概率论第一章习题课

1、运算关系包含：A则B相等：A=B和：至少有一个发生

A+B积：同时发生ABA、B不相容A、B

对立记为差：A－BB=S－A（一）、事件的关系第一章习题课除与一般代数式运算相同的法则以外，注意1）对偶律2）其他3）独立性事件的独立性是由概率定义的；n个事件的独立性要求个等式成立。（三）解题方法1、一般概率古典概型2）利用事件的运算2、运算法则化为事件的和利用对立事件A、B相互独立分解到完备组中：全概公式一般情况化为事件的积一般情况是完备组，2）用乘法公式1）在缩减完备组中计算，方法同1。3）用逆概公式2、条件概率例1如图：合上的概率为0.8合上的概率为0.7同时合上的概率为0.5求灯亮的概率。解设合上合上B:灯亮。例2某城市的供水系统由甲、乙两个水源与三部分管道1，2，3组成。每个水源都可以供应城市的用水。设事件Ak

表示第k号管道正常工作，k=1，2，3。B表示“城市能正常供水”，B表示“城市断水”。城市甲乙123解已知求例3解在下列两种情形下和1、A、B互不相容2、A、B

有包含关系解有放回地抽取两次，每次抽取一个球。求下列事件的概率1、A:

全红。2、B:无红。3、

D:白出现。解例4

袋中有红、黄、白色的球各一个。例5.某教研室共有11名教师,其中男教师7人,现在要选3名优秀教师,问其中至少有一女教师概率解:(方法一)设A=“3名优秀教师中至少有一名女教师”

=“3名优秀教师中恰有名女教师”则方法二设A=“3名优秀教师全是男教师”例6．从5双不同号码的鞋子中任取4只，求4只鞋子中至少有2只配成一双的概率。解：（错解）基本事件总数：5双鞋子共有10只，任取4只的取法总数为A=表示“4只鞋子中至少有2只配成一双”于是有利于A的基本事件总数可这样计算：从5双中任取一双有种取法，种取法，

然后在余下的8只中任取2只共有由乘法原理可知有利于A的总数为故所求概率为若不成双，则与5双中任取的一双就出现4只鞋中恰有2只成双的情形；若成双则与5双中任取的一双就出现4只恰有2双的情形，（分析）中的两只鞋有“成双”或“不成双”两种情况，后者多算了种，因此有利于A的基本事件总数故所求概率为方法一：A=表示“4只鞋子中至少有2只配成一双”故第一只鞋子是从5双（10只）中任取一只，有10种取法，第二只鞋子从剩下的4双（8只）中任取一只，有8种取法种取法，第三只鞋子从再剩下的3双（6只）中取一只，有6种取法，第四只鞋子有4种取法，故所求概率为它的对立事件为“4只鞋子均不成双”可知的样本点数为方法二：中包含的样本点总数是从5双不同的鞋子中任取4双，再从每双中任取一只的不同取法的种数，共有种取法，故方法三：A1=表示“4只鞋子中恰有2只配成一双”A1所包含的样本点总数为从5双鞋子中任取一双，再从另外4双中取不能配对的两只，共有种取法，从而A2=表示“4只鞋子恰好配成两双”则且A2所包含的样本点的总数为从5双中任取2双的取法数，即有种取法，从而故例7设有一枚深水炸弹击沉一潜水艇的概率的概率为1/3，击伤的概率为1/2，击不中的概率为1/6，并且击伤两次也会导致潜水艇下沉。求施放4枚深水炸弹能击沉潜水艇的概率。解

记A={击不沉}，B={4枚中都击不中}，C={4枚中只有一枚击伤其它三枚击不中}击沉的概率为例8.设一批产品的一、二、三等品各占60％、30％、10％，现从中任取一件，结果不是三等品,则取得的是一等品的概率为多少？解:

设＝“取出的一件产品为由题意等品”例9.一批零件共100件,其中有10件次品,每次从其中任取一个零件，取后不放回。试求：1)若依次抽取3次,求第3次才抽到合格品的概率2)如果取到一个合格品就不再取下去，求在3次内取到合格品的概率“第次抽到合格品”解:设1)2)设“三次内取到合格品”则且互斥(方法二)利用对立事件“三次都取到次品”下利用条件概率去做例10设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打破的概率为1/2，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率为7/10,若前两次落下未打破，第三次落下打破的概率为9/10。求透镜落下三次而未打破的概率。解：以Ai

(i=1,2,3)表示事件“透镜第i

次落下打破”，以B

表示事件“透镜落下三次而未打破”，由题意,可知例1111只水果其中一级品8个，二级品3个，随机地分给甲4个，乙6个，丙1个。1)已知丙未拿到二级品，求甲，乙均拿到二级品的概率2)求甲、乙均拿到二级品而丙未拿到二级品的概率。解记A（B，C）={甲（乙，丙）拿到二级品｝（2）（1）例13某小组有20名射手，其中一、二、三、四级射手分别为2、6、9、3名．又若选一、二、三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为0.85、0.64、0.45、0.32，今随机选一人参加比赛，试求该小组在比赛中射中目标的概率．解：由全概率公式，有例14对以往的数据分析结果表明当机器调整得良好时，产品的合格率为90%,而当机器发生某一故障时，其合格率为30%。每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为75%。已知某天早上第一件产品是合格品，试求机器调整得良好的概率是多少？机器调整得良好产品合格机器发生某一故障解：15用某种方法检验产品，若产品是次品，经检验是次品的概率为90％；若产品是正品，经检验是正品的概率为99％，现从含有5％次品的一批产品中随机的抽取1件进行检验，求下列事件的概率经检验是次品；（2）检验是次品，实为正品解：设A表示“随机抽取一件产品，该产品确实是正品”则：P(A)=0.95,

设B表示“产品经检验被认为是次品”

A,B,C三人在同一办公室工作，房间里有三部电话，据统计知，打给A,B,C的电话的概率分别为2/5，2/5，1/5，他们常因工作外出，A,B,C三人外出的概率分别为1/2，1/4，1/4，设三人的行动相互独立，求：（1）无人接电话的概率；（2）被呼叫人在办公室的概率；

若某一时间段打进3个电话，求：（3）这3个电话打给同一个人的概率；（4）这3个电话打给不相同的人的概率：（5）这3个电话都打给B，而B却都不在的概率。

解：设A，B，C分别表示A，B，C在办公室；TA表示有人打电话找A，TB表示有人打电话找B,TC表示有人打电话找C，TA(i)表示第i个电话找A，且事件间独立

(1)无人接电话的概率（2）被呼叫人在办公室的概率；上述三个方括号所示的事件互不相容，各次电话相互独立（3）这3个电话打给同一个人的概率；（4）这3个电话打给不相同的人的概率：（5）三个电话都打给B的条件下，而B却不在的概率为：思考与练习：1.选择题设解:设P(A)=1/4,P(B)=1/2,若事件A与B相互独立等于多少？因A,B独立，所以设P(A)=1/4,P(B)=1/2,若事件A与B互斥等于多少？因A,B互斥，所以某人外出旅游两天，据天气预报，第一天下雨的概率为0.6，第二天下雨的概率为0.3，两天都下雨的概率为0.1，试求：(1)第一天下雨而第二天不下雨的概率；(2)第一天不下雨第二天下雨的概率；至少有一天下雨的概率；(4)两天都不下雨的概率；(5)至少有一天不下雨的概率。设Ai=“第i天下雨”，i＝1，2，则解(1)设B=“第一天下雨第二天不下雨”，则所以(2)设C=“第一天不下雨而第二天下雨”，则

所以(3)设D=“两