回热器中气体微团的热力过程和循环

回热器中气体微团的热力过程和循环

1交变流动热机的热声分析方法基于交变流的想法有很多，新的形式也出现了。随着航空航天技术,信息技术以及生物工程技术的快速发展,它们在国防以及国民经济的发展中的应用越来越广,并且往往具有举足轻重的影响。交变流动热机主要包括传统的回热式热机以及最近得到迅速发展的热声热机,如斯特林发动机和制冷机,V-M制冷机,G-M制冷机,脉管制冷机以及各类热声制冷机等。这些热机的结构形式虽然相当不同,但它们具有一个共同的特点是:它们都是基于可压缩流体的交变流动来工作。与一些基于稳态流动的热机相比,交变流动热机的热力过程具有显著的不同,最明显的不同体现在:基于稳态流动的热机系统的任意一个微团从原理上经历了完全相同的热力过程和热力循环,而基于交变流动的热机则不然,几乎没有任何一个微团会经历相同的热力过程和热力循环。传统的热力分析方法总是试图将交变流动系统的所有微团假象为一个性质均一的整体,并认为它们经历完全相同的热力过程和热力循环,显然,这与交变流动热机真实的热力过程不符,所以,尽管回热式热机经过了上百年的发展,其本质的物理工作机理并未获得全面而准确的认识。热声理论的提出和发展促进了对交变流动热机工作机理的深刻认识,揭示了交变流动热机的一些重要工作规律,并且较好地处理了系统中存在的传热不可逆性以及流动不可逆性。然而,基于欧拉法分析视角的热声分析法也有其不足之处,体现在热声理论是通过考察固定位置处流体热力参数的变化规律以及其时均能量效应来分析交变流动热机的热力性能,而不是通过分析气体本身的热力过程和热力循环,因而对物理上的工作机理解释得并不直观清楚。本文基于拉格朗日法,建立了相应的物理模型和数学模型,通过考察微团的热力过程和热力循环来分析发动机中回热器的工作机制,清楚地阐明发动机中回热器的产功机制,对深入理解交变流动热机的工作具有很好的启发意义。2回热器的热特性与文献类似,本文将采用拉格朗日法分析理想发动机回热器的本质工作机理。为此,作如下一些假设:(1)与气体介质的热容相比,回热器的固体介质具有无限大的热容;(2)气体微团往复运动,与固体介质具有理想的换热,因此,气体微团随时能与固体介质保持热的平衡;(3)气体是无粘性的理想气体,因此,流动是无粘的;(4)与回热器相接触的两端是两个理想的等温空间。在以上假设下,回热器不存在任何损失,其工作过程将是热力学可逆的。图1是理想发动机回热器的物理模型示意图,声功是自左至右传播的,因此,左边是回热器的室温端,右边是回热器的高温端。回热器中的气体微团在其平衡位置往复运动。首先分析一般声场的情况,即压力波和速度波的相位夹角为θ的情况,由于声功是从左向右传播的,因此θ介于(-90°,90°)之间。然后,再讨论两种极端的工作情况:纯行波和纯驻波的情况,即压力波和速度波的夹角分别为0°和90°。2.1气体微团的热力过程由于压力波和速度波之间具有一定的相位夹角θ(-π/2<θ<π/2),如以速度相位为基准,它们可用如下的函数表示:p(t)=p0+pdsin(ωt+θ)(1)u(t)=udsinωt(2)同时,可以得到微团的位置随时间的变化关系如下:X(t)=∫udt=-uωcosωt=-Xdcosωt(3)图2是微团压力和位置随时间的变化关系。微团瞬态温度随时间变化的函数关系为Τ(t)=Τ[X(t)]=Τ0+dΤ0dxX(t)=Τ0+dΤ0dx(-udωcosωt)=Τ0-Τdcosωt(4)在(4)式中,Td>0。有了微团在任意时刻的压力和温度后,根据理想气体状态方程,可以得到微团的密度和相应的比容ρ(t)=p(t)RΤ(t)=p0RΤ0[1+pdp0sin(ωt+θ)+ΤdΤ0cosωt](5)V(t)=RΤ0p0[1-ΤdΤ0cosωt-pdp0(ωt+θ)](6)此外,利用理想气体,可以进一步导出气体微团的比熵为s(t)=cplnΤΤref-Rlnppref=cpln(Τ0-Τdcosωt)Τref-Rln[p0+pdsin(ωt+θ)]pref(7)根据表达式(1)、(6)和表达式(4)、(7),可以得到气体微团的p-V图和T-S图。其中图3a至图6b是压力波超前速度的情况,而图7a至图10b是压力波落后速度波的情况。将一个周期分为4等份,这4个时间段与微团位置的对应关系仍为(1)0<ωt<π/2,此时微团从左侧的极端位置向右运动,并到达平衡位置。它所经历的过程记为热力过程1;(2)π/2<ωt<π,此时微团从平衡位置向右运动,并到达右端的极限位置。它所经历的过程记为热力过程2;(3)π<ωt<3π/2,此时微团从右端的极限位置向平衡位置运动,并重新到达平衡位置。它所经历的过程记为热力过程3;(4)3π/2<ωt<2π此时微团从平衡位置回到左端的极限位置。它所经历的过程记为热力过程4。至此,微团从左向右(高温端向低温端运动),并从右向左(低温端向高温端)往复运动,完成一次完整的热力循环。微团从时间从t1到t2时间段内所做的p-V功可以按如下式子求出:W(t)=∫t2t1pdV=∫t2t1[p0+pdsin(ωt+θ)]d{RΤ0p0[1-ΤdΤ0cosωt-pdp0sin(ωt+θ)]}=ωRΤ0∫t2t1[1+pdp0sin(ωt+θ)][ΤdΤ0sinωt-pdp0cos(ωt+θ)]dtωRΤ0{(t12pdp0ΤdΤ0cosθ)+[-1ωΤdΤ0cosωt-1ωpdp0sin(ωt+θ)]+[-14ωpdp0ΤdΤ0sin(2ωt+θ)+14ω(pdp0)2cos(2ωt+2θ)]}|t2t1(8)根据(8)式可以很容易地分析每一热力过程与外界进行的功量交换(这里所说的外界是指与该气团相邻的其它气体微团和固体介质)。结合理想气体的内能是热力学状态函数,可以进一步分析每一热力过程的放热或者吸热情况。热力过程1(0＜ωt＜π2):气体微团从其左侧的极限位置运动到平衡位置。从图2中可以看出,压力从p0+pdsinθ变化为p0+pdcosθ,而温度则从T0-Td变为T0。在此过程中,气体微团同时与外界(接触的固体介质以及左右两侧的气体微团)发生热量和功量的交换。微团与外界交换的功为ΔW1=∫π/2ω0pdV=RΤ0{(π4pdp0ΤdΤ0cosθ)+[ΤdΤ0-pdp0(cosθ-sinθ)]-[12(pdp0)2cos2θ-12pdp0ΤdΤ0sinθ]}(9)微团内能的变化为Δu1=cVTd(10)根据热力学第一定律,可以得到气体与外界交换的热量为Δq1=Δu1+ΔW1=cpΤd+RΤ0{(π4pdp0ΤdΤ0cosθ)+[-pdp0(cosθ-sinθ)]-[12(pdp0)2cos2θ-12pdp0ΤdΤ0sinθ]}(11)热力过程2(π/2<ωt<π):气体微团从平衡位置向右侧的极限位置运动,压力从p0+pdcosθ变化为p0-pdsinθ,而温度则从T0进一步上升为T0+Td。根据表达式(8),可以得到这一阶段气体微团与外界交换的功量为ΔW2=∫π/ωπ/2ωpdV=RΤ0{(π4pdp0ΤdΤ0cosθ)+[ΤdΤ0+pdp0(sinθ+cosθ)]+[12(pdp0)2cos2θ-12pdp0ΤdΤ0sinθ]}(12)微团内能的变化为Δu2=cVTd(13)根据热力学第一定律,可以得到微团与外界交换的热量为Δq2=cpΤd+RΤ0{(π4pdp0ΤdΤ0cosθ)+[pdp0(sinθ+cosθ)]+[12(pdp0)2cos2θ-12pdp0ΤdΤ0sinθ]}(14)热力过程3(π<ωt<3π/2):气体微团从其右侧的极限位置运动到平衡位置。从图2中可以看出,压力从p0-pdsinθ变化为p0-pdcosθ,而温度则从T0+Td开始回复到T0。气体微团与外界交换的功为ΔW3=∫3π/2ωπ/ωpdV=RΤ0{(π4pdp0ΤdΤ0cosθ)+[(-ΤdΤ0+pdp0(cosθ-sinθ)]-[12(pdp0)2cos2θ-12pdp0ΤdΤ0sinθ]}(15)气体微团内能的变化Δu3=-cVTd(16)气体微团与外界交换的热量为Δq3=-cpΤd+RΤ0{(π4pdp0ΤdΤ0cosθ)+[pdp0(cosθ-sinθ)]-[12(pdp0)2cos2θ-12pdp0ΤdΤ0sinθ]}(17)热力过程4(3π/2<ωt<2π):气体微团从平衡位置返回到左侧的极限位置。从图2中可以看出,压力从p0-pdcosθ变化为p0+pdsinθ,而温度则从T0变为T0-Td。气体微团与外界交换的功为ΔW4=∫2π/ω3π/2ωpdV=RΤ0{(π4pdp0ΤdΤ0cosθ)+[(-ΤdΤ0-pdp0(cosθ+sinθ)]+[12(pdp0)2cos2θ-12pdp0ΤdΤ0sinθ]}(18)气体内能的变化为Δu4=-cVTd(19)气体微团与外界交换的热量为Δq4=-cpΤd+RΤ0{(π4pdp0ΤdΤ0cosθ)+[-pdp0(cosθ+sinθ)]+[12(pdp0)2cos2θ-12pdp0ΤdΤ0sinθ]}(20)热力过程1至热力过程4组成了回热器中部微团的一个完整的微热力循环过程。在整个循环过程中,微团与外界交换的净功为∑ΔW=ΔW1+ΔW2+ΔW3+ΔW4=πRΤ0pdp0ΤdΤ0cosθ(21)(21)式大于0,表明微团产生的功。微团在平衡位置的右侧(高温侧)与固体介质净的热交换量为Δqh=q2+q3=RΤ0[π2pdp0ΤdΤ0cosθ+2pdp0cosθ)]=2RΤ0pdp0cosθ(1+π2ΤdΤ0)(22)微团在平衡位置的左侧(低温侧)与固体介质净的热交换量为Δqc=q1+q4=RΤ0(π2pdp0ΤdΤ0cosθ-2pdp0cosθ)=-2RΤ0pdp0cosθ(1-π4ΤdΤ0)(23)显然,(22)式中微团的换热量小于0(注:因为规定了声功自左至右传播,故-π/2≤θ≤π/2,从而cosθ≥0),表明微团在平衡位置(高温侧)是吸热的,而(23)式微团与外界的换热量小于0,表明微团在平衡位置左侧(低温侧)是放热的,且容易看出,微团在高温侧的吸热量大于在低温侧的放热量,二者的差值为πRΤ0pdp0ΤdΤ0cosθ,它正好等于微团在一个周期内产生的功。由此可见,微团完成了一个产生功的热力循环过程。它有压缩过程、放热过程、膨胀过程和吸热过程,同时,还包含了传统意义上回热过程。b.平衡位置处于与室温环境交界面上的气体微团对于这一截面上的气体微团,其压力波和速度波随时间的函数关系仍然由方程(1)和(2)所表达。同样,微团的位置也有如方程(3)所示的形式。但是,对热力过程1和热力过程4,气体微团处于环境温度Te的等温腔,因此,其温度变化随时间的关系可如下表示:Τ(t)={Τe(0＜ωt＜π/2)Τe-Τdcosωt(π/2＜ωt＜π)Τe-Τdcosωt(π＜ωt＜3π/2)Τe(3π/2＜ωt＜2π)(24)根据(24)式可以求出气体微团的体积变化:V(t)={RΤep0[1-pdp0sin(ωt+θ)](0＜ωt＜π/2)RΤep0[1-ΤdΤecosωt-pdp0sin(ωt+θ)](π/2＜ωt＜π)RΤep0[1-ΤdΤecosωt-pdp0sin(ωt+θ)](π＜ωt＜3π/2)RΤep0[1-pdp0sin(ωt+θ)](3π/2＜ωt＜2π)(25)气体微团的比熵可按照以下式子求出:s(t)=cplnΤ(t)Τref-Rlnp(t)pref(26)气体微团与外界交换的p-V功按下式求出:W(t)=∫pdV(27)同样,可以分析气体微团在4个热力过程中所发生的能量转换过程。热力过程1(0＜ωt＜π2):微团从左侧的极限位置运动到平衡位置,其温度始终处于环境温度Te,压力则从p0+pdsinθ变为p0+pdcosθ。显然,微团进行的是等温过程,但由于压力有上升和下降过程,因此同时存在压缩放热和膨胀吸热过程。这种工作状态是不利的,它降低了同等振荡幅度下的热声转换效应。在此热力过程,与外界交换的功为ΔW1=∫π/2ω0pdV=RΤe[-pdp0(cosθ-sinθ)-12(pdp0)2cos2θ](28)微团内能的变化为Δu1=0(29)根据热力学第一定律,可以得到气体与外界交换的热量为Δq1=Δu1+ΔW1=RΤe[-pdp0(cosθ-sinθ)-12(pdp0)2cos2θ](30)热力过程2(π/2<ωt<π):气体微团从平衡位置向右侧的极限位置运动,压力从p0+pdcosθ变化为p0-sinθ,而温度则从Te上升为Te+Td。根据表达式(8),可以得到这一阶段气体微团与外界交换的功量为ΔW2=∫π/ωπ/2ωpdV=RΤe{(π4pdp0ΤdΤecosθ)+[ΤdΤe+pdp0(sinθ+cosθ)]+[12(pdp0)2cos2θ-12pdp0ΤdΤesinθ]}(31)微团内能的变化为:Δu2=cVTd(32)根据热力学第一定律,可以得到微团与外界交换的热量为Δq2=cpΤd+RΤΗ{(π4pdp0ΤdΤΗcosθ)+[pdp0(sinθ+cosθ)]+[12(pdp0)2cos2θ-12pdp0ΤdΤΗsinθ]}(33)热力过程3(π<ωt<3π/2):气体微团从右侧的极限位置运动到平衡位置。从图2中可以看出,压力从p0-pdsinθ变化为p0-pdcosθ,而温度则从Te+Td开始下降到Te。气体微团与外界交换的功为ΔW3=∫π/ω3π/2ωpdV=RΤe{(π4pdp0ΤdΤecosθ)+[(-ΤdΤe+pdp0(cosθ-sinθ)]-[12(pdp0)2cos2θ-12pdp0ΤdΤΗsinθ]}(34)气体微团内能的变化为Δu3=-cVTd(35)气体微团与外界交换的热量为Δq3=-cpΤd+RΤe{(π4pdp0ΤdΤecosθ)+[pdp0(cosθ-sinθ)]-[12(pdp0)2cos2θ-12pdp0ΤdΤΗsinθ]}(36)热力过程4(3π/2<ωt<2π):气体微团从平衡位置返回到左侧的极限位置。从图2中可以看出,压力从p0-pdcosθ变化为p0+pdsinθ,而温度则保持为Te。气体微团与外界交换的功为ΔW4=∫3π/2ω2π/ωpdV=RΤe[-pdp0(cosθ+sinθ)]+12(pdp0)2cos2θ](37)气体内能的变化为Δu4=0(38)气体微团与外界交换的热量为Δq4=RΤe[-pdp0(cosθ+sinθ)+12(pdp0)2cos2θ](39)热力过程1至热力过程4组成了回热器与环境温度腔交界面处微团的一个完整的微热力循环过程。在整个循环过程中,微团与外界交换的净功为∑ΔW=ΔW1+ΔW2+ΔW3+ΔW4=π2RΤΗpdp0ΤdΤecosθ(40)(40)式中的功大于0,表明微团仍能产生功。微团在平衡位置的右侧(低温侧)与固体介质净的热交换量为Δqh=q2+q3=RΤecosθ(π2pdp0ΤdΤe+2pdp0)=2RΤepdp0cosθ(1+π4ΤdΤe)(41)微团在平衡位置的左侧(高温侧)与固体介质净的热交换量为Δqc=q1+q4=-2RΤepdp0cosθ(42)显然,(41)式中微团的换热量大于0,表明微团在平衡位置(低温侧)是吸热的,而(42)式微团与外界的换热量小于0,表明微团在平衡位置左侧是放热的,且容易看出,微团在高温侧的吸热量大于在低温侧的放热量,二者的差值为πRΤepdp0ΤdΤecosθ,它正好等于微团在一个周期内消耗的功。可见,这里的微团也完成了一个完整的产生功的热力循环过程。它有压缩过程、放热过程、膨胀过程和吸热过程,同时,还包含了传统意义上回热过程。c.平衡位置处于与低温换热器交界面上的气体微团对于这一截面上的气体微团,其压力波和速度波随时间的函数关系仍然由方程(1)和(2)所表达。同样,微团的位置也有如方程(3)所示的形式。但是,对热力过程1和热力过程4,气体微团处于低温等温腔,因此,其温度变化随时间的关系可表示如下:Τ(t)={ΤΗ-Τdcosωt(0＜ωt＜π/2)ΤΗ(π/2＜ωt＜π)ΤΗ(π＜ωt＜3π/2)ΤΗ-Τdcosωt(3π/2＜ωt＜2π)(43)根据(43)式可以求出气体微团的体积变化:V(t)={RΤΗp0[1-ΤdΤΗcosωt-pdp0sin(ωt+θ)](0＜ωt＜π/2)RΤΗp0[1-pdp0sin(ωt+θ)](π/2＜ωt＜π)RΤΗp0[1-pdp0sin(ωt+θ)](π＜ωt＜3π/2)RΤΗp0[1-ΤdΤΗcosωt-pdp0sin(ωt+θ)](3π/2＜ωt＜2π)(44)气体微团的比熵可按照以下式子求出:s(t)=cplnΤΤref-Rlnppref(45)气体微团与外界交换的p-V功按下式求出:W(t)=∫pdV(46)下面分析气体微团在4个热力过程中所发生的能量转换过程。热力过程1(0＜ωt＜π2):微团从左侧的极限位置运动到平衡位置,其温度从TH-Td上升为TH,压力则从p0+pdsinθ变为p0+pdconθ。微团与外界交换的功为ΔW1=∫0π/2ωpdV=RΤΗ{(π4pdp0ΤdΤΗcosθ)+[ΤdΤΗ-pdp0(cosθ-sinθ)]-[12(pdp0)2cos2θ-12pdp0ΤdΤΗsinθ]}(47)微团内能的变化为Δu1=cVTd(48)根据热力学第一定律,可以得到气体与外界交换的热量为Δq1=Δu1+ΔW1=cpΤd+RΤΗ[(π4pdp0ΤdΤΗcosθ)+[-pdp0(cosθ-sinθ)]-[12(pdp0)2cos2θ-12pdp0ΤdΤΗsinθ]}(49)热力过程2(π/2<ωt<π):气体微团从平衡位置向右侧的极限位置运动,压力从p0+pdcosθ变为p0-sinθ,温度则保持为TH。ΔW2=∫π/2ωπ/ωpdV=RΤΗ[pdp0(sinθ+cosθ)+12(pdp0)2cos2θ](50)微团内能的变化为Δu2=0(51)根据热力学第一定律,可以得到微团与外界交换的热量为Δq2=RΤΗ[pdp0(sinθ+cosθ)+12(pdp0)2cos2θ](52)热力过程3(π<ωt<3π/2):气体微团从其右侧的极限位置运动到平衡位置。从图2中可以看出,压力从p0-pdsinθ变为p0-pdcosθ,温度仍保持为TH。气体微团与外界交换的功为ΔW3=∫π/ω3π/2ωpdV=RΤΗ[pdp0(cosθ-sinθ)-12(pdp0)2cos2θ](53)气体微团内能的变化为Δu3=0(54)气体微团与外界交换的热量为Δq3=RΤΗ[pdp0(cosθ-sinθ)-12(pdp0)2cos2θ](55)热力过程4(3π/2<ωt<2π):气体微团从平衡位置返回到左侧的极限位置。从图2中可以看出,压力从p0-pdcosθ变为p0+pdsinθ,而温度则从TH变为TH-Td。气体微团与外界交换的功为ΔW4=∫3π/2ω2π/ωpdV=RΤΗ{(π4pdp0ΤdΤΗcosθ)+[(-ΤdΤΗ-pdp0(cosθ+sinθ)]+[12(pdp0)2cos2θ-12(pdp0ΤdΤΗsinθ]}(56)气体内能的变化为Δu4=-cVTd(57)气体微团与外界交换的热量为Δq4=-cpΤd+RΤΗ{(π4pdp0ΤdΤΗcosθ)+[-pdp0(cosθ+sinθ)]+[12(pdp0)2cos2θ-12pdp0ΤdΤΗsinθ]}(58)热力过程1至热力过程4组成了回热器与低温腔交界面处微团的一个完整的微热力循环过程。在整个循环过程中,微团与外界交换的净功为∑ΔW=ΔW1+ΔW2+ΔW3+ΔW4=π2RΤΗpdp0ΤdΤΗcosθ(59)在(59)式中,微团做功大于0,表明微团需要产生功。微团在平衡位置的右侧(低温侧)与固体介质净的热交换量为Δqh=q2+q3=2RΤΗpdp0cosθ(60)微团在平衡位置的左侧(高温侧)与固体介质净的热交换量为Δqc=q1+q4=-2RΤΗpdp0(1+π4)cosθ(61)显然,(60)式中微团的换热量大于0,表明微团在平衡位置右侧(高温侧)是吸热的,而(61)式微团与外界的换热量小于0,表明微团在平衡位置左侧(低温侧)是放热的,且容易看出,微团在高温侧的吸热量大于在低温侧的放热量,二者的差值为πRΤΗpdp0ΤdΤΗcosθ,它正好等于微团在一个周期内产生的功。可见,这里的微团也完成了一个完整的热力循环过程。2.2热交换量验证对于纯行波和纯驻波的情况,由于篇幅的限制,这里就不详细讨论每一个热力过程了。只关心微团在完成一个热力循环后净的能量效应,即在低温侧的净吸热量、在高温侧的净放热量以及净的功消耗量。对于纯行波的情况,只要令θ=