椭圆、双曲线的离心率取值范围求解方法

PAGEPAGE4椭圆、双曲线的离心率取值范围求解方法一、利用三角形三边的关系建立不等关系（但要注意可以取到等号成立）例1：双曲线的两个焦点为，若为其上一点，且，则双曲线离心率的取值范围为（）A.(1,3) B. C.(3,+) D.【解析】，，（当且仅当三点共线等号成立）,选B例2、如果椭圆上存在一点P，使得点P到左准线的距离与它到右焦点的距离相等，那么椭圆的离心率的取值范围为 （）A． B． C． D．[解析]设，由题意及椭圆第二定义可知（当且仅当三点共线等号成立），把代入化简可得又,选B二、利用三角函数有界性结合余弦定理建立不等关系例1：双曲线的两个焦点为，若为其上一点，且，则双曲线离心率的取值范围是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．【解析】设，，当点在右顶点处，．．三、利用曲线的几何性质数形结合建立不等关系例1：双曲线的两个焦点为，若为其上一点，且，则双曲线离心率的取值范围为（）A.(1,3) B. C.(3,+) D.解：,,即在双曲线右支上恒存在点使得可知，又,选B例2．已知双曲线的左、右焦点分别是F1、F2，P是双曲线右支上一点，P到右准线的距离为d，若d、|PF2|、|PF1|依次成等比数列，求双曲线的离心率的取值范围。

解：由题意得因为，所以，从而

，。又因为P在右支上，所以。

。。例3．椭圆的右焦点，其右准线与轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）解析：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点，即F点到P点与A点的距离相等，而|FA|＝w|PF|∈[a－c,a＋c]于是∈[a－c,a＋c]即ac－c2≤b2≤ac＋c2∴m又e∈(0,1)故e∈答案：D 例4、已知双曲线的左、右焦点分别为．若双曲线上存在点使，则该双曲线的离心率的取值范围是．【解析】（由正弦定理得），，．又，，，由双曲线性质知，，即，得，又，得．例5、设椭圆的左右焦点分别为，如果椭圆上存在点P，使∠=900，求离心率e的取值范围。

解析：∵P点满足∠F1PF2=90°，∴点P在以F1F2为直径的圆上又∵P是椭圆上一点，∴以F1F2为直径的圆与椭圆有公共点，∵F1、F2是椭圆的焦点∴以F1F2为直径的圆的半径r满足：r=c≥b，两边平方，得c2≥b2即c2≥a2-c2例2、已知双曲线与直线：交于P、Q两个不同的点，求双曲线离心率的取值范围。解析：把双曲线方程和直线方程联立消去得：时，直线与双曲线有两个不同的交点则，，即且，所以，即且。

五、利用均值不等式建立不等关系例1、已知椭圆(a＞b＞0)的两个焦点为F1，F2，P为椭圆上一点，∠F1PF2=60°则椭圆离心率e的取值范围；解：设|PF1|=m，|PF2|=n则根据椭圆的定义，得m+n=2a，①又∵△F1PF2中，∠F1PF2=60°∴由余弦定理，得m2+n2-mn=4c2．②①②联解，得mn＝

又∵mn≤＝a2，∴≤a2，化简整理，得a2＜4c2，解之得≤e＜1

例2、已知点在双曲线的右支上，双曲线两焦点为，最小值是，则双曲线离心率的取值范围。解析：，由均值定理知：当且仅当时取得最小值，又所以，则。例3、设椭圆的左右焦点分别为，如果椭圆上存在点P，使∠=900，则离心率e的取值范围。解析：由椭圆定义，有平方后得六、利用二次函数的性质建立不等关系设，则双曲线的离心率的取值范围是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．【解析】．，根据二次函数值域可得．七、利用非负数性质例已知过双曲线左焦点的直线交双曲线于P、Q两点，且（为原点），则双曲线离心率的取值范围。解析：设，过左焦点的直线方程：，代入双曲线方程得：，由韦达定理得：，，由OP⊥OQ得，即：，解得：，因为，所以，则，所以。练习1、设F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠F1PF2=120°，则椭圆的离心率的取值范围是（A）A．[，1)B.（，1)C.(0，)D.(0，]解：设，P（x1，y1），F1（-c，0），F2（c，0），c＞0，则|PF1|=a+ex1，|PF2|=a-ex1．

在△PF1F2中，由余弦定理得cos120°＝，解得x12＝．∵x12∈（0，a2]，

∴4c2-3a2≥0．且e2＜1∴e∈[，1)2、设分别是椭圆的左、右焦点，若在其右准线上存在点，使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．【解析】设若为右准线与轴的交点，可知，即，又在右准线上可知，所以离心率的取值范围为．3、椭圆的焦点为，两条准线与轴的交点分别为．若，则该椭圆离心率的取值范围是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．【解析】因为两准线距离为，又因为，所以有，即，所以．4、已知双曲线的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ． 【解析】如图与分别为与双曲线的渐近线平行的两条直线，直线为过且倾斜角为的直线，要使与双曲线的右支有且只有一个交点，则应使．．5、设点P在双曲线的右支上，双曲线两焦点，，求双曲线离心率的取值范围。解析1：由双曲线第一定义得：，与已知联立解得：，由三角形性质得：解得：。解析2：，点P在双曲线右支上由图1可知：，，即，两式相加得：，解得：。6、已知双曲线的左、右焦点分别为．若双曲线上存在点使，则该双曲线的离心率的取值范围是．【解析】因为在中，由正弦定理得则由已知，得，即，且知点P在双曲线的右支上，设点由焦点半径公式，得则解得由双曲线的几何性质知，整理得解得，故椭圆的离心率7、若点O和点分别是双曲线的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则的取值范围为()A.B.C.D.解析:因为是已知双曲线的左焦点，所以，即，所以双曲线方程为，设点P，则有，解得，因为，，所以=，此二次函数对应的抛物线的对称轴为，因为，所以当时，取得最小值，故的取值范围是，选B。7、已知分别是双曲线的左、右焦点，过作垂直于轴的直线交双曲线于A、B两点，若为锐角三角形，则双曲线的离心率的范围是20080418（A）20080418A． B． C. D．8、已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为。【解析】如图，,作轴于点D1,则由，得,所以,即,由椭圆的第二定义得又由,得,整理得.两边都除以,得,解得.9、已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点．若，则（）（A）1（B）（C） （D）2【解析】设直线l为椭圆的有准线，e为离心率，过A，B分别作AA1，BB1垂直于l，A1，B为垂足，过B作BE垂直于AA1与E，由第二定义得，，由，得，∴即k=，故选