∥BC，且AD＞BC，AB＝BC＝10，点P在BC边上，点B关于直线AP的对称点为Q，CQ的延长线交边AD于点R，如果AR＝CP，那么线段AP的长为____．【答案】【分析】如图，连接交于．首先证明四边形是平行四边形，再证明，可得结论．【详解】解：如图，连接交于．，，四边形是平行四边形，，，关于对称，，BP=PQ，AP⊥BQ，∴∠PBQ=∠PQB，BQ⊥CR，∴∠PQB+∠PQC=∠PBQ+∠PQC=90°，∠PBQ+∠BCQ=90°，∴∠PQC=∠PCQ，，在中，，，，．故答案为：．【点睛】本题考查直角梯形的性质，平行四边形的判定和性质，平行线等分线段定理，勾股定理等知识，解题的关键是证明，由，推出．12．（2022春·上海静安·八年级上海市静安区教育学院附属学校校考期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝45°，点E为射线AD上一动点，连接BE，将BE绕点B逆时针旋转60°得到BF，连接AF，则AF的最小值是___．【答案】．【分析】如图，以AB为边向下作等边△ABK，连接EK，在EK上取一点T，使得AT＝TK．证明△ABF≌△KBE（SAS），推出AF＝EK，根据垂线段最短可知，当KE⊥AD时，KE的值最小，用勾股定理求出EK即可解决问题．【详解】如图，以AB为边向下作等边△ABK，连接EK，在EK上取一点T，使得AT＝TK．∵BE＝BF，BK＝BA，又∵∠EBF＝∠ABK＝60°，∴∠ABF＝∠KBE，∴△ABF≌△KBE（SAS），∴AF＝EK，根据垂线段最短可知，当KE⊥AD时，KE的值最小，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵∠ABC＝45°，∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝135°，∵∠BAK＝60°，∴∠EAK＝75°，∵∠AEK＝90°，∴∠AKE＝15°，∵TA＝TK，∴∠TAK＝∠AKT＝15°，∴∠ATE＝∠TAK+∠AKT＝30°，设AE＝a，则AT＝TK＝2a，ET=a，在Rt△AEK中，∵AK2＝AE2+EK2，∴a2+（2a+a）2＝4，∴a＝，∴EK＝2a+a＝，∴AF的最小值为．故答案为．【点睛】本题考查旋转的性质，平行四边形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等的三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．13．（2022秋·上海·八年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为原点，点A、C的坐标分别为(2，0)、(1，3)，将△AOC绕AC的中点旋转180°，点O落到点B的位置，D的坐标为(1，-).若点P是x轴上一点，以P、A、D为顶点作平行四边形，该平行四边形的另一顶点在y轴上，则点P的坐标为_________.【答案】(-1，0)或(1，0)或(3，0)【分析】设P点坐标为（a，0），另一个顶点为Q，坐标为（0，b），分三种情况讨论，根据平行四边形对角线互相平分，则两条对角线的中点相同，利用中点坐标公式建立方程求出a即可得到P点坐标.【详解】设P点坐标为（a，0），另一个顶点为Q，坐标为（0，b）,分三种情况讨论：①如图1，当AP、DQ为对角线时，∵A(2，0)，D(1，-)，由平行四边形对角线互相平分的性质和中点坐标公式可得，，解得，∴P点坐标为(-1，0)②如图2，当AQ、PD为对角线时，同理可得，解得∴P点坐标为(1，0)③如图3，当AD、PQ为对角线时，同理可得，解得∴P点坐标为(3，0)综上可得P点坐标为(-1，0)或(1，0)或(3，0)【点睛】本题考查了坐标系中构成平行四边形的问题，熟练掌握平行四边形的性质，分类讨论，利用中点坐标公式建立方程是解题的关键.三、解答题14．（2022春·上海·八年级期中）如图，已知在▱ABCD中，∠B＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点E、F．(1)求∠EAF的度数；(2)如果AB＝6，求线段AE的长．【答案】(1)60°(2)【分析】（1）利用平行四边形的邻角互补的知识先求出∠C的度数，然后利用四边形的内角和定理即可求出∠EAF的度数．（2）求出∠BAE的度数，然后在直角三角形中利用三角函数及勾股定理的知识求出AE的长．(1)解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠B＋∠C＝180°，∵∠B＝60°，∴∠C＝120°，∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEC＝∠AFC＝90°，∵在四边形AECF中，∠EAF＋∠AEC＋∠C＋∠AFC＝360°，∴∠EAF＝60°．(2)解：在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，AB＝6，∵∠B＝60°，∴∠BAE＝30°，∴，由勾股定理，得，∴．【点睛】此题考查了平行四边形及三角函数的知识，要求我们掌握平行四边形的邻角互补及锐角三角函数、勾股定理在直角三角形的表示形式，难度一般．15．（2022春·上海·八年级期中）如图，▱ABCD中，E、F是直线AC上两点，且AE＝CF．求证：(1)BE＝DF；(2)【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用平行四边形的性质借助全等三角形的判定与性质得出即可；（2）利用全等三角形的性质结合平行线的判定方法得出即可．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，∴∠DAF＝∠BCE，∵AE＝CF，∴AF＝EC，在△FAD和△ECB中，，∴△FAD≌△ECB（SAS），∴BE＝DF；（2）∵△FAD≌△ECB，∴∠F＝∠E，∴BE∥DF．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，平行线的判定，得到如下的一对三角形△FAD≌△ECB是解题关键．16．（2022春·上海·八年级专题练习）已知：如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在BC边上，交AC于点F，联结BE．求证：四边形BEFC为平行四边形．【答案】证明见解析【分析】证△ABE≌△ACD（SAS），得∠EBA＝∠DCA＝60°，再证∠EBC+∠BCA＝180°，则BE∥CF，然后由EF∥BC，即可得出结论．【详解】证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，∴AE＝AD，AB＝AC，∠BCA＝∠EAD＝∠BAC＝∠ABC＝60°，∴∠EAD﹣∠BAD＝∠BAC﹣∠BAD，即∠EAB＝∠DAC，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴∠EBA＝∠DCA＝60°，∴∠EBC＝∠EBA+∠ABC＝120°，∴∠EBC+∠BCA＝180°，∴BE∥CF，又∵EF∥BC，∴四边形BEFC为平行四边形．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定、等边三角形的性质、平行线的判定等知识；熟练掌握平行四边形的判定，证明△ABE≌△ACD是解题的关键．17．（2022春·上海静安·八年级上海市静安区教育学院附属学校校考期中）如图，在中，，，，垂足分别为点E、F．(1)求的度数；(2)如果，，求的面积．【答案】(1)∠EAF=60°(2)【分析】（1）利用平行四边形的邻角互补的知识先求出∠C的度数，然后利用四边形的内角和定理即可求出∠EAF的度数．（2）先求出DF=4，得到AD=8，然后求出AF的长度，再求出的面积即可．(1)解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠B+∠C=180°，于是由∠B=60°，得∠C=120°，∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEC=∠AFC=90°，在四边形AECF中，∠EAF+∠AEC+∠C+∠AFC=360°，∴∠EAF=60°．(2)解：根据题意，∵∠EAF=60°，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴的面积为：；【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，以及平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确地运用所学的知识进行解题．18．（2022春·上海·八年级专题练习）已知中，，，D是AC中点，作直线BD．分别以AC，BC所在直线为x轴，y轴建立直角坐标系（如图）．(1)求直线BD的表达式．(2)在直线BD上找出一点E，使四边形ABCE为平行四边形．(3)直线BD上是否存在点F，使为以AC为腰的等腰三角形?若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，或或或【分析】（1）分别求出B、D点的坐标，利用待定系数法求解析式即可求出直线BD的表达式；（2）设点E的坐标为，利用求出t值，即可得出E点坐标；（3）设点F的坐标为，分三种情况进行讨论，得出结果即可．(1)∵，由题可得，∴，，又∵点D是AC的中点，∴，∴设直线BD的表达式为：代入B，D可得：，解得：，，∴直线BD的表达式为：．(2)设点E的坐标为，∵四边形ABCE是平行四边形，∴，∴，，∴点E的坐标为．(3)∵点F在BD上，∴设点F的坐标为，∴．，∵是以AC为腰的等腰三角形，∴当时，则，∴，∴，解得：或．∴点F的坐标为：或，当时，则，∴，，解得：或，∴点F的坐标为或．∴综上，点F的坐标为或或或．【点睛】本题主要考查的是一次函数及其图像与平行四边形、等腰三角形的综合，分情况讨论是本题的关键．19．（2022春·上海奉贤·八年级校联考期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．（1）求证：BE＝CD；（2）若BF恰好平分∠ABE，连接AC、DE，求证：四边形ACED是平行四边形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB＝CD，∠DAE＝∠AEB，利用AE平分∠BAD，推出∠BAE＝∠AEB，得到BE=AB，即可得到结论；（2）根据BE＝AB，BF平分∠ABE，得到AF＝EF，证明△ADF≌△ECF，推出DF＝CF，即可得到结论．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC，AB＝CD∴∠DAE＝∠AEB∵AE平分∠BAD∴∠BAE＝∠DAE∴∠BAE＝∠AEB∴BE＝AB∴BE=CD（2）∵BE＝AB，BF平分∠ABE∴AF＝EF在△ADF和△ECF中∴△ADF≌△ECF∴DF＝CF又∵AF＝EF∴四边形ACED是平行四边形．【点睛】此题考查平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记各知识点并应用解决问题是解题的关键．20．（2022春·上海·八年级专题练习）平行四边形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知AB=8，AD=6，∠BAD=60°，点A的坐标为（-2，0）．求：（1）点C的坐标；（2）直线AC与y轴的交点E的坐标．【答案】（1）C(9，)；（2）E（0，）【分析】(1)过C作CH⊥x轴于点H,利用平行四边形的性质结合直角三角形的性质得出C点坐标;(2)利用待定系数法求出一次函数解析式，再利用x=0进而得出答案．【详解】解：（1）过C作CH⊥x轴于点H，∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD=AB=8，BC=AD=6，AB//DC，AD//BC．∴∠BAD=∠HBC∵∠BAD=60°，∴∠HBC=60°．∴BH=3，CH=．∵A（-2，0），∴AO=2．∴OB=6．∴OH=OB+BH=9．∴C(9，)．（2）设直线AC的表达式为：y=kx+b，把A（-2，0）和C(9，)代入，得∴，解得：

∴．∴E（0，）【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质和待定系数法求一次函数解析式，正确掌握平行四边形的性质是解题关键．21．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，在直角坐标系xOy中，点A（2，0）和点B（﹣2，0），直线BC与y轴正半轴交于点C（0，b），过点A作AD⊥BC，垂足为D，连接OD．(1)求OD的长；(2)当∠ODA＝30°时，求点C的坐标；(3)在（2）的条件下，已知点E在直角坐标平面内，如果以A、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点E的坐标．【答案】(1)2(2)(3)【分析】（1）根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，即可解决问题．（2）首先证明∠CBO＝60°，在Rt△OBC中，根据OC＝OB计算即可．（3）点E有三种可能，利用平行四边形的性质，以及中点坐标公式即可解决问题．（1）如图，连接OD，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∵A(2,0)，B(-2,0)，∴OA＝OB＝2，∴OD＝AB＝2．（2）∵∠ODA＝30°，OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD＝30°，∴∠OBD＝60°，在Rt△OBC中，OC＝OB＝2，∴C（0，2）．（3）∵四边形ADCE1是平行四边形，∴CM＝AM，DM＝ME1，∵C（0，2），A（2，0），M为AC中点，∴利用中点坐标公式可得M（1，），∴再逆用中点坐标公式可得E1（3，），同法可得E2（﹣3，3），E3（1，﹣）．【点