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文档简介
考点02整式及因式分解一、代数式代数式的书写要注意规范,如乘号“×”用“·”表示或省略不写;分数不要用带分数;除号用分数线表示等.二、整式1.单项式:由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式,所有字母指数的和叫做单项式的次数,数字因数叫做单项式的系数.学科+_网2.多项式:由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式,多项式里次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数,其中不含字母的项叫做常数项.3.整式:单项式和多项式统称为整式.4.同类项:多项式中所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项,叫做同类项.5.整式的加减:一般地,几个整式相加减,如果有括号就先去括号,然后再合并同类项.6.幂的运算:am·an=am+n;(am)n=amn;(ab)n=anbn;am÷an=.7.整式的乘法:(1)单项式与单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.(2)单项式与多项式相乘:m(a+b+c)=ma+mb+mc.(3)多项式与多项式相乘:(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb.8.乘法公式:(1)平方差公式:.(2)完全平方公式:.9.整式的除法:(1)单项式除以单项式,把系数、同底数的幂分别相除,作为商的因式:对于只在被除式含有的字母,则连同它的指数作为商的因式.(2)多项式除以单项式:先把这个多项式的每一项除以单项式,再把所得的商相加.三、因式分解1.把一个多项式化成几个因式积的形式,叫做因式分解,因式分解与整式乘法是互逆运算.2.因式分解的基本方法:(1)提取公因式法:.(2)公式法:运用平方差公式:.运用完全平方公式:.3.分解因式的一般步骤:(1)如果多项式各项有公因式,应先提取公因式;(2)如果各项没有公因式,可以尝试使用公式法:为两项时,考虑平方差公式;为三项时,考虑完全平方公式;为四项时,考虑利用分组的方法进行分解;(3)检查分解因式是否彻底,必须分解到每一个多项式都不能再分解为止.以上步骤可以概括为“一提二套三检查”.考向一代数式及相关问题1.用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式.2.用数值代替代数式里的字母,按照代数式里的运算关系,计算后所得的结果叫做代数式的值.典例1若x是2的相反数,|y|=3,则的值是A.﹣2 B.4C.2或﹣4 D.﹣2或4【答案】D1.若,y=4,则代数式3x+y﹣3的值为A.﹣6 B.0 C.2 D.62.a的平方的5倍减去3的差,应写成A.5a2﹣3 B.5(a2﹣3)C.(5a)2﹣3 D.a2(5﹣3)考向二整式及其相关概念单项式与多项式统称整式.观察判断法:要准确理解和辨认单项式的次数、系数;判断是否为同类项时,关键要看所含的字母是否相同,相同字母的指数是否相同.多项式的次数是指次数最高的项的次数.同类项一定要先看所含字母是否相同,然后再看相同字母的指数是否相同.考虑特殊性:单独一个数或字母也是单项式;单项式的次数是指单项式中所有字母指数的和,单独的一个常数的次数是0.典例2下列说法中正确的是A.的系数是-5 B.单项式x的系数为1,次数为0C.的次数是6 D.xy+x-1是二次三项式【答案】D3.按某种标准把多项式分类,与属于同一类,则下列多项式中也属于这一类的是A. B.C. D.4.下列说法正确的是A.2a2b与﹣2b2a的和为0B.b的系数是π,次数是4次C.2x2y﹣3y2﹣1是三次三项式D.x2y3与﹣是同类项考向三规律探索题解决规律探索型问题的策略是:通过对所给的一组(或一串)式子及结论,进行全面细致地观察、分析、比较,从中发现其变化规律,并由此猜想出一般性的结论,然后再给出合理的证明或加以应用.典例3一列数…,其中,,,……,(n为不小于2的整数),则=A.B.2C.2018D.-1【答案】B【解析】由题意可得,,,,,可以发现这组数中,每三个为一组依次循环.2018÷3=672…2,则是这个循环组中的第2个数,故.故选B.5.“学宫”楼阶梯教室,第一排有m个座位,后面每一排都比前面一排多4个座位,则第n排座位数是A.m+4 B.m+4nC.n+4(m﹣1) D.m+4(n﹣1)6.一列单项式按以下规律排列:,,,,,,,…,则第2017个单项式是A. B.C. D.典例4如图,用棋子摆成的“上”字:第一个“上”字第二个“上”字第三个“上”字如果按照以上规律继续摆下去,那么通过观察,可以发现:(1)第四、第五个“上”字分别需用和枚棋子.(2)第n个“上”字需用枚棋子.(3)如果某一图形共有102枚棋子,你知道它是第几个“上”字吗?【答案】(1)18,22;(2)4n+2;(3)102.(2)由(1)中规律可知,第n个“上”字需用棋子4n+2枚,故答案为:4n+2;(3)根据题意,得:4n+2=102,解得n=25,答:第25个“上”字共有102枚棋子.7.如图,用黑白两种颜色的菱形纸片,按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案,若第n个图案中有2017个白色纸片,则n的值为A.672 B.673C.674 D.6758.如图,图案均是用长度相等的小木棒,按一定规律拼搭而成,第一个图案需4根小木棒,则第6个图案需小木棒的根数是A.54 B.63C.74 D.84考向四幂的运算幂的运算法则是进行整式乘除法的基础,要熟练掌握,解题时要明确运算的类型,正确运用法则;在运算的过程中,一定要注意指数、系数和符号的处理.典例5下列计算正确的是A.2m+3n=5mn B.m2•m3=m6C.m8÷m6=m2 D.(﹣m)3=m3【答案】C【解析】A、2m与3n不是同类项,不能合并,故错误;B、m2•m3=m5,故错误;C、正确;D、(−m)3=−m3,故错误;故选:C.9.下面运算结果为a6的是A.a3+a3 B.a8÷a2C.a2•a3 D.(﹣a2)310.下列计算正确的是A. B.C. D.考向五整式的运算整式的加减,实质上就是合并同类项,有括号的,先去括号,只要算式中没有同类项,就是最后的结果;多项式乘多项式的运算中要做到不重不漏,应用乘法公式进行简便计算,另外去括号时,要注意符号的变化,最后把所得式子化简,即合并同类项.典例6已知a﹣b=5,c+d=﹣3,则(b+c)﹣(a﹣d)的值为A.2 B.﹣2C.8 D.﹣8【答案】D【解析】根据题意可得:(b+c)﹣(a﹣d)=(c+d)﹣(a﹣b)=﹣3﹣5=﹣8,故选D.11.一个长方形的周长为,相邻的两边中一边长为,则另一边长为A. B.C. D.12.已知与的和是,则等于A.-1 B.1C.-2 D.2典例7下列计算正确的是A. B.C. D.【答案】D13.先化简,再求值:3a(a2+2a+1)﹣2(a+1)2,其中a=2.考向六因式分解因式分解的概念与方法步骤①看清形式:因式分解与整式乘法是互逆运算.符合因式分解的等式左边是多项式,右边是整式乘积的形式.②方法:(1)提取公因式法;(2)运用公式法.③因式分解的步骤为:一提公因式;二看公式.公式包括平方差公式与完全平方公式,要能用公式法分解必须有平方项,如果是平方差就用平方差公式来分解,如果是平方和需要看还有没有两数乘积的2倍,如果没有两数乘积的2倍还不能分解.一“提”(取公因式),二“用”(公式).要熟记公式的特点,两项式时考虑平方差公式,三项式时考虑完全平方公式.典例8下列从左边到右边的变形,是因式分解的是A.B.C.D.【答案】B14.下列分解因式正确的是A.B.C.D.典例9把多项式x2﹣6x+9分解因式,结果正确的是A.(x﹣3)2 B.(x﹣9)2C.(x+3)(x﹣3) D.(x+9)(x﹣9)【答案】A【解析】x2﹣6x+9=(x﹣3)2,故选A.15.分解因式:=_________________.16.已知a﹣b=1,则a3﹣a2b+b2﹣2ab的值为A.﹣2 B.﹣1C.1 D.21.已知长方形周长为cm,设长为cm,则宽为A. B.C. D.2.已知3a﹣2b=1,则代数式5﹣6a+4b的值是A.4 B.3C.﹣1 D.﹣33.在0,﹣1,﹣x,,3﹣x,,中,是单项式的有A.1个 B.2个C.3个 D.4个4.若多项式是三次三项式,则m等于A.-1 B.0C.1 D.25.如果2x3my4与–3x9y2n是同类项,那么m、n的值分别为A.m=–3,n=2 B.m=3,n=2C.m=–2,n=3 D.m=2,n=36.下列算式的运算结果正确的是A.m3•m2=m6 B.m5÷m3=m2(m≠0)C.(m−2)3=m−5 D.m4﹣m2=m27.计算(﹣ab2)3的结果是A.﹣3ab2 B.a3b6C.﹣a3b5 D.﹣a3b68.已知x+y=6,x-y=1,则x2-y2等于A.2 B.3C.4 D.69.三种不同类型的纸板的长宽如图所示,其中A类和C类是正方形,B类是长方形,现A类有1块,B类有4块,C类有5块.如果用这些纸板拼成一个正方形,发现多出其中1块纸板,那么拼成的正方形的边长是A.m+n B.2m+2nC.2m+n D.m+2n10.把多项式ax3-2ax2+ax分解因式,结果正确的是A.ax(x2-2x) B.ax2(x-2)C.ax(x+1)(x-1) D.ax(x-1)211.观察下面“品”字形中各数之间的规律,根据观察到的规律得出a的值为A.23 B.75C.77 D.13912.如图,从左到右在每个小格子中填入一个整数,使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等.若前m个格子中所填整数之和是1684,则m的值可以是9abc—51…A.1015 B.1010C.1012 D.101813.若是完全平方式,则常数k的值为A.±6 B.12C.±2 D.614.若有理数a,b满足,,则的值为A.2 B.-2C.8 D.-815.下列说法中,正确的个数为①倒数等于它本身的数有0,±1;②绝对值等于它本身的数是正数;③-a2b3c是五次单项式;④2πr的系数是2,次数是2;⑤a2b2-2a+3是四次三项式;⑥2ab2与3ba2是同类项.A.4 B.3C.2 D.116.按照如图所示的计算机程序计算,若开始输入的值为2,第一次得到的结果为1,第二次得到的结果为4,…第2017次得到的结果为A.1 B.2C.3 D.417.已知单项式与是同类项,那么的值是___________.18.分解因式:___________.19.若,且,则=____________.20.如果是一个完全平方公式,则___________.21.若x+y=2,则代数式x2+xy+y2=___________.22.观察下列等式:学-科网第1个等式:a1=;第2个等式:a2=;第3个等式:a3=;…请按以上规律解答下列问题:(1)列出第5个等式:a5=_____________;(2)求a1+a2+a3+…+an=,那么n的值为______________.23.已知,求代数式的值.24.先化简,再求值:QUOTE,其中,.25.先化简,再求值:,其中a=tan45°.26.先化简,再求值:其中.27.已知关于x的多项式A,当A﹣(x﹣2)2=x(x+7)时.(1)求多项式A.(2)若,求多项式A的值.28.已知是的三边的长,且满足,试判断此三角形的形状.1.(2018·陇南市)下列计算结果等于x3的是A.x6÷x2 B.x4﹣xC.x+x2 D.x2•x2.(2018·德阳市)下列计算或运算中,正确的是A. B.C. D.3.(2016·泸州市)计算结果是A. B.C. D.34.(2018·济南市)下列运算中,结果是的是A. B.a10÷a2C.(a2)3 D.(−a)55.(2018·荆州市)下列代数式中,整式为A.x+1 B.C. D.6.(2018·大连市)计算(x3)2的结果是A.x5 B.2x3C.x9 D.x67.(2018·乐山市)已知实数a、b满足a+b=2,ab=,则a﹣b=A.1 B.﹣C.±1 D.±8.(2018·云南省)按一定规律排列的单项式:a,﹣a2,a3,﹣a4,a5,﹣a6,……,第n个单项式是A.an B.﹣anC.(﹣1)n+1an D.(﹣1)nan9.(2018·贺州市)下列各式分解因式正确的是A.x2+6xy+9y2=(x+3y)2 B.2x2﹣4xy+9y2=(2x﹣3y)2C.2x2﹣8y2=2(x+4y)(x﹣4y) D.x(x﹣y)+y(y﹣x)=(x﹣y)(x+y)10.(2018·邵阳市)将多项式x﹣x3因式分解正确的是A.x(x2﹣1) B.x(1﹣x2)C.x(x+1)(x﹣1) D.x(1+x)(1﹣x)11.(2018·十堰市)如图,是按一定规律排成的三角形数阵,按图中数阵的排列规律,第9行从左至右第5个数是A.2 B.C.5 D.12.(2018·重庆b卷)下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成,其中第①个图中有3张黑色正方形纸片,第②个图中有5张黑色正方形纸片,第③个图中有7张黑色正方形纸片,…,按此规律排列下去第⑥个图中黑色正方形纸片的张数为A.11 B.13C.15 D.1713.(2018·毕节市)因式分解:a3﹣a=______.14.(2018·玉林市)已知ab=a+b+1,则(a﹣1)(b﹣1)=______.15.(2018·大庆市)若2x=5,2y=3,则22x+y=______.16.(2018·德阳市)分解因式______.17.(2016·泸州市)分解因式:=______.18.(2018·天水市)观察下列运算过程:S=1+3+32+33+…+32017+32018①,①×3得3S=3+32+33+…+32018+32019②,②﹣①得2S=32019﹣1,S=.运用上面计算方法计算:1+5+52+53+…+52018=______.19.(2018·临安市)已知:2+=22×,3+=32×,4+=42×,5+=52×,…,若10+=102×符合前面式子的规律,则a+b=______.20.(2018·济宁市)化简:(y+2)(y﹣2)﹣(y﹣1)(y+5)21.(2018·乐山市)先化简,再求值:(2m+1)(2m﹣1)﹣(m﹣1)2+(2m)3÷(﹣8m),其中m是方程x2+x﹣2=0的根22.(2018·大连市)(观察)1×49=49,2×48=96,3×47=141,…,23×27=621,24×26=624,25×25=625,26×24=624,27×23=621,…,47×3=141,48×2=96,49×1=49.(发现)根据你的阅读回答问题:(1)上述内容中,两数相乘,积的最大值为;(2)设参与上述运算的第一个因数为a,第二个因数为b,用等式表示a与b的数量关系是.(类比)观察下列两数的积:1×59,2×58,3×57,4×56,…,m×n,…,56×4,57×3,58×2,59×1.猜想mn的最大值为,并用你学过的知识加以证明.23.(2018·河北省)嘉淇准备完成题目:化简:,发现系数“”印刷不清楚.(1)他把“”猜成3,请你化简:(3x2+6x+8)–(6x+5x2+2);(2)他妈妈说:“你猜错了,我看到该题标准答案的结果是常数,通过计算说明原题中“”是几?24.(2018·贵阳市)如图,将边长为m的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个矩形,拿掉边长为n的小正方形纸板后,将剩下的三块拼成新的矩形.(1)用含m或n的代数式表示拼成矩形的周长;(2)m=7,n=4,求拼成矩形的面积.25.(2018·临安市)阅读下列题目的解题过程:已知a、b、c为ABC的三边,且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4,试判断ABC的形状.解:∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4A.∴c2(a2﹣b2)=(a2+b2)(a2﹣b2)B.∴c2=a2+b2C.∴△ABC是直角三角形问:(1)上述解题过程,从哪一步开始出现错误?请写出该步的代号:;(2)错误的原因为:;(3)本题正确的结论为:.变式拓展变式拓展1.【答案】B【解析】∵,y=4,∴代数式3x+y﹣3=3×(﹣)+4﹣3=0.故选B.2.【答案】A【解析】根据题意可得:5a2−3,故选A.3.【答案】A【解析】与都是三次多项式,只有A是三次多项式,故选A.5.【答案】D【解析】由于第一排有m个座位,后面每一排都比前面一排多4个座位,则第n排座位数为:.故选D.6.【答案】B【解析】观察、分析这列单项式的排列规律可知:(1)第个单项式的系数的绝对值是,其中第奇数个单项式的系数为“负”,第偶数个单项式的系数为“正”;(2)字母部分,第奇数个单项式都是“”,第偶数个单项式都是“”.所以第2017个单项式是.故选B.7.【答案】A【解析】当有1个黑色纸片时,有4个白色纸片;当有2个黑色纸片时,有个白色纸片;当有3个黑色纸片时,有个白色纸片;以此类推,当有个黑色纸片时,有个白色纸片.当时,化简得,解得.故选A.故选C.8.【答案】A【解析】拼搭第1个图案需4=1×(1+3)根小木棒,拼搭第2个图案需10=2×(2+3)根小木棒,拼搭第3个图案需18=3×(3+3)根小木棒,拼搭第4个图案需28=4×(4+3)根小木棒,…拼搭第n个图案需小木棒n(n+3)=n2+3n根.当n=6时,n2+3n=62+3×6=54.故选A.【名师点睛】本题考查图形的变化规律,找出图形之间的关系,得出数字之间的运算规律,利用规律解决问题.10.【答案】B【解析】A、a3和a4不是同类项,不能合并,故A错误;B、,故B正确;C、,故C错误;D、,故D错误.答案为B.11.【答案】B【解析】∵长方形的周长为,∴相邻的两边的和是,∵一边长为,∴另一边长为,故选B.【名师点睛】由长方形的周长=(长+宽)×2,可求出相邻的两边的和是3a+4b,再用3a+4b减去2a+3b,即可求出另一边的长.12.【答案】A【解析】∵与的和是,∴与是同类项,∴,∴.故选A.13.【答案】36【解析】原式=3a3+6a2+3a﹣2a2﹣4a﹣2=3a3+4a2﹣a﹣2,当a=2时,原式=24+16﹣2﹣2=36.14.【答案】C【解析】A、公因式是x,应为,错误;B、符号错误,应为,错误;C、提公因式法,正确;D、右边不是积的形式,错误;故选C.15.【答案】(a+4)(a-2)【解析】=.16.【答案】C【解析】a3﹣a2b+b2﹣2ab=a2(a﹣b)+b2﹣2ab=a2+b2﹣2ab=(a﹣b)2=1.故选C.考点冲关考点冲关1.【答案】D【解析】∵矩形的宽=−长,∴宽为:(10-x)cm.故选D.2.【答案】B【解析】∵3a﹣2b=1,∴5﹣6a+4b=5﹣2(3a﹣2b)=5﹣2×1=3,故选:B.3.【答案】D【解析】根据单项式的定义可知,只有代数式0,﹣1,﹣x,a,是单项式,一共有4个.故选D.4.【答案】C【解析】由题意可得,,解得且.则m等于1,故选C.5.【答案】B【解析】∵2x3my4与–3x9y2n是同类项,∴3m=9,4=2n,∴m=3,n=2.故选:B.7.【答案】D【解析】(﹣ab2)3=﹣a3b6,故选:D.8.【答案】D【解析】x2-y2=(x+y)(x-y)=6×1=6.故选D.9.【答案】D【解析】∵所求的正方形的面积等于一张正方形A类卡片、4张正方形B类卡片和4张长方形C类卡片的和,∴所求正方形的面积=m2+4mn+4n2=(m+2n)2,∴所求正方形的边长为m+2n.故选:D.10.【答案】D【解析】原式=ax(x2﹣2x+1)=ax(x﹣1)2,故选:D.11.【答案】B【解析】∵上边的数为连续的奇数1,3,5,7,9,11,左边的数为21,22,23,…,∴b=26=64.∵上边的数与左边的数的和正好等于右边的数,∴a=11+64=75.故选B.12.【答案】B【解析】由题意可知:9+a+b=a+b+c,∴c=9.∵9-5+1=5,1684÷5=336…4,且9-5=4,∴m=336×3+2=1010.故选:B.学科*&网13.【答案】A【解析】由完全平方公式可得:.故选A.【名师点睛】做此类问题的重点在于判断完全平方式的结构特点.14.【答案】D【解析】由,得,又,则,所以.故选D.15.【答案】D【解析】①倒数等于它本身的数有±1,故①错误,②绝对值等于它本身的数是非负数,故②错误,③是六次单项式,故③错误,④的系数是次数是,故④错误,⑤是四次三项式,故⑤正确,⑥与不是同类项,故⑥错误.故选D.【名师点睛】单项式中的数字因数就是单项式的系数,所有字母的指数的和就是多项式的次数.16.【答案】A【解析】当x=2时,第一次输出结果==1;第二次输出结果=1+3=4;第三次输出结果=4×=2,;第四次输出结果=×2=1,…2017÷3=672…1.所以第2017次得到的结果为1.故选A.17.【答案】3【解析】∵与是同类项,∴,解得,∴=3.故答案为3.18.【答案】【解析】.故答案为.19.【答案】−1【解析】∵,∴(,∵,∴m+n=0.∵,∴=−1,∴=(−1)2019=.故答案为.【名师点睛】合并同类项后可得m+n=0.再由得到=−1,然后代入到求值即可.20.【答案】−3或1【解析】由是一个完全平方公式,可得,解得m=−3或1.22.【答案】,49【解析】(1)观察等式,可得以下规律:,∴(2)解得:n=49.故答案为(1);(2)49.23.【解析】=+2=(a−1)2+2当a=时,原式=()2+2=()2+2=2+2=4.24.【解析】原式=m2-2mn+n2+2mn+2n2=m2+3n2.当m=2,n=时,原式=22+3×()2=13.故答案为13.【名师点睛】化简常用公式:(a±b)2=a2±2ab+b2;(a+b)(a-b)=a2-b2.25.【解析】原式=,∵,.26.【解析】原式,,∴原式.27.【解析】(1)A﹣(x﹣2)2=x(x+7),整理,得;(2)∵,∴,∴,则多项式A的值为3.28.【解析】∵,∴,即,∴,∴,即,∴△ABC为等边三角形.直通中考直通中考1.【答案】D【解析】A、x6÷x2=x4,不符合题意;B、x4﹣x不能再计算,不符合题意;C、x+x2不能再计算,不符合题意; D、x2•x=x3,符合题意;故选:D.2.【答案】C【解析】A、a6÷a2=a4,此选项错误;B、(−2a2)3=−8a6,此选项错误;C、(a−3)(3+a)=a2−9,此选项正确;D、(a−b)2=a2−2ab+b2,此选项错误;故选:C.3.【答案】C【解析】,故选C.4.【答案】A【解析】A.=a5,故符合题意;B.a10÷a2=a10-2=a8,故不符合题意;C.(a2)3=a6,故不符合题意;D.(−a)5=−a5,故不符合题意,故选A.6.【答案】D【解析】(x3)2=x6,故选:D.7.【答案】C【解析】∵a+b=2,ab=,∴(a+b)2=4=a2+2ab+b2,
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