二绝对值不等式的解法 省赛获奖

第二课时

课前自主学案课堂互动讲练知能优化训练第二课时学习目标学习目标掌握常见不等式|x－c|＋|x－b|≥a的解法．并会运用分段讨论法、图象法和几何法来求解．课前自主学案1．一般地说，解含绝对值不等式的基本思想是______________，就是采用正确的方法，化去绝对值符号，方法有公式法(同解原理法：如|f(x)|<g(x)⇔－g(x)<f(x)<g(x)，不必讨论g(x)的正负)、平方法、分段讨论法等．2．运用分段讨论法解绝对值符号里是一次式的不等式(特别是含两个或两个以上绝对值符号的)，其一般步骤是：去掉绝对值符号(1)令每个绝对值里的代数式______，并求出相应的根(又叫零点)；(2)把这些根按____________________，把不等式的存在域(未知数的取值范围)分成若干段；(3)在每一段上去掉______符号组成若干个不等式(组)，解这些不等式(组)，求出交集；值为0由小到大排列在数轴上绝对值(4)取这些不等式(组)的解集的____就是原不等式的解集．在变形的过程中要特别注意保证同解，还要注意步骤的简捷与表达的明晰．区别“并”还是“交”的关键是“或”还是“且”，同时还要分清端点是否包括．并集3．解|x－a|＋|x－b|≥c、|x－a|＋|x－b|≤c型不等式，除分段讨论法外，还可用________________(课本上叫做图象法、几何法)．函数法或几何意义思考感悟|x|以及|x－a|±|x－b|表示的几何意义是什么？提示：|x|表示数轴上的点x到原点0的距离；|x－a|±|x－b|表示数轴上的点x到点a、b的距离之和(差)．课堂互动讲练解不等式|x－1|＋|x－2|>2.【思路点拨】可用零点分段讨论，可用图象法，也可用绝对值几何意义求解．考点一形如|x＋m|±|x＋n|<(或>)a的不等式的求解考点突破例1其图象如图．【名师点评】法一关键是找零点，法二关键是正确作出图象．变式训练1解不等式：|x＋2|－|x－1|<2x.解不等式|x－1|＋|2－x|>3＋x.考点二形如|x＋m|±|x＋n|<(或>)x＋p的不等式的解法例2【解】原不等式变为|x－1|＋|x－2|>3＋x，当x≥2时，原不等式变为x－1＋x－2>3＋x，即x>6，∴x>6；当1≤x<2时，原不等式变为x－1－(x－2)>3＋x，即x<－2，∴x∈∅；当x<1时，原不等式变为－(x－1)－(x－2)>3＋x，即x<0，∴x<0.综上可知，原不等式解集为{x|x<0或x>6}．【名师点评】以上例题用的解法叫零点分段讨论法，含绝对值两个或两个以上的不等式常用此法．首先找到使每个绝对值等于零的点，然后分段讨论，再求各段结果的并集．一般地，n个零点把数轴分成n＋1段．变式训练2解不等式：|x－1|＋|3x＋5|≤4x＋4.当x≥1时，有x－1＋3x＋5≤4x＋4.∴4≤4成立，∴原不等式解集为{x|x≥1}．(1)对任意x∈R，若|x－3|＋|x＋2|>a恒成立，求实数a的取值范围．(2)关于x的不等式a>|x－3|＋|x＋2|的解集非空，求实数a的取值范围．(3)关于x的不等式a>|x－3|＋|x＋2|在R上无解，求实数a的取值范围．考点三形如|x＋m|±|x＋n|<(或>)a恒成立的问题例3【思路点拨】对(1)来说，a<f(x)对x∈R恒成立等价于a<f(x)的最小值，求f(x)的最小值，只需使用含绝对值的重要不等式|x－3|＋|x＋2|≥|(x－3)－(x＋2)|＝5，求出|x－3|＋|x＋2|的最小值，则问题获解．对(2)(3)来说，问题的关键是如何转化，是求函数f(x)＝|x－3|＋|x＋2|的最大值还是最小值．【解】

(1)∵f(x)＝|x－3|＋|x＋2|≥|(x－3)－(x＋2)|＝5，即f(x)min＝5，∴a<5.(2)问题可转化为a>f(x)的某些值，由题意a>f(x)min，同上得a>5.(3)问题可转化为对一切x∈R恒有a≤f(x)⇔a≤f(x)min，可知a≤5.【名师点评】解关于恒成立问题时注意等价转化思想的应用．f(x)<a恒成立⇔f(x)max<a.f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a.变式训练3若不等式|x＋3|－|x－5|<m对x∈R恒成立，则m的取值范围为________．解析：|x＋3|－|x－5|≤|x＋3－x＋5|＝8，∴|x＋3|－|x＋5|的最大值为8，∴m>8.答案：(8，＋∞)求使不等式|x－4|＋|x－3|<a有解的a的取值范围．【错解】

∵|x－4|＋|x－3|≥|x－4＋3－x|＝1.∴|x－4|＋|x－3|有最小值为1.∴a<1时原不等式有解．【错因】

“|x－4|＋|x－3|<a有解”理解错．上述解法是无解的情况．例误区警示法二：设数x、3、4在数轴上对应的点分别为P、A、B，由绝对值的几何意义，知|PA|＋|PB|<a成立．又∵AB＝1，∴数轴上的点到A、B的距离之和大于等于1，即|x－4|＋|x－3|≥1.∴当a>1时，不等式有解．1．解含两个或两个以上绝对值的不等式的常见解法有：(1)分段讨论法；(2)图象法；(3)几何法，有时还可采用两边平方法．2．几何解法的关键是对绝对值几何意义的理解．例如|x－a|＋|x－b|<c

(c>0)的解集为到A(a)，B(b)距离之和小于c的全体．3．因为