复变函数课件二(北京理工大学)

第二章解析函数

解析函数是复变函数研究的主要对象。本章首先介绍复变函数导数的概念，然后讨论复变函数在一点解析的概念和充要条件，最后介绍几个常见初等函数的解析性。11复变函数的导数2解析函数2§2-1复变函数的导数(1)导数的定义3注意4解5解67(2)可导与连续的关系函数f(z)在z0处可导，则在z0处一定连续,但函数f(z)在z0

处连续不一定在z0

处可导.8但二元函数u(x,y)=2x,v(x,y)=3y

连续，由连续性定理知，f(z)=2x+3yi连续。9(3)求导法则由于复变函数中导数的定义与一元实函数中导数的定义在形式上完全一致，同时，复变函数中的极限运算法则也和实函数中一样，因而实函数中的求导法则可推广到复变函数中，且证明方法相同，此处略.求导公式与法则:10111.可微的概念复变函数可微的概念在形式上与一元实变函数的微分概念完全一致。复变函数可微与可导是否也具有一元实变函数可微与可导的关系？二、微分的定义及其可微的充要条件12令13则且反过来可容易证明14与一元函数类似地,记152.复变函数在一点可导的充要条件Cauchy-Rieman方程16定理1复变函数点可导的充分必要条件是：⑴函数

与

在

可微．⑵在该点满足方程

当在可导时，它在该点的导数为条件（*）常称为柯西—黎曼方程（C.—R.方程）．1718推论设。若和在的四个一阶偏导函数在点均连续并且满足C-R方程，则在点处可导。注意1）在点可微等价于它在该点可导。但不等价于其实部函数与虚部函数在点可微。

2）一个二元实函数在某点可微的充分条件是：它的两个一阶偏导数在该点不仅存在，而且是连续。19(1)解析函数的定义

§2-2函数的解析性20复变函数在区域内解析与在该区域内可导是等价的.

复变函数在一点处解析必在该点处可导；反过来不一定成立，即复变函数在一点处可导，不一定在该点处解析.

事实上，复变函数在区域内解析显然在该区域内可导.

21定理1

函数的解析点一定是它的可导点．反之不真；点为函数的解析点的充分必要条件是点为其可导点所构成的集合的内点。推论1

若函数在某个区域内解析的充分必要条件为它在该区域内可导．推论2

复变函数不会只在有限个点或者一条曲线上解析，它的全体解析点的集合一定是开集。

22另外，由第1节的定理以及推论1，我们有定理2

函数在区域内解析等价于二元实函数和在区域内处处可微，并且满足C—R方程。此时，在区域内有

23例题例1

判定下列函数在何处可导,在何处解析:解不满足Cauchy-Riemann方程,此时24且四个偏导数均连续此时25四个偏导数均连续此时26此时27例2

判别函数的可导点和解析点。

这四个偏导数都连续，u(x,y)和v(x,y)处处可微，其C-R方程只在直线y=x上成立。于是函数f(z)仅在直线y=x上可导，f(z)在复平面内处处不解析。此时28例3

解29例4证30例5解31参照以上例题可以证明:32例6

研究在的可导性。（说明在上面定理中的可微性不可去）33解析函数的判定方法:34容易得到35从而，可知(1)所有多项式在复平面内是处处解析的.36解3738解39§2-3初等解析函数1.指数函数2.对数函数3.幂函数4.三角函数和双曲函数401.指数函数定义显然为简便，常用下面记号与指数函数符号一致与Euler公式相一致41定理

指数函数具有如下性质：42例1

解43例2

解求出下列复数的辐角主值:44例3

解从而，有452.对数函数这样或因此4647例4

解注意:在实函数中，负数无对数，而复变数对数函数是实对数函数的拓广.48例5解49解5051对数函数的性质对于某一固定分支，有523.幂函数注意:53例7解例8解54幂函数的解析性它的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内解析,554.三角函数和双曲函数将两式相加与相减,得下面把余弦函数和正弦函数的定义推广到自变数取复值的情况.565758为周期的周期函数.59正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数.

双曲正弦函数和双曲余弦函数在复平面内也都是解析函数60一些常用的重要公式：61但与实函数完全不同的是：sinz,cosz

无界62例9解z)Re(tan=63解例1064例11解655.反三角函数和反双曲函数两端取对数得66反正弦函数反正切函数67解例1268本章主要内容复变函数连续解析函数初等解析函数判别方法可导解析指数函数对数函数三角函数双曲函数幂函数反三角函数69本章要注意的几点导数的概念解析的充要条件基本初等函数的运用701789.8.21生于法国、巴黎1857.5.23卒于法国、斯科A.L.Cauchy(柯西)简介数学分析严格化的开拓者复变函数论的奠基人弹性力学理论的建立者在方程、群论、数论、几何、光学、天体力学等也有出色贡献。多产的科学家(800多篇论文)，分析大师。7