考点02 整式及因式分解-中考数学考点一遍过

考点02整式及因式分解一、代数式代数式的书写要注意规范，如乘号“×”用“·”表示或省略不写；分数不要用带分数；除号用分数线表示等.二、整式1．单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式，所有字母指数的和叫做单项式的次数，数字因数叫做单项式的系数.学科+_网2．多项式：由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数，其中不含字母的项叫做常数项.3．整式：单项式和多项式统称为整式.4．同类项：多项式中所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项.5．整式的加减：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.6．幂的运算：am·an=am+n；（am）n=amn；（ab）n=anbn；am÷an=.7．整式的乘法：（1）单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.（2）单项式与多项式相乘：m（a+b+c）=ma+mb+mc.（3）多项式与多项式相乘：（m+n）（a+b）=ma+mb+na+nb.8．乘法公式：（1）平方差公式：.（2）完全平方公式：.9．整式的除法：（1）单项式除以单项式，把系数、同底数的幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式含有的字母，则连同它的指数作为商的因式.（2）多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加.三、因式分解1．把一个多项式化成几个因式积的形式，叫做因式分解，因式分解与整式乘法是互逆运算.2．因式分解的基本方法：（1）提取公因式法：.（2）公式法：运用平方差公式：.运用完全平方公式：.3．分解因式的一般步骤：（1）如果多项式各项有公因式，应先提取公因式;（2）如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法：为两项时，考虑平方差公式；为三项时，考虑完全平方公式；为四项时，考虑利用分组的方法进行分解;（3）检查分解因式是否彻底，必须分解到每一个多项式都不能再分解为止.以上步骤可以概括为“一提二套三检查”.考向一代数式及相关问题1.用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式.2.用数值代替代数式里的字母，按照代数式里的运算关系，计算后所得的结果叫做代数式的值.典例1若x是2的相反数，|y|=3，则的值是A．﹣2 B．4C．2或﹣4 D．﹣2或4【答案】D1．若，y=4，则代数式3x+y﹣3的值为A．﹣6 B．0 C．2 D．62．a的平方的5倍减去3的差，应写成A．5a2﹣3 B．5（a2﹣3）C．（5a）2﹣3 D．a2（5﹣3）考向二整式及其相关概念单项式与多项式统称整式.观察判断法:要准确理解和辨认单项式的次数、系数；判断是否为同类项时，关键要看所含的字母是否相同，相同字母的指数是否相同．多项式的次数是指次数最高的项的次数．同类项一定要先看所含字母是否相同，然后再看相同字母的指数是否相同．考虑特殊性:单独一个数或字母也是单项式;单项式的次数是指单项式中所有字母指数的和，单独的一个常数的次数是0.典例2下列说法中正确的是A．的系数是－5 B．单项式x的系数为1，次数为0C．的次数是6 D．xy＋x－1是二次三项式【答案】D3．按某种标准把多项式分类，与属于同一类，则下列多项式中也属于这一类的是A． B．C． D．4．下列说法正确的是A．2a2b与﹣2b2a的和为0B．b的系数是π，次数是4次C．2x2y﹣3y2﹣1是三次三项式D．x2y3与﹣是同类项考向三规律探索题解决规律探索型问题的策略是：通过对所给的一组（或一串）式子及结论，进行全面细致地观察、分析、比较，从中发现其变化规律，并由此猜想出一般性的结论，然后再给出合理的证明或加以应用.典例3一列数…，其中，，，……，（n为不小于2的整数），则=A．B．2C．2018D．-1【答案】B【解析】由题意可得，，，，，可以发现这组数中，每三个为一组依次循环.2018÷3=672…2，则是这个循环组中的第2个数，故.故选B.5．“学宫”楼阶梯教室，第一排有m个座位，后面每一排都比前面一排多4个座位，则第n排座位数是A．m+4 B．m+4nC．n+4（m﹣1） D．m+4（n﹣1）6．一列单项式按以下规律排列:，,,,,,,…,则第2017个单项式是A． B．C． D．典例4如图，用棋子摆成的“上”字：第一个“上”字第二个“上”字第三个“上”字如果按照以上规律继续摆下去，那么通过观察，可以发现：（1）第四、第五个“上”字分别需用和枚棋子．（2）第n个“上”字需用枚棋子．（3）如果某一图形共有102枚棋子，你知道它是第几个“上”字吗？【答案】（1）18，22；（2）4n+2；（3）102.（2）由（1）中规律可知，第n个“上”字需用棋子4n+2枚，故答案为：4n+2；（3）根据题意，得：4n+2=102，解得n=25，答：第25个“上”字共有102枚棋子．7．如图，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案，若第n个图案中有2017个白色纸片，则n的值为A．672 B．673C．674 D．6758．如图，图案均是用长度相等的小木棒，按一定规律拼搭而成，第一个图案需4根小木棒，则第6个图案需小木棒的根数是A．54 B．63C．74 D．84考向四幂的运算幂的运算法则是进行整式乘除法的基础，要熟练掌握，解题时要明确运算的类型，正确运用法则；在运算的过程中，一定要注意指数、系数和符号的处理．典例5下列计算正确的是A．2m+3n=5mn B．m2•m3=m6C．m8÷m6=m2 D．（﹣m）3=m3【答案】C【解析】A、2m与3n不是同类项，不能合并，故错误；B、m2•m3=m5，故错误；C、正确；D、（−m）3=−m3，故错误；故选：C．9．下面运算结果为a6的是A．a3+a3 B．a8÷a2C．a2•a3 D．（﹣a2）310．下列计算正确的是A． B．C． D．考向五整式的运算整式的加减，实质上就是合并同类项，有括号的，先去括号，只要算式中没有同类项，就是最后的结果；多项式乘多项式的运算中要做到不重不漏，应用乘法公式进行简便计算，另外去括号时，要注意符号的变化，最后把所得式子化简，即合并同类项．典例6已知a﹣b=5，c+d=﹣3，则（b+c）﹣（a﹣d）的值为A．2 B．﹣2C．8 D．﹣8【答案】D【解析】根据题意可得：（b+c）﹣（a﹣d）=（c+d）﹣（a﹣b）=﹣3﹣5=﹣8，故选D．11．一个长方形的周长为，相邻的两边中一边长为，则另一边长为A． B．C． D．12．已知与的和是，则等于A．－1 B．1C．－2 D．2典例7下列计算正确的是A． B．C． D．【答案】D13．先化简，再求值：3a（a2+2a+1）﹣2（a+1）2，其中a=2．考向六因式分解因式分解的概念与方法步骤①看清形式：因式分解与整式乘法是互逆运算．符合因式分解的等式左边是多项式，右边是整式乘积的形式．②方法：（1）提取公因式法；（2）运用公式法.③因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．公式包括平方差公式与完全平方公式，要能用公式法分解必须有平方项，如果是平方差就用平方差公式来分解，如果是平方和需要看还有没有两数乘积的2倍，如果没有两数乘积的2倍还不能分解．一“提”（取公因式），二“用”（公式）．要熟记公式的特点，两项式时考虑平方差公式，三项式时考虑完全平方公式.典例8下列从左边到右边的变形，是因式分解的是A．B．C．D．【答案】B14．下列分解因式正确的是A．B．C．D．典例9把多项式x2﹣6x+9分解因式，结果正确的是A．（x﹣3）2 B．(x﹣9）2C．（x+3）（x﹣3） D．（x+9）（x﹣9）【答案】A【解析】x2﹣6x+9=（x﹣3）2，故选A．15．分解因式：=_________________．16．已知a﹣b=1，则a3﹣a2b+b2﹣2ab的值为A．﹣2 B．﹣1C．1 D．21．已知长方形周长为cm，设长为cm，则宽为A． B．C． D．2．已知3a﹣2b=1，则代数式5﹣6a+4b的值是A．4 B．3C．﹣1 D．﹣33．在0，﹣1，﹣x，，3﹣x，，中，是单项式的有A．1个 B．2个C．3个 D．4个4．若多项式是三次三项式，则m等于A．-1 B．0C．1 D．25．如果2x3my4与–3x9y2n是同类项，那么m、n的值分别为A．m=–3，n=2 B．m=3，n=2C．m=–2，n=3 D．m=2，n=36．下列算式的运算结果正确的是A．m3•m2=m6 B．m5÷m3=m2（m≠0）C．（m−2）3=m−5 D．m4﹣m2=m27．计算（﹣ab2）3的结果是A．﹣3ab2 B．a3b6C．﹣a3b5 D．﹣a3b68．已知x+y=6，x-y=1，则x2-y2等于A．2 B．3C．4 D．69．三种不同类型的纸板的长宽如图所示，其中A类和C类是正方形，B类是长方形，现A类有1块，B类有4块，C类有5块.如果用这些纸板拼成一个正方形，发现多出其中1块纸板，那么拼成的正方形的边长是A．m+n B．2m+2nC．2m+n D．m+2n10．把多项式ax3-2ax2+ax分解因式，结果正确的是A．ax（x2-2x） B．ax2（x-2）C．ax（x+1）（x-1） D．ax（x-1）211．观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出a的值为A．23 B．75C．77 D．13912．如图，从左到右在每个小格子中填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等．若前m个格子中所填整数之和是1684，则m的值可以是9abc—51…A．1015 B．1010C．1012 D．101813．若是完全平方式，则常数k的值为A．±6 B．12C．±2 D．614．若有理数a，b满足，，则的值为A．2 B．－2C．8 D．－815．下列说法中，正确的个数为①倒数等于它本身的数有0，±1；②绝对值等于它本身的数是正数；③－a2b3c是五次单项式；④2πr的系数是2，次数是2；⑤a2b2－2a＋3是四次三项式；⑥2ab2与3ba2是同类项．A．4 B．3C．2 D．116．按照如图所示的计算机程序计算，若开始输入的值为2，第一次得到的结果为1，第二次得到的结果为4，…第2017次得到的结果为A．1 B．2C．3 D．417．已知单项式与是同类项，那么的值是___________.18．分解因式：___________.19．若，且，则＝____________.20．如果是一个完全平方公式，则___________.21．若x＋y＝2，则代数式x2＋xy＋y2＝___________.22．观察下列等式：学-科网第1个等式：a1=；第2个等式：a2=；第3个等式：a3=；…请按以上规律解答下列问题：（1）列出第5个等式：a5=_____________；（2）求a1+a2+a3+…+an=，那么n的值为______________．23．已知，求代数式的值.24．先化简，再求值：QUOTE，其中，．25．先化简，再求值：，其中a=tan45°.26．先化简，再求值：其中.27．已知关于x的多项式A，当A﹣（x﹣2）2=x（x+7）时．（1）求多项式A．（2）若，求多项式A的值．28．已知是的三边的长，且满足，试判断此三角形的形状.1．（2018·陇南市）下列计算结果等于x3的是A．x6÷x2 B．x4﹣xC．x+x2 D．x2•x2．（2018·德阳市）下列计算或运算中，正确的是A． B．C． D．3．（2016·泸州市）计算结果是A． B．C． D．34．（2018·济南市）下列运算中，结果是的是A． B．a10÷a2C．（a2）3 D．（−a）55．（2018·荆州市）下列代数式中，整式为A．x+1 B．C． D．6．（2018·大连市）计算（x3）2的结果是A．x5 B．2x3C．x9 D．x67．（2018·乐山市）已知实数a、b满足a+b=2，ab=，则a﹣b=A．1 B．﹣C．±1 D．±8．（2018·云南省）按一定规律排列的单项式：a，﹣a2，a3，﹣a4，a5，﹣a6，……，第n个单项式是A．an B．﹣anC．（﹣1）n+1an D．（﹣1）nan9．（2018·贺州市）下列各式分解因式正确的是A．x2+6xy+9y2=（x+3y）2 B．2x2﹣4xy+9y2=（2x﹣3y）2C．2x2﹣8y2=2（x+4y）（x﹣4y） D．x（x﹣y）+y（y﹣x）=（x﹣y）（x+y）10．（2018·邵阳市）将多项式x﹣x3因式分解正确的是A．x（x2﹣1） B．x（1﹣x2）C．x（x+1）（x﹣1） D．x（1+x）（1﹣x）11．（2018·十堰市）如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是A．2 B．C．5 D．12．（2018·重庆b卷）下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第①个图中有3张黑色正方形纸片，第②个图中有5张黑色正方形纸片，第③个图中有7张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去第⑥个图中黑色正方形纸片的张数为A．11 B．13C．15 D．1713．（2018·毕节市）因式分解：a3﹣a=______．14．（2018·玉林市）已知ab=a+b+1，则（a﹣1）（b﹣1）=______．15．（2018·大庆市）若2x=5，2y=3，则22x+y=______．16．（2018·德阳市）分解因式______．17．（2016·泸州市）分解因式：=______．18．（2018·天水市）观察下列运算过程：S=1+3+32+33+…+32017+32018①，①×3得3S=3+32+33+…+32018+32019②，②﹣①得2S=32019﹣1，S=．运用上面计算方法计算：1+5+52+53+…+52018=______．19．（2018·临安市）已知：2+=22×，3+=32×，4+=42×，5+=52×，…，若10+=102×符合前面式子的规律，则a+b=______．20．（2018·济宁市）化简：（y+2）（y﹣2）﹣（y﹣1）（y+5）21．（2018·乐山市）先化简，再求值：（2m+1）（2m﹣1）﹣（m﹣1）2+（2m）3÷（﹣8m），其中m是方程x2+x﹣2=0的根22．（2018·大连市）（观察）1×49=49，2×48=96，3×47=141，…，23×27=621，24×26=624，25×25=625，26×24=624，27×23=621，…，47×3=141，48×2=96，49×1=49．（发现）根据你的阅读回答问题：（1）上述内容中，两数相乘，积的最大值为；（2）设参与上述运算的第一个因数为a，第二个因数为b，用等式表示a与b的数量关系是．（类比）观察下列两数的积：1×59，2×58，3×57，4×56，…，m×n，…，56×4，57×3，58×2，59×1．猜想mn的最大值为，并用你学过的知识加以证明．23．（2018·河北省）嘉淇准备完成题目：化简：，发现系数“”印刷不清楚．（1）他把“”猜成3，请你化简：（3x2+6x+8）–（6x+5x2+2）；（2）他妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是常数，通过计算说明原题中“”是几？24．（2018·贵阳市）如图，将边长为m的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个矩形，拿掉边长为n的小正方形纸板后，将剩下的三块拼成新的矩形．（1）用含m或n的代数式表示拼成矩形的周长；（2）m=7，n=4，求拼成矩形的面积．25．（2018·临安市）阅读下列题目的解题过程：已知a、b、c为ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判断ABC的形状．解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4A.∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2）B.∴c2=a2+b2C.∴△ABC是直角三角形问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：；（2）错误的原因为：；（3）本题正确的结论为：．变式拓展变式拓展1．【答案】B【解析】∵，y=4，∴代数式3x+y﹣3=3×（﹣）+4﹣3=0．故选B．2．【答案】A【解析】根据题意可得：5a2−3，故选A.3．【答案】A【解析】与都是三次多项式，只有A是三次多项式，故选A．5．【答案】D【解析】由于第一排有m个座位，后面每一排都比前面一排多4个座位，则第n排座位数为：．故选D．6．【答案】B【解析】观察、分析这列单项式的排列规律可知：（1）第个单项式的系数的绝对值是，其中第奇数个单项式的系数为“负”，第偶数个单项式的系数为“正”；（2）字母部分，第奇数个单项式都是“”，第偶数个单项式都是“”.所以第2017个单项式是.故选B.7．【答案】A【解析】当有1个黑色纸片时，有4个白色纸片；当有2个黑色纸片时，有个白色纸片；当有3个黑色纸片时，有个白色纸片；以此类推，当有个黑色纸片时，有个白色纸片.当时，化简得，解得.故选A.故选C．8．【答案】A【解析】拼搭第1个图案需4=1×(1+3)根小木棒，拼搭第2个图案需10=2×(2+3)根小木棒，拼搭第3个图案需18=3×(3+3)根小木棒，拼搭第4个图案需28=4×(4+3)根小木棒，…拼搭第n个图案需小木棒n(n+3)=n2+3n根.当n=6时，n2+3n=62+3×6=54.故选A.【名师点睛】本题考查图形的变化规律，找出图形之间的关系，得出数字之间的运算规律，利用规律解决问题.10．【答案】B【解析】A、a3和a4不是同类项，不能合并，故A错误；B、，故B正确；C、，故C错误；D、，故D错误.答案为B.11．【答案】B【解析】∵长方形的周长为，∴相邻的两边的和是,∵一边长为，∴另一边长为，故选B.【名师点睛】由长方形的周长=（长+宽）×2，可求出相邻的两边的和是3a+4b,再用3a+4b减去2a＋3b，即可求出另一边的长.12．【答案】A【解析】∵与的和是，∴与是同类项，∴，∴.故选A.13．【答案】36【解析】原式=3a3+6a2+3a﹣2a2﹣4a﹣2=3a3+4a2﹣a﹣2，当a=2时，原式=24+16﹣2﹣2=36.14．【答案】C【解析】A、公因式是x，应为，错误；B、符号错误，应为，错误；C、提公因式法，正确；D、右边不是积的形式，错误；故选C．15．【答案】(a+4)(a-2)【解析】=.16．【答案】C【解析】a3﹣a2b+b2﹣2ab=a2（a﹣b）+b2﹣2ab=a2+b2﹣2ab=（a﹣b）2=1．故选C．考点冲关考点冲关1．【答案】D【解析】∵矩形的宽=−长，∴宽为：（10-x）cm．故选D．2．【答案】B【解析】∵3a﹣2b=1，∴5﹣6a+4b=5﹣2（3a﹣2b）=5﹣2×1=3，故选：B．3．【答案】D【解析】根据单项式的定义可知，只有代数式0，﹣1，﹣x,a,是单项式，一共有4个.故选D.4．【答案】C【解析】由题意可得，，解得且．则m等于1，故选C．5．【答案】B【解析】∵2x3my4与–3x9y2n是同类项，∴3m=9,4=2n，∴m=3，n=2.故选：B.7．【答案】D【解析】（﹣ab2）3=﹣a3b6，故选：D．8．【答案】D【解析】x2-y2=（x+y）（x-y）=6×1=6.故选D.9．【答案】D【解析】∵所求的正方形的面积等于一张正方形A类卡片、4张正方形B类卡片和4张长方形C类卡片的和，∴所求正方形的面积=m2+4mn+4n2=（m+2n）2，∴所求正方形的边长为m+2n．故选：D.10．【答案】D【解析】原式=ax（x2﹣2x+1）=ax（x﹣1）2，故选：D．11．【答案】B【解析】∵上边的数为连续的奇数1，3，5，7，9，11，左边的数为21，22，23，…，∴b=26=64．∵上边的数与左边的数的和正好等于右边的数，∴a=11+64=75．故选B．12．【答案】B【解析】由题意可知：9+a+b=a+b+c，∴c=9．∵9-5+1=5，1684÷5=336…4，且9-5=4，∴m=336×3+2=1010．故选：B．学科*&网13．【答案】A【解析】由完全平方公式可得：.故选A.【名师点睛】做此类问题的重点在于判断完全平方式的结构特点.14．【答案】D【解析】由，得，又，则，所以.故选D.15．【答案】D【解析】①倒数等于它本身的数有±1，故①错误，②绝对值等于它本身的数是非负数，故②错误，③是六次单项式，故③错误，④的系数是次数是，故④错误，⑤是四次三项式，故⑤正确，⑥与不是同类项，故⑥错误.故选D.【名师点睛】单项式中的数字因数就是单项式的系数，所有字母的指数的和就是多项式的次数.16．【答案】A【解析】当x=2时，第一次输出结果==1；第二次输出结果=1+3=4；第三次输出结果=4×=2，；第四次输出结果=×2=1，…2017÷3=672…1．所以第2017次得到的结果为1．故选A．17．【答案】3【解析】∵与是同类项，∴，解得，∴＝3.故答案为3.18．【答案】【解析】．故答案为．19．【答案】−1【解析】∵，∴(，∵，∴m+n=0.∵，∴=−1,∴=(−1)2019=.故答案为.【名师点睛】合并同类项后可得m+n=0.再由得到=−1,然后代入到求值即可.20．【答案】−3或1【解析】由是一个完全平方公式，可得，解得m=−3或1．22．【答案】,49【解析】(1)观察等式,可得以下规律：，∴（2）解得：n=49.故答案为（1）；（2）49.23．【解析】=+2=（a−1）2+2当a=时，原式=（）2+2=（）2+2=2+2=4.24．【解析】原式=m2－2mn+n2+2mn+2n2=m2+3n2．当m=2，n=时，原式=22+3×（）2=13．故答案为13．【名师点睛】化简常用公式：（a±b）2=a2±2ab+b2；（a+b）（a－b）=a2－b2．25．【解析】原式=，∵，.26．【解析】原式，，∴原式.27．【解析】（1）A﹣（x﹣2）2=x（x+7），整理，得；（2）∵，∴，∴，则多项式A的值为3．28．【解析】∵，∴，即，∴，∴，即,∴△ABC为等边三角形．直通中考直通中考1．【答案】D【解析】A、x6÷x2=x4，不符合题意；B、x4﹣x不能再计算，不符合题意；C、x+x2不能再计算，不符合题意； D、x2•x=x3，符合题意；故选：D．2．【答案】C【解析】A、a6÷a2＝a4，此选项错误；B、（−2a2）3＝−8a6，此选项错误；C、（a−3）（3＋a）＝a2−9，此选项正确；D、（a−b）2＝a2−2ab＋b2，此选项错误；故选：C．3．【答案】C【解析】，故选C.4．【答案】A【解析】A.=a5，故符合题意；B.a10÷a2=a10-2=a8，故不符合题意；C.（a2）3=a6，故不符合题意；D.（−a）5=−a5，故不符合题意，故选A.6．【答案】D【解析】（x3）2＝x6，故选：D．7．【答案】C【解析】∵a+b=2，ab=，∴（a+b）2=4=a2+2ab+b2，