专题02 圆-垂经定理（2个考点六大类型）（题型专练）（解析版）

专题02圆-垂经定理（2个考点五大类型）【题型1运用垂径定理直接求线段的长度】【题型2垂径定理在格点中的运用】【题型3垂径定理与方程的综合应用】【题型4同心圆与垂井定理综合】【题型5垂径定理的实际应用】【题型1运用垂径定理直接求线段的长度】1.（2023•增城区二模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5，CD＝8，则OE＝（）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【解答】解：∵CD⊥AB，∴CE＝DE＝CD＝4，在Rt△OCE中，OE＝＝＝3．故选：C．2.（2023•长安区校级三模）如图，AB为⊙O的直径，半径OA的垂直平分线交⊙O于点C，D，交AB于点E，若，则BE的长为（）A． B．6 C． D．8【答案】B【解答】解：如图，连接OC，∵AB为⊙O的直径，CD垂直平分OA，∴CE＝CD＝2，OE＝OC，∵OE2+CE2＝OC2，∴OE2+12＝4OE2，∴OE＝2，∴OB＝OC＝4，∴BE＝2+4＝6．故选：B．3．（2023•安徽模拟）如图，⊙O的弦AB垂直于CD，点E为垂足，连接OE．若AE＝1，AB＝CD＝6，则OE的值是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：过O点作OH⊥AB于H点，OF⊥CD于F点，连接OB、OC，如图，则DF＝CF＝CD＝3，AH＝BH＝AB＝3，∵AE＝1，∴EH＝AH﹣AE＝2，在Rt△OBH和Rt△OCF中，，∴Rt△OBH≌Rt△OCF（HL），∴OH＝OF，∵CD⊥AB，∴∠HEF＝90°，∵∠OHE＝∠OFE＝90°，∴四边形OHEF为正方形，∴OE＝EH＝2．故选：A．4．（2022秋•泉港区期末）如图，⊙O的半径为5，弦心距OC＝3，则弦AB的长为（）A．2 B．3 C．4 D．8【答案】D【解答】解：连接OA，∵OC为弦心距，∴OC⊥AB，AB＝2AC，在Rt△ACO中，由勾股定理，得，∴AB＝2AC＝8．故选：D．5．（新昌县校级期中）如图，⊙O的半径为4，以A为圆心，OA为半径的弧交⊙O于B、C点，则BC＝（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：由题意可知，OA＝OC＝OA＝AB＝AC＝4，∴四边形ABCD是菱形，△AOB是正三角形，∴OA⊥BC，∠OBC＝30°，∴BC＝2××4＝4，故选：A．6．（嘉兴期末）如图，⊙O的直径AB＝12，弦CD垂直AB于点P．若BP＝2，则CD的长为（）A．2 B．4 C．4 D．8【答案】C【解答】解：如图，连接OC，∵AB＝12，∴OC＝OB＝6，∵PB＝2，∴OP＝4，在Rt△OPC中，CP＝，∵CD⊥AB，∴CP＝DP，∴CD＝2PC＝．故选：C．【题型2垂径定理在格点中的运用】7.（2023•襄阳模拟）如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，则该弧的圆心的坐标为（）A．（1，0） B．（2，0） C．（2.5，0） D．（2.5，1）【答案】B【解答】解：如图所示：D（2，0）；故选：B．8.（2022秋•利通区期末）如图，在平面直角坐标系中，过格点A、B、C作以圆弧，则圆心的坐标是（2，1）．【答案】见试题解答内容【解答】解：分别作AB、BC的垂直平分线，交于点P，点P即为圆心，由图知，圆心P的坐标为（2，1），故答案为：（2，1）．9．（2022秋•长沙期中）如图，以点P为圆心的圆弧与x轴交于A，B两点，点P的坐标为（4，2），点A的坐标为（2，0），则点B的坐标为（6，0）．【答案】（6，0）．【解答】解：过点P作PC⊥AB于点C，∵以点P为圆心的圆弧与x轴交于A，B两点，∴AC＝BC，∵点P的坐标为（4，2），点A的坐标为（2，0），∴点C的坐标为（4，0），AC＝2，∴BC＝2，∴OB＝6，∴点B的坐标为（6，0）．故答案为：（6，0）．10．如图，在直角坐标系中，一条圆弧经过正方形网格的格点A，B，C．若A点的坐标为（0，4），C点的坐标为（6，2），则圆心M点的坐标为（2，0）．【答案】（2，0）．【解答】解：如图，作AB和BC的垂直平分线，它们的交点为M点，M点的坐标为（2，0）．故答案为：（2，0）．11．（东台市期末）如图，点E在y轴上，⊙E与x轴交于点A、B，与y轴交于点C、D，若C（0，9），D（0，﹣1），则线段AB的长度为（）A．3 B．4 C．6 D．8【答案】C【解答】解：连接EB，如图所示：∵C（0，9），D（0，﹣1），∴OD＝1，OC＝9，∴CD＝10，∴EB＝ED＝CD＝5，OE＝5﹣1＝4，∵AB⊥CD，∴AO＝BO＝AB，OB＝＝＝3，∴AB＝2OB＝6；故选：C．【题型3垂径定理与方程的综合应用】12．（2022秋•西湖区校级期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB交于点E．若BE＝10，CD＝8，则⊙O的半径为（）A．3 B．4.2 C．5.8 D．6【答案】C【解答】解：连接OC，设⊙O的半径为R，则OE＝10﹣R，∵CD⊥AB，AB过圆心O，CD＝8，∴∠OEC＝90°，CE＝DE＝4，由勾股定理得：OC2＝CE2+OE2，R2＝42+（10﹣R）2，解得：R＝5.8，即⊙O的半径长是5.8，故选：C．13.（淄博）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长度是（）A．12寸 B．24寸 C．13寸 D．26寸【答案】D【解答】解：连接OA，∵AB⊥CD，且AB＝10寸，∴AE＝BE＝5寸，设圆O的半径OA的长为x，则OC＝OD＝x，∵CE＝1，∴OE＝x﹣1，在直角三角形AOE中，根据勾股定理得：x2﹣（x﹣1）2＝52，化简得：x2﹣x2+2x﹣1＝25，即2x＝26，∴CD＝26（寸）．故选：D．14．（2022秋•西城区期末）如图，AB是⊙O的一条弦，点C是AB的中点，连接OC并延长交劣弧AB于点D，连接OB，DB．若AB＝4，CD＝1，求△BOD的面积．【答案】．【解答】解：设⊙O的半径是r，∵点C是AB的中点，OC过圆心O，∴OC⊥AB，∵AB＝4，CD＝1，∴BC＝AB＝2，OC＝OD﹣CD＝r﹣1，∵OB2＝OC2+BC2，∴r2＝（r﹣1）2+22，∴r＝，∴OD＝，∴△BOD的面积＝OD•BC＝××2＝．【题型4同心圆与垂径定理综合】15．如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C，D两点，AC＝2．求BD的长．【答案】2．【解答】解：作OH⊥AB于H，∴AH＝BH，CH＝DH，∴AH﹣CH＝BH﹣DH，∴BD＝AC＝2．16．如图，在两个同心圆⊙O中，大圆的弦AB与小圆相交于C，D两点．（1）求证：AC＝BD；（2）若AC＝2，BC＝4，大圆的半径R＝5，求小圆的半径r的值；（3）若AC•BC等于12，请直接写出两圆之间圆环的面积．（结果保留π）【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：过O作OE⊥AB于点E，如图1，由垂径定理可得AE＝BE，CE＝DE，∴AE﹣CE＝BE﹣DE，∴AC＝BD；（2）解：连接OC、OA，如图2，∵AC＝2，BC＝4，∴AB＝2+4＝6，∴AE＝3，∴CE＝AE﹣AC＝3﹣2＝1，在Rt△AOE中，由勾股定理可得OE2＝OA2﹣AE2＝52﹣32＝16，在Rt△COE中，由勾股定理可得OC2＝CE2+OE2＝12+16＝17，∴OC＝，即小圆的半径r为；（3）解：连接OA，OC，作OE⊥AB于点E，如图2，由垂径定理可得AE＝BE．在Rt△AOE与Rt△OCE中：OE2＝OA2﹣AE2，OE2＝OC2﹣CE2，∴OA2﹣AE2＝OC2﹣CE2，∴OA2﹣OC2＝AE2﹣CE2＝（AE+CE）（AE﹣CE）＝（BE+CE）•AC＝BC•AC＝12，∴OA2﹣OC2＝12，∴圆环的面积为：πOA2﹣πOC2＝π（OA2﹣OC2）＝12π．【题型5垂径定理的实际应用】17.（2023•南平模拟）我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知大小，用锯子去锯这个木材，锯口深DE＝1寸，锯道AB＝1尺（1尺＝10寸），则这根圆柱形木材的直径是（）A．12寸 B．13寸 C．24寸 D．26寸【答案】D【解答】解：延长DE，交⊙O于点E，连接OA，由题意知DE过点O，且OD⊥AB，∵OD为⊙O半径，∴尺＝5寸，设半径OA＝OD＝r，∵DE＝1寸，∴OE＝（r﹣1）寸，在Rt△OAE中，根据勾股定理可得：（r﹣1）2+52＝r．解得：r＝13，∴木材直径为26寸；故选：D．18.（2022秋•龙岩期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧．如图1，点M表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O（O在水面上方）为圆心的圆，且圆O被水面截得的弦AB长为8米．若筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2米，则这个圆的半径为（）A．2米 B．3米 C．4米 D．5米【答案】D【解答】解：过O点作半径OD⊥AB于E，如图，∵AB＝8米∴AE＝BE＝AB＝×8＝4米，∵DE＝2米，∴设OD＝OA＝x米，则OE＝（x﹣2）米，在Rt△AOE中，OE2+AE2＝OA2，即（x﹣2）2+42＝x2，解得x＝5，故OA＝5米．故选：D．19．（2022秋•龙亭区校级期末）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝5，水面宽AB＝8，则截面圆心O到水面的距离OC是（）A．3 B．4 C． D．6【答案】A【解答】解：∵OC⊥AB，OC过圆心O点，∴BC＝AC＝AB＝×8＝4，在Rt△OCB中，由勾股定理得：OC＝＝3．故选：A．20．（2023•浦东新区模拟）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图，已知EF＝CD＝8cm，则球的半径长是（）A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm【答案】B【解答】解：设圆心为O，过点O作ON⊥AD于点N，交CB于点M，连接OF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠D＝90°，∴四边形CDNM是矩形，∴MN＝CD＝8，设OF＝xcm，则OM＝OF，∴ON＝MN﹣OM＝（8﹣x）cm，NF＝EN＝4cm，在Rt△ONF中，ON2+NF2＝OF2即：（8﹣x）2+42＝x2解得：x＝5，故选：B．21．（2022秋•黄冈期中）如图，一圆弧形桥拱的圆心为E，拱桥的水面跨度AB＝80米，桥拱到水面的最大高度DF为20米．求：（1）桥拱的半径；（2）现水面上涨后水面跨度为60米，求水面上涨的高度为10米．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图，设点E是拱桥所在的圆的圆心，作EF⊥AB于F，延长EF交圆于点D，则由垂径定理知，点F是AB的中点，AF＝FB＝AB＝40，EF＝ED﹣FD＝AE﹣DF，由勾股定理知，AE2＝AF2+EF2＝AF2+（AE﹣DF）2，设圆的半径是r，则：r2＝402+（r﹣20）2，解得：r＝50；即桥拱的半径为50米；（2）设水面上涨后水面跨度MN为60米，MN交ED于H，连接EM，如图2所示则MH＝NH＝MN＝30，∴EH＝＝40（米），∵EF＝50﹣20＝30（米），∴HF＝EH﹣EF＝10（米）；故答案为：10．22．如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D．已知：AB＝24cm，CD＝8cm．（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）．（2）求残片所在圆的面积．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）作弦AC的垂直平分线与弦AB的垂直平分线交于O点，以O为圆心OA长为半径作圆O就是此残片所在的圆，如图．（2）连接OA，设OA＝x，AD＝12cm，OD＝（x﹣8）cm，则根据勾股定理列方程：x2＝122+（x﹣8）2，解得：x＝13．即：圆的半径为13cm．所以圆的面积为：π×132＝169π（cm2）．22．（2022秋•二七区校级月考）如图，隧道的截面由半圆和长方形构成，长方形的长BC为12m，宽AB为3m，若该隧道内设双行道，现有一辆货运卡车高8m，宽2.3m，则这辆货运卡车能否通过该隧道？【答案】见试题解答内容【解答】解：能通过，在AD上取G，使OG＝2.3m，过G作EG⊥BC于F反向延长交半圆E，则GF＝AB＝3m，圆的半径OE＝AD＝6m，由勾股定理，得EG＝＝5.54，E点与BC的距离为5.54+3＝8.54＞8；故能通过．23.（2022秋•海曙区校级月考）如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为30m，拱高PM为9m，当洪水泛滥到跨度只有15m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有2m，即PN＝2m时，试求：（1）拱桥所在的圆的半径；（2）通过计算说明是否需要采取紧急措施．【答