专题01 一元二次方程的定义及配方法解一元二次方程压轴题七种模型全攻略（解析版）

专题01一元二次方程的定义及配方法解一元二次方程压轴题七种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一一元二次方程的识别】 1【考点二利用一元二次方程的定义求参数的值】 3【考点三一元二次方程的一般形式及各项系数】 4【考点四已知一元二次方程的解求参数（式子）的值】 5【考点五直接开平方法解一元二次方程】 7【考点六配方法解一元二次方程】 9【考点七用配方法解一元二次方程错解复原】 12【过关检测】 15【典型例题】【考点一一元二次方程的识别】【例题1】（2023春·安徽合肥·八年级统考期中）下列方程是一元二次方程的是（

）A． B．（a，b，c均为常数）C． D．【答案】C【分析】根据形如（a，b，c均为常数）的整式方程判断即可．【详解】A、中有分式，不是一元二次方程，故不符合题意；B、是一元二次方程，故不符合题意；C、整理得是一元二次方程，故符合题意；D、整理得不是一元二次方程，故不符合题意；故选C．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，形如（a，b，c均为常数）的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键．【变式1-1】（2023秋·江苏镇江·九年级统考期末）下列方程中，一定是一元二次方程的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可解答．【详解】A．不是整式方程，故不符合题意；B．方程化简可得不是一元二次方程，故不符合题意；C．是二元一次方程，故不符合题意；D．是一元二次方程，故符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程是整式方程，只含有一个未知数且未知数的项的次数最高为2次是解题的关键．【变式1-2】（2023春·浙江·八年级专题练习）下列关于x的方程：①；②；③；④；⑤中，是一元二次方程的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】本题根据一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．据此逐项判定即可．【详解】解：，当，不是一元二次方程，故①不是一元二次方程；满足一元二次方程的条件，故②是一元二次方程；分母含有未知数是分式方程，故③不是一元二次方程；未知数的最高次数是3，是一元三次方程，故④不是一元二次方程；化简后为，是一元一次方程，故⑤不是一元二次方程；所以正确的只有②共1个，故选：A．【点睛】本题考查一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．【考点二利用一元二次方程的定义求参数的值】【例题2】（2023秋·陕西宝鸡·九年级统考期末）已知是关于的一元二次方程，则的值是（）A．2 B．2或 C．0 D．【答案】B【分析】根据一元二次方程的定义，一个未知数，含未知数的项的最高次数为2的整式方程，解答即可．【详解】解：∵是关于的一元二次方程，∴，∴；故选B．【点睛】本题考查一元二次方程的定义．熟练掌握掌握一元二次方程的定义，是解题的关键．【变式2-1】（2023春·湖南株洲·九年级校联考阶段练习）若关于的方程是一元二次方程，则m应满足的条件是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据一元二次方程的定义，即可求解．【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程，∴且，解得：．故选：A【点睛】本题主要考查了一元二次方程，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程是解题的关键．【变式2-2】（2023·上海·八年级假期作业）若关于x的方程是一元二次方程，则a的值为__________．【答案】6【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程，根据定义解答即可．【详解】解：∵是一元二次方程，，解得，故答案为：6．【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，熟记定义是解题的关键．【考点三一元二次方程的一般形式及各项系数】【例题3】（2023春·八年级单元测试）方程化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（

）A．，1，6 B．，1，6 C．3，1，6 D．3，，【答案】D【分析】利用去括号法则、移项及合并同类项将方程化成一般式，根据一元二次方程定义直接求解即可得到答案．【详解】解：，，，根据一元二次方程定义可知二次项系数为、一次项系数为、常数项为，故选：D．【点睛】本题考查整式相关运算及一元二次方程定义，掌握相关运算及一元二次方程定义是解决问题的关键．【变式3-1】（2023·全国·九年级假期作业）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（

）A．，， B．，， C．，， D．，，【答案】C【分析】直接利用一元二次方程中各项系数的确定方法分析得出答案．【详解】解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为：，，．故选：C．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确确定各项系数是解题关键．【变式3-2】（2023春·安徽滁州·八年级校联考期中）方程化为一般式后的二次项、一次项、常数项分别是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】方程整理为一般形式，找出所求即可．【详解】解：方程整理得：，则二次项、一次项、常数项分别为．故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式是解此题的关键，注意：找各项时带着前面的符号．【变式3-3】（2023·江苏·九年级假期作业）将下列方程化为一元二次方程一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项：(1)；(2)．【答案】(1)二次项系数为3，一次项系数为，常数项为2(2)二次项系数为，一次项系数为1，常数项为【分析】（1）一元二次方程的一般形式是（a，b，c是常数且），a，b，c分别是二次项系数、一次项系数、常数项，据此解答即可；（2）一元二次方程的一般形式是（a，b，c是常数且），a，b，c分别是二次项系数、一次项系数、常数项，据此解答即可．【详解】（1）解：∵化为一般形式为，∴二次项系数为3，一次项系数为，常数项为2；（2）∵化为一般形式为，∴二次项系数为，一次项系数为1，常数项为．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：（a，b，c是常数且），其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．【考点四已知一元二次方程的解求参数（式子）的值】【例题4】（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）关于的一元二次方程的一个根是0，则的值为______．【答案】1【分析】根据关于的一元二次方程的一个根是0，将代入方程即可解出答案．【详解】解：关于的一元二次方程的一个根是0，当时，，解得．故答案为1．【点睛】本题主要考查的是一元二次方程解的应用，其中理解一元二次方程解的概念是解题的关键．【变式4-1】（2023·湖南长沙·校考二模）若是一元二次方程的一个根，则m的值是________．【答案】【分析】把代入方程求解即可．【详解】解：∵是一元二次方程的一个根，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查一元二次方程的解得定义，熟练掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键．【变式4-2】（2023·甘肃平凉·统考二模）若m是方程的一个根，则的值为______．【答案】【分析】先根据一元二次方程解的定义得到，再把整体代入所求式子中求解即可．【详解】解：∵m是方程的一个根，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义，代数式求值，熟知一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．【变式4-3】（2023·全国·九年级假期作业）若m是一元二次方程的根，则的值为_____【答案】6【分析】根据一元二次方程的解的定义可得出，从而可求出，，再将整理变形，最后整体代入求值即可．【详解】解：∵m是一元二次方程的根，∴，∴，，∴．【点睛】本题考查一元二次方程的解的定义，代数式求值．掌握方程的解就是使方程成立的未知数的值是解题关键．【考点五直接开平方法解一元二次方程】【例题5】（2023·上海·八年级假期作业）解关于的方程：．【答案】，【分析】利用直接开方法求解即可．【详解】解：整理方程，即得，直接开平方法解方程，得：∴方程两根为，．【点睛】本题考查直接开方法求解一元二次方程，理解并熟练运用直接开方法是解题关键．【变式5-1】（2023·上海·八年级假期作业）解关于的方程：．【答案】，【分析】整理方程，得，进而根据直接开平方法解一元二次方程JK【详解】整理方程，得，直接开平方法解方程，得：，即方程两根为，．【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．【变式5-2】（2023·江苏·九年级假期作业）解下列一元二次方程：；【答案】【分析】使用完全平方公式对方程进行变形，再求得结果．【详解】解：∴．【点睛】本题考查了解一元二次方程，其中准确使用完全平方公式进行变形是解题的关键．【变式5-3】（2023·上海·八年级假期作业）解下列方程：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)，(2)，(3)(4)【分析】（1）由，得或者，再解一次方程即可；（2）由，得，可得，再解一次方程即可；（3）由，得，从而可得答案；（4）由，得，即，从而可得答案．【详解】（1）解：∵，∴或者，∴原方程的解为：，；（2）∵，∴，∴，解得：或，所以原方程的解为：，；（3）∵，∴，解得：．∴原方程的解为：；（4）∵，∴，∴，∴原方程的解为：．【点睛】本题主要考查利用因式分解法与直接开平方法求解一元二次方程，熟记因式分解法与直接开平方法解一元二次方程的步骤是解本题的关键．【考点六配方法解一元二次方程】【例题6】（2023·全国·九年级假期作业）用配方法解关于的方程：．【答案】，【分析】先移项后，再配方得，再直接开方即可求解．【详解】解：，移项得：，配方得：，即，，解得：，．【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的步骤是解题的关键．【变式6-1】（2023秋·广东汕头·九年级统考期末）用配方法解方程：．【答案】【分析】根据配方法解一元二次方程即可求解．【详解】解：，∴

．∴．∴．

∴．

解得：．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程是解题的关键．【变式6-2】（2023·江苏·九年级假期作业）用配方法解方程：．【答案】，【分析】先将二次系数化为“1”，然后将常数项移到等号的右边，再在等号的两边同时加上一次项系数一半的平方，即可把方程左边化成含未知数的完全平方式，最后两边开平方求解．【详解】由，得，即，配方，得：，即，解得：，所以原方程的解为：，．【点睛】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根，注意先将二次项系数化为1，然后再配方是解题的关键．【变式6-3】（2023·江苏·九年级假期作业）用配方法解方程：．【答案】【分析】利用配方法求解即可．【详解】解：由，得：，∴，∴，∴原方程的解为：．【点睛】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根，注意先将二次项系数化为1，然后再配方，掌握配方法的步骤是解题的关键．【变式6-4】（2023·江苏·九年级假期作业）用配方法解方程：．【答案】，【分析】由，得，即，再利用直接开平方的方法解题即可．【详解】解：∵，∴，即，∴，

∴原方程的解为：，．【点睛】本题主要考查用配方法求解一元二次方程的根，掌握配方法的步骤是解本题的关键．【变式6-5】（2023春·浙江·八年级专题练习）解下列方程．(用配方法)【答案】，【分析】根据配方法解一元二次方程即可求解．【详解】解：∵，∴，则∴即∴，解得：，．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程是解题的关键．【考点七用配方法解一元二次方程错解复原】【例题7】（2023·全国·九年级假期作业）以下是圆圆在用配方法解一元二次方程的过程：解：移项得配方：开平方得：移项：所以：，圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．【答案】有错误，过程见解析【分析】直接利用配方法解一元二次方程的方法进而分析得出答案．【详解】解：圆圆的解答过程有错误，正确的解答过程如下：移项得：，配方：，，开平方得：，移项：，所以：，．【点睛】此题主要考查了解一元二次方程，正确掌握配方法解方程的步骤是解题关键．【变式7-1】（2023秋·河北沧州·九年级统考期末）阅读材料，并回答问题：佳佳解一元二次方程的过程如下：解：①②③④．问题：(1)佳佳解方程的方法是______；A．直接开平方法B．配方法C．公式法D．因式分解法(2)上述解答过程中，从______步开始出现了错误（填序号），发生错误的原因是______；(3)在下面的空白处，写出正确的解答过程．【答案】(1)B(2)②，等号右边没有加9(3)，．【分析】（1）利用配方法解方程的方法进行判断；（2）第2步方程两边都加上4，则可判断从②步开始出现了错误；（3）利用配方法解方程的基本步骤解方程．【详解】（1）解：佳佳解方程的方法为配方法；故选：B；（2）解：上述解答过程中，从②步开始出现了错误，发生错误的原因是方程右边没有加上9；故答案为：②；等号右边没有加9；（3）解：正确解答为：解：，移项得，配方得，即，∴，∴或，所以，．【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．【变式7-2】（2023秋·山西朔州·九年级统考期末）下面是某同学解方程的部分运算过程：解：移项，得，…第一步配方，得，………………第二步即，………………第三步两边开平方，得，……第四步…(1)该同学的解答从第______步开始出错；(2)请写出正确的解答过程．【答案】(1)四(2)解得过程见解析，，．【分析】（1）仔细检查分析每一步的运算即可得到答案；（2）利用配方法解方程，变形后为，再解方程不要漏解．【详解】（1）解：该同学的解答从第四步开始出错．（2）移项，得，配方，得，即，两边开平方，得或，解得：，．【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握“利用配方法解方程的步骤”是解本题的关键．【变式7-3】（2023春·八年级单元测试）用配方法解一元二次方程：．小明同学的解题过程如下：解：，小明的解题过程是否正确？若正确，请回答“对”；若错误，请写出你的解题过程．【答案】错误，见解析【分析】运用配方法解答该方程即可判定正误．【详解】解：错误，正确解法如下：解得，．【点睛】本题主要考查了运用配方法解一元二次方程，掌握配方法成为解答本题的关键．【过关检测】一、选择题1．（2023春·浙江·八年级专题练习）方程的解为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】方程利用平方根定义开方即可求出解．【详解】解：方程，开方得：或，解得：．故选：A．【点睛】题目主要考查利用直接开方法解一元二次方程，熟练掌握直接开方法是解题关键．2．（2023·江苏·九年级假期作业）下列关于的方程中，一定是一元二次方程的为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可．【详解】解：A、当时，该方程不是关于x的一元二次方程，故A不符合题意；B、方程整理后不含有二次项，该方程不是关于x的一元二次方程，故B不符合题意；C、该方程属于分式方程，不是关于x的一元二次方程，故C不符合题意；D、符合一元二次方程的定义，故D符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是．特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．3．（2023春·四川成都·九年级统考开学考试）把一元二次方程化成一般形式后，一次项系数的一半为（

）A．8 B．4 C． D．-4【答案】D【分析】将方程化为一般形式，再求出答案即可．【详解】解：原方程变为，可知一次项系数的一半是．故选：D．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，判断系数是解题的关键．4．（2023春·四川绵阳·九年级专题练习）关于x的一元二次方程为，则m的值是（

）A．2 B． C．2或 D．【答案】B【分析】利用定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程判定即可．【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程，∴，且．解得．故选：B．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是明确一元二次方程的定义．5．（2023·广东佛山·校联考一模）已知是方程的根，则代数式的值为（

）A．4044 B． C．2024 D．【答案】B【分析】由a是方程的一个根，将代入方程得到关于a的等式，变形后即可求出所求式子的值．【详解】解：∵a是方程的一个根，∴将代入方程得：，∴，∴故选：B．【点睛】本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程，得到关于a的式子，代入代数式化简求值．二、填空题6．（2023·全国·九年级假期作业）一元二次方程的一般形式是_____________．【答案】【分析】利用整式的乘法运算展开，然后整理即可得解．【详解】解：，，，，所以，一般形式为，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：（a，b，c是常数且），在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．7．（2023·全国·九年级专题练习）一元二次方程，配方后可变形为____．【答案】【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上16，然后把方程左边写成完全平方形式即可．【详解】解：，，，故答案为：．【点睛】本题考查了解一元二次方程—配方法，掌握配方法是解题的关键．8．（2023秋·贵州铜仁·九年级统考期末）一元二次方程的二次项系数、一次项系数与常数项的和等于______．【答案】【分析】先化为一般形式，继而即可求解．一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．【详解】解：的一般形式为，∴二次项系数、一次项系数与常数项分别为∴，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．9．（2023春·八年级单元测试）关于x的方程是一元二次方程，则m的值为____．【答案】【分析】根据一元二次方程的定义进行求解即可：只含有一个未知数，且未知数最高次数是2的整式方程是一元二次方程，注意二次项系数不能等于0．【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程，∴，且，解得：．故答案为：．【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，解决本题的关键是要熟练掌握一元二次方程的定义．10．（2023春·浙江金华·八年级校考阶段练习）已知a是方程的一个实数根，则的值是____________．【答案】【分析】先根据一元二次方程解的定义得到，再把整体代入所求式子中求解即可．【详解】解：∵a是方程的一个实数根，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．三、解答题11．（2023·全国·九年级假期作业）判断下列各式哪些是一元二次方程．①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．【答案】②③⑥.【分析】直接根据一元二次方程的定义进行判断即可．【详解】解：①不是方程；④不是整式方程；⑤含有2个未知数，不是一元方程；⑦化简后没有二次项，不是2次方程，②③⑥符合一元二次方程的定义．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的辨别，熟练掌握一元二次方程的定义是解答此题的关键．12．（2023春·浙江·八年级专题练习）填表：方程一般形式二次项系数一次项系数常数项【答案】见解析【分析】将方程化为一般形式，其中a为二次项系数、b为一次项系数、c为常数项，由此可解．【详解】解：方程一般形式二次项系数一次项系数常数项203【点睛】本题考查一元二次方程的相关概念，一元二次方程的一般形式是（a，b，c是常数且）．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数、一次项系数、常数项，掌握上述知识点是解题的关键．13．（2023春·浙江·八年级专题练习）用直接开平方法解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】（1）用直接开平方法解答即可；（2）用直接开平方法解答即可．【详解】（1），移项，得，两边同时除以49，得，开方，得，则方程的两个根为，．（2）两边同时除以9，得，开方，得，即或，则方程的两个根为，．【点睛】本题主要考查了用开方法解一元二次方程，解题