云南省2022年中考数学总复习训练-体验集训第二十三讲与圆有关的位置关系

1．(2021·长春中考)如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，若∠BAC＝35°，则∠ACB的大小为(C)A．35°B．45°C．55°D．65°【解析】∵BC是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，∴AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴∠ACB＝90°－∠BAC＝90°－35°＝55°.2．(2021·山西中考)如图，在⊙O中，AB切⊙O于点A，连接OB交⊙O于点C，过点A作AD∥OB交⊙O于点D，连接CD.若∠B＝50°，则∠OCD为(B)A．15°B．20°C．25°D．30°【解析】连接OA，如图，∵AB切⊙O于点A，∴OA⊥AB，∴∠OAB＝90°，∵∠B＝50°，∴∠AOB＝90°－50°＝40°，∴∠ADC＝eq\f(1,2)∠AOB＝20°，∵AD∥OB，∴∠OCD＝∠ADC＝20°.3．(2021·黄冈中考)如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，OE⊥AB交⊙O于点E，垂足为点D，AE，CB的延长线交于点F.若OD＝3，AB＝8，则FC的长是(A)A．10B．8C．6D．4【解析】由题知，AC为直径，∴∠ABC＝90°，∵OE⊥AB，∴OD∥BC，∵OA＝OC，∴OD为三角形ABC的中位线，∴AD＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)×8＝4，又∵OD＝3，∴OA＝eq\r(AD2＋OD2)＝eq\r(42＋32)＝5，∴OE＝OA＝5，∵OE∥CF，点O是AC中点，∴OE是三角形ACF的中位线，∴CF＝2OE＝2×5＝10.4．(2021·临沂中考)如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B，∠P＝70°，C为⊙O上一点，则∠ACB的度数为(C)A．110°B．120°C．125°D．130°【解析】如图所示，连接OA，OB，在优弧AB上取点D，连接AD，BD，∵AP，BP是⊙O切线，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴∠AOB＝360°－90°－90°－70°＝110°，∴∠ADB＝eq\f(1,2)∠AOB＝55°，又∵圆内接四边形的对角互补，∴∠ACB＝180°－∠ADB＝180°－55°＝125°.5．(2021·包头中考)如图，在▱ABCD中，AD＝12，以AD为直径的⊙O与BC相切于点E，连接OC.若OC＝AB，则▱ABCD的周长为24＋6eq\r(5)．【解析】连接OE，过点C作CF⊥AD交AD于点F，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，∴∠EOD＋∠OEC＝180°，∵⊙O与BC相切于点E，∴OE⊥BC，∴∠OEC＝90°，∴∠EOD＝90°，∵CF⊥AD，∴∠CFO＝90°，∴四边形OECF为矩形，∴FC＝OE，∵AD为直径，AD＝12，∴FC＝OE＝OD＝eq\f(1,2)AD＝6，∵OC＝AB＝CD，CF⊥AD，∴OF＝eq\f(1,2)OD＝3，在Rt△OFC中，由勾股定理得，OC2＝OF2＋FC2＝32＋62＝45，∴AB＝OC＝3eq\r(5)，∴▱ABCD的周长为12＋12＋3eq\r(5)＋3eq\r(5)＝24＋6eq\r(5).【素养提升题】(2021·河南中考)在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆”AP，BP的连接点P在⊙O上，当点P在⊙O上转动时，带动点A，B分别在射线OM，ON上滑动，OM⊥ON.当AP与⊙O相切时，点B恰好落在⊙O上，如图2.请仅就图2的情形解答下列问题：(1)求证：∠PAO＝2∠PBO；(2)若⊙O的半径为5，AP＝eq\f(20,3)，求BP的长．【解析】(1)如图①，连接OP，延长BO与圆交于点C，则OP＝OB＝OC，∵AP与⊙O相切于点P，∴∠APO＝90°，∴∠PAO＋∠AOP＝90°，∵MO⊥CN，∴∠AOP＋∠POC＝90°，∴∠PAO＝∠POC，∵OP＝OB，∴∠OPB＝∠PBO，∴∠POC＝∠OPB＋∠PBO＝2∠PBO，∴∠PAO＝2∠PBO；(2)如图②所示，连接OP，延长BO与圆交于点C，连接PC，过点P作PD⊥OC于点D，则有：AO＝eq\r(AP2＋OP2)＝eq\f(25,3)，由(1)可知∠POC＝∠PAO，∴Rt△POD∽Rt△OAP，∴eq\f(PD,PO)＝eq\f(PO,OA)＝eq\f(OD,AP)，即eq\f(PD,5)＝eq\f(5,\f(25,3))＝eq\f(OD,\f(20,3))，解得PD＝3，OD＝4，∴CD＝OC－OD＝1，在Rt△PDC中，PC＝eq\r(PD2＋CD2)＝eq