中考数学一轮复习知识点+题型专题讲义19-轴对称与等腰三角形(学生版)

实用文档专题19轴对称与等腰三角形考点总结【思维导图】【知识要点】知识点1图形的轴对称轴对称概念：有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．轴对称的性质：关于某条直线对称的两个图形是全等形。如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所在连线段的垂直平分线。轴对称图形概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。（对称轴必须是直线）轴对称图形的性质（重点）：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。轴对称与轴对称图形的联系与区别画一图形关于某条直线的轴对称图形步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点。用坐标表示轴对称：1、点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（-x，y）；2、点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（x，-y）；1．（2017·重庆中考模拟）下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是()A． B． C． D．2．（2018·河北中考真题）图中由“○”和“□”组成轴对称图形，该图形的对称轴是直线（）A．l1 B．l2 C．l3 D．l43．（2019·内蒙古中考真题）甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（）A． B． C． D．4．（2018·重庆中考真题）下列图形中一定是轴对称图形的是（）A． B．C． D．5．（2019·山东中考真题）下列图形：其中是轴对称图形且有两条对称轴的是（）A．①② B．②③ C．②④ D．③④考查题型一画对称轴的方法1．（2016·甘肃中考真题）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（0，1），B（3，2），C（1，4）均在正方形网格的格点上．（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；（2）将△A1B1C1沿x轴方向向左平移3个单位后得到△A2B2C2，写出顶点A2，B2，C2的坐标．2．（2019·广西中考模拟）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A，B的坐标分别为（－4，5），（－2，1）．（1）写出点C及点C关于y轴对称的点C′的坐标；（2）请作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′；（3）求△ABC的面积．3．（2019·甘肃中考模拟）在的正方形格点图中，有格点和，且和关于某直线成轴对称，请在备用图中画出4个这样的．考查题型二根据轴对称求坐标或字母的取值范围1．（2013·江苏中考真题）已知点P（3，2），则点P关于y轴的对称点P1的坐标是，点P关于原点O的对称点P2的坐标是．2．在直角坐标系中，已知点P（-4a，7），Q（8，b+2）根据条件，求a，b值1）P,Q关于x轴对称2）P,Q关于y轴对称考查题型三利用轴对称解决折叠问题1．（2018·黑龙江中考模拟）如图，将一个矩形纸片ABCD，沿着BE折叠，使C、D两点分别落在点、处若，则的度数为A． B． C． D．2．（2019·山东中考真题）小明将一张正方形纸片按如图所示顺序折叠成纸飞机，当机翼展开在同一平面时(机翼间无缝隙)，的度数是________.3．（2017·内蒙古中考模拟）把一张长方形纸条按如图所示折叠后，若∠AOB′＝70°，则∠B′OG＝_____．4．（2012·江苏中考模拟）如图，△ABC中，AC＝BC，把△ABC沿AC翻折，点B落在点D处，连接BD，若∠ACB＝100°，则∠CBD＝_________°考查题型四利用轴对称解决几何最值问题1．（2019·吉林东北师大附中中考模拟）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点。点、、、均落在格点上.在图①、图②给定的网格中按要求作图.（1）在图①中的格线上确定一点，使与的长度之和最小;（2）在图②中的格线上确定一点，使.要求：只用无刻度的直尺，保留作图痕迹，不要求写出做法.2．（2019·余干县瑞洪中学中考模拟）如图,根据要求画图(保留画图的痕迹,可以不写结论)(1)画线段AB；(2)画射线BC；(3)在线段AB上找一点P，使点P到A．B．C三点的距离和最小,并简要说明理由．3．（2019·天津中考模拟）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，点E是AC边的中点，点P是AD上的一个动点，当PC+PE最小时，∠CPE的度数是（）A．30° B．45° C．60° D．90°知识点2线段的垂直平分线概念：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）性质：线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．三角形三边的垂直平分线的性质：三角形三边垂直平分线相交于一点，这点到三个顶点的距离相等。交点叫做三角形的外心。考查题型五利用线段的垂直平分线性质解题1．（2019·北京市通州区姚村中学中考模拟）已知如图，在△ABC中，∠B＝45°，点D是BC边的中点，DE⊥BC于点D，交AB于点E，连接CE．（1）求∠AEC的度数；（2）请你判断AE、BE、AC三条线段之间的等量关系，并证明你的结论．2．（2017·福建中考模拟）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交BC于点D，交AB延长线于点E,连接CE。求证：∠BCE=∠A+∠ACB．3．（2014·福建中考模拟）如图，已知DE是AC的垂直平分线，AB=10cm，BC=11cm，则△ABD的周长为__cm．考查题型六证明某直线是一条线段的垂直平分线1．（2019·上饶市第二中学初二期中）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．（1）若∠BAC=50°，求∠EDA的度数；（2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．2．（2018·广东初二期中）如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．（1）求证：OD=OC；（2）求证：OE是CD的垂直平分线；（3）若∠AOB=60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．考查题型七垂直平分线与角平分线相结合解题1．（2019·河北锦玉中学初二期中）如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE与∠BAC的平分线交于点E，EF⊥AB交AB的延长线于点F，EG⊥AC于点G．求证：（1）BF＝CG；（2）AB+AC＝2AF．2．如图，已知在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE是BC的垂直平分线．试说明BC＝2AB．知识点3等腰三角形等腰三角形概念：有两边相等的三角形角等腰三角形。等腰三角形性质：1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。（三线合一）等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.考查题型八利用等腰三角形的概念解题1．（2018·辽宁中考模拟）若等腰三角形的一个外角等于140°，则这个等腰三角形的顶角度数为（）A．40°B．100°C．40°或70°D．40°或100°2．（2018·陕西中考模拟）等腰三角形的周长为16，其一边长为6，那么它的底边长为（）A．4或6 B．4 C．6 D．53．（2018·湖南中考模拟）一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为（）A．12 B．16 C．20 D．16或204．（2017·湖北中考模拟）等腰三角形的一个角是80°，则它的顶角的度数是（）A．80° B．80°或20° C．80°或50° D．20°5．（2016·贵州中考真题）已知x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A．20或16 B．20 C．16 D．以上答案都不对考查题型九利用等腰三角形的性质求角的度数1．（2017·山东中考真题）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝DC，BD＝BA，则∠B的大小为()A．40° B．36° C．30° D．25°2．（2019·新疆中考模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=70°，△AB′C′与△ABC关于直线EF对称，∠CAF=10°，连接BB′，则∠ABB′的度数是（）A．30° B．35° C．40° D．45°3．（2015·广西中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，AB的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，则∠BAE=（）A．80° B．60° C．50° D．40°4．（2018·内蒙古中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，△ADE的顶点D，E分别在BC，AC上，且∠DAE=90°，AD=AE，若∠C+∠BAC=145°，则∠EDC的度数为（）A．17.5° B．12.5° C．12° D．10°5．（2019·北京中考模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，点E分别是BC，AC上一点，且DE⊥AD．若∠BAD＝55°，∠B＝50°，求∠DEC的度数．考查题型十利用等腰三角形性质定理证明角度相等的方法1．（2016·广东中考模拟）如图，在∆ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E.求证：∠CBE=∠BAD．2．（2019·四川中考真题）如图，在四边形中，，点是的中点，．求证：．考查题型十一利用等角对等边证明线段/角度相等1．（2019·陕西中考模拟）如图，∠AEF＝∠AFE，AC＝AD，CE＝DF，求证：∠C＝∠D．考查题型十二等腰三角形与角平分线、平行线相结合解题1．（2018·靖远县靖安中学中考模拟）如图，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，且MN∥BC，设AB＝12，BC＝24，AC＝18，则△AMN的周长为（）A．30 B．36 C．42 D．182．（2018·广西中考模拟）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，若AB=4，AD=2，则△AED的周长是（）A．6 B．7 C．8 D．103.（2019·重庆中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．（1）若∠C=36°，求∠BAD的度数．（2）若点E在边AB上，EF//AC叫AD的延长线于点F．求证：FB=FE．4．（2018·浙江中考模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，交AC于点E．（1）求证：DE=CE．（2）若∠CDE=35°，求∠A的度数．等边三角形概念：三条边都相等的三角形，叫等边三角形。它是特殊的等腰三角形。等边三角形性质和判定：（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60º。（2）三个角都相等的三角形是等边三角形。（3）有一个角是60º的等腰三角形是等边三角形。（4）在直角三角形中，如果一个锐角等于30º，那么它所对的直角边等于斜边的一半。（补充：（1）三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离等。（2）三角形三个边的中垂线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。（3）常用辅助线：=1\*GB3①三线合一；=2\*GB3②过中点做平行线考查题型十三利用等边三角形性质进行计算1．（2018·山东中考模拟）如图：已知等边中，是的中点，是延长线上的一点，且，，垂足为，求证：是的中点．2．（2019·太仓市陆渡中学中考模拟）如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D是AB上一点，过点D作DE⊥BC交BC于点E，交CA延长线于点F．（1）证明：△ADF是等腰三角形；（2）若∠B＝60°，BD＝4，AD＝2，求EC的长，3．（2016·宁夏中考真题）在等边△ABC中，点D，E分别在边BC、AC上，若CD=2，过点D作DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，求EF的长．考查题型十四等边三角形性质在全等证明中的应用1．（2018·西安电子科技大学附属中学太白校区中考模拟）已知：如图