11.1 与三角形有关的线段【解析版】

第十一章三角形11.1与三角形有关的线段1三角形（1）概念由不在同一条直线上的三条线段顺次首尾相接所组成的图形叫做三角形.（2）分类①按角分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；②按边分：不等边三角形、等腰三角形、等边三角形.2三角形三边的关系三角形两边的和大于第三边；三角形两边的差小于第三边；解释在三角形ABC中，AB+AC>BC（由两点间线段最短可得），同理可得AB+BC>AC,AC+BC>AB；由AB+AC>BC⇒AB-BC<AC，同理得AB-AC<BC，BC-AC<AB.3与三角形有关的线段（1）高：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高。解释以下三个三角形中AD是边BC上的高，其中垂足是D。易得∠ADC=90°.课外结论：同一个三角形的三边的三条高会交于一点，该点称为三角形的垂心.（2）中线：连接一个顶点与对边中点的线段叫做三角形的中线。三角形的三条中线相交于一点，三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心.解释①如下图，在三角形ABC中，D、E、F分别是BC、AC、AB的中点，则边AB、AC、BC上的中线分别是CF、BE、AD，且三条中线中交于一点G,G称为三角形ABC的重点.②如上图，AD是边BC上的中线，则S∆ABC（3）角平分线，三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。解释如下图，在三角形ABC中，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，则线段AD叫做∆ABC的角平分线；课外结论：若线段BE、CF也是∆ABC的角平分线，它们会交于同一点，该点称为∆ABC的内心（这会在后面讲到）.4三角形的稳定性三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性.【题型1】三角形三边关系【典题1】下列长度的三条线段(单位：cm)能组成三角形的是()A．3，4，8 B．5，6，11 C．6，8，16 D．17，17，25解析A、∵3+4＜8，∴不能组成三角形，故不符合题意；B、∵5+6＝11，∴不能组成三角形，故不符合题意；C、∵6+8＜16，∴不能组成三角形，故不符合题意；D、∵17+17＞25，∴能组成三角形，故符合题意．故选：D．【典题2】已知三条线段的长分别是3，7，m，若它们能构成三角形，则整数m的最大值是()A．11 B．10 C．9 D．7解析∵三条线段的长分别是3，7，m，它们能构成三角形，∴7﹣3＜m＜7+3，∴4＜m＜10，∴整数m的最大值是9．故选：C．【巩固练习】1.已知三角形两边分别为4cm和3cm，则第三边可能是()A．1cm B．5cm C．7cm D．8cm答案B解析设第三边长为xcm，根据三角形的三边关系可得：4﹣3＜x＜4+3，解得：1＜x＜7，只有B选项在范围内．故选：B．2.一个三角形的两边长分别为3cm和4cm，则第三边的长可能是()A．1cm B．2cm C．7cm D．8cm答案B解析设第三边的长为xcm，由三角形的三边关系可得4﹣3＜x＜4+3，即1＜x＜7，所以它的第三边的长可能是2cm．故选：B．3.若长度分别为a，2，3的三条线段能组成一个三角形，则a的值可能是()A．1 B．2 C．5 D．8答案B解析由三角形的三边关系可知：3﹣2＜a＜3+2，∴1＜a＜5，故选：B．4.如图，为估计池塘两岸A，B间的距离，小明在池塘一侧选取了一点P，测得PA＝14m，PB＝10m，那么AB间的距离不可能是()​A．4m B．15m C．20m D．22m答案A解析∵PA＝14m，PB＝10m，∴PA﹣PB＜AB＜PA+PB，即4m＜AB＜24m，∴AB间的距离不可能是：4m．故选：A．5.三角形的三边长分别为3、6和a，其中a为奇数，那么这个三角形的周长是()A．14 B．15 C．16 D．14或16答案D解析根据三角形的三边关系得6﹣3＜a＜6+3，即3＜a＜9，∵a为奇数，∴a的值为5或7，当a＝5时，三角形的周长＝5+3+6＝14，当a＝7时，三角形的周长＝7+3+6＝16，∴这个三角形的周长是14或16．故选：D．6.已知，a，b，c为△ABC的三边，化简|a﹣b﹣c|﹣2|b﹣c﹣a|+|a+b﹣c|．答案﹣2a+4b﹣2c解析|a﹣b﹣c|﹣2|b﹣c﹣a|+|a+b﹣c|＝﹣(a﹣b﹣c)+2(b﹣c﹣a)+(a+b﹣c)＝﹣a+b+c+2b﹣2c﹣2a+a+b﹣c＝﹣2a+4b﹣2c．7.如图所示，P是△ABC内一点，连接PB、PC，试比较PB+PC与AB+AC的大小．答案AB+AC＞PB+PC解析如图，延长BP交AC于点D，在△ABD中，AB+AD＞PB+PD；在△PCD中，PD+DC＞PC，∴AB+AD+PD+DC＞PB+PD+PC，∴AB+AC＞PB+PC．【题型2】三角形的高【典题1】图，四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是()A． B． C． D．解析A、图形中，线段BE不是△ABC的高，不符合题意；B、图形中，线段BE不是△ABC的高，不符合题意；C、图形中，线段BE是△ABC的高，符合题意；D、图形中，线段BE不是△ABC的高，不符合题意；故选：C．【巩固练习】1.下列各三角形中，正确画出AC边的高的是()A． B． C． D．答案D解析∵△ABC中AC边上的高即为过点B作AC所在直线的垂线段，该垂线段即为AC边上的高，∴四个选项中只有选项D符合题意．故选：D．2.如图，CD⊥AB，AF⊥BC延长线于点F，BE⊥AC延长线于点E，则△ABC中BC边上的高是()A．AF B．AE C．CD D．BE答案A解析∵AF⊥BC交延长线于点F，∴△ABC中BC边上的高是AF，故选：A．【题型3】三角形的中线【典题1】如图，△ABC中，AB＝16，BC＝10，BD是AC边上的中线，若△ABD的周长为30，则△BCD的周长是()A．20 B．24 C．26 D．28解析∵BD是AC边上的中线，∴CD＝AD，∵△ABD的周长为30，∴AB+AD+BD＝30，∴16+CD+BD＝30，∴CD+BD＝14，∴△BCD的周长＝BC+CD+BD＝14+10＝24，故选：B．【典题2】如图，BD是△ABC的中线，点E、F分别为BD、CE的中点，若△AEF的面积为3．则△ABC的面积是()A．9 B．10 C．11 D．12解析∵F是CE的中点，△AEF的面积为3，∴S△ACE=2S△AEF=6，∵E是BD的中点，∴S△ADE=S△ABE，S△CDE=S△BCE，∴S△ACE=S△ADE+S△CDE=S△ABE+S△BCE=S△ABC，∴△ABC的面积=12．故选：D．【巩固练习】1.如图，AD是△ABC的中线，则下列结论正确的是()A．∠BAD＝∠CAD B．BD＝CD C．AB＝AC D．AC＝AD答案B解析∵AD是△ABC的中线，∴BD＝DC，故选：B．2.如图，AE是△ABC的中线，点D是BE上一点，若BD=5，CD=9，则CE的长为()A．5 B．6 C．7 D．8答案C解析∵BD=5，CD=9，∴BC=BD+CD=14，∵AE是△ABC的中线，∴CE=BE=12BC=7故选：C．3.在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多3，AB与AC的和为13，则AC的长为()A．5 B．6 C．7 D．8答案D解析∵AD是BC边上的中线，∴BD＝DC，由题意得，(AC+CD+AD)﹣(AB+BD﹣AD)＝3，整理得，AC﹣AB＝3，则&AC-AB=3&AC+AB=13，解得&AC=8故选：D．4.如图，AD是△ABC的中线，AE是△ABD的中线，若BE=3，则BC=．答案12解析∵AE是△ABD的中线，BE=3，∴BD=2BE=6，∵AD是△ABC的中线，∴BC=2BD=12故答案为：12．5.如图，在△ABC中，点D是BC边上的一点，E，F分别是AD，BE的中点，连接CE，CF，若S△CEF=5，则△ABC的面积为.答案20解析根据等底同高的三角形面积相等，可得∵F是BE的中点，S△CFE=S△CFB=5，∴S△CEB=S△CEF+S△CBF=10，∵E是AD的中点，∴S△AEB=S△DBE，S△AEC=S△DEC，∵S△CEB=S△BDE+S△CDE，∴S△BDE+S△CDE=10∴S△AEB+S△AEC=10∴S△ABC=S△BDE+S△CDE+S△AEB+S△AEC=20【题型4】三角形的角平分线【典题1】在△ABC中，AD为中线，BE为角平分线，则在以下等式中：(1)∠BAD=∠CAD；(2)∠ABE=∠CBE；(3)BD=DC；(4)AE=EC，其中正确的是()A．(1)(2) B．(3)(4) C．(1)(4) D．(2)(3)解析∵AD为中线，∴BD=DC，故(3)正确，∵BE为角平分线，∴∠ABE=∠CBE，故(2正确，没有条件得出(1)和(4)正确，故选：D．【巩固练习】1.如图，如果∠1=∠2=∠3，则AM为△的角平分线，AN为△的角平分线．答案ABN；AMC解析∵∠1=∠2，∴AM为△ABN的角平分线，∵∠2=∠3，∴AN为△AMC的角平分线．故答案为：ABN；AMC．2.如图，在△ABC中，AE是高，BD是角平分线，CF是中线，下列说法不正确的是()A．∠ACF=∠BCF B．∠ABD=∠CBD C．∠AEC=∠AEB D．AF=BF答案A解析∵CF是中线，∴AF=FB，但∠ACF与∠BCF不一定相等，故A选项说法错误，符合题意，D选项说法正确，不符合题意；∵BD是角平分线，∴∠ABD=∠CBD，B选项说法正确，不符合题意；∵AE是高，∴∠AEC=∠AEB=90°，C选项说法正确，不符合题意；故选：A．3.如图，在△ABC中，∠C=90°，D，E是边AC上两点，AE=DE，BD平分∠EBC，下列说法中不正确的是()A．BE是△ABD的中线 B．BD是△BCE的角平分线 C．∠1=∠2=∠3 D．BC是△ABE的高答案C解析A、∵AE=DE，∴BE是△ABD的中线，故本选项说法正确，不符合题意；B、∵BD平分∠EBC，∴BD是△BCE的角平分线，故本选项说法正确，不符合题意；C、∠2=∠3，但∠2、∠3与∠1的关系不确定，故本选项说法错误，符合题意；D、∵∠C=90°，∴BC是△ABE的高，故本选项说法正确，不符合题意；故选：C．4.如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB=50°，∠C=60°，求∠DAE和∠BOA的度数．答案∠DAE=5°，∠BOA=120°．解析∵∠CAB=50°，∠C=60°,∴∠ABC=180°﹣50°﹣60°=70°，又∵AD是高，∴∠ADC=90°，∴∠DAC=180°﹣90°﹣∠C=30°，∵AE、BF是角平分线，∴∠CBF=∠ABF=35°，∠EAF=25°，∴∠DAE=∠DAC﹣∠EAF=5°，∠AFB=∠C+∠CBF=60°+35°=95°，∴∠BOA=∠EAF+∠AFB=25°+95°=120°，∴∠DAC=30°，∠BOA=120°．故∠DAE=5°，∠BOA=120°．【题型5】三角形的稳定性【典题1】如图，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是()A．三角形具有稳定性 B．垂线段最短 C．两点之间，线段最短 D．两直线平行，内错角相等解析人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理：三角形具有稳定性．故选：A．【巩固练习】1.下列图形具有稳定性的是()A． B． C． D．答案B解析∵三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性，∴图形中具有稳定性的是B．故选：B．2.要使四边形木架(用四根木条钉成)不变形，至少要再钉上的木条的根数为()A．一条 B．两条 C．三条 D．零条答案A解析∵三角形具有稳定性，∴要使四边形木架(用四根木条钉成)不变形，至少要再钉上一根木条．故选：A．3.如图是李老师去某地旅游拍摄的“山谷中的铁架桥”，铁架桥框架做成了三角形的形状，该设计是利用三角形的()A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．三角形的稳定性答案D解析铁架桥框架做成了三角形的形状，是为了更稳固，利用了三角形的稳定性．故选：D．【A组---基础题】1.下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是()A． B． C． D．答案C解析A、知道两个角，可以计算出第三个角的度数，因此可以判断出三角形类型；B、露出的角是钝角，因此是钝角三角形；C、露出的角是锐角，其他两角都不知道，因此不能判断出三角形类型；D、露出的角是钝角，因此是钝角三角形；故选：C．2.如图，一扇窗户打开后，用窗钩BC可将其固定，这里所运用的数学原理是()A．三角形具有稳定性 B．两点确定一条直线 C．两点之间线段最短 D．三角形的两边之和大于第三边答案A解析一扇窗户打开后，用窗钩BC可将其固定，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性，故选：A．3.一个三角形的两边长分别为3和5，第三边长为偶数，则第三边长可能为()A．4或6 B．2或4 C．4 D．6答案A解析由题意，令第三边为x，则5﹣3＜x＜5+3，即2＜x＜8，∵第三边长为偶数，∴第三边长是4或6．故选：A．4.如图图形中，作△ABC的边BC上的高，正确的是()A． B． C． D．答案A解析A、图形中，AD是△ABC的BC边上的高，本选项符合题意；B、图形中，不能表示△ABC的BC边上的高，本选项不符合题意；C、图形中，不能表示△ABC的BC边上的高，本选项不符合题意；D、图形中，不能表示△ABC的BC边上的高，本选项不符合题意；故选：A．5.如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，D是BC边上的一点，若△ABD的周长比△ACD的周长大2，则AD是()A．△ABC的高 B．△ABC的角平分线 C．△ABC的中线 D．都有可能答案C解析∵△ABD的周长比△ACD的周长大2，∴(AB+BD+AD)﹣(AC+CD+AD)=2，∴AB+BD﹣AC﹣CD=2，∵AB=5，AC=3，∴BD=CD，∴AD是△ABC的中线，故选：C．6.如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是()A．AB=2BF B．∠ACE=12∠C．AE=BE D．CD⊥BE答案C解析∵CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，∴CD⊥BE，∠ACE=12∠ACB，AB=2BF，无法确定AE=故选：C．7.如图，AD是△ABC的中线，若AB=6，AC=5，则△ABD与△ACD的周长之差为．答案1解析∵AD是△ABC的中线，∴BD=DC，∵AB=6，AC=5，∴△ABD与△ACD的周长之差为：(AB+AD+BD)﹣(AC+AD+DC)=AB﹣AC=6﹣5=1，故答案为：1．8.若AD是△ABC的高，且BD=5，CD=2，则边BC的长为．答案7或3解析当△ABC为锐角三角形时，如图所示：∵BD=5，CD=2，∴BC=BD+CD=5+2=7；当△ABC为钝角三角形时，如图所示：∵BD=5，CD=2，∴BC=BD﹣CD=5﹣2=3；综上分析可知，边BC的长为7或3．故答案为：7或3．9.若△ABC三条边长为a，b，c，化简：|a﹣b﹣c|﹣|a+c﹣b|＝．答案2b﹣2a解析根据三角形的三边关系得：a﹣b﹣c＜0，c+a﹣b＞0，∴原式＝﹣(a﹣b﹣c)﹣(a+c﹣b)＝﹣a+b+c﹣a﹣c+b＝2b﹣2a．故答案为：2b﹣2a10.如图，在△ABC中，AD是中线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若AB=6cm，AC=4cm，则DEDF=答案2解析∵△ABC中，AD为中线，∴BD=DC．∴S△ABD=S△ADC．∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AB=6，AC=4．∴1∴1∴DE故答案为：2311.已知△ABC(如图)，按下列