概率论与数理统计第七讲

7参数估计内容1

未知参数的点估计2

未知参数的区间估计学习目标1.参数估计，矩法、极大似然估计2.估计量优劣的评价标准3.一个正态总体均值和方差的置信区间4.两个正态总体均值和方差比的置信区间根据样本的观测值，对总体分布律或分布密度的未知参数进行估计的理论和方法称为总体分布中未知参数的估计，简称为参数估计。§7.1点估计(PointEstimation)设总体X的分布函数为F(x;θ)，θ∈Θ.θ是未知参数。要求θ的点估计就是要设法根据样本(X1,…,Xn)构造一个统计量T=T(X1,…,Xn),通过抽样获得样本观测值(x1,…,xn)后，用T(x1,…,xn)的值来估计参数θ的值，称T(X1,…,Xn)为θ的估计量。记作(X1,…,Xn)，称T(x1,…,xn)为θ的估计值。记作(x1,…,xn)。简记为。1矩估计法用样本矩来代替总体矩，这种估计方法称为矩估计法。用矩估计法构造未知参数估计量的步骤：特别地，当总体的数学期望存在时，总体数学期望的矩估计量就是样本的均值。优点计算较简便精髓替换试求各分布中未知参数的矩估计。例设总体X的概率密度函数为其中θ>0,θ,μ是未知参数，(X1,…,Xn)是总体X的样本，求θ,μ的矩估计量。2.最大似然估计法(Maximumlikelihoodestimate)

它是在总体类型已知条件下使用的一种参数估计方法

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它首先是由德国数学家高斯在1821年提出的.

然而,这个方法常归功于英国统计学家费歇尔.GaussFisher

费歇尔在1922年重新发现了这一方法，并首先研究了这种方法的一些性质.例

有外形相同的两箱子，甲有99个白球1个黑球，乙有1个白球99个黑球，现随机取一箱从中抽一球，发现是白球。问是从哪个箱中取出。例

医生给病人看病的过程可以看作是在求一个点估计。医生先要询问病人的发病的症状，测量病人的体温、心跳次数、血压高低，必要时还要拍片，验血等。这相当于数理统计中的抽样，样本观测值相同于询问与检查的结果。病人究竟得哪一种病是未知的，但总是某种病之一(记A1,A2,…)。如果医生在询问与检查结果的基础上根据医学知识和经验，认为得A1病可能性最大，则医生便判断该病人得了A1病。定义为似然函数。定义一般步骤：(1)构成似然函数L(θ)；(2)写出lnL(θ)；(3)以θ为自变量求lnL(θ)的导数或偏导数；(4)令lnL(θ)的导数或偏导数等于零解方程。例设总体X的分布律为其中θ是未知参数（0<θ<1),设有样本观测值为x1=1,x2=2,x3=1。求θ的最大似然估计值。例设(X1,…,Xn)是取自总体X的一个样本，X的概率密度为其中θ是未知参数，θ>-1,求θ的矩估计和最大似然估计。例设(X1,…,Xn)是取自正态总体X的一个样本，求未知参数μ，σ2的最大似然估计。性质：§7.2基于截尾样本的最大似然估计§7.3估计量的评判标准1无偏性定义若例设总体X服从[0,θ]上的均匀分布.试证θ的矩估计量是θ的无偏估计量,θ最大似然估计量是θ的渐近无偏估计量.例设总体X~P(λ),(X1,X2,X3)是X的样本，试证下列三个估计量都是λ的无偏估计量.7.2.2有效性及C-R不等式定义定理(Cramer-Rao不等式)即可以在积分号下求导数；且等号成立的充分必要条件是以概率1有关系式其中C(θ)与样本无关。3相合性（一致性）§7.4区间估计(IntervalEstimation)定义设总体X的分布函数为F(x;θ),θ是未知参数，X1,…,Xn是来自总体X的样本，α是给定的值(0<α<1),若两个统计量求置信区间的步骤：§7.5正态总体均值与方差的区间估计（一）单个正态总体的N(μ，σ2)情况1.σ2已知时μ的区间估计选取函数利用分位点，有2.σ2未知时μ的区间估计选取函数利用t分布的分位点，有例设某种清漆的9个样品，其干燥时间(单位：小时)分别为6.0,5.7,5.8,6.5,7.0,6.3,5.6,6.1,5.0,设干燥时间服从正态分布N(μ,σ2)，若(1)σ=0.6（h),(2)σ未知。求μ的置信度为0.95的置信区间。解已知3.μ已知时σ2的区间估计选取函数4.μ未知时σ2的区间估计选取函数例随机地取某种炮弹9发做试验，得炮口速度的样本标准差s=11(m/s)。设炮口速度服从正态分布，求这种炮弹的炮口速度的标准差σ的置信水平为0.95的置信区间。（二）两个正态总体的情况且两组样本相互独立，记例为比较Ⅰ，Ⅱ两种型号步枪子弹的枪口速度，随机地取Ⅰ型子弹10发，得到枪口速度的平均值,标准差，随机地取Ⅱ型子弹20发，得到枪口速度的平均值，标准差。假设两总体都服从正态分布，并认为方差相等，求两个总体均值差的一个置信水平为0.95的置信区间。利用F分布的分位点，§7.6（0-