四年级奥数班讲义

第一讲定义新运算(又名:自定义)例1:规定一种运算:a△b=3×a＋4×b,例如,2△5=3×2＋4×5=6＋20=26,5△2=3×5＋4×2=15＋8=23,……,根据以上规律计算:①10△2②2△10含义:给定两个数a和b,用3乘第一个数a,用4乘第二个数b,并将结果相加10△22△10=3×10＋4×2=3×2＋4×10=30＋8=6＋40=38=46“△〞为“关系符号〞，不是运算符号，可以是任意的字符，图片，实物等计算完毕后比拟一下:定义新运算中,交换律适用吗?配套练习:1.规定一种运算:m□n=4×m－3×n,根据以上规律计算:5□32.规定一种运算：a△b=﹙a＋b﹚×﹙a－b﹚，试求：6△4例2：对于两个数a和b，规定：a△b=﹙a+3﹚×﹙b+4﹚，试求：①1△2△3②1△﹙2△3﹚①其运算顺序与四那么混合运算顺序相同，但要注意，先计算局部是个整体，应加括号，没算到的局部往下带。②应该用开展的、动态的眼光对待a和b.1△2△3=[﹙1+3﹚×﹙2+4﹚]△3﹙a=1,b=2﹚=[4×6]△3=24△3=﹙24+3﹚×﹙3+4﹚=27×7=1891△﹙2△3﹚=1△[﹙2+3﹚×﹙3+4﹚]=1△[5×7]=1△35=﹙1+3﹚×﹙35+4﹚﹙a=1,b=35﹚=4×39=156配套练习:对于两个数a和b,规定a○b=a+5b,试求①1○2○3②1○﹙2○3﹚对于两个数a和b,规定:a□b=﹙a－2﹚×﹙b÷2﹚.试求:3□﹙5□4﹚例3:如果2☆3=2+3+4,5☆2=5+6,4☆5=4+5+6+7+8,......照此规律,计算①3☆5②8☆3简析:此题是自找规律,通过观察,找到a和b之间的关系是关键.①首数字是第一个数,每组数是递增的,个数的多少受第二个数的限制,第二数是几,加数就是几个②加数较多时可用配对法计算或等差数列求和公式计算.3☆58☆3=3+4+5+6+7=8+9+10=25=27注:本组计算有技巧,你能发现吗?配套练习:如果5▽3=5×6×7,2▽4=2×3×4×5,按此规律计算:3▽4.如果2▽4=24÷﹙2+4﹚,3▽6=36÷﹙3＋6﹚,按此规律计算:8▽4例4:规定一种运算:5C3=﹙5×4×3﹚÷﹙3×2×1﹚=10,6C2=﹙6×5﹚÷﹙2×1﹚=15,10C4=﹙10×9×8×7﹚÷﹙4×3×2×1﹚=210,按此规律计算:7C4家庭作业1.规定一种运算:a□b=3a＋4b,试求:5□62.规定一种计算:a※b=〔a-1〕×〔b+1〕,试求：3※2※1如果1□5=1+11+111+1111+11111,2□4=2+22+222+2222,3□3=3+33+333,试求:7□4如果5P2=5×4,6P3=6×5×4,7P4=7×6×5×4,按此规律计算：〔6P3〕÷〔3P3〕规定一种运算:A◎B=2A+3B,试求:1◎〔2◎3〕本次作业评分:值得注意的地方:第二讲一.阔步课堂例1:用0,2,4,6,5组成三位数乘两位数,乘积最大的算式是什么?乘积最小的算式是什么?〔两数之差越大,乘积越小;两数之差越小,乘积越大.运用这一原理,可以解决问题.其中第一问可以使用画图法加以解决,方便快捷〔图略〕.62×540=3348020×456=9120例2:甲乙两数的乘积是60,如果甲数扩大5倍,乙数不变,乘积是多少?如果甲数不变,乙数扩大5倍,乘积是多少?如果甲乙都扩大5倍,乘积是多少?60×5=30060×5=30060×5×5=1500二.盈亏问题例1:将一堆苹果分给小朋友,每人分9个,那么少45个;每人分7个,那么多5个.有多少人,共有多少个苹果?此题属典型的盈亏问题.多为“盈〞,少为“亏〞.重点在于理解盈与亏之间的关系.可借助线段图加以理解.苹果总数和人数是不变的,两次分配中的总数差异是因为两次中每人分得的个数差异造成的.总数相差多少?借助线段图直观显示(图略)45+5=50〔个〕每人分配相差多少?9－7=2〔个〕一共有几人?50÷2=25〔人〕一共有几个苹果?9×25－45=180〔个〕或者25×7+5=180〔个〕练习:某校有假设干个学生寄宿学校.假设每一间房住6人,那么多40人;假设每间房住8人,那么最后一间房少2人.有多少住宿学生和多少间房?数学兴趣小组同学做数学题,如果每人做6道题,那么少4道;如果每人做4道题,那么多10道.有多少个学生和多少道题?例2:同学们去划船.每船坐4人,那么少一条船;如果每条船坐6人,那么多出4条船.有多少条船和多少人?总数相差多少?4×1+4×6=28〔人〕每条船坐的人数相差多少?6-4=2〔人〕有几条船?28÷2=14〔条〕有多少人?14×4＋4=60〔人〕或者14×6－4×6=60〔人〕练习:学校给新生分配宿舍,如果每间住8人,那么少2间房;如果每间住10人,那么多出2间房.一共有几间房和多少人?一个学生从家到学校,如果以每分钟50米的速度行走,就要迟到8分钟;如果以每分钟60米的速度行走,就可以提前5分钟到校.这个学生出发时离上学时间还有多少分钟?例3:学校派一些学生搬一批树苗.如果每人搬6棵,那么差4棵;如果每人搬8棵,那么差18棵.学生有多少人?有多少棵树?此题属双亏问题.重点在于理解总数相差多少.仍然借助线段图解决问题，总数相差多少?18-4=14〔棵〕每人搬的树苗相差多少?8－6=2〔棵〕有多少人?14÷2=7〔人〕有多少棵树?7×6—4=38(棵)练习:科学课堂上,老师给同学们发树叶.如果每人分6片,少7片;如果每人分8片,那么少17片.有多少片树叶?一堆苹果分给同学们.每人4个,多8个;假设每人2个,多18个.学生有多少人?家庭作业1.用2,3,4,5,6,7这六个数字组成两个三位数,它们的最大乘积是多少?发作业本,每人3本,多20本;假设每人5本,那么少50本.有多少名学生?同学们旅游住宿.住3人间,少4间房;假设住5人间,那么多出2间房.有多少人?4.小明带钱买同样的书.买三本,少10元;买5本,少50元.小明带了多少元?本次作业评分:值得注意的地方:第三讲一.阔步课堂例1:有两桶水,如果从第一桶到10升给第二桶,那么两桶水一样多.两桶水一共有120升,这两桶水各有多少升?此题属和差问题.可以用线段图帮助理解.也可用公式解决.①方法一:倒着做.从总重入手,倒推各有多少升:120÷2=60〔升〕第一桶有:60+10=70〔升〕,第二桶有60-10=50〔升〕方法二:画线段图.变不平均分为平均分.A方法一:都与第二桶同样多:120-10×2=100〔升〕100÷2=50〔升〕……第二桶第一桶:120-50=70〔升〕B方法二:都与第一桶同样多:120+10×2=140〔升〕140÷2=70〔升〕……第一桶第二桶120-70=50〔升〕二.替换法例1.□＋□＋○＋○＋○=200,□=○＋5那么□=〔〕○=〔〕简析:这是符号化的替换,比拟直观.有两种替换方式.替换成□:每个○加5,正好可将○换成□.3个○加5×3=15,现在的总和是200+15=215,正好是5个□的总和,所以每个□是:215÷5=43,因此○是:43-5=38替换成○:每个□减去5,正好可以替换成○.每个□减少5,一共减少:5×2=10,现在总和是200-10=190,这是5个○的总和.每个○为:190÷5=38,每个□为:38+5=43练习:1.◎＋◎＋◎＋□＋□＋□＋□=300,□－◎=5,那么◎是几?□是几?甲乙共有600元,甲比乙多10元.甲乙各有多少元?例2:◎＋◎＋□=210,◎÷□=3,那么◎=(),□=()简析:此题是例1的变式.本质相同.区别在于替换条件有所变化.因计算条件限制,替换只能以大换小.第二个条件是替换根据.一个◎可换3个□.◎一共可换3×2=6〔个〕□,现在共有6+1=7(个)□,所以每个□为:210÷7=30,每个◎为:30×3=90练习:1.长方形周长80厘米,长比宽长2厘米.求长方形的长与宽各是多少.2.甲乙共有600元.甲的钱是乙的2倍.甲乙各有多少元?做完后思考:此题与和倍问题有什么相通之处?例3:等腰三角形的顶角比比底角大18º.求它的顶角与底角度数.等腰三角形两腰的夹角是顶角,底与腰的夹角是底角.等腰三角形有两个相等的底角.全替换成底角:顶角去掉18º,变成底角,三底角之和是:180º-18º=162º,每个底角度数为:162º÷3=54º,那么顶角为:54º＋18º=72º全替换为顶角:每个底角增加18º,一共增加18º×2=36º.此时三个顶角之和为:180º+36º=216º,每个顶角度数为:216º÷3=72º,那么底角为:72º-18º=54º练习:1.等腰三角形的底角比顶角大18º,那么底角与顶角各是多少度?2.等腰三角形的底角度数是顶角的2倍,那么底角与顶角各是多少度?例4:甲乙共有210元.甲的钱比乙的3倍多10元.甲乙各有多少元?从甲的钱数里去掉多出的10元,此时甲乙共有210-10=200〔元〕,甲的钱正好是乙的3倍.画线段图,弄清200元与倍数间的关系.顺利解答:200÷〔3+1〕=50〔元〕,从而甲的钱数为50×3+10=160〔元〕或者210-50=160〔元〕练习:1.甲有200元,比乙的4倍多40元.乙有多少元?2.甲乙共有300元.甲比乙的3倍少60元.甲乙各有多少元?3.某班共有50人,男生比女生多6人.男女生各有多少人?4.长方形周长是60厘米.长是宽的2倍.长和宽各是多少厘米?5.□＋□＋□＋◎＋◎＋◎＋◎=600,□=◎＋◎,那么◎=〔〕□=〔〕6.甲乙共有900元,甲的钱数是乙的5倍.甲乙各有多少元?7.甲有400元,乙比甲的2倍少40元.甲乙共多少元?第四讲一.阔步课堂例1:三角形的周长是20厘米.那么三角形的最长边长度小于〔10〕厘米.此题属于三角形三边关系的内容.重点在于：三角形任意两边之和大于第三边.最短的两边之和也大于第三边,从而最长边小于20÷2=10〔厘米〕例2:把一根16厘米长的吸管剪成三段〔每段都是整厘米〕,围成一个三角形,可能围成多少种不同的三角形?最长边的范围:最长边小于16÷2=8〔厘米〕小于8,且另两边都不大于8,那么16=7+7+2=7+6+3=7+5+4=6+6+4=6+5+5,有5种练习：用12根火柴棒拼三角形，可以拼出多少种不同的三角形？〔不许弯折〕二.复原问题例1:一个数的7倍减去5再加上2,然后除以3得20.求这个数.此题从最后的条件入手解答,也叫“倒着做〞.一般用分步式解答.20×3=6060-2=5858+5=6363÷7=9练习:1.甲,乙,丙三人各有人民币假设干元.甲给乙125元,乙给丙135元,丙给甲40元.这时三个人的钱数都是365元.甲,乙,丙三人原来各有多少元?2.一个数乘9,加上19,再乘2,最后除以2等于109,这个数是多少?例2:马大哈做减法计算时,把减数个位上的1看成7,把被减数十位上的6看成9,结果得到差为600.正确的差是多少?7-1=6，90-60=30600-30+6=576练习：1.粗心的王蕾在做加法试题时，把个位上的5看成看6，把十位上的8看成了3，结果得到和为123，正确的答案应该是多少？2.小马虎甲在计算一道三位数乘两位数乘法时，把一个乘数个位上的5误写成3，乘得的积是4485；小马虎乙却把这个5错写成8，乘得的积是5460.正确的积是多少？3.袋子里一共有假设干个棋子，琪琪每次拿出其中的一半多2个，这样一共拿了5次，袋中正好没有棋子了。原来袋中有多少个棋子4..等腰三角形的底角是顶角的4倍，那么三角形的底角是多少度？5..有一筐橘子，每次拿出其中的一半，然后放回1个。这样连续拿了次，筐里的橘子还剩下4个。筐中原来有多少个橘子？6..有一个数，把它乘4后再减去46，所得的差除以3，然后减去10，最后得4.这个数是多少？7..用13根火柴棒摆三角形，不许弯折，一共可以摆成多少种不同的三角形？第五讲一.阔步课堂例1:一个房间,用边长6分米的方砖来铺,需要500块;改用边长5分米的方砖来铺,需要多少块方砖?简析:此题属铺地问题.铺地并非只沿着边来铺,所以不能算周长,要算地面的大小即面积.①原来一块砖的面积多大?6×6=36〔平方分米〕②房间有多大?36×500=18000〔平方分米〕③现在每块砖面积多大?5×5=25〔平方分米〕④现在要多少块砖?18000÷25=720(块)答:略例2:(文字题)28与14的和除以它们的差,结果是多少?简析:文字题重点在于计算顺序,可以看做是小型化的应用题.可以运用“遇‘和’、‘差’、‘再’,括号自然来〞辅助列式计算.〔28+14〕÷〔28-14〕=42÷14=3配套练习:用边长4分米的方砖铺地,需要600块.改用面积30平方分米的方砖来铺,需要多少块?二.数码问题例1:一个两位数,十位数字是个位数字的2倍.如果这个数加上4,所得的两位数的两个数字相同.求这个两位数.简析:此题属于“简单枚举〞,可以把符合第一个条件的两位数列举出来,再根据后面的条件进行排除.①符合第一个条件的两位数有:21,42,63,84②把每个数加4后进行排查:21+4=25,两个数字不相同42+4=46,两个数字不相同63+4=67,两个数字不相同84+4=88,两个数字相同,符合条件.答:这个数是84.配套练习:一个两位数,个位数字是十位数字的3倍.如果把这个数加7,那么这两个数字就相同.求这个数.例2:一个两位数,其数字之和是5,如果这个数减去9,那么两个数字的位置互换.求原来的两位数.简析:此题属于例1的稳固与拓展.也采用列举法进行筛选.①符合第一个条件的两位数有:14与41,23与32,50②用后面的条件进行排查:14-9=5,不符合条件41-9=32,不符合条件23-9=14,不符合条件32-9=23,符合条件50-9=41,不符合条件答:这个数为32.例3:4个连续自然数之和为206.那么这4个自然数各是多少?简析:此题属于“寻找规律,运用规律〞的内容,可以先通过对任意4个连续自然数的观察研究,寻找规律:等差.再进行计算①以最小数为基准:后面三个数分别比第一个数大1,2,3.所以从总和里去掉1,2,3后,四个数大小相等.(206-1-2-3)÷4=50,50+1=51,51+1=52,52+1=53.四个数为50,51,52,53②以最大数为基准:前面的三个数分别比第一个数小1,2,3.因此,只要把总和增加1+2+3=6,四个数就大小相等了.(206+1+2+3)÷4=53,53-1=52,53-2=51,53-3=50四个数为50,51,52,53③以中间数为基准:中间两个数的和是:206÷2=103两数相差1,属于“和差问题〞,较大数为:〔103+1〕÷2=52,较小数为:〔103-1〕÷2=51.那么其余两个数为:52+1=63,51-1=50配套练习:5个连续自然数之和为105,求这5个数各是多少.例4:一本书共有246页,求从第一页到最后一页,编这本书的页码一共用了多少个数字?简析:此题表达了分类思想,.要做到有条不紊,必须合理分类.①1-9页,9个数,9个数字②10-99页,90个数,共有90×2=180(个)数字③100-246页,共147个数,共有147×3=441(个)数字④一共用了多少个数字?9+180+441=630(个)数字答:一共用了630个数字.家庭作业1.复习本节例题2.一本书100页,从第一页到最后一页,页码一共用了多少个数字?3.4个连续自然数之和为106,求这四个数各是多少.4.一个两位数,其数字和为10,如果这个数加上36,那么两个数字的位置正好互换.求原来的两位数.本次作业评分:值得注意的地方:第六讲一.阔步课堂就大家提出的问题讲解一至两个:略二.容斥〔重叠〕问题例1.某班40名同学参加书法或绘画活动.参加书法的有30人,参加绘画的有15人.两种都参加的有多少人?简析:此题是关于重叠的内容.获得根本解题模式是关键.其根本模式是A+B-C=不重复总数.①画图(略),用序号标清数量②解答:30+15-40=5(人)也可以借助图形分类计算(略)配套练习:五年级有200名学生参加语文、数学考试,每人至少有一门优秀.其中语文优秀的有110人,数学优秀的150人.语文和数学都优秀的有多少人?例2:某小学选出10人参加区级作文和书法比赛.结果人人获奖.其中3人两项比赛都获奖,作文比赛6人获奖,书法比赛几人获奖?简析:此题是例1的变式题.处理方法根本相同.作文获奖人数+数学获奖人数-都获奖人数=10人①10+3-6=7〔人〕②想一想:下面的算式有什么道理?10-6+3=7〔人〕10-(6-3)=7〔人〕配套练习:一个班有50人,他们分别订了《数学大世界》和《中国少年报》,其中订阅《数学大世界》的有30人,两种都订阅的有12人,订阅《中国少年报》的有多少人?例3:某班56人,参加语文竞赛的有28人,参加绘画比赛的有27人,两项都没有参加的有25人.那么同时参加比赛的有多少人?简析:此题增加了不参加比赛的人.既然没参加,那就从总人数里去掉这些人,剩下的就是至少参加一项的人了.①参加比赛的有多少人?56-25=31〔人〕②两项都参加的有多少人?28+27-31=24〔人〕③下面的算式有什么道理?28-(56-25-27)=24〔人〕27-(56-25-28)=24〔人〕答:同时参加比赛的有24人.配套练习:1.一个旅行社有36人,其中会英语的有24人,会法语的有18人,两样都不会的有4人.两样都会的有多少人?2.四年级参加合唱队的有40人,参加舞蹈队的有20人,两项都参加的有14人,两项都没有参加的有10人,这个年级有多少人?例4.光明小学举办书法展览.各个年级均有展品,其中24幅不是五年级的,有22幅不是六年级的,五六年级的参展作品共有10幅,其他年级参展的作品一共有多少幅?简析这是一道需要简单推理的学习内容.数量关系比拟复杂,应该列举:其他年级作品数+六年级作品数=24(幅)其他年级作品数+五年级作品数=22(幅)五年级作品数+六年级作品数=10(幅)其它年级作品数(22+24-10)÷2=18(幅)答:其他年级参展的作品一共有18幅.做完后思考:下面的解法有什么道理?①(24+10+22)÷2-10=18(幅)②24-(24-22+10)÷2=18(幅)③22-[10-〔24-22〕]÷2=18(幅)注意:“和差问题〞没学好的同学抓紧复习公式.家庭作业1.复习前五节学习内容2.六一儿童节那天,学校的画廊展出了每个年级的图画作品,其中有25幅不是三年级的,有19幅作品不是四年级的,三四年级的参展作品共有10幅.其它年级的参展作品一共有多少幅?3.甲乙共有100元.甲的钱数是乙的4倍.甲有多少元?4.某年级40名学生参加兴趣小组活动情况如下:19人参加了数学和科技两个兴趣小组,11人两个小组都没参加,25人参加数学小组,有多少人参加科技小组?本次作业评分:值得注意的地方:第七讲一.阔步课堂例1:数平行四边形个数(图略)简析:此题属于技巧性学习内容.根本方法是一个个地数,这过于繁琐,而且容易重复与遗漏.其次是按照“一个一个地数,两个两个地数,…〞,根据个数分类数,仍然费时费力.因此有必要简化,用数学的方法解决问题.本教材使用“横加×竖加〞的方法计算个数,快捷简便.配套练习求平行四边形个个数.图略例2:一个梯形的上底长度是下底的3倍,如果将梯形的下底延长6厘米,这个梯形就变成了-平行四边形.这个梯形的上下底各是多少厘米?简析:此题属于与操作相关的学习内容.重点通过画图观察,找到解题突破口.是差倍问题的具体应用.①画图②解答:6÷〔3-1〕=3(厘米)…….下底长度上底长度:3×3=9(厘米)配套练习:梯形的上底长度是下底的4倍.如果下底延长12厘米,就变成了平行四边形.那么上底长度是多少?二.假定法解题例1:今有鸡、兔共居一笼,鸡头和兔头共35个,鸡脚和兔脚共94只.鸡和兔各有多少只?简析:此题属于中国古代“鸡兔同笼〞问题.有画图法,列表法,假定法等多种解题方法.用假定法解题需要把两个量看成同一个量,根据总量和单一量的变化求解.①qq上流传的方法:假定鸡和兔一起跳舞,第一节:拎起一只脚,大家都做到,这时还有94-35=59只脚,第二节:大家表现都不错,欢送再拎一只脚,这时还有59-35=24只脚.只是鸡儿耐不住,扑通扑通全跌倒(偷笑:鸡儿早已没有脚,只能屁股着地冷汗冒).这时出来数一遍,一双脚来一只兔,数来数去不混淆.一个字:妙!②假定法:假定全是兔:共有几只脚?4×35=140〔只〕多算几只脚?140-94=46(只)每只鸡多算几只脚?4-2=2(只)有几只鸡?46÷2=23(只)兔有几只?35-23=12〔只〕答:鸡有23只,兔有12只.配套练习:假定全是鸡呢?例2:兔妈妈采蘑菇,晴天每天采32个,雨天每天采22个.兔妈妈一共采了390个,平均每天采26个,这些天有几天下雨?简析:此题是鸡兔同笼问题的变式.可以先求出采蘑菇的天数.然后合理假定.①一共采了几天?390÷26=15〔天〕②假定全是晴天一共采大多少个?32×15=480〔个〕多采多少个?480-390=90〔个〕每个雨天多采了多少个?32-22=10〔个〕雨天一共有多少天?90÷10=9(天)③假定全是雨天呢?答:这些天有9天下雨.配套练习:将问题改为“这些天有几天是晴天?〞用两种方法解答.例3:某次数学竞赛一共有10题.答对一题得10分,答错一题或不答倒扣5分.小明参赛得分为70分.他做对了多少题?简析:此题的难点在于:如何计算答对一题与答错一题的分数差异.可以借助线段图帮助理解.①假定全答对:10×10=100〔分〕100-70=30〔分〕10+5=15〔分〕………难点所在30÷15=2〔题〕10-2=8(题)②假定全做错:一个倒扣多少分?5×10=50〔分〕总共相差多少分?70+50=120〔分〕………注意:是加不是减,可以画图(略)每道对题少算多少分?10+5=15〔分〕做对几题?120÷15=8〔题〕答:他做对了8题.家庭作业1.小明有面值2元和5元的代金券共27张,总值99元,这两种代金券各有多少张?2.鸡与兔共有100只,鸡的脚比兔的脚多80只.鸡与兔各有多少只?3.搬运1000只玻璃瓶,规定平安运到目的地每只可得运费3角.但打碎一只,不但不给运费,还要赔偿5角.如果运完后共得运费260元,那么,打碎了多少只玻璃瓶?4.数平行四边形的个数(图略)本次作业评分:值得注意的地方:第八讲一.阔步课堂例1:只能向下和向右,从A走到B,一共有几种不同走法?简析:此题属于“找规律〞的内容.一般采用色笔标注的方法进行,但过于繁琐,有时无法进行.因此必须采用科学的方法甲乙解决.用对角标注数字的方法:一共6种走法.答:一共有6种不同走法.配套练习:只能向下和向右,从A走到B,一共有几种不同走法?例2:用1,3,5,7,一共可以组成多少个没有重复数字的四位数?简析:此题属于排列问题,虽属于高中数学知识,但也是小学“找规律〞的内容.初始阶段可以采用枚举法.但现在应该用计算法.属于乘法原理.千位有4种选择,百位有3种选择,十位有2种选择,个位此时只有一种选择.要组成四位数,单有某位都不行,因此不能一步完成.应把每步的可能排法相乘.4×3×2×1=24〔个〕答:一共可以组成24个没有重复数字的四位数.配套练习:用1,2,4,5可以组成多少个没有重复数字的三位数?二.逻辑推理例1:某月中,星期二的天数比星期一的天数多,而星期三的天数比星期四的天数多.那么这个月最后一天是星期几?简析:一周有7天,一个月最多有31天,31÷7=4〔周〕……3〔天〕.一个月里无论星期几,最多有5个,最少4个.即此题中星期二和星期三有5个,星期一和星期四有4个.然后画个月历进行推算即可.图略.答:这个月最后一天是星期三.配套练习:某年二月,星期日的天数最多,那么这个月的最后一天是星期几?例2:下面是一个九位数密码,相邻三个数字的和是12.你能破解密码吗?43简析:此题数字少,必须找到数字排列规律才能正确解答.借助天平原理,两边同时去掉相同局部,余下局部也相等.从而发现,每隔2格数字相同,等两个数字并排时就能算出另外数字了,从而可以解答.453453453453453453答:密码为配套练习:下面是十一位密码,任意三个相邻数字之和是13,你你能破译吗?43例3:甲乙丙丁与玛丽五个同学一起参加象棋比赛,每两人赛一盘.比赛一点时间后,甲赛了4盘,乙赛了3盘,丙赛了2盘,丁赛了1盘.那么玛丽赛了多少盘?简析:此题必须进行必要的转化.用五个点表示五个人,两人比赛过的,用线段连接.通过画图可以很好解决问题.解答:见图答:玛丽赛了2盘.家庭作业1.只能向下和向右,从A走到B,一共有多少种不同的走法?2.用0,1,2,3,4可以组成多少个不同的三位数?3.某月中.星期四的天数比星期五的天数多,星期二的天数比星期一的多.这个月的第一天是星期几?4.甲有600元,比乙的3倍多60元.乙有多少元?(提示:替换法)本次作业评分:值得注意的地方:第九讲一.阔步课堂例1:用简便方法计算:99×37+37101×57-5765×38+36×38-38简析:四年级简便计算一般要在计算过程中凑整十,整百,整千……,如果没有出现,一般意味着简算失败.①99×37+37=99×37+37×1…熟练时可以省略不写.理解成99个37再加一个37=〔99+1〕×37……正好凑成100个37=100×37=3700②101×57-57=〔101-1〕×57……与第一题同样道理=100×57=5700③65×38+36×38-38=〔65+36-1〕×38…不要把最后的38忽略.加减号不能随意更改.=100×38=3800配套练习:用简便方法计算:36×52+63×52+52201×93－93例2:有8个大小完全一样的球,其中一个是次品,并且较轻.用一架没有砝码的天平秤,最少称几次可以找出次品?简析:找次品是训练学生语言表达能力和动手操作能力的良好素材.关键是:三个球一个次品如何找.解答:随便拿6个，三个一边，称重后，两种情况：

一样重的话，次品一定在剩下的两个球里，所以剩下的两个小球再称一次,上翘的那端的托盘里是次品。一共两次.

如果不一样重，次品一定在较轻的3个球里，再在3个球里，拿两个称一下，如果一样重，那没放进去的第三个就是次品，如果不一样重，上翘的托盘里放的就是次品。也是两次答:至少要称两次.配套练习:有9个大小完全一样的球,其中一个是次品,并且较轻.用一架没有砝码的天平秤,最少称几次可以找出次品?二.进制问题计算法那么:0+0=0,0+1=1,1+1=100×0=0,1×0=0,1×1=1例1:把十进制数18改写成二进制数.简析:二进制就是只用1和0两个数字,表示各个数.满二进一.即每两个相同的单位组成和它相邻的较高的单位.18÷2=9…09÷2=4…14÷2=2…02÷2=1…0此法叫做二除取余法.18〔10〕=10010〔2〕也可以用短除法完成.注意:余数为0也要写上.配套练习:把下面的十进制数改写成二进制数:1924例2:把二进制数110〔2〕改写成十进制数.简析:二进制数改写成十进制数,只要把它写成2的幂之和的形式.〔幂,指的是某数自乘,例如3自乘4次,即3×3×3×3,写成34〕这是一个三位的二进制数,它的最高计数单位是23-1=22.110〔2〕=1×2²+1×2¹+0×2º=1×4＋1×2＋0×1=4+2+0=6配套练习:11011〔2〕改写成十进制数是多少?例3:计算:1101〔2〕＋101〔2〕简析:任何进制数的运算,都可以根据十进制数的运算法那么来进行.二进制加减法只要注意满二进一和借一算二即可.1101〔2〕+101〔2〕10010〔2〕1101〔2〕＋101〔2〕=10010〔2〕配套练习:计算以下各题:110〔2〕＋11〔2〕10101〔2〕－1111〔2〕例4:计算:1011〔2〕×11〔2〕简析:二进制的乘法也可列竖式解决.口诀只有两句:一一得一和一零得零.竖式:略配套练习:计算:1101〔2〕×101〔2〕家庭作业1.简便计算:32×25×12568×46＋33×46-462.计算:111〔2〕××11〔2〕3.将十进制数29改写成二进制数4.将二进制数11101〔2〕改写成十进制数.本次作业评分:值得注意的地方:第十讲一.阔步课堂例1:甲乙两个车站之间有3个小站.各站之间票价各不相同.要满足乘客需要,车站一共要配备多少种车票?有多少种票价?简析:此题属于排列与组合问题.车票的来与去是不同的,即有序.而票价往返是一样的.①多少种车票?每个车站要准备其他车站的4种车票,5个站要准备:4×5=20〔种〕车票.也可先算出单程要几种车票:1+2+3+4=10〔种〕,再乘2:10×2=20〔种〕②有几种不同票价?1+2+3+4=10〔种〕或者5×4÷2=10(种)答:车站一共要配备20种车票.有10种票价.配套练习:甲乙之间有4个小站要停靠.从甲到乙,一共要准备多少种车票?例2:四个连续奇数之和为192.求这四个数各是多少.简析:连续奇数相邻两数相差2.具体可参照第五课时的方法求解.①〔192+2+4+6〕÷4=204÷4=51……最大数51-2=49,51-4=47,51-6=45答:四个数分别是45,47,49,51.②〔192-2-4-6〕÷4=180÷4=45……最小数45+2=47,47+2=49,49+2=51答:四个数分别是45,47,49,51.③中间两数和:192÷2=96,两数差为2,用和差问题解题公式计算:〔96+2〕÷2=49……第三个数49+2=51……第四个数49-2=47……第二个数47-2=45……第一个数或者:〔96-2〕÷2=47……第二个数,47-2=45……第一个数47+2=49……第三个数47-2=45……第一个数答:四个数分别是45,47,49,51.二.行程问题(一)例1:甲、乙两人分别从相距20千米的两地同时相向而行.甲每小时行6千米,乙每小时行4千米.两人几小时后相遇?简析:相向而行就是面对面行走.这是行程问题中的“相遇问题〞.其根本数量关系是:速度和×时间=路程.根据公式可以派生两个除法计算的公式.此题是为以后学习打根底.务必理解.①甲乙两人每小时共行多少千米?6+4=10〔千米〕②几小时相遇?20÷10=2〔小时〕答:2小时后相遇.例2:甲、乙两人同时从相距2000米的两地相向而行,甲每分钟行110米,乙每分钟行90米.如果一条狗开始于甲同行,每分钟行500米,遇到乙后再返回向甲跑去.这样不断往返,直到甲乙相遇为止.狗共跑了多少米?简析:此题也叫“苏步青问题〞,关键在于“看人不看狗〞.人狗行走的时间相同.如果着眼于狗,计算繁琐,过程复杂,可能无法求解.而着眼于人,问题迎刃而解.①甲乙几小时相遇?2000÷〔110+90〕=2000÷200=10〔分钟〕②狗一共走了多少米?500×10=5000〔米〕答:狗共跑了5000米.配套练习:甲、乙两个车队同时从相距330千米的两地相向而行.甲每小时60千米,乙每小时50千米.一个人骑摩托车以每小时80千米的速度在两队中间往返联络.当两车队相遇时,摩托车行驶了多少千米?例3:甲、乙两人在环形跑道上以各自不变的速度跑步.如果两人同时从同一地点相背而行,乙跑4分钟后两人第一次相遇.甲跑一周要6分钟,乙跑一周要几分钟?简析:此题是高年级的学习内容.但此题解法有别于高年级.甲、乙各跑4分钟相遇,甲继续跑乙的4分钟路程,只需6-4=2〔分钟〕,花的时间是乙的一半,因此乙的时间是甲的两倍.4÷〔6-4〕×6=12〔分钟〕……倍比法配套练习:甲骑摩托车,乙骑自行车分别从两地同时出发,相向而行,5小时后相遇.甲行完全程要15小时,乙行完全程要多少小时?家庭作业1.甲乙两个车站之间有5个小站.各站之间票价各不相同.要满足乘客需要,车站一共要配备多少种车票?有多少种票价?2.6个连续偶数的和是282.求最大的一个数是多少.3.甲、乙两个车队同时从相距18千米的两地相向而行.丙骑自行车以每小时15千米的速度在两队中间往返联络,甲每小时5千米.乙以每小时4千米的速度行走..当两车队相遇时,丙骑自行车行驶了多少千米?4.甲、乙两人分别从A,B两地同时出发,相向而行,6小时后相遇.甲行完全程要9小时,乙行完全程要多少小时?本次作业评分:值得注意的地方:第十一讲一.阔步课堂例1:正方形的边长增加3厘米,面积增加51平方厘米.求原来正方形的面积.简析:此题表达数形结合思想.先画出符合题意的图形,再进行合理分割,就能求出边长,继而求出面积.A,B,C为增加局部,其中A,B大小相等.C是边长为3厘米的正方形.①C的面积是多少?3×3=9〔平方厘米〕②A和B的面积是多少?51-9=42〔平方厘米〕③A或B的面积:42÷2=21〔平方厘米〕④原正方形边长:21÷3=7〔平方厘米〕⑤原正方形面积:7×7=49〔平方厘米〕答:原来正方形的面积是49平方厘米.配套练习:正方形的边长增加2厘米,面积增加36平方厘米.求原来正方形的面积.例2:A÷B=6……10,假设A与B都扩大2倍,那么商与余数各是多少?简析:此题属于“商不变性质〞的应用.注意,商虽不变,但余数却跟着变.商是6,余数是10×2=20配套练习:A÷B=20……10,假设A和B都缩小2倍,商和余数各是多少?二.巧妙求和例1:王蕾度一本长篇小说,她第一天读30页,从第二天起,她每天读的页数都比前一天多3页,第11天读了60页,正好读完.这本书有多少页?简析:此题属于等差数列求和.根本公式为:和=〔首项+尾项〕×项数÷2项数=〔尾项-首项〕÷公差+1〔30+60〕×11÷2=495〔页〕答:这本书有495页.配套练习:马师傅做一批零件,第一天做了20个,以后每天都比前一天多做2个,最后一天做了42个.这批零件有多少个?例2:30把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至少要试多少次?简析:此题属于组合问题.第一把锁要翻开,要试30-1=29〔次〕,第二把要试29-1=28〔次〕,……余此类推.29+28+27+…+2+1=〔29+1〕×29÷2=435〔次〕答:至少要试435次.配套练习:有一些锁的钥匙搞乱了,至少要试28次,就能使每把锁度都配上自己的钥匙.问:一共有几把锁的钥匙搞乱了?例3:求1～99个连续自然数的所有数字的和.简析:此题求的是数字之和,不是数的和.为了凑整对数,把0参加,这100个数头尾配对后每两个数字之和都相等,都是9+9=18,共有100÷2=50〔对〕.〔9+9〕×〔100÷2〕=900.配套练习:求1～199的199个连续自然数的所有数字之和.例4:求1+3+5+7+9+…+21的和.简析:此题属于“等差数列求和〞的应用.难度较小.重在推陈出新,用“中间数×项数〞求和.1+3+5+7+……+21=〔21+1〕×11÷2=121或者:11×11=121配套练习:求1+4+7+11+……+31的和.家庭作业1.